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广东省六校联盟2016届高考数学模拟试题(A卷)理


2016 届“六校联盟”高考模拟 理 科 数 学 试 题 (A 卷)
本试卷共 6 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生首先检查答题卡是否整洁无缺损,监考教师分发的考生信息条形码是否正确;之后 务必用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号,同时,将 监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区,请保持条形码整洁、不污损. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上.不按要求填涂的,答案无效. 3.非选择题必须用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位 置上,请注意每题答题空间,预先合理安排;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答 案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再做答.漏涂、错涂、多涂的答 案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卡交回. 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ; 如果事件 A、B 相互独立,那么 P( AB) ? P( A) P( B) ;
2 若球的半径为 R ,则球的表面积为 S ? 4?R ,体积为 V ?

4 3 ?R . 3

一、选择题:本大题共 12 个小题;每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是 符合题目要求的. 1.如果复数 (2 ? ai)i(a ? R) 的实部与虚部互为相反数,则 a 的值等于( A. ? 1 B. 1 ) C. ? 2 D. 2 )

2.下列命题中,是真命题的是( A. ?x0 ? R, e 0 ? 0
x

B. ?x ? R, 2x ? x2

C.已知 a , b 为实数,则 a ? b ? 0 的充要条件是

a ? ?1 b

D.已知 a , b 为实数,则 a ? 1, b ? 1 是 ab ? 1 的充要条件 3.(东莞中学第 6 题)在等比数列 ?an ? 中,首项 a1 ? 1 ,且 4a3 , 2a4 , a5 成等差数列,若数列 ?an ? 的前 n 项之 积为 Tn ,则 T10 的值为( A. 29 ? 1 ) B. 236 C. 210 ? 1 D. 2 45 )

? ?x ? 2 4.在平面直角坐标系中,不等式组 ? 表示的平面区域的面积是( ? ? y?2 ? x

1

A. 8 2

B.8

C. 4 2

D.4

5.定义行列式运算:

a1 a3

a2 a4

? a1 a 4 ? a 2 a3 , 将函数 f ( x ) ?

3 1


cos x 的图象向左平移 m 个单位 sinx

(m ? 0) ,若所得图象对应的函数为偶函数,则 m 的最小值是(
A.

2? 3

B.

? 3

C.

? 8
).

D. ?

5 6

6.已知边长为 2 3 的菱形错误! 未找到引用源。 中,?BAD ? 60? , 沿对角线 BD 折成二面角 A ? BD ? C 为 120? 的四面体 ABCD ,则四面体的外接球的表面积为( A. 25? B. 26? C. 27?

D. 28?

7.利用计算机在区间 (0, 1) 上产生两个随机数 a 和 b ,则方程 x ? ?2a ? A.

b 有实根的概率为( x



1 1 1 2 B. C. D. 2 3 6 3 ,6 这六个数随机地排成一列组成一个数列,要求该数列恰先增后减,则这 8.把 1,2,3, ?
样的数列共有多少个?( A. 31 B. 30 ) C. 28 D.32

9.某程序框图如图所示,现将输出 ( x, y ) 值依次为: ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ),?,( xn , yn ) ,? 若 程序运行中输出的一个数组是 ( x, ?10) ,则数组中的 x ? ( A.32 B.24 C.18 D.16 ) )

10. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(

A.

11 3 6

B. 3

C.

5 3 3

D.

4 3 3

2 y2 11. 已知 F1、F2 分别是双曲线 C : x 2 ? 2 ? 1 的左、 右焦点,过点 F2 作渐近线的 a b

垂线,垂足为点

A ,若 F2 A ? 2 AB ,且点 B 在以 F1 为圆心, | OF1 | 为半径的圆
) C. (1, 2) D. (1, 5) ) B. (2, ??)

uuur

uuu r

内,则 C 的离心率取值范围为( A. ( 5, ??)

x x 12.已知函数 f ( x ) ? e x ? ae 恰有两个极值点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,则 a 的取值范围是(

?

?

1 A. (0, ) 2

B. (1,3)

C.

( 1 ,3) 2

D.

