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2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习课件第四章 4.4


数学

北(理)

§4.4 三角函数的图像和性质
第四章 三角函数、解三角形

基础知识·自主学习
要点梳理
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 π 正弦函数 y=sin x,x∈[0,2π]的图像中,五个关键点:(0,0),( , 2
知识回顾 理清教材

/>3π ( ,-1) 1),(π,0), 2 ,(2π,0).
π 余弦函数 y=cos x, x∈[0,2π]的图像中, 五个关键点: (0,1), ( , 2 3π 0), (π,-1),( ,0),(2π,1). 2

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质 函数 y=sin x y=cos x y=tan x

图像

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

定义域

R [-1,1]

R [-1,1]

{x|x∈R 且 x≠ π 2+kπ,k∈Z}
R

值域

[-π+2kπ, π π [-2+2kπ,2+ 2kπ](k∈Z)上 π π (- +kπ, +kπ) 2kπ](k∈Z)上递增; 2 2 单调性 π 3π 递增; [2+2kπ, 2 + (k∈Z)上递增

2kπ](k∈Z)上递减
基础知识 题型分类

[2kπ,π+2kπ]

(k∈Z)上递减
思想方法 练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

π x=2+2kπ(k∈Z)
最值 时,ymax=1;

x= 2kπ(k∈Z) 时,ymax=1; 时,ymin=-1 偶函数 奇函数 kπ ( ,0)(k∈Z) 2

π x=-2+2kπ(k∈Z) x= π+2kπ(k∈Z)
奇函数

时,ymin=-1 奇偶性 对称 中心

(kπ,0)(k∈Z)

π (2+kπ,0) (k∈Z)

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

对称轴 方程 周期

π x= +kπ(k∈Z) x=kπ(k∈Z) 2




π

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基础 突破疑难

题号
1 2 3 4 5

答案
(1) √ (2) √ (3) × (4) × (5) × (6) ×

解析

C
D

B
2 5 5

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 求三角函数的定义域和最值
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 1】 (1)(2012· 山东)函数 y= ?πx π ? ? - 2sin? (0≤x≤9)的最大值与 ?6 3? ? ? 最小值之和为 A.2- 3 C.-1 B.0 D.-1- 3 ( )

1 (2) 函数 y = 的定义域为 tan x-1 ___________________________.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 求三角函数的定义域和最值
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 1】 (1)(2012· 山东)函数 y= ?πx π ? ? - 2sin? (0≤x≤9)的最大值与 ?6 3? ? ? 最小值之和为 A.2- 3 C.-1 B.0 D.-1- 3 ( )

求函数的定义域可利用三角 函数的图像或数轴;求函数 最值或值域时要利用图像、 三角变换、 二次函数等知识.

1 (2) 函数 y = 的定义域为 tan x-1 ___________________________.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 求三角函数的定义域和最值
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 1】 (1)(2012· 山东)函数 y= 解析 利用三角函数的性质先求出函数的最值. ?πx (1) π? ? ? 2sin? 