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北京市东城区(南片)2013-2014学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含答案


北京市东城区(南片)2013-2014 学年下学期高一年级期末考试数学试卷
一、选择题:本题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项。 1. 已知点 A(1,2),B(3,1),则直线 AB 的斜率为 A. -2 B. ?

1 2

C.

1 2

D. 2

2. 如图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形,且体积为 可以是

1 。则该几何体的俯视图 2

3. 如果等差数列 {an } 中, a3 ? a4 ? a5 ? 12 ,那么 a1 ? a2 ? A. 14 B. 21 C. 28 D. 35

? a7 =

4. 经过点(-1,0),且与直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 垂直的直线方程是 A. 2 x ? y ? 2 ? 0 C. 2 x ? y ? 2 ? 0 B. 2 x ? y ? 2 ? 0 D. x ? 2 y ? 1 ? 0

5. a, b ? R ,下列不等式中一定成立的是
2 2 A. 若 a ? b ,则 a ? b

B. 若 a ? b ,则
2

1 1 ? a b
2 2

C. 若 | a |? b ,则 a ? b
2

D. 若 a ?| b | ,则 a ? b

6. 设 ? , ? 是两个不同的平面, l 是一条直线,以下命题正确的是 A. 若 l ? ? , ? ? ? ,则 l ? ? C. 若 l ∥ ? , ? ? ? ,则 l ? ? B. 若 l ∥ ? , ? ∥ ? ,则 l ? ? D. 若 l ? ? , ? ∥ ? ,则 l ? ?

7. 已知数列 {an } 满足 3an ?1 ? an ? 0, a2 ? ? A. ?4 ? 3
?9

4 ,则 a10 等于 3
7

B. 4 ? 3

?9

C. ?4 ? 3

D. 4 ? 3

7

8. 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 4 相交于 A,B 两点,则弦 AB 的长等于 A. 3 3 B. 2 3 C.

3

D. 1

?x ? y ? 1 ? 9. 已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则 z ? x ? 2 y 的最小值为 ?x ?1 ? 0 ?
A. -6 B. -5 C. 1 D. 3 10. 已知点 E, F 分别是正方体 ABCD ? A 点 M, N 分别是线段 D1E AA1 的中点, 1B 1C1D 1 的棱 AB, 与 C1F 上的点,则与平面 ABCD 垂直的直线 MN 有

A. 0 条

B. 1 条

C. 2 条

D. 无数条

二、填空题:本题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分。 11. 两条平行直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 和 3x ? 4 y ? 5 ? 0 间的距离是_____________。 12. 不等式 x ? 5 x ? 6 ? 0 的解集为_____________。
2

13. 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积等于_____________。

14. 在空间直角坐标系中,已知点 A(1,0, 2), B(1, ?3,1) ,点 M 在 y 轴上,且 M 到 A 与到 B 的距 离相等,则 M 的坐标是_____________。 15. 已知正四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, AA 1 ? 2 AB ,则 CD 与平面 BDC1 所成角的正切值等于 _____________。 16. 设不等式组 ?

? x ? y ? 2 ? 0, 2 2 表示的区域为 ?1 ,不等式 x ? y ? 1表示的平面区域为 ? 2 。记 x ? ay ? 2 ? 0 ?

S (a ) 为 ?1 与 ?2 公共部分的面积,则函数 S (a ) 的取值范围是_____________。

三、解答题:本题共 5 小题,共 46 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本题满分 9 分) 设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c ,且 a ? 3, b ? 2, cos B ? (Ⅰ)求 c 边长; (Ⅱ)求 sin A 的值。 18. (本题满分 9 分) 如图,正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱线长为 1,线段 B 1D 1 上有两个动点 E,F,且 EF ?

7 。 9

2 。 2

(Ⅰ)求证:EF∥平面 ABCD; (Ⅱ)求证:AC⊥BE; (Ⅲ)三棱锥 A ? BEF 的体积是否为定值,若是,求出该定值,若不是,说明理由(棱锥的体 积V ?