( 1 ,1) 2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.

2

13 . 已 知 n 为 正 偶 数 , 且 ( x ?
2

1 n ) 的展开式中第 4 项的二项式系数最大,则第 4 项的系数 2x

是 . (用数字作答) 14.某校在一次期末考试中,全校学生的数学成绩都介于 60 分到 140 分之间(满分 150 分),为了估 计该校 学生的数学考试情况,从该校 2000 名学生的数学成绩中随机抽取 50 名学生的数学成绩,将统计结果按如 下方式分成八组:第一组[60,70),第二组[70,80),??,第八组[130,140].下图是按照上述分组得 到的频率分布直方图的一部分. 估计该校 2000 名学生这次考试的数学成绩的平均分为 .

15.已知 AD 是 ?ABC 的中线, AD ? ? AB ? ? AC (?, ? ? R) , ?A ? 120 ? , AB ? AC ? ?2 ,则 AD 的最小值是_________ . 16.已 知正整数 a1 , a2 , a3 ,?, a18 满足 a1 ? a2 ? ? ? a18 , a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a18 ? 2011 则 a9 的最大值为 三、解答题:本大题 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知

??? ? ??? ?

????

f ( x) ? 3sin x ? cos x ? cos2 x .

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调递增区间; (Ⅱ)在锐角△ ABC 的三个角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,且 f (C ) ? 1 , 求

a 2 ? b2 ? c2 的取值范围. ab

18. (本小题满分 12 分) 某课题组对春晚参加“咻一咻”抢红包活动的同学进行调查, 按照使用手机系统不同 (安卓系统和 IOS 系统)分别随机抽取 5 名同学进行问卷调查,发现他们咻得红包总金额数如下表所示: 手机系统 安卓系统(元) IOS 系统(元 ) 一 2 4 二 5 3 三 3 18 四 20 9 五 9 7

(1)如果认为“咻”得红包总金额超过 6 元为“咻得多”,否则为“ 咻得少”,请判断手机系统与 咻得红包总金额的多少是否有关? (2)要从 5 名使用安卓系统的同学中随机选出 2 名参加一项活动,以 X 表示选中的同学中咻得红包 总金额超过 6 元的人数,求随机变量 X 的分布列及数学期望 E ? X ? . 下面的临界值表供参考:

P( K 2 ? k )

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001
3

k
2

2.072

2.706
2

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

n?ad ? bc? 独立性检验统计量 K ? , 其中 n ? a ? b ? c ? d . ?a ? b??c ? d ??a ? c??b ? d ?

19. (本小题满分 12 分) 如图,直角梯形 ABCD 中,∠ABC=90°,AB=BC=2AD=4,点 E、F 分别是 AB,CD 的中点,点 G 在 EF 上, 沿 EF 将梯形 AEFD 翻折,使平面 AEFD⊥平面 EBCF. (1)当 AG+GC 最小时,求证:BD⊥CG; (2)当 2VB? ADGE ? VD ?GBCF 时,求二面角 D ? BG ? C 平面角的余弦值.

20. (本题满分 12 分) 已知点 C 为圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 8 的圆心, P 是圆上的动点,点 Q 在圆的半径 CP 上,且有点 A (1, 0) 和

??? ? ???? ? ???? ? ??? ? AP 上 的点 M ,满足 MQ ? AP ? 0 , AP ? 2 AM .
(Ⅰ)当点 P 在圆上运动时,求点 Q 的轨迹方程; (Ⅱ)若斜率为 k 的直线 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 1相切,直线 l 与(Ⅰ)中所求点 Q 的轨迹交于不同的两点

F , H , O 是坐标原点,且
21. (本小题满分 12 分)

? ???? 4 3 ??? ? OF ? OH ? 时,求 k 的取值范围. 4 5

2 已知函数 f ( x) ? x ? (a ? 2) x ? a ln x, 其中常数 a ? 0 .

