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第七章复习1


第七章一次方程组复习

一、单元导入、明确目标
代入消元法

加减消元法

加减消元法
代入消元法 二元一次方 程组的解法 三元一次方程组 及其解法 阅读与思 考

理解二元 一次方程 组的概念

列二元一 次方程组

二元一次方 程和他的



二 元 一 次 方

实践与探索

试验与探 究

学习目标
1 、二元一次方程组的相关概念及解法。 2 、掌握灵活运用代入消元法和加减消元法的基本思想,将 “未知”转化为“已知”,把复杂的问题转化为简单问题 的化归思想。 3 、能应用二元一次方程组解决实际问题。 重点:1 能根据题目灵活选择消元法来求解二元一次方程组。 2 探索用二元一次方程组解决有关的应用题。 难点:分析题目中蕴含的数量关系。

问题1:二元一次方程和它的解
答:含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1 的方程叫做二元一次方程。适合一个二元一次方程的一 组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解。

问题2:二元一次方程组和它的解
答:含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程 ,叫做二元一次方程组。二元一次方程组中各个方程的 公共解,叫做这个二元一次方程组的解。

例1. . 当k=___时,方程为一元一次方程; 当k=____时,方程为二元一次方程。

2 2 己知方程(k -1)x +(k+1)x+(k-7)y=k+2

解 : 令 k ?1 ? 0 得 k
2

2

?1

? k ? ?1

当 k ? ?1 时 , 方程为一元一次方程 当 k ? 1 时 , 方程为二元一次方程

典例讲解
例2:判断下列方程是不是二元一次方程?

(1).x ? y ? 4

2

2

(2).x ? 2 x ? y ? x
1 1 (6). ? ?8 x y

2

2

(3).xy ? y ? 6 ( 4).x ? y
(5).x ? y ? z ? 6
2

典例讲解
例3:判断下列方程组是不是二元一次方程组?

?

x ?3 y ?5
1 ? y ?1 x y ?3 x

?

x ? 2 y ?5 y ?4 x

? ? ?

?

?

x? y?2 xy ? 4
2

x ? x ?2 y ?1? x

例4.求二元一次方程3x+y=10的正整数解。

例5.已知

? x ?1 ? y ? 2 ?

?2 xn ? my ? 5 是方程组? mx ? ny ? 3 ?

的解,

求m和n的值。

例4.求二元一次方程3x+y=10的正整数解。
分析:
求二元一次方程的解的方法是用一个未知数表示另 一个未知数, 如y=10-3x,给定x一个值,求出y的一个对应值,就可得到 二元一次方程的一个解,而此题是对未知数x、y作了限制必 须是正整数,也就是说对于给定的x可能是1、2、3、4?但 是当x=4时,y= 10-3×4=-2,y却不是正整数,因此x只能 取正整数的一部分,即x= 1,x=2,x=3。

x ? 1 ? 例5.已知? 是方程组?2 xn ? m y ? 5 ? ?y ? 2 ? m x ? ny ? 3

的解,

求m和n的值。 分析:因为,x=1,y=2是方程组的解。 根据方程组解的定义和x=1,y=2既满足方程①又满足方 程②于是有:
?2 n ? 2 m ? 5 ? ? m ? 2n ? 3

解这个方程组即可。

问题3:解二元一次方程组的基本思路是什么?有那些方法?举 例说明解二元一次方程组的过程。
答:解二元一次方程组的基本思路是“消元”;化二元为一元 ,有代入消元法和加减消元法及图象法,解二元一次方程组 的过程主要有化二元为一元,解一元一次方程求出一个未知 数,再求出另一个未知数后,得到原方程组的解。

