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平面分空间


平面分空间问题
? 实际问题 一个西瓜切了四刀、五刀等, 实际问题:一个西瓜切了四刀、五刀等, 一个西瓜切了四刀 最多可切出多少块呢? 最多可切出多少块呢? ? 把它抽象成数学问题是: 把它抽象成数学问题是: ? 用n个平面,可以把空间分割出的最多的 个平面, 个平面 部分数是多少? 部分数是多少?

探索平面的位置关系
? 1:要使这n个平面将空间分割出的部分数最 要使这n 这些平面的位置关系如何? 多,这些平面的位置关系如何? ? 考察类似的问题 直线分平面问题 考察类似的问题—直线分平面问题 ? 一个平面被n条直线分割,要使分割的部分 一个平面被n条直线分割, 数最多,这些直线的位置关系如何呢? 数最多,这些直线的位置关系如何呢? ? 1)任何两条直线相交, 任何两条直线相交, ? 2)任何三条直线不过同一点. 任何三条直线不过同一点.

n个平面把空间分割成的部分数最多, 个平面把空间分割成的部分数最多, 其位置关系如何呢? 其位置关系如何呢? 任何两个平面相交; 1)任何两个平面相交; 2)任何三个平面呢? 任何三个平面呢?
任何三个平面, 任何三个平面, 不相交于同一条直线, 不相交于同一条直线, 交线也不能相互平行; 交线也不能相互平行;

任何四个平面呢? 3)任何四个平面呢?
任何四个平面不过同一点。 任何四个平面不过同一点。

能把结果猜出来吗? 能把结果猜出来吗?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 观察类似问题的结果: 观察类似问题的结果: n条直线分割平面的最多平面块是: 条直线分割平面的最多平面块是: 条直线分割平面的最多平面块是 1+(1+2+3+… +n)=(n2+n+2)/2 ( ) n个点分割直线的部分数是:n+1 个点分割直线的部分数是: 个点分割直线的部分数是 猜测: 个平面分割空间的最多部分数的形式 个平面分割空间的最多部分数的形式: 猜测:n个平面分割空间的最多部分数的形式: sn=(an3+bn2+cn+d)/3; ( ) ; 如何求出系数a,b,c,d? 如何求出系数 ? 须知道s 须知道 1;s2;s3;s4。 。 而s1=2;s2=4;s3=8; 如何求出s 如何求出 4?

与“3条直线分割平面最多有几个部分”类比 条直线分割平面最多有几个部分” 有一部分有限。无限部分是: 有一部分有限。无限部分是: 与三角形有一公共边的有三部分, 与三角形有一公共边的有三部分, 与三角形有一公共顶点的有三部分, 与三角形有一公共顶点的有三部分, 于是,总的分割数是1 于是,总的分割数是1+3+3=7。

?4个平面分割空间的最多部分数是多少? 4个平面分割空间的最多部分数是多少?
有一部分有限。无限部分是: 有一部分有限。无限部分是: 与四面体共一面的有四部分; 与四面体共一面的有四部分; 与四面体共一边的有六部分; 与四面体共一边的有六部分; 与四面体共一顶点的有四部分. 与四面体共一顶点的有四部分. 总的分割数是1+4+6+4=15 1+4+6+4=15, =15。 总的分割数是1+4+6+4=15,即s4=15。

?待定系数得 n=(n3+5n+6)/6 待定系数得s ( 待定系数得 )

能通过相关关系观察猜测出来吗? 能通过相关关系观察猜测出来吗?
分割元素的 个数n 个数 1 2 3 4 5 … … … 空间被平面分 成部分sn 2 4 8 平面被直线 分成部分p 分成部分 n 2 4 7 11 直线被点分成 部分q 部分 n 2 3 4 5 6 …

