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2010-2011学年山西大学附中高一(下)5月月考数学试卷


2010-2011 学年山西大学附中高一(下)5 月月考 数学试卷

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2010-2011 学年山西大学附中高一(下)5 月月考 数学试卷
一、选择题: (本大题共有 12 个小题,每小题 3 分,共 36 分.) 1. (3 分)已知△ ABC 中,AB=6,∠ A=3

0°,∠ B=120°,则△ ABC 的面积为( A .9 B.18 C .9 2. (3 分)已知△ ABC 中,a:b:c=1: :2,则 A:B:C 等于( A.1:2:3 B.2:3:1 C.1:3:2 ) D.3:1:2 ) D. ) D.120°或 60° <x<5 ) D.9

3. (3 分)已知锐角三角形的边长分别为 2、3、x,则 x 的取值范围是( A. B. C.2<x< <x<5 4. (3 分)在△ ABC 中,若 c ﹣2(a +b )c +a +a b +b =0,则∠ C 等于( A.90° B.120° C.60°
4 2 2 2 4 2 2 4

5. (3 分) (文)在△ ABC 中,AB=5,BC=7,AC=8,则 A.79 B.69 C .5

的值为(

) D.﹣5

6. (3 分)凸多边形各内角度数成等差数列,最小角为 120°,公差为 5°,则边数 n 等于( ) A.16 B.9 C.16 或 9 D.12 7. (3 分)在等差数列{an}中,3(a2+a6)+2(a8+a10+a12)=24,则此数列前 13 项的和为( A.13 B.26 C.52 D.156
2 2



8. (3 分) (2003?天津)已知方程(x ﹣2x+m) (x ﹣2x+n)=0 的四个根组成一个首项为 的等差数列,则|m﹣n| 等于( A .1 ) B. C. D.

9. (3 分)等差数列{an}中,a1+a7=42,a10﹣a3=21,则前 10 项的和 S10 等于( A.720 B.257 C.255

) D.不确定

10. (3 分) (2002?北京)若一个等差数列前 3 项的和为 34,最后 3 项的和为 146,且所有项的和为 390,则这个数 列有( ) A.13 项 B.12 项 C.11 项 D.10 项 11. (3 分) (2000?北京)设已知等差数列{an}满足 a1+a2+…+a101=0,则有( A.a1+a101>0 B.a2+a102<0 C.a3+a99=0 ) . D.a51=51 )

12. (3 分)首项为﹣24 的等差数列,从第 10 项起开始为正数,则公差 d 的取值范围是( A. B. C. D. ≤d≤3 ≤d<3

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www.jyeoo.com 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13. (4 分)设△ ABC 的外接圆半径为 R,且已知 AB=4,∠ C=45°,则 R=

_________ .

14. (4 分)如图,∠ A=60°,∠ A 内的点 C 到角的两边的距离分别为 5 和 2,则 AC 的长为 _________ .

15. (4 分)已知等差数列{an},a1=29,S10=S20,求这个数列的前 n 项和的最大值 _________ . 16. (4 分)等差数列{an}中,若 a9+a10=a,a29+a30=b,则 a99+a100= _________ 三.解答题(共 48 分) 17. (8 分)a,b,c 为△ ABC 的三边,其面积 S△ABC=12 ,bc=48,b﹣c=2,求 a. .

18. (10 分)在△ ABC 中,∠ C=60°,BC=a,AC=b,a+b=16. (1)试写出△ ABC 的面积 S 与边长 a 的函数关系式. (2)当 a 等于多少时,S 有最大值?并求出这个最大值. 19. (10 分)在△ ABC 中,cos
2

,c=5,求△ ABC 的内切圆半径.

20. (10 分)已知数列{an}为首项 a1≠0,公差为 d≠0 的等差数列,求 Sn=



21. (10 分) (2000?天津)设{an}为等差数列,Sn 为数列{an}的前 n 项和,已知 S7=7,S15=75,Tn 为数列 前 n 项和,求 Tn.