(Ⅰ)当 a ? 2 时,求函数 f ( x ) 的单调递增区间; ( Ⅱ ) 设 定 义 在 D 上 的 函 数 y ? h( x) 在 点 P ? x0 , h( x0 ) ? 处 的 切 线 方 程 为 l : y ? g ( x) , 若

h( x)? g ( x) ? 0 在 D 内恒成立, 则称 P 为函数 y ? h( x) 的“类对称点”. 当 a ? 4 时, 试问 y ? f ( x) x ? x0
是否存在“类对称点”,若存在,请至少求出一个“类对称点”的横坐标;若不 存在,请说明理由.

请考生在第(22) 、 (23) (24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时用 2B
4

铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑,把答案填在答题卡上. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,已知圆 O 是 ?ABC 的外接圆, AB ? BC , AD 是 BC 边上的高, AE 是圆 O 的直径.过点 C 作 圆 O 的切线交 BA 的延长线于点 F . (1)求证: AC ? BC ? AD ? AE ; (2)若 AF ? 2 , CF ? 2 2 ,求 AE 的长.

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程: 已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2cos ? ? 4sin ? .以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐 标系,直线 l 的参数方程为 ?

? x ? 1 ? t cos ? , ( t 为参数). ? y ? ?1 ? t sin ?

(1)判断直线 l 与曲线 C 的位置关系,并说明理由; (2)若直线 l 和曲线 C 相交于 A, B 两点,且 AB ? 3 2 ,求直线 l 的斜率. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等 式选讲:
F

已知函数 f ( x) ?| x ? 2 | , g ( x) ? m | x | ?2 , (m ? R) . (1)解关于 x 的不等式 f ( x) ? 3 ;
B

A

O D E C

(2)若不等式 f ( x) ? g ( x) 对任意 x ? R 恒成立,求 m 的取值范围.

5

2016 届“六校联盟”高考模拟 理科数学试题(A 卷)答案 一、选择题 :本大题共 12 个小题;每小题 5 分,共 60 分 题号 答案 1 D 2 D 3 B 4 D 5 A 6 D 7 B 8 B 9 A 10 B 11 A 12 A

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 13

?5 2

14.

97

.15.___ 1

.16. 193

三、解答题:本大题 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知

f ( x) ? 3sin x ? cos x ? cos2 x .

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调递增区间; (Ⅱ)在锐角△ ABC 的三个角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,且 f (C ) ? 1 , 求

a 2 ? b2 ? c2 的取值范围. ab

解: (I) f ( x) ? 3sin x ? cos x ? cos2 x

? ? f ( x) ? 2sin(2 x ? )
Q 2k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

6

??2 分

? 2k? ?

?
2

? k? ?

?
3

? x ? k? ?

?
6
??4 分

?函数 f ( x) 的单调递增区间 ? k? ?
(II) Q f (C ) ? 1

? ?

?
3

, k? ?
?

??
6? ?

,k ? Z

? f (C) ? 2sin(2C ? ) ? 1 6 ? ? ? 5? k?Z ? 2C ? ? 2k? ? 或 2C ? ? 2k? ? 6 6 6 6

??6 分 ??7 分

?C ?
?

?

3

由余弦定理得: c ? a ? b ? ab
2 2 2

a 2 ? b 2 ? c 2 2(a 2 ? b 2 ) b a ? ? 1 ? 2( ? ) ? 1 ab ab a b
0 ? A?

?

Q △ ABC 为锐角三角形 ? {

2 2? ? 0 ? ? A? 3 2

?

?
6

? A?

?
2,

??9 分

b sin B ? 由正弦定理得: ? a sin A
?

2 sin( ? ? A) 3 1 ?1 ? 3 ? ? ?? ,2? sin A 2 tan A 2 ? 2 ?