1 Sh )。 3

19. (本题满分 9 分) 如图,要设计一张矩形广告,该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分), 这两栏的面积之和为 18000cm2,四周空白的宽度为 10cm,两栏之间的中缝空白的宽度为 5cm,怎 样确定广告的高与宽的尺寸(单位:cm),能使矩形广告面积最小?

20. (本题满分 10 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3),直线 l : y ? 2 x ? 4 ,设圆 C 的半径为 1,圆

心在直线 l 上。

(Ⅰ)若圆心 C 也在直线 y ? x ? 1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程; (Ⅱ)若圆 C 上存在唯一一点 M,使 MA ? 2MO ,求圆 C 的方程。 21. (本题满分 9 分) 如果有穷数列 a1 , a2 , a3 ,

, am ( m 为正整数)满足条件 a1 ? am , a2 ? am?1 ,

, am ? a1 ,即

ai ? am? i?1 ( i ? 1, 2,

,我们称其为“对称数列”。例如,数列 1,2,5,2,1 与数列 8,4,2, ,m )

2,4,8 都是“对称数列”。 (Ⅰ)设 {bn } 是 7 项的“对称数列”,其中 b1 , b2 , b3 , b4 是等差数列,且 b1 ? 2, b4 ? 11 。依次写 出 {bn } 的每一项; (Ⅱ)设 {cn } 是 49 项的“对称数列”,其中 c25 , c26 , 求 {cn } 各项的和 S; (Ⅲ)设 {dn } 是 100 项的“对称数列”,其中 d51 , d52 , 列。求 {dn } 前 n 项的和 Sn (1, 2,

, c49 是首项为 1,公比为 2 的等比数列。

, d100 是首项为 2,公差为 3 的等差数

,100) 。

【试题答案】
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分。 1. B 2. C 3. C 4. A 5. D 6. D 7. A 8. B 9. B 10. B

二、填空题:本题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分。 11. 2 16. [0, 12. {x | 2 ? x ? 3} 13. 6 14. (0, ?1, 0) 15.

2 5 5

?
2

)

三、解答题:本大题共 5 个小题,共 46 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本题满分 9 分)
2 2 2 解:(Ⅰ)由已知及余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B ,得 c ?
2

14 c ?5 ? 0, 3

解得 c ? 3 或 c ?

5 。 3
2

5分

(Ⅱ)在△ABC 中, sin B ? 1 ? cos B ? 由正弦定理得 sin A ? 18. (本题满分 9 分)

4 2 , 9
9分

a sin B 2 2 。 ? b 3

(Ⅰ)证明:在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, 因为 B1D1 ∥BD,所以 EF∥BD, 因为 EF ? 平面 ABCD, BD ? 平面 ABCD, 所以 EF∥平面 ABCD。 3分

(Ⅱ)证明:在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, 因为 BB1 ⊥平面 ABCD,所以 BB1 ? AC , 又因为 ABCD 为正方形,所以 BD⊥AC,

BB1

BD ? B ,所以 AC⊥平面 BB1D1D 。
6分

而 BE ? 平面 BB1D1D 。所以 AC⊥BE。 (Ⅲ)三棱锥 A ? BEF 的体积是定值。

设 AC , BD 交于点 O,由(Ⅱ)可知,AO⊥平面 BEF,且 AO ?

1 2 AC ? 。 2 2

1 1 1 1 2 2 1 VA? BEF ? S?BEF ? AO ? ? EF ? BB1 ? AO ? ? ?1? ? 。 3 3 2 6 2 2 12
19. (本题满分 9 分) 解:设矩形栏目的高为 acm,宽为 bcm,则 ab ? 9000 。 广告的高为 a ? 20 ,宽为 2b ? 25 ,其中 a ? 0, b ? 0 。 广告的面积 S ? (a ? 20)(2b ? 25) ①

9分

? 2ab ? 40b ? 25a ? 500 ? 18500 ? 25a ? 40b

? 18500 ? 2 25a ? 40b ? 18500 ? 2 1000ab ? 24500
当且仅当 25a ? 40b 时等号成立,此时 b ?