例6:分别用代入法和加减法解方程组
2x-y=5 ⑴ 7x-3y=20 ⑵

注意:要观察方程组的特点,选用恰当 的方法有时可使解题过程简化。解完后 ,可将结果代入原方程组进行检验。

例7 解方程组
?5 x ? 6 y ? 1 ? ?2 x ? 6 y ? 10

?8 x ? 4 y ? 12 ? ?6 x ? 4 y ? 2

?3x ? 21y ? 26 ? ?6 x ? 5 y ? 10

?a b ? 2 ? 3 ? 13 ?a b ? ? ?3 ?3 4

例8. m , n 为何值时, 2x

2 m ?n

y

3m?2 n

的 5x

2n

y 是同类项。

5

?ax ? by ? ?1 ?3x ? 5 y ? 39 与? 例9.方程组 ? 有相同的 ? ax ? by ? 17 ?4 x ? 3 y ? 23

解,求a , b 的值。

2x 例8. m , n 为何值时,

2 m ?n

y

3m?2 n

的 5x

2n

y 是同类项。

5

解 : 根据同类项的定义, 有 ?2 m ? n ? 2 n ? 3 m ? 2 n ? 5 ? 解这个方程组, 得 ?m ? 3 ? ?n ? 2

?ax ? by ? ?1 ?3x ? 5 y ? 39 例9.方程组? 有相同的 与? ? ax ? by ? 17 ?4 x ? 3 y ? 23

解,求a , b 的值。 ?3x ? 5 y ? 39 ?x ? 8 解 : 由方程组? 得 ? ?4 x ? 3 y ? 23 ? y ? ?3 ?x ? 8 ?ax ? by ? ?1 把? 代入方程组 ? 得 ? y ? ?3 ?ax ? by ? 17
?8a ? 3b ? ?1 ? ?8a ? 3b ? 17 ? a ?1 b?3 ?a ? 1 解这个方程组得 ? ?b ? 3

1 2 a ? 1 ? ( b ? 3 ) ? 0 例10.己知: 2

?ax ? 3 y ? 1 解方程组: ? ? x ? by ? 5

1 2 例10.己知: a ? 1 ? (b ? 3) ? 0 2

1 解 : 由 a ? 1 ? (b ? 3) ? 0 得 2 1 a ?1 ? 0 , b?3?0 2 ? a?2 , b?3 把 a ? 2 , b ? 3 代入方程组 得 ?2 x ? 3 y ? 1 ? ?x ? 3y ? 5 ?x ? 2 解之得 ? ?y ? 1

解方程组:

?ax ? 3 y ? 1 ? ? by ? 5 ? x2

?3x ? 5 y ? 2a 例11. a 为何值时,方程组 ? ?2 x ? 7 y ? a ? 18

的解x ,y

的值互为相反数,并求它的值。

?3x ? 5 y ? 2a 例11. a 为何值时,方程组? 的解x ,y ?2 x ? 7 y ? a ? 18

的值互为相反数,并求它的值。
解: ? ? 原方程组的解 x , y 的值互为相反数 . y ? ?x 并将 y ? ? x 代入原方程组得 即 ?8 x ? 2a ? ?? 5 x ? a ? 18

?3 x ? 5 x ? 2a ? ?2 x ? 7 x ? a ? 18 解之得 a ? 8 ?x ? 2 即为? y ? ?2 ,

x?2

? 当 a ? 8 时 , 原方程组的解中x , y 的值互为相反数,

? 2 x ? y ? 4m ? 0 例12.求满足方程组: 中的y 的值 ? ?14x ? 3 y ? 20 ? 0

是x值的3倍的m的值,并求x , y 的值。

? 2 x ? y ? 4m ? 0 例12.求满足方程组: 中的y 的值 ? ?14x ? 3 y ? 20 ? 0

是x值的3倍的m的值,并求x , y 的值。
解 : 设 y ? 3x 并把 y ? 3x 代入原方程组, 得 ?2 x ? 3 x ? 4 m ? 0 ? ?14x ? 9 x ? 20 ? 0 解得 m ? ?1 , ? ? x ? 4m ? 0 即 ? ?5 x ? 20 ? 0

x ? 4 . 从而 y ? 3x ? 12 y ? 12

? 当 m ? ?1 时 , 原方程组中 y 的值是 x 的三倍 , 并且 这时 x ? 4

问题4:在列二元一次方程组解决实际问题的
过程中,你认为最关键的是什么?
答:关键在于找出问题中的两个等量关系,列出 方程并组成方程组,并注意检验解的合理性。

例2:王佳买面值为50分和230分的邮票共8
枚,用去9元4角,问50分和230分的邮票各买 了几枚?