??11 分

a2 ? b2 ? c2 ? ?3, 4 ? ab 18. (本小题满分 12 分)

??12 分

某课题组对春晚参加“咻一咻”抢红包活动的同学进行调查, 按照使用手机系统不同 (安卓系统和 IOS 系统)分别随机抽取 5 名同学进行问卷调查,发现他们咻得红包总金额数如下表所示:
6

手机系统 安卓系统(元) IOS 系统(元 )

一 2 4

二 5 3

三 3 18

四 20 9

五 9 7

(1)如果认为“咻”得红包总金额超过 6 元为“咻得多”,否则为“ 咻得少”,请判断手机系统与 咻得红包总金额的多少是否有关? (2)要从 5 名使用安卓系统的同学中随机选出 2 名参加一项活动,以 X 表示选中的同学中咻得红包 总金额超过 6 元的人数,求随机变量 X 的分布列及数学期望 E ? X ? . 下面的临界值表供参考:

P( K 2 ? k )

0.15 2.072
2

0.10 2.706
2

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k

n?ad ? bc? 独立性检验统计量 K ? , 其中 n ? a ? b ? c ? d . ?a ? b??c ? d ??a ? c??b ? d ?
18.(1)根据题意列出 咻得多少 咻得多 手机系统 安卓 IOS 2 3 3 2 ??4 分 咻得少 列联表如下:

K2 ?

10(4 ? 9)2 10 ? 25 ? ? 0.4 ? 2.072 5 ? 5 ? 5 ? 5 25 ? 25

所以没有足够的理由认为手机系统与咻得红包总金额的多少有关. (2)随机变量 X 的所有可能取值为 0,1, 2

??6 分 ??7 分 ??10 分

P( X ? 0) ?

2 1 1 2 C3 3 C2 ? C3 3 C2 1 ? ; P ( X ? 1) ? ? ; P ( X ? 2) ? ? , 2 2 2 C5 10 C5 5 C5 10

故 X 的分布列为

X P

0

1

2

3 10

3 5

1 10

E( X ) ? 0 ?

3 3 1 ? 1 ? ? 2 ? ? 0.8 10 5 10

??12 分

19. (本小题满分 12 分) 如图,直角梯形 ABCD 中,∠ABC=90°,AB=BC=2AD=4,点 E、F 分别是 AB,CD 的中点,点 G 在 EF 上, 沿 EF 将梯形 AEFD 翻折,使平面 AEFD⊥平面 EBCF. (1)当 AG+GC 最小时,求证:BD⊥CG;
7

(2)当 2VB? ADGE ? VD ?GBCF 时,求二面角 D ? BG ? C 平面角的余弦值.

z

y
x
19.解:(1)证明:∵点 E、F 分别是 AB、CD 的中点,∴EF∥BC,又∠ABC= 90
0

∴AE⊥EF,∵ 平面 AEF

D⊥平面 EBCF,
∴ AE⊥平面 EBCF,AE⊥EF,AE⊥BE,又 B E⊥EF, 如图建立空间坐标系 E ? xyz .

??1 分 ??2 分

翻折前,连接 AC 交 EF 于点 G,此时点 G 使得 AG+GC 最小.

EG=

1 BC=2,又∵EA=EB=2. 2

??3 分 ??4 分

则 A(0,0,2), B(2,0,0), C(2,4,0) D(0,2,2), E (0,0,0), G(0,2,0)

∴ BD ? (?2,2,2) , CG ? (?2, ?2,0) ,∴ BD ? CG ? (?2) ? (?2) ? 2 ? (?2) ? 0 ? 0 , ∴ BD ? CG . (2)设 EG ? k ,∵AD∥平面 EFCB, ∴点 D 到平面 EFCB 的距离为即为点 A 到平面 EFCB 的距离. ??6 分

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

1 [(3 ? k ) ? 4] ? 2 ? 7 ? k , 2 1 2 ∴ VD ?GBCF ? ? S四边形GBCF ? AE ? (7 ? k ) 3 3 1 2 ∴ VB ? ADGE ? S四边形ADGE ? BE ? (2 ? k ) 3 3 4 2 又∵ 2VB? ADGE ? VD?GBCF , ∴ (2 ? k ) ? (7 ? k ) 3 3
∵ S四边形GBCF ? ∴ k ? 1 即 EG=1. ??8 分

?? 设平面 DBG 的法向量为 n1 ? ( x, y, z ) ,∵ G (0,1,0) ,
∴ BG ? ( ?2,1,0) , BD ? (?2,2,2) ,

??? ?

??? ?

