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数学自主招生讲义:不等式


数学自主招生讲义 (讲义仅供参考,讲课过程中有补充内容,以实际讲课为准) 第一讲
一、知识扩展 1. 均值不等式
2 2 a12 ? a2 ? ? ? an a ? a ? ? ? an n n ? 1 2 ? a1a2 ? an ? . 1 1 1 n n ? ?? a1 a2 an

不等式

2. 柯西不等式 设

ai , bi ? R, (i ? 1,2,?n) ,则

?a1b1 ? a2b2 ??? anbn ?2 ? ?a12 ? a22 ??? an2 ??b12 ? b22 ??? bn2 ?
当且仅当

a a1 a2 ? ? ? ? n ? i 时,等号成立. b1 b2 bn

推论(1)当 b1 ? b2 ? ? ? bn ? 1 时, n a1 ? a2 ??an ? ?a1 ? a2 ? ?? an ?
2 2 2

?

?

2

可以推出

2 2 a12 ? a2 ? ? an a ? a ? ? ? an ? 1 2 . n n

?a , a ,?, a
1 2

n

? R?

?

(2)当 b1 ?

1 1 1 时, , b2 ? ,?, bn ? a1 a2 an

?a

2 1

1 1? 2 2 ? 1 ? ? ? n2 ? a2 ? ? ? an ? ? ? ? 2 2 2 ? ?a a an ? 2 ? 1

?

(3)若 ai , bi ? R? (i ? 1,2,?, n) ,则

? a1 a2 an ? ? ? b ? b ?? ? b ? ??b1 ? b2 ? ? ? bn ? ? 2 n ? ? 1

?

a1 ? a2 ? ? ? an

?

2

3. 排序不等式:两组实数 a1 ? a2 ? ? ? an , b1 ? b2 ? ? ? bn , 则有 a1bn ? a2bn?1 ? anb1 ? a1b j1 ? a2b j 2 ? ?? anb jn ? a1b1 ? a2b2 ? ?? anbn , 递序和 ≤ 乱序和≤顺序和. 4. 琴生不等式:若 f ( x) 是 ( a, b) 上的凸函数,则

? x ? x ? ? ? xn ? ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? f ( xn ) ? f? 1 2 ??? ?. n n ? ? ? ?
5. 含有立方的几个不等式: a, b, c ? R ? (1) a3 ? b3 ? a 2b ? ab2 ; (2) a ? b ? c ? 3abc,
3 3 3

?

?

a3 ? b3 ? c3 ? 3abc ? (a ? b ? c)(a 2 ? b2 ? c 2 ? ab ? bc ? ac);
(3) 3 abc ?
3 3 3 a?b?c ? a?b?c? a ?b ?c ? abc ? ? ? ; ? 3 3 3 ? ? 3

1 ab ? bc ? ac ? (a ? b ? c) 2 (4) 3
6. 常用不等式放缩法 (1)

( a ? b ? c 时取等号)

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? 2? ? ? n n ? 1 n(n ? 1) n n(n ? 1) n ? 1 n

?n ? 2? ?n ? 1? .

(2) n ? 1 ? n ? 二、例题解析 <一>、不等式解析

1 1 1 ? ? ? n ? n ?1 n ?1 ? n 2 n n ? n ?1

例 1(2011 年复旦大学千分考)设 n 是一个正整数,则函数 x ? 最小值是( A. ) B.

1 在x 轴正半轴上的 nx n n n ?1

n ?1 n

n?2 n ?1

C.

n ?1 n

D.

例 2: (2009 清华)已知 x ? 0, y ? 0, z ? 0 , a, b, c 是 x, y , z 的一个排列,求证:

a b c ? ? ?3 x y z

例 4: (山东 2008 预赛)若 x ? 0, y ? 0, z ? 0 ,且 xyz ? 1 . 求证: 1 ?

1 1 1 ? ? ?2. 1? x 1? y 1? z

例 5: (34 届俄罗斯竞赛)设 a, b, c 是△ABC 三边长,且 m ? 0 求征:

a b c ? ? a?m b?m c?m

例 6: (学生练,35 届俄罗斯)设 x1 ? x2 ? ? ? xn ? 0, 且
n

?
i ?1

n

xi ?1 i

求证:

?x
i ?1

2 i

?1
(n ? 2)

例 7: (2010 浙江大学)小于 1 的正数. x1 , x2 , x3 ,?, xn

且 x1 ? x2 ? ? xn ? 1 . 求证:

1 1 1 ? ?? ? ?4. 3 3 3 x1 ? x1 x2 ? x2 xn ? xn

例 8: (2013 复旦)设 a1 , a2 , a3 ,?, an 是各不相同的正自然数 a ? 2 .

?1? ?1? ?1? ?1? 求证: ? ?a ? ? ?? ?a ? ? ?? ?a ? ? ?? ? ? ?a ? ? ?2. ? 1? ? 2? ? 3? ? n?

a

a

a

a

10.(2014





)



知 :

x1 , x2 , x3 ,

xn ? R ?



x1 x2

xn ? 1.

求 证 :

?

2 ? x1

??

2 ? x2

? ?

2 ? xn ?

? ?

2 ?1 .

?

n

? x? 11(2014 华约)7. 已知: n ? N , x ? n. 求证: n ? n ?1 ? ? e x ? x 2 . ? n?
?

n

<二>、不等式与方程 例 9: (2012 北约)求 x ? 11 ? 6 x ? 2 ?

x ? 27 ? 10 x ? 2 ? 1 的实根个数.

9 ? 2 2 2 ?x ? y ? z ? 4 例 10: (2008 同济)即方程组 ? ?? 8 x ? 6 y ? 24z ? 39 ?


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