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2010-2011 学年山西大学附中高一(下)5 月月考 数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题: (本大题共有 12 个小题,每小题 3 分,共 36 分.) 1. (3 分)已知△ ABC 中,AB=6,∠ A=30°,∠ B=120°,则△ ABC 的面积为( A .9 B.18 C .9

) D.9

考点: 三角形中的几何计算. 专题: 计算题. 分析: 利用三角形的内角和公式求得∠ C=30°,可得△ ABC 为等腰三角形,故△ ABC 的面积为
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运算求得结果. 解答: 解:∵ △ ABC 中,AB=6,∠ A=30°,∠ B=120°,∴ ∠ C=30°. 故△ ABC 为等腰三角形,故 BC=6,则△ ABC 的面积为 故选 D. 点评: 本题考查三角形中的几何计算,是一道基础题. 2. (3 分)已知△ ABC 中,a:b:c=1: :2,则 A:B:C 等于( A.1:2:3 B.2:3:1 C.1:3:2 考点: 解三角形. 专题: 计算题. 分析: 根据三边的比令 a=1,b=
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=9



) D.3:1:2

,c=2,进而可知 c =a +b ,根据勾股定理推断出 C=90°,进而根据 a= c 推断

2

2

2

出 A=30°,进而求得 B,则三个角的比可求. 解答: 解:令 a=1,b= ,c=2 2 2 2 ∴ c =a +b ,三角形为直角三角形 ∴ C=90° a= c ∴ A=30°, ∴ B=90°﹣30°=60° ∴ A:B:C=1:2:3 故选 A 点评: 本题主要考查了解三角的问题.应熟练记忆三角形中的常用结论如勾股定理,边边关系,角与角的关系, 正弦定理,余弦定理等. 3. (3 分)已知锐角三角形的边长分别为 2、3、x,则 x 的取值范围是( A. B. C.2<x< <x<5 考点: 解三角形. 专题: 计算题. ) D. <x<5

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www.jyeoo.com 分析: 根据三角形为锐角三角形,得到三角形的三个角都为锐角,得到三锐角的余弦值也为正值,分别设出 3 和 x 所对的角为 α 和 β,利用余弦定理表示出两角的余弦,因为 α 和 β 都为锐角,得到其值大于 0,则分别令余 弦值即可列出关于 x 的两个不等式,根据三角形的边长大于 0,转化为关于 x 的两个一元二次不等式,分别 求出两不等式的解集,取两解集的交集即为 x 的取值范围. 解答: 解:因为三角形为锐角三角形,所以三角形的三个内角都为锐角, 则设 3 对的锐角为 α,根据余弦定理得:cosα= 即 x >5,解得 x>
2

>0,

或 x<﹣

(舍去) ; >0,

设 x 对的锐角为 β,根据余弦定理得:cosβ=
2

即 x <13,解得 0<x< , 所以 x 的取值范围是 <x< . 故选 A 点评: 此题考查学生灵活运用余弦定理化简求值,会求一元二次不等式组的解集,是一道综合题.学生在做题时 应注意锐角三角形这个条件. 4. (3 分)在△ ABC 中,若 c ﹣2(a +b )c +a +a b +b =0,则∠ C 等于( 90 ° 120 ° 60 ° A. B. C.
4 2 2 2 4 2 2 4

) D.120°或 60°

考点: 余弦定理. 专题: 计算题;分类讨论. 2 2 2 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 分析: 把已知 c4﹣2 (a +b ) c +a +a b +b =0 等式通过完全平方式、 拆分项转化为 (c ﹣a ﹣b ﹣ab) (c ﹣a ﹣b +ab) =0.分两种情况,根据余弦定理即可求得∠ C 的度数. 4 2 2 2 4 2 2 4 解答: 解:∵ c ﹣2(a +b )c +a +a b +b =0,
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?c ﹣2(a +b )c +(a +b ) ﹣a b =0, 2 2 2 2 2 ?[c ﹣(a +b )] ﹣(ab) =0, 2 2 2 2 2 2 ?(c ﹣a ﹣b ﹣ab) (c ﹣a ﹣b +ab)=0, 2 2 2 2 2 2 ∴ c ﹣a ﹣b ﹣ab=0 或 c ﹣a ﹣b +ab=0, 当 c ﹣a ﹣b +ab=0 时,cosC=
2 2 2