猜测: 猜测:pn=pn-1+qn-1;sn=sn-1+pn-1

用递推思想解题
? ? ? ? ? ? ? ? 平面上有n条直线,最多可把平面分成几部分? 平面上有 条直线,最多可把平面分成几部分? 条直线 增加1条直线时 把平面多分割出几部分来呢? 条直线时, 增加 条直线时,把平面多分割出几部分来呢? 由第n条直线与前 条直线与前(n-1)条直线有 条直线有(n-1)个交点, 个交点, 由第 条直线与前 条直线有 个交点 从而把第n条直线分成 条直线分成n段 从而把第 条直线分成 段, 而每一段把所在部分一分为二, 而每一段把所在部分一分为二, 于是增加了n个部分 个部分。 于是增加了 个部分。 由此得n条直线把平面分割成的最多部分数为 由此得 条直线把平面分割成的最多部分数为 1+(1+2+3+ … +n)=(n2+n+2)/2

方法类比到空间
? 若增加 个平面,可把空间多分割出几部分呢? 若增加1个平面,可把空间多分割出几部分呢? 个平面 ? 由于增加的第n个平面与前(n-1)个平面都相交, 由于增加的第 个平面与前 个平面与前( )个平面都相交, ? 于是第n个平面上有 于是第 个平面上有 个平面上有(n-1)条交线, 条交线, 条交线 ? 因此增加的第 个平面被(n-1)条直线分成 因此增加的第n个平面被 个平面被 条直线分成 ? [(n-1)2+(n-1)+2]/2=(n2-n+2)/2块, 块 ? 而每一块把所在的部分空间一分为二, 每一块把所在的部分空间一分为二, 个部分。 ? 于是增加了 2-n+2)/2个部分。 于是增加了(n 个部分 ? 因此,n个平面将空间分成的部分数为: 因此, 个平面将空间分成的部分数为 个平面将空间分成的部分数为: ? 1+[1+2+4+7+11+…+(n2-n+2)/2]=(n3+5n+6)/6。 ) 。

维空间, 维空间, ?联想:点是0维空间,直线是 维空间,面是 联想:点是 维空间 直线是1维空间 面是2 维空间,分割的立体空间是3维空间 维空间, 维空间,分割的立体空间是 维空间,那么能否 得到r-1维超平面最多可以把 维超平面最多可以把r维空间分割部分的 得到 维超平面最多可以把 维空间分割部分的 关系式呢? 关系式呢?联想到先前解决问题运用表格进行归 纳的方法,得到了如下的表格。 纳的方法,得到了如下的表格。
r 1 2 3 4 5 6 …… n 1 2 2 2 2 2 2 2 3 4 4 4 4 4 3 4 7 8 8 8 8 4 5 11 15 16 16 16 5 6 16 26 31 32 32 6 7 22 42 57 63 64 7 8 29 64 99 120 127 …… …… …… …… …… …… ……

…… …… …… …… …… …… …… ……

结论: ?结论:
维空间分割r维空间得到的最大 用 n个( r-1)维空间分割 维空间得到的最大 维空间数目 个 维空间分割 维空间得到的最大r维空间数目 = 用 (n-1)个( r-1)维空间分割 维空间得到的最大 维空 维空间分割r维空间得到的最大 个 维空间分割 维空间得到的最大r维空 间数目+用 维空间分割(r-1)维空间得到的最 间数目 用 (n-1)个(r-2)维空间分割 个 维空间分割 维空间得到的最 维空间数目. 大(r-1)维空间数目 维空间数目 即对任意的r维空间, 个 即对任意的 维空间,n个(r-1)维超平面最多可以把 r维 维空间 维超平面最多可以把 维 切割成W(n,r)部分,则 部分, 空间 切割成 部分

W ( n, r ) = C ( n,0) + C ( n,1) + C ( n, 2) + …+ C ( n, r )

问题的其他类比与结论
? ? ? ? ? ? ? ? 1.圆周上的 个点,至多可把圆周分成多少段弧? 圆周上的n个点 至多可把圆周分成多少段弧? 圆周上的 个点, 段弧。 答:n段弧。 段弧 2.平面上的 个圆,至多可把平面分成几部分? 平面上的n个圆 平面上的 个圆,至多可把平面分成几部分? 答:n2-n+2. 3.球面上的 个圆,至多可把球面分成几部分? 球面上的n个圆 球面上的 个圆,至多可把球面分成几部分? 答:n2-n+2. 4.空间中 个球面,至多可把空间分成几部分? 空间中n个球面 空间中 个球面,至多可把空间分成几部分? 答:n(n2-3n+8)/3.


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