?? ??? ? ? n ? BD ?0 ??2 x ? 2 y ? 2 z ? 0 ? 1 则 ? ?? ??? ,即 ? , ? ? 2 x ? y ? 0 n ? BG ? 0 ? ? ? 1 ?? 取 x ? 1 ,则 y ? 2, z ? ?1,∴ n1 ? (1,2, ?1) .
平面 BCG 的一个法向量为 n2 ? (0,0,1) ,
8

?? ?

则 cos ? n1 , n2 ??

?? ?? ?

6 , 6

??10 分

∵所求二面角 D ? BF ? C 的平面角为锐角, ∴此二面角平面角的余弦值为 20. (本题满分 12 分) 已知点 C 为圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 8 的圆心, P 是圆上的动点,点 Q 在圆的半径 CP 上,且有点 A (1, 0) 和

6 . 6

??12 分

??? ? ???? ? ???? ? ??? ? AP 上的点 M ,满足 MQ ? AP ? 0 , AP ? 2 AM .
(Ⅰ)当点 P 在圆上运动时,求点 Q 的轨迹方程; (Ⅱ)若斜率为 k 的直线 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 1相切,与(Ⅰ)中所求点 Q 的轨迹交于不同的两点 F , H , O 是 坐标原点,且

? ???? 4 3 ??? ? OF ? OH ? 时,求 k 的取值范围. 4 5

解: ( I )由题意知 MQ 中线段 AP 的垂直平分线,所以

CP ? QC ? QP ? QC ? QA ? 2 2 ? CA ? 2

??2 分

所以点 Q 的轨迹是以点 C , A 为焦点,焦距为 2,长轴为 2 2 的椭圆,??3 分

b ? a2 ? c2 ? 1
故点 Q 的轨迹方程是

??4 分

x2 ? y2 ? 1 2

??5 分

( II )设直线 l : y ? kx ? b , F ? x1 , y1 ? , H ? x2 , y2 ? 直线 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 1相切 ?

b k ?1
2

? 1 ? b2 ? k 2 ? 1

? x2 ? ? y2 ? 1 ? ?1 ? 2k 2 ? x 2 ? 4kbx ? 2b 2 ? 2 ? 0 联立 ? 2 ? y ? kx ? b ?
? ? 16k 2b 2 ? 4 ?1 ? 2k 2 ? 2 ? b 2 ? 1? ? 8(2k 2 ? b 2 ? 1) ? 8k 2 ? 0 ? k ? 0

??6 分

??7 分

x1 ? x2 ? ?

4kb 2b 2 ? 2 , x x ? 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

??8 分

??? ? ???? OF ? OH ? x1 x2 ? y1 y2 ? ?1 ? k 2 ? x1 x2 ? kb( x1 ? x2 ) ? b 2

??9 分

9

(1 ? k 2 )(2b2 ? 2) (?4kb) 2 ? ? kb ?b 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2 ? (1 ? k 2 )2k 2 4k 2 (k 2 ? 1) ? ? k 2 ?1 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 1? k 2 1 ? 2k 2
??10 分

?

1 1 3 1? k 2 4 ? ? ? k2 ? 所以 ? 2 3 2 4 1 ? 2k 5

?

3 2 2 3 3 2 为所求. ?k ? ?? ?k?? 或 ?k? 3 2 2 3 3 2
已知函数 f ( x) ? x2 ? (a ? 2) x ? a ln x, 其中常数 a ? 0 . (Ⅰ)当 a ? 2 时,求函数 f ( x ) 的单调递增区间;

??12 分

21. (本小题满分 12 分)