4

2

2

2

2

2

2

2 2

,∴ ∠ C=60°,

当 c ﹣a ﹣b ﹣ab=0 时,cosC= 综上可得:∠ C=60°或 120°. 故选 D

2

2

2

,∴ ∠ C=120°,

2 2 点评: 本题考查了余弦定理,以及因式分解的应用,解决本题的关键是将原式转化为(c2﹣a2﹣b2﹣ab) (c ﹣a 2 ﹣b +ab)=0,再利用余弦定理求得∠ C 的度数.

5. (3 分) (文)在△ ABC 中,AB=5,BC=7,AC=8,则 A.79 B.69 C .5

的值为(

) D.﹣5

考点: 余弦定理;平面向量数量积的含义与物理意义. 专题: 计算题. 分析: 由三角形的三边,利用余弦定理求出 cosB 的值,然后利用平面向量的数量积的运算法则表示出所求向量的
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www.jyeoo.com 数量积,利用诱导公式化简后,将各自的值代入即可求出值. 解答: 解:由 AB=5,BC=7,AC=8,根据余弦定理得: cosB= = ,又| |=5,| |=7,



=|

|?|

|cos(π﹣B)=﹣|

|?|

|cosB

=﹣5×7× =﹣5. 故选 D 点评: 此题考查了余弦定理,以及平面向量数量积的运算.注意 容易出错. 6. (3 分)凸多边形各内角度数成等差数列,最小角为 120°,公差为 5°,则边数 n 等于( ) A.16 B.9 C.16 或 9 D.12 考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 计算题. 分析: 先设出凸多边形的边数为 n,凸多边形各内角度数成等差数列,最小角为 120°,公差为 5°,表示出等差数 列的前 n 项和,再写出多边形的内角和,得到方程,解方程或代入选项进行检验. 解答: 解:设出凸多边形的边数为 n, ∵ 凸多边形各内角度数成等差数列,最小角为 120°,公差为 5°
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的夹角是 π﹣B,而不是 B,学生做题时


2

×5°=180(n﹣2)

整理可得 n ﹣25n+144=0, 解可得 n=16 或 9, 故选 C. 点评: 本题考查等差数列的前 n 项和,本题解题的关键是根据题意和多边形的内角和得到关于 n 的方程,本题是 一个基础题. 7. (3 分)在等差数列{an}中,3(a2+a6)+2(a8+a10+a12)=24,则此数列前 13 项的和为( A.13 B.26 C.52 D.156 考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 由 3(a2+a6)+2(a8+a10+a12)=24 根据等差数列的性质可得,a1+a13=4 代入等差数列的前 n 项和公式可求. 解答: 解:∵ 3(a2+a6)+2(a8+a10+a12)=24 根据等差数列的性质可得,6(a4+a10)=6(a1+a13)=24 即 a1+a13=4
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代入等差数列的前 n 项和公式可得, 故选 B 点评: 本题主要考查了等差数列的前 n 项的求解,关键是要熟练掌握公式,灵活运用等差数列的性质,确定基本 量之间的关系.

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www.jyeoo.com 8. (3 分) (2003?天津)已知方程(x ﹣2x+m) (x ﹣2x+n)=0 的四个根组成一个首项为 的等差数列,则|m﹣n| 等于( A .1 ) B. C. D.
2 2

考点: 等差数列的性质;一元二次不等式的解法. 专题: 计算题. 分析: 设 4 个根分别为 x1、x2、x3、x4,进而可知 x1+x2 和 x3+x4 的值,进而根据等差数列的性质,当 m+n=p+q 时,am+an=ap+aq.设 x1 为第一项,x2 必为第 4 项,可得数列,进而求得 m 和 n,则答案可得. 解答: 解:设 4 个根分别为 x1、x2、x3、x4, 则 x1+x2=2,x3+x4=2, 由等差数列的性质,当 m+n=p+q 时,am+an=ap+aq.
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设 x1 为第一项,x2 必为第 4 项,可得数列为 , , , , ∴ m= ,n= .