分析:本题有两个未知数,即50分邮票的枚数和230分邮
票的枚数。又有两个等量关系,即两种面值的邮票数的和等 于8,两种邮票的总价之和等于94

解:设买50分邮票x枚, 230分邮票y枚,根据题意得

x+y= 8



50x+230y=940 ⑵ x=5 解这个方程组,得 y=3 所以50分的邮票买了5枚,230分的邮票买了3枚

练习1:某城市现有48万人口,计划一年后城镇人口增加
0.8%,农村人口增加1.1%,这样全市人口将增加1%。求这个城 市现在的城镇人口与农村人口各多少?

分析:这里有两个未知数:城镇人口与农村人口,,有
两个相等关系:

⑴ 城镇人口+农村人口=总人口;
⑵城镇人口× 0.8% +农村人口× 1.1%=总人口× 1%

你能把我们前面所学的内容用框架图写出来吗?
含义 代入消元法 二元一次 方程组

丰富的问题 情景

解法

加减消元法 图象法

应用

3.A、B两地相距150千米,甲、乙两车分别从A、月两地同时出发,同向而 行,甲车3小时可追上乙车;相向而行,两车1.5小时相遇,求甲、乙两车 的速度。 分析:这里有两个未知数:甲、乙两车的速度;有两个相等关系: (1)同向而行:甲3小时的行程=乙3小时行程十150千米 (2)相向而行:甲1.5小时行程+乙1.5小时行程=150千米 解设甲车的速度为x千米/时,乙车的速度为y千米/时。 根据题意,得 3x=3y+150 1.5x+1.5y=150 解这个方程组即可。

4.一个三位数,各数位上的数字之和为13,十位上的数字比个位上的数字大 2,如果把百位上的数字与个位上的数字对调,那么所得新数比原来的三位 数大99,求这个三位数。 分析:怎样设未知数?直接设可以吗? 这里有三个未知数——个位上的数字,百位上的数字及十位上数字,若 用二元一次方程组求解,该怎样设未知数? 由“十位上数字比个位上的数字大2”,可设原三位数的个位上的数字 为x,则十位上数字为x+2,另设百位上数字为y. 如何表示原三位数和新三位数? 100y+10(x+2)+x,l00x+l0(x+2)+y 2个等量关系是什么? (1)百位上数字十十位上数字十个位上数字=13 x+(x+2)+y=13 (2)新三位数一原三位数=99 [100x+10(x+2)+y]-[100y+10(x+2)+x]=99 根据题意,得 解这个方程组即可。

巩固练习 甲、乙两人从相距28千米的两地同时相向出发,经过3 小时30分相遇,如果乙先走2小时,然后甲再走,相向而 行,这样甲经过2小时45分就与乙相遇,求甲、乙两人 的平均速度

分析:此题有两个未知数:甲乙各自的平均速度,有
两个相等关系:

⑴ 相向而行:甲乙的行程和为28千米 ⑵ 相向而行:乙的行程+甲的行程=28

二 具体知识点复习
1.二元一次方程的定义:含有两个未知数,并且含有未知 数的项的次数都是1? 的整式方程叫做二元一次方程.理解二元 一次方程时特别强调注意:①二元一次方程左右两边的代数式 必须是整式,②二元一次方程必须含有两个未知数。 2.二元一次方程的解:能使二元一次方程左右两边的值相 等的一对未知数的值叫做二元一次方程的解。在任何一个二元 一次方程中,如果把其中的一个未知数任取一个数,都可以通 过方程求得与之对应的另一个未知数的值。因此,任何一个二 元一次方程都有无数解。

?