( Ⅱ ) 设 定 义 在 D 上 的 函 数 y ? h( x) 在 点 P ? x0 , h( x0 ) ? 处 的 切 线 方 程 为 l : y ? g ( x) , 若

h( x)? g ( x) 则称 P 为函数 y ? h( x) 的“类对称点”. 当 a ? 4 时, 试问 y ? f ( x) ? 0 在 D 内恒成立, x ? x0
是否存在“类对称点”,若存在,请至少求出一个“类对称点”的横坐标;若不存在,请说明理由. 解: (Ⅰ)函数 f ( x ) 的定义域为 ? 0, ?? ? ,∵ f ( x) ? x2 ? (a ? 2) x ? a ln x,

a 2( x ? )( x ? 1) a 2 x 2 ? (a ? 2) x ? a 2 ∴ f '( x) ? 2 x ? (a ? 2) ? ? ??1 分 ? x x x a ∵ a ? 2 ,∴ ? 1 , 2 a 2( x ? )( x ? 1) a 2 令 f '( x) ? 0 ,即 ? 0 ,∵ x ? 0 ,∴ 0 ? x ? 1 或 x ? ,??2 分 2 x
所以函数 f ( x ) 的单调递增区间是 ? 0,1? , ?

?a ? , ?? ? ??3 分 ?2 ?

2x2 ? 6 x ? 4 (Ⅱ)解法一:当 a ? 4 时, f '( x) ? x
所以在点 P 处的切线方程为 g ( x) ?
2 2 x0 ? 6 x0 ? 4 ? x ? x0 ? ? x02 ? 6x0 ? 4ln x0 ??4 分 x0

10

若函数 f ( x) ? x2 ? 6x ? 4ln x 存在“类对称点” P ? x0 , f ( x0 ) ? , 则等价于当 0 ? x ? x0 时, f ( x) ? g ( x) ,当 x ? x0 时, f ( x) ? g ( x) 恒成立。??5 分 ①当 0 ? x ? x0 时, f ( x) ? g ( x) 恒成立,
2 2 x0 ? 6 x0 ? 4 等价于 x ? 6 x ? 4ln x ? ? x ? x0 ? ? x02 ? 6 x0 ? 4ln x0 恒成立, x0 2
2 2 3 即当 0 ? x ? x0 时, x0 x ? 2 x0 ? 4 x ? 4 x0 ln x ? x0 ? 4 x0 ? 4 x0 ln x0 ? 0 恒成立, 2 2 3 令 ? ? x ? ? x0 x ? 2 x0 ? 4 x ? 4 x0 ln x ? x0 ? 4 x0 ? 4 x0 ln x0 ,则 ? ( x0 ) ? 0 ,??7 分

?

?

?

?

要使 ? ( x0 ) ? 0 在 0 ? x ? x0 恒成立,只要 ? ( x) 在 ? 0, x0 ? 单调递增即可。 又∵ ? ' ? x ? ? 2 x0 x ? 2 x0 ? 4 ?
2 2

?

?

4 x0 2 ? x0 x ? 2 ?? x ? x0 ? ? ,??8 分 x x

∴ x0 ?

2 ,即 0 ? x0 ? 2 .??9 分 x0

②当 x ? x0 时, f ( x) ? g ( x) 恒成立时, x0 ? 2 .??10 分 ∴ x0 ? 2 .??11 分 所以 y ? f ( x) 存在“类对称点”,其中一个“类对称点”的横坐标为 2 .??12 分 (Ⅱ)解法二: 猜想 y ? f ( x) 存在“类对称点”,其中一个“类对称点”的横坐标为 x0 ? 2 .??4 分 下面加以证明: 当 x0 ? 2 时, g ( x) ? 4 2 ? 6 x ? 6 ? 2ln 2 ??5 分 ①当 0 ? x ?
2

?

?

2 时, f ( x) ? g ( x) 恒成立,

等价于 x ? 6 x ? 4ln x ? 4 2 ? 6 x ? 6 ? 2ln 2 恒成立, 令 ? ? x ? ? x2 ? 4 2 x ? 4ln x ? 6 ? 2ln 2 ??7 分 ∵ ? '? x? ? 2x ? 4 2 ? 从而当 0 ? x ? 即当 0 ? x ? ②同理当 x ?

?

?

4 ? 0 ,∴函数 ? ? x ? 在 0, 2 上单调递增, x

?

?