∴ |m﹣n|= . 故选 C 点评: 本题主要考查了等差数列的性质.解题的关键是运用了等差数列当 m+n=p+q 时,am+an=ap+aq 的性质. 9. (3 分)等差数列{an}中,a1+a7=42,a10﹣a3=21,则前 10 项的和 S10 等于( A.720 B.257 C.255 ) D.不确定

考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 计算题. 分析: 由题意可得:2a1+6d=42,7d=21,联立方程组求出基本量可得:a1=12,d=3.由等差数列的前 n 项和的公 式可得答案. 解答: 解:由题意可得:a1+a7=42, 所以 2a1+6d=42, 又因为 a10﹣a3=21,所以 7d=21. 由以上可得:a1=12,d=3. 由等差数列的前 n 项和的公式可得:
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S10=

=255.

故选 C. 点评: 解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的前 n 项和的公式与通项公式,并且结合正确的计算. 10. (3 分) (2002?北京)若一个等差数列前 3 项的和为 34,最后 3 项的和为 146,且所有项的和为 390,则这个数 列有( ) A.13 项 B.12 项 C.11 项 D.10 项 考点: 专题: 分析: 解答: 等差数列的性质. 计算题;压轴题. 先根据题意求出 a1+an 的值,再把这个值代入求和公式,进而求出数列的项数 n. 解:依题意 a1+a2+a3=34,an+an﹣1+an﹣2=146 ∴ a1+a2+a3+an+an﹣1+an﹣2=34+146=180
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www.jyeoo.com 又∵ a1+an=a2+an﹣1=a3+an﹣2 ∴ a1+an= =60

∴ Sn= ∴ n=13 故选 A 点评:

=

=390

本题主要考查了等差数列中的求和公式的应用.注意对 Sn═ 个公式的灵活运用. 11. (3 分) (2000?北京)设已知等差数列{an}满足 a1+a2+…+a101=0,则有( A.a1+a101>0 B.a2+a102<0 C.a3+a99=0 考点: 专题: 分析: 解答: 等差数列的性质. 计算题;压轴题.

和 Sn=a1?n+

这两

) . D.a51=51

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根据特殊数列 an=0 可直接得到 a3+a99=0,进而看得到答案. 解:取满足题意的特殊数列 an=0,即可得到 a3+a99=0 选 C. 点评: 本题主要考查等差数列的性质.做选择题时要合理选择最恰当的方法可节省做题时间. 12. (3 分)首项为﹣24 的等差数列,从第 10 项起开始为正数,则公差 d 的取值范围是( A. B. C. D. ≤d≤3 ≤d<3 )

考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 先设数列为{an}公差为 d,则 a1=﹣24,根据等差数列的通项公式,分别表示出 a10 和 a9,进而根据 a10>0, a9≤0 求得 d 的范围. 解答: 解:设数列为{an}公差为 d,则 a1=﹣24; a10=a1+9d>0;
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即 9d>24,所以 d> 而 a9=a1+8d≤0; 即 d≤3 所以 <d≤3 故选 D 点评: 本题主要考查了等差数列的性质.属基础题. 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13. (4 分)设△ ABC 的外接圆半径为 R,且已知 AB=4,∠ C=45°,则 R=

2



考点: 正弦定理. 专题: 计算题. 分析: 根据题意得到边角的关系,进而判断出利用正弦定理求解外接圆的半径.
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www.jyeoo.com 解答: 解:因为在△ ABC 中 AB=4,∠ C=45°, 所以根据正弦定理可得:△ ABC 外接圆的直径 2R= ,

所以 R=2 . 故答案为 2 . 点评: 本题考查了有关三角形以及外接圆问题,本题主要利用正弦定理解决外接圆的半径问题. 14. (4 分)如图,∠ A=60°,∠ A 内的点 C 到角的两边的距离分别为 5 和 2,则 AC 的长为 2 .

