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2013-2014苏州中学高二数学期末复习综合练习5(文科)


2013-2014 苏州中学高二数学期末复习综合练习五(文科)
一、填空题: (每小题 5 分,共计 70 分) 1. 命题“存在 x ? R ,使得 x ? x ? 3 ? 0 ”的否定是
2

_▲_____.

2. 某公司生产三种型号的轿车, 产量分别为A型号1200辆、 B型号6000辆和C型号2000辆. 为

检验这三种型号轿车的质量,现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验,那么C型号的轿车 应抽取 ▲
2

辆.
2

3. 双曲线 2 x ? y ? 1 的渐近线方程是
2

_▲_____.

4. “ x ? 1”是“ x ? 1 ”的 _▲_____条件.(从“充分而不必要” 、 “必要而不充分” 、 “充要”或“既不充分也不必要”中选择适当的一种填空) 5. 若

k1 , k2 ,? , k8

的方差为4,则

3(k1 ? 2),3(k2 ? 2),?,3(k8 ? 2)

的方差为



.

6. 给出下列三个命题,其中真命题是 _▲_____ (填序号). ①若直线 l 垂直于平面 ? 内两条直线,则 l ? ? ; ②若直线 m 与 n 是异面直线,直线 n 与 l 是异面直线,则直线 m 与 l 也是异面直线; ③若 m 是一条直线, ? , ? 是两个平面,且 ? ∥ ? , m ? ? ,则 m ∥ ? 7. 若抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点与双曲线 x ? y ? 2 的右焦点重合, 则 p 的值为
2 2 2

__ _▲_____ 8. 将一颗骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数之和是4的倍数的概率是 9. 顶点在原点,焦点在 x 轴上的抛物线经过点(2,2),则此抛物线的方程为 10. 底面边长为2,高为1的正四棱锥的全面积为 _▲_____.

▲ .

.

11. 如图,用半径为 2 的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒, 那么这个圆锥筒的容积是 _▲_____.
2

(第 11 题图)

12. 设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y ? ax(a ? 0) 的焦点 F ,且和 y 轴交于点 A,若△ OAF ( O 为坐标原点)的面积为 4,则 a 的值为 13. 以椭圆 _▲_____.

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点 F (?c,0) 为圆心, c 为半径的圆与椭圆的 a2 b2
_▲_____.

左准线交于不同的两点,则该椭圆的离心率的取值范围是 14. 设椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) , PQ 是过左焦点 F 且与 x 轴不垂直的弦,若在左 a 2 b2


准线 l 上存在点 R ,使 ?PQR 为正三角形,则椭圆离心率 e 的取值范围是

1

二、解答题: (本大题共计 80 分,请写出必要的解题步骤) 15. (12 分)设命题 p : 函数 f ( x) ? x ? (2a ? 1) x ? 6 ? 3a 在 ? ??, 0 ? 上是减函数;命题 q :
2

关于 x 的方程 x ? 2ax ? a ? 0 有实数根. 若命题 p 是真命题,命题 q 是假命题,求实数
2

a 的取值范围.

16. (12 分)如图,正方形 ABDE 与等边 ?ABC 所在平面互相垂直, AB ? 2 , F 为 BD 中 点, G 为 CE 中点. (1)求证: FG ∥平面 ABC ; (2)求三棱锥 F ? AEC 的体积. E D

F G

A

B

C

2

17.为了解某中学高二女生的身高情况,该校对高二女生的身高进行了一次随机抽样测量, 所得数据整理后列出了频率分布表如下: (单位 :cm) (1)求出表中 m、n、M、N 所表示的数值; (2)绘制频率分布直方图; (3)估计该校女生身高小于162.5 cm的百分比. 分组 频数 频率

?150.5,154.5? ?154.5,158.5? ?158.5,162.5? ?162.5,166.5? ?166.5,170.5? ?170.5,174.5?
合计

1
4
20

0.02
0.08

0.40 0.30 0.16
n
N

15
8
m
M

18. (14 分)椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0 ? 的两个焦点分别为 F1 、 F2 ,点 P 在椭圆 C 上, a 2 b2

且 PF1 ? F1 F2 , PF1 ?

14 4 , PF2 ? . 3 3
2 2

(1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 l 过圆 x ? y ? 4 x ? 2 y ? 0 的圆心 M 交椭圆于 A 、 B 两点,且 M 是 AB 的中点,求直线 l 的方程.

3

19. 1)将一颗骰子先后抛掷2次,以分别得到的点数 m , n 作为点P的坐标 (m, n) , 求:点P落在圆 x ? y ? 18 内的概率;
2 2

(2)在区间 [1,6] 上任取两个实数 m , n ,求:使方程 x ? mx ? n ? 0 没有实数根的概率.
2 2

x2 y 2 20. (14 分)如图,在平面直角坐标系 xoy 中,椭圆 2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0 ? 的右焦点为 F , a b
上下顶点分别为 A, B ,直线 BF 交椭圆于 C 点,且 BF ? 3FC .(1)求椭圆的离心率; (2)若

??? ?

??? ?

P 点是椭圆上弧 AC 上动点,四边形 APCB 面积的最小值为

6?2 ,求椭圆的方程. 3 y

A

P C

O

F

x

B

4

数学答题纸
一、填空题 1、 ?x ? R, x ? x ? 3 ? 0
2

2、10 4、充分而不必要 6、③ 8、5

3、 y ? ? 2 x 5、36 7、4 9、y2=4x

1 10、 4
12、8

11、 13、 (

3 ? 3

2 ,1) 2

14、 (

3 ,1) 3

二、解答题 15.命题 p : a ? ?