2 时, ? ( x) ? ? ( 2) ? 0 恒成立, 2 时, f ( x) ? g ( x) 恒成立。??9分 2 时, f ( x) ? g ( x) 恒成立.??10分
11

综上知 y ? f ( x) 存在“类对称点”,其中一个“类对称点”的横坐标为 x0 ? 2 .?12 分

请考生在第(22) 、 (23) (24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑,把答 案填在答题卡上. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,已知圆 O 是 ?ABC 的外接圆, AB ? BC , AD 是 BC 边上的高, AE 是圆 O 的直径.过点 C 作 圆 O 的切线交 BA 的延长线于点 F . (1)求证: AC ? BC ? AD ? AE ; (2)若 AF ? 2 , CF ? 2 2 ,求 AE 的长.

21(1)证明:连结 BE ,由题意知 ?ABE 为直角三角形. 因为 ?ABE ? ?ADC ? 90 , ?AEB ? ?ACB , ?ABE ∽ ?ADC ,??2
0

F A

分 所以

AB AE ? ,即 AB ? AC ? AD ? AE .又 AB ? BC ,??4 分 AD AC

O B E D C

所以 AC ? BC ? AD ? AE .??5 分 ( 2 ) 因 为 FC 是 圆
2 ? F? A F ,B又 O 的切线,所以 FC

AF ? 2, CF ? 2 2 ,
所以 BF ? 4, AB ? BF ? AF ? 2 ,??7 分 因为 ?ACF ? ?FBC ,又 ?CFB ? ?AFC ,所以 ?AFC ∽ ?CFB . 所以

AF AC AF ? BC 2 ? ? 2 , cos?ACD ? ,得 AC ? ,??9 分 FC BC CF 4

所以 AE ?

AB 4 14 .??10 分 ? sin ?AEB 7

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程: 已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2cos ? ? 4sin ? .以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐

12

标系,直线 l 的参数方程为 ?

? x ? 1 ? t cos ? , ( t 为参数). ? y ? ?1 ? t sin ?

(1)判断直线 l 与曲线 C 的位置关系,并说明理由; (2)若直线 l 和曲线 C 相交于 A, B 两点,且 AB ? 3 2 ,求直线 l 的斜率. 23.(1) ? ? ? 2cos ? ? 4sin ? ,? ? 2 ? 2? cos? ? 4? sin ? ,

? 曲线 C 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ,即 ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 5 ,??2 分
直线 l 过点 (1, - 1) ,??3 分 且该点到圆心的距离为 (1 ? 1) 2 ? (?1 ? 2) 2 ? 5 ,
\ 直线 l 与曲线 C 相交. ??5 分

(2)当直线 l 的斜率 不存在时,直线 l 过圆心, AB ? 2 5 ? 3 2 ,??6 分 则直线 l 必有斜率,设其方程为 y ? 1 ? k ( x ? 1) ,即 kx ? y ? k ? 1 ? 0 , 圆心到直线 l 的距离 d ?

1 k ?1
2

? ( 5) 2 ? (

3 2 2 2 ,??8 分 ) ? 2 2

解得 k ? ?1 ,? 直线 l 的斜率为 ?1 .??10 分 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等 式选讲: 已知函数 f ( x) ?| x ? 2 | , g ( x) ? m | x | ?2 , (m ? R) . (1)解关于 x 的不等式 f ( x) ? 3 ; (2)若不等式 f ( x) ? g ( x) 对任意 x ? R 恒成立,求 m 的取值范围. 24. (1)由 f ( x) ? 3 ,得 x ? 2 ? 3 即 x ? 2 ? ?3 或 x ? 2 ? 3 ????3 分

? x ? ?1 或 x ? 5
故原不等式的解集为 x | x ? ?1或x ? 5 ????5 分 (2)由 f ( x) ? g ( x) ,得 x ? 2 ? m x ? 2 对任意 x ? R 恒成立 当 x ? 0 时,不等式 x ? 2 ? m x ? 2 成立 当 x ? 0 时,问题等价于 m ?

?

?

x?2 ?2 对任意非零实数恒成立???7 分 x
?m ? 1
即 m 的取值范围是 (??,1] ???10 分

?

x?2 ?2 x

?

x?2?2 x

?1

13


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