考点: 解三角形. 专题: 数形结合. 分析: 延长 FC,与 AE 交于点 B,由∠ BAF 为 60°,CF 垂直于 AF,可得∠ ABF 为 30°,又 CE 垂直于 AB,在直角 三角形 BEC 中,根据 30°角所对的直角边等于斜边的一半可由 EC 的长求出 BC 的长,进而求出 BF 的长, 然后在直角三角形 ABF 中,利用锐角的正切函数定义求出 AF 的长,再在直角三角形 ACF 中,由 CF 和 AF 的长,利用勾股定理即可求出 AC 的长. 解答:
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解:延长 FC,延长线与 AE 交于点 B, 由∠ EAF=60°,CF⊥ AF, ∴ ∠ ABF=30°,又 CE⊥ AB,即∠ BEC=90°,且 CE=5, ∴ BC=2EC=10,又 CF=2, ∴ BF=BC+CF=10+2=12, 在直角三角形 ABF 中, tan∠ ABF=tan30°= ∴ AF=BFtan30°=12× , =4 ,

在直角三角形 ACF 中,根据勾股定理得: AC= =2 .

故答案为:2 点评: 此题考查了解三角形的运算,涉及的知识有:直角三角形中 30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质,锐 角三角函数以及勾股定理,其中作出辅助线是本题的突破点,熟练掌握直角三角形的性质及锐角三角函数 定义是解本题的关键. 15. (4 分)已知等差数列{an},a1=29,S10=S20,求这个数列的前 n 项和的最大值 225 . 考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 计算题.

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www.jyeoo.com 分析: 根据 S10=S20,由等差数列的前 n 项和的公式可知,从第 11 项到第 20 项的和等于 0,根据等差数列的前 n 项和的公式表示出第 11 项到第 20 项的和,然后利用等差数列的通项公式化简后得到首项和公差的关系式, 把首项的值代入即可求出公差,利用首项和公差写出等差数列的前 n 项和的公式,进而得到答案. 解答: 解: (1)∵ s10=a1+a2+…+a10, S20=a1+a2+…+a20,又 s10=S20, ∴ a11+a12+…+a20=0, 所以 所以 d=﹣2. 所以 , ,即 a11+a20=2a1+29d=0,又 a1=29,

所以这个数列的前 15 项和的值最大,并且最大值为 225. . 点评: 此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前 n 项和的公式化简求值,掌握二次函数求最值的方法,是 一道中档题.

16. (4 分)等差数列{an}中,若 a9+a10=a,a29+a30=b,则 a99+a100=

b﹣ a .

考点: 专题: 分析: 解答:

等差数列的性质. 计算题.

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利用等差数列的性质,a9+a10,a19+a20…a99+a100 仍成等差数列,利用等差数列的通项公式可求得答案. 解:∵ an 为等差数列, ∴ a9+a10,a19+a20…a99+a100 仍成等差数列, 由已知得 a99+a100= 故答案为: . = .

点评: 本题考查等差数列的性质与通项公式,关键在于对性质的灵活运用,属于基础题. 三.解答题(共 48 分) 17. (8 分)a,b,c 为△ ABC 的三边,其面积 S△ABC=12

,bc=48,b﹣c=2,求 a.

考点: 余弦定理. 专题: 计算题. 分析: 利用三角形的面积公式列出关于 sinA 的等式,求出 sinA 的值,通过解已知条件中关于 b,c 的方程求出 b, c 的值,分两种情况,利用余弦定理求出边 a 的值. 解答: 解:由 S△ABC= bcsinA,
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得 12 ∴ sinA=

= ×48sinA, .