1 2

命题 q : a ? ?1或a ? 0 命题非 q : ?1 ? a ? 0 因为 命题 p 是真命题,命题 q 是假命题, 所以 ?

1 ?a?0 2

2 3 3 17. 解: (1) n ? 1 ? (0.02 ? 0.08 ? 0.4 ? 0.3 ? 0.16) ? 0.04 ,
16.(1)略(2)

m?2

?????2 分

M=50, N=1 ?????4分 (2) 频率分布直方图请参照教材必修三第54页图2-2-4. 此项共8分。评分时注意以下几点: 横轴、纵轴的含义标示要清楚。即,身高/cm , 频率/组距, ?????6分 横轴上的区间端点值要标示清楚, ?????8分 每一个小长方形的高要与其频率成比例。有一个不比例的扣1分,扣完4分止 ?12分 (3) 从频率分布表看出,该样本中身高小于162.5 cm的频率为0.02+0.08+0.4=0.5, 故可估计该校女生身高小于162.5 cm的约占50% ?????14分

5

18. (1)由已知

2a ? PF1 ? PF2 ? 6 ,所以 a ? 3
2 2 椭圆的焦距为 2c = PF2 ? PF1 ? 2 5

所以 c ? 5 , b2 ? 4

椭圆方程为

x2 y2 ? ?1 9 4

(2) M (?2,1) 法一: l ? x 轴时,线段 AB 中点是(-2,0)不符 设 l : y ? 1 ? k ( x ? 2)

? 4 x 2 ? 9 y 2 ? 36 方程组 ? ? y ? 1 ? k ( x ? 2)
得: (4 ? 9k ) x ? (36k ? 18k ) x ? 36k ? 36k ? 27 ? 0
2 2 2 2

x1 ? x2 ? ?

36k 2 ? 18k 8 ? ?4 得: k ? 2 4 ? 9k 9

直线 AB 的方程为: 8x ? 9 y ? 25 ? 0 法二:设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 代入椭圆方程:

4 x 12 ?9 y12 ? 36

(1) (2)

4 x 2 2 ?9 y2 2 ? 36

x1 ? x2 ? ?4 y1 ? y2 ? 2
(1)-(2)得 k ?

y1 ? y2 8 ? ,且点 M (2, ?1) 在椭圆内 x1 ? x2 9

所求方程为: y ? 1 ?

8 ( x ? 2) 即: 8x ? 9 y ? 25 ? 0 9

19 解: (1)抛掷2次骰子共包括36个基本事件,每个基本事件都是等可能的。????1分 记“点P落在圆 x ? y ? 18 内”为事件A,
2 2

????2分
6

事件A包括下列10个基本事件: (1,1) ; (1,2) ; (1,3) ; (1,4) ; (2, 1) ; (2,2) ; (2,3) ; (3,1) ; (3,2) ; (4,1) ; ?????5分

P( A) ?
所以

10 5 ? 36 18

?????6分

5 答:点P落在圆 x ? y ? 18 内的概率为 18
2 2

?????7分

注:以上评分,要从严,以此引导学生重视概率题的答题规范。 如,未记事件A的,扣1分;不列举事件A的基本事件的,扣3分;不答的,扣1分
2 2 (2)记“方程 x ? mx ? n ? 0 没有实数根”为事件B,

?????8分

在区间 [1, 6] 上任取两个实数 m , n 可看作是在区域D: 每个点被取到的机会是均等的;

? ?1 ? m ? 6 ? ?(m, n) | ? ? ?1 ? n ? 6 ? ?

内随机取一点, ?????10分

? ?1 ? m ? 6? ? ? ? d : ?(m, n) | ?1 ? n ? 6 ? ? ? m ? 2n ? ? ? ? 而事件B发生,则视作点 (m, n) 恰好落在区域
21 P ( B ) ? 25 所以 21 答:使方程 x ? mx ? n ? 0 没有实数根的概率为 25
2 2

?????13分

?????14分

?????15分

20. (1)设点 F (c,0) , B(0, ?b) , C ( x, y ) 由 BF ? 3FC ,得: ? c, b ? ? 3 ? x ? c, y ? 解得: C ( c, b) 代入椭圆方程得:

??? ?

??? ?

4 3

1 3

16c 2 1 ? ?1 9a 2 9

所以: e ?

c 2 2 2 ? , a ? 2c , b ? c a 2

(2)由(1)椭圆方程可写为,点 C ( b, b) 直线 AC: x ? 2 y ? 2b ? 0 , S?ABC ?

4 3

1 3

2 5 4 2 b b , AC ? 3 3
7

设点 P( x, y ) : x ? 2 y ? 2b ,点 P 到直线 AC 距离为
2 2 2

d?

x ? 2 y ? 2b 5
2

?

x ? 2 y ? 2b 5

? x ? 2y?

? x 2 ? 4 y 2 ? 4 xy ? x 2 ? 4 y 2 ? 2( x 2 ? y 2 ) ? 3( x 2 ? 2 y 2 )

? 6b 2 ,所以 d max ?

6 ?2 b 5

所以 S max ?

6?2 2 6 ?2 2 2 2 b ? , b ? 1 ,椭圆方程为: x ? 2 y ? 2 3 3

注本题也可以求出平行于直线 AC 的切线: x ? 2 y ? 6b ,得到点到直线 AC 的最大距离

d max ?

6 ?2 b 解题。 5

8

9


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