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1.4.2正弦函数、余弦函数的性质


高中新课程数学必修④

利用函数图象变换作出下列函数图象: (1) y ? sin x ; (2) y ? cos x . 保留x轴上方的图象 y ? f ( x) y ? f ( x) 将x轴下方的图象翻折

随堂训练:P40练习第1题
1.观察正弦曲线和余弦曲线,写出 满足下列条件的区间: (1)sin x ? 0; (2)

sin x ? 0; (3) cos x ? 0; (4) cos x ? 0.

1.观察正弦曲线和余弦曲线,写出 满足下列条件的区间: (1)sin x ? 0; (2)sin x ? 0; (3) cos x ? 0; (4) cos x ? 0. (1). (2k? ,? ? 2k? )(k ? Z ) (2).(? ? 2k? ,2? ? 2k? )(k ? Z )
(3).(?

?

《测评》P9例1

3? (4).( ? 2k? , ? 2k? )(k ? Z ) 2 2

?

2

? 2k? ,

?

2

? 2k? )(k ? Z )

《测评》P9例1
2 (2) cos ? ? ? 1 [ 2? 2 3

(1)sin ? ?

3

[? 3

? ? 2k? ] (k ? Z ) ? 2k? , 23

? ? 2k? ] (k ? Z ) ? 2k? , 43

第一象限角第二象限角 第三象限角第四象限角

?

? ??

? ??

2? ? ?

课后作业: 1.《活页》P100基础训练8、能力3 2.《测评》P24填写教材梳理
8.函数y ? 2 cos x ? 1的定义域是 .

1 3.函数y ? sin x + ? cos x的定义域是 2

.

8.函数y ? 2 cos x ? 1的定义域是

.

解: ? 2cos x ? 1 ? 0

1 ? cos x ? ? 2

? ?[? 23

? ? 2k? ] (k ? Z ) ? 2k? , 23
.

1 3.函数y ? sin x + ? cos x的定义域是 2

1 3.函数y ? sin x + ? cos x的定义域是 2 sin x ? 0 sin x ? 0 ? ? ?? 解: ??1 1 ? cos x ? ? ? cos x ? 0 2 2 ?2k? ? x ? ? ? 2k? , k ? Z ?? ? ? ? 2k? ? x ? 5? ? 2k? , k ? Z
?? ? 2 k ? 3
3 3

.

? x ? ? ? 2k? , k ? Z

? [ ?函数的定义域是 3 ? 2k? ,? ? 2k? ], k ? Z

函数
图象
?? 2

y ? sin x
y
1

y ? cos x
y
1

0
-1

? 2

?

3? 2

2?

5? 2

x

??

0
-1

? 2

?

3? 2

2?

5? 2

x

定义域

值域 周期性 奇偶性
单调性

x?R [?1,1]

x?R [?1,1]

2? 2? 奇函数 偶函数 增区间: 增区间: ? +2k? ](k ? Z ) [-? +2k? , 2k? ](k ? Z ) [- ? + 2 k ? , 2 2

减区间: 减区间: 3? +2k? ](k ? Z ) [? + 2 k ? , [2k? , ? +2k? ](k ? Z ) 2 2

函数
图象
?? 2

y ? sin x
y
1

y ? cos x
y
1

0
-1

? 2

?

3? 2

2?

5? 2

x

??

0
-1

? 2

?

3? 2

2?

5? 2

x

最值

最大值 最大值 当x ? 2k? , k ? Z时, 当x ? ? + 2 k ? , k ? Z 时 2
ymax ? 1

ymax ? 1

最小值

最小值 当x ? ? ? +2k? , k ? Z时当x ? ? +2k? , k ? Z时,
2 ymin ? ?1

ymin ? ?1

? +k? , k ? Z x ? 对称轴 2
对称中心

(k? ,0)(k ? Z )

( ? k? , 0) (k ? Z ) 2

?

x ? k? , k ? Z

1.求函数的周期 课本P36-37探究与发现

①y ? A sin(? x ? ? ) (? ? 0) ②y ? A cos(? x ? ? ) (? ? 0) 2 ? 周期公式 : T ? ? 课本P35例2
例2 求下列函数的周期: 2 ? 2 ? (1) y ? 3cos x, x ? R; T ? ? ? 1 ? 2? (2) y ? sin 2 x, x ? R; T ? 2? ? 2? ? ? ? 2 1 ? ? ? 4? (3) y ? 2sin( x ? ), x ? R. T ? 21
随堂训练课本P36练习第2题

2

6

2

3 8? 2 ? 2 ? (1) y ? sin x, x ? R; T ? ? ? 3 ? 3 4 4 ? 2 ? 2 ? (2) y ? cos 4 x, x ? R; T ? ? ? ? 4 2 1 (3) y ? cos x, x ? R. T ? 2? ? 2? 1 2 1 ? ? ? 6? (4) y ? sin( x ? ), x ? R. T ? 21 3 4 3

2 ? 周期公式 : T ? ? 2 求下列函数的周期:

2.求函数最大值和最小值

①y ? sin x?[?1,1]
2

ymax ? 1 当x ? ? + 2 k ? , k ? Z 时 , 2 ? 当x ? ? +2k? , k ? Z时, ymin ? ?1

②y ? cos x ?[?1,1]
当x ? 2k? , k ? Z时, ymax ? 1 当x ? ? +2k? , k ? Z时, ymin ? ?1

课本P38例3

解:(1)当x ??x | x ? 2k? , k ? Z?时, ymax ? 1 ? 1 ? 2 当x ??x | x ? ? +2k? , k ? Z?时, ymin ? ?1 ? 1 ? 0 (2)当2x ? ? ? +2k? , k ? Z ,
ymax ? ?3 ? (?1) ? 3 即x ? x | x ? ? ? + k ? , k ? Z 时 , 4

(1) y ? cos x ? 1, x ? R; (2) y ? ?3sin 2 x, x ? R.