∴ A=60°或 A=120°. 由 bc=48,b﹣c=2 得,b=8,c=6. 当 A=60°时,a =8 +6 ﹣2×8×6× =52, ∴ a=2 .
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2 2 2

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www.jyeoo.com 当 A=120°时,a =8 +6 ﹣2×8×6×(﹣ )=148, ∴ a=2 . 点评: 求三角形的题目,一般利用正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式列方程解决. 18. (10 分)在△ ABC 中,∠ C=60°,BC=a,AC=b,a+b=16. (1)试写出△ ABC 的面积 S 与边长 a 的函数关系式. (2)当 a 等于多少时,S 有最大值?并求出这个最大值. 考点: 已知三角函数模型的应用问题;三角函数的最值. 专题: 计算题. 分析: (1)由 a+b=16,得 b=16﹣a,利用面积公式可表示△ ABC 的面积 S 与边长 a 的函数关系式; (2)先配方, 再利用二次函数求最值的方法求解即可. 解答: 解: (1)∵ a+b=16,∴ b=16﹣a(0<a<16)
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2

2

2

S= absinC= a(16﹣a)sin60°=

(16a﹣a )=﹣

2

(a﹣8) +16

2

(0<a<16)

(2)由(1)知,当 a=8 时,S 有最大值 16 . 点评: 本题考查三角形的面积公式,考查配方法求二次函数的最值,属于基础题. 19. (10 分)在△ ABC 中,cos
2

,c=5,求△ ABC 的内切圆半径.

考点: 解三角形. 专题: 计算题. 分析: 把 c 的值代入已知的等式求出 b 的值,然后利用二倍角的余弦函数公式化简已知等式,表示出 cosA,再利
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用余弦定理表示出 cosA,两者相等,化简后得到 a +b =c ,根据勾股定理的逆定理可得三角形 ABC 为直角 三角形,由 b 和 c 的值,利用勾股定理求出 a 的值,然后利用周长的一半即可求出三角形内切圆的半径. 解答: 解:∵ c=5, 又 = ,∴ b=4, = ,

2

2

2

∴ cosA= ,

由余弦定理得 cosA=




2 2 2 2

= ,
2 2 2

∴ b +c ﹣a =2b ,即 a +b =c , ∴ △ ABC 是以角 C 为直角的三角形, 根据勾股定理得 a= =3,

则△ ABC 的内切圆半径 r= (a+b+c)=1. 点评: 此题属于解三角形的题型,涉及的知识有二倍角的余弦函数公式,余弦定理,以及勾股定理和逆定理,解 此类题往往根据定理及公式建立已知与未知之间的联系,从而求出三角形中未知的量,达到解三角形的目 的,化简已知的等式表示出 cosA 是本题的突破点,熟练掌握定理是解本题的关键.
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www.jyeoo.com 20. (10 分)已知数列{an}为首项 a1≠0,公差为 d≠0 的等差数列,求 Sn= .

考点: 数列的求和. 专题: 计算题. 分析: 由等差数列的性质可得,
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,利用裂项求和即可.

解答: 解:由等差数列的性质可得,

∴ Sn=

=



点评: 本题主要考查数列求和的裂项法、等差数列的性质及前 n 项和公式.考查学生的运算能力.

21. (10 分) (2000?天津)设{an}为等差数列,Sn 为数列{an}的前 n 项和,已知 S7=7,S15=75,Tn 为数列 前 n 项和,求 Tn. 考点: 等差数列的性质;数列的求和. 专题: 计算题. 分析: 由已知条件列出 a1 与 d 的方程组求出 a1 与 d, 从而求出 sn, 进而推出
168472



, 由等差数列的定义可得数列

为等差数列,故利用等差数列的求和公式进行求解. 解答: 解:设等差数列{an}的公差为 d,则 Sn=na1+ n(n﹣1)d. ∵ S7=7,S15=75, ∴ (6 分)



(8 分)

解得 a1=﹣2,d=1. ∴ ∵ ∴ 数列{ ∴ , }是等差数列,其首项为﹣2,公差为 , . (12 分) ,

点评: 本小题主要考查等差数列的基础知识和基本技能,运算能力,是高考考查的重点.

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www.jyeoo.com 参与本试卷答题和审题的老师有:jj2008;涨停;caoqz;haichuan;sllwyn;zhwsd;吕静;lz888;wdnah;wfy814 (排名不分先后)
菁优网 2014 年 3 月 15 日

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