3. 二元一次方程组及其解:两个二元一次 方程合在一起就组成了一个二元一次方程组.一 般地,能使二元一次方程组的两个方程左右两边 的值都相等的两个未知数的值,叫做二元一次方 程组的解.

4.二元一次方程组的解法:(1) 代入消元法 (2)加减 消元法 代入消元法:在二元一次方程组中选取一个适当的方 程,将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来,再 代入另一个方程,消去一个未知数得到一元一次方程,求 出这个未知数的值,进而求得这个二元一次方程组的解, 这种方法叫做代入消元法. 加减消元法:两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或 相等时,将两个方程的两边分别相加或相差,从而消去这 个未知数,得到一个一元一次方程,这种求二元一次方程 组的解的方法叫做加减消元法,简称加减法.

5.解决实际问题的过程: (1)审:审题,分析题中已知什么,求什么,理顺各数量之间的关系; (2)设:设未知数(一般求什么,就设什么为x、y,设未知数要带好单位名 称); (3)找:找出能够表示应用题全部意义的两个相等关系; (4)列:根据这两个相等关系列出需要的代数式,进而列出两个方程,组成 方程组; (5)解:解所列方程组,得未知数的值; (6)答:检验所求未知数的值是否符合题意,写出答案(包括单位名称)。 归纳为6个字:审,设,找,列,解,答。

自学指导1

二、新知导学、合作探究(20分钟)

例1 你能用那些方法 解下面的二元一次方程组? ? 3x—4y=10 ① ? 5x+6y=42 ② ? 观察此方程组中, ? (1)未知数 y 的系数有什么特点? ? (2)怎么样才能把这个未知数消 y 去? ? (3)你的根据是什么?
?

典例讲解
例3.已知二元一次方程组 则a+b的值为________。
?ax ? by ? 4的解是 ? ?bx ? ay ? 5

?x ? 2 , ? ?y ?1

思路分析:根据方程组的定义,把x=2,y=1代入 方程组,转化为关于a、b的方程组,解出a与b的值, 问题就解决了,也可应用整体思想,直接求出a+b的 值。

自学指导2
?

例2解方程组

?
? ?

2x-7y=8 ① 3x-8y-10=0 ② (1)观察上述方程组,有什么特点? (2)你能用两种方法解方程吗?

思考
?

?

?

?

从上面的问题中我们可以得到解方程组的基本思路?解方程的主要步骤有哪些 ? 对某些二元一次方程组可通过方程两边分别相加(减),消去其中一个未知数 ,得到一个一元一次方程,从而求出它的解,这就是加减法解方程组的基本思 路。 解这种类型的方程组的主要步骤,先观察未知数的系数的绝对值是否相同,若 互为相反数就用加,若相同,就用减,达到___________目的。 这种通过两式相加(减)消去一个未知数,这种解二元一次方程组的方法叫做 ___________,简称加减法。

四、巩固练习、拓展提升
(1)解方程组

2x ? 3y ? 1? y 4



x y ? ?4 3 2



?3x ? 5y ? 21 (2)解方程组 ? 2 x ? 5 y ? -11 ?





?2 x ? y ? 7 ? ?x ? 2 y ? 8

五、达标测试、当堂反馈
? 1.用加减消元法解下列方程组: ? 4s+3t=5 5x-6y=3 ? ? 4s-t=-7 7x+6y=9

? 2.若2a+2b=4,2a-b=1,则5a+b=__________.
?2 x ? y ? 7 ? 3. 已知 ? , ?x ? 2 y ? 8

那么x-y的值是

___________.

? 4. 若(3x-2y+1)2+ 3x ? 3 y ? 3 =0,则 x=______,y=______.

六、课时小结、布置作业

作业
? 1、课本P32 练习1。 ? 2、思考题: ? 在解二元一次方程组中, 代入法 ? 和加减法有什么异同点?


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