例3 下列函数有最大值、最小值吗? 如果有,请写出取最大值、最小值时 的自变量x的集合, 并说出最大值、最 小值分别是什么?

?

2

?

(2)当2x ? ? ? + 2 k ? , k ? Z , 2 y ? 即x ? x | x ? ? ? + k ? , k ? Z 时 , ?3 ? (?1) ? 3 max 4 当2x ? ? +2k? , k ? Z ,

?

?

y ? 即x ? x | x ? ? + k ? , k ? Z 时 , ? 3 ? 1= ? 3 min 4

?

2

?

随堂训练课本P40练习第3题

3.求使下列函数取得最大值、最小值的 自变量的集合,并写出最大值、最小值 各是多少. x (1) y ? 2sin x, x ? R; (2) y ? 2 ? cos , x ? R. 3

解 : (1)当x ? x | x ? 2 +2k? , k ? Z 时,ymax ? 2 ? 1 ? 2 当x ? x | x ? ? ? +2k? , k ? Z 时,y ? 2 ? (?1) ? ?2

3.求使下列函数取得最大值、最小值的 自变量的集合,并写出最大值、最小值 各是多少. x (1) y ? 2sin x, x ? R; (2) y ? 2 ? cos , x ? R. 3 ?

?

?

即x ??x | x ? 3? ? 6k? , k ? Z?时, ymax ? 2 ? (?1) ? 3 x 当 ? 2k? , k ? Z , 即x ??x | x ? 6k? , k ? Z?时, 3

x (2)当 ? ? +2k? , k ? Z , 3

?

2

?

min

ymin ? 2 ? 1=1

3.正、余弦函数单调性的应用

①y ? sin x

? +2k? ](k ? Z ) 增区间:[- ? + 2 k ? , 2 2
3? 减区间:[ ? + 2 k ? , 2 2

+2k? ](k ? Z )

②y ? cos x

增区间:[-? +2k? , 2k? ](k ? Z )

减区间:[2k? , ? +2k? ](k ? Z )

课本P39例4

18 10 23? 17? (2) cos( ? )与 cos( ? ) 5 4

(1) sin(?

例4 利用三角函数的单调性,比较下列各 组数的大小: ? ?
)与 sin( ? );

解 : (1) ? ?

?

2 ? ? sin(? ) ? sin(? ) 10 18

且y ? sin x在[?

2

??

?

10 ?

??

?

?

, 0]上是增函数,

18

?0

(2) cos( ?

例4 利用三角函数的单调性,比较下列各 组数的大小: 23? 17?
5 )与 cos( ? 4 )

23? 23? 3? 3? ? cos(4? ? ) ? cos (2) ? cos( ? ) ? cos 5 5 5 5 ? ? 17? 17? ? cos(4? ? ) ? cos cos(? ) ? cos 4 4 4 4 ? 3? ?0 ? ? ? ? , 且y ? cos x在[0, ? ]上是减函数, 4 5 17? 23? ? 3? ) ? cos(? ) ? cos ? cos , 即cos(? 4 5 4 5
课本P41第5题

5. 利用三角函数的单调性,比较下列各组 中两个三角函数值的大小:
(1)sin 250 与sin 260 ;
15? 14? (2) cos 与 cos ; 8 9
? ?

(3)cos515 与cos530 ;
54? 63? (4) sin(? )与 sin( ? ). 7 8

?

?

5. 利用三角函数的单调性,比较下列各组 中两个三角函数值的大小:
(1)sin 250 与sin 260 ;
解: ?180 ? 250 ? 260 ? 270
? ?

?

?

?

?

?

?

且y ? sin x在[180 , 270 ]上是减函数,

?sin 250 ? sin 260 ;

?

?

15? 14? (2) cos 与 cos ; 8 9 7? 15? 7? ) ? ? cos 解 : (2) cos ? cos(? ? 8 8 8 14? 5? 5? cos ? cos(? ? ) ? ? cos 9 9 9 7? 5? 且y ? cos x在[0, ? ]上是减函数, ? ? 8 9 7? 5? 7? 5? ? cos ? cos ?? , cos ? ? cos , 8 9 8 9 15? 14? ? cos ? cos ; 8 9

(3)cos515 与cos530 ;
解: ? cos515 = cos(360 ? 155 )= cos155 ? ? ? ? cos530 = cos(360 ? 170 )= cos170
?

?

?

?

?

?

? 0 ? 155 ? 170 ? 180
? ?

?

?

?

?

且y ? cos x在[0 ,180 ]上是减函数,

? cos155 ? cos170
?

?

?

即cos515 ? cos530

?

54? 54? 5? 5? 解: ? sin(? ) ? ? sin ? ? sin(7? ? ) ? sin 7 7 7 7 63? 63? 7? 7? sin(? ) ? ? sin ? ? sin(7? ? ) ? sin 8 8 8 8 ? 5? 7? ? ? ? ?? 2 7 8 5? 7? ? 且y ? sin x在[ , ? ]上是减函数, ? sin 7 ? sin 8 2

54? 63? (4) sin(? )与 sin( ? ). 7 8

54? 63? 即 sin( ? ) ? sin( ? ) 7 8

课后作业: 1.《课本》P46习题1.4 A组第2、3、4题、 B组第1题 2.《测评》P25例2、活学活用 P26课时跟踪检测第5题


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