5 a ,代入①式得 a ? 120 ,从而 b ? 75 。 8

即当 a ? 120, b ? 75 时,S 取得最小值 24500。 故广告的高为 140cm,宽为 175cm 时,可使广告的面积最小。 20. (本题满分 10 分) 解:(Ⅰ)由 ? 9分

? y ? 2x ? 4 得圆心 C 为(3,2), ? y ? x ?1

因为圆 C 的半径为 1, 所以圆 C 的方程为: ( x ? 3)2 ? ( y ? 2)2 ? 1 。 显然切线的斜率一定存在,设所求圆 C 的切线方程为 y ? kx ? 3 ,即 kx ? y ? 3 ? 0 。 由

| 3k ? 2 ? 3 | k ?1
2

? 1 ,得 | 3k ? 1|? k 3 ? 1 。
3 。 4
5分

解得 k ? 0 或者 k ? ?

所以所求圆 C 的切线方程为: y ? 3 或 3x ? 4 y ? 12 ? 0 。

(Ⅱ)因为圆 C 的圆心在直线 l : y ? 2 x ? 4 上,所以,设圆心 C 为 (a, 2a ? 4) , 则圆 C 的方程为: ( x ? a)2 ? [ y ? (2a ? 4)2 ] ? 1 。
2 2 2 2 又因为 MA ? 2MO ,所以设 M 为 ( x, y ) ,则 x ? ( y ? 3) ? 2 x ? y 。

整理得: x ? ( y ? 1) ? 4 设为圆 D。
2 2

所以点 M 应该既在圆 C 上又在圆 D 上,即圆 C 和圆 D 有唯一交点。
2 2 2 2 所以 a ? [(2a ? 4) ? (?1)] ?| 2 ? 1| 或 a ? [(2a ? 4) ? (?1)] ?| 2 ? 1| 。

由 5a ? 12a ? 8 ? 0 ,得 a ?? 。
2 2 由 5a ? 12a ? 0 得 a ? 0 ,或 a ?

12 。 5

所以圆心坐标为(0,-4)或 (

12 4 , ) 5 5 12 2 4 ) ? ( y ? )2 ? 1。 5 5
10 分

综上所述,圆 C 的方程为: x2 ? ( y ? 4)2 ? 1或 ( x ? 21. (本题满分 9 分)

解:(Ⅰ)设数列 {bn } 的公差为 d,则 b4 ? b1 ? 3d ? 2 ? 3d ? 11 ,解得 d ? 3 , ∴数列 {bn } 为 2,5,8,11,8,5, 2 ; (Ⅱ) S ? c1 ? c2 ? 3分

? c49 ? 2(c25 ? c26 ?

? c49 ) ? c25

? 2(1 ? 2 ? 22 ?

? 224 ) ?1
6分

? 2(225 ?1) ?1 ? 226 ? 3 。

(Ⅲ) d51 ? 2, d100 ? 2 ? 3 ? (50 ?1) ? 149 , 由题意得 d1 , d2 ,

, d50 是首项为 149,公差为-3 的等差数列, ? dn

当 1 ? n ? 50 时, Sn ? d1 ? d2 ?

? 149n ?

n(n ? 1) 3 301 (?3) ? ? n 2 ? n, 2 2 2

当 51 ? n ? 100 时, Sn ? d1 ? d2 ?

? dn

? S50 ? (d51 ? d52 ?
? 3775 ? 2 ? (n ? 50) ? ?

? dn )
(n ? 50)(n ? 51) ?3 2

3 2 299 n ? n ? 7500 , 2 2

? 3 2 301 ? n ? n, (1 ? n ? 50), ? ? 2 2 综上所述, S n ? ? ? 3 n 2 ? 299 n ? 7500, (51 ? n ? 100). ? ?2 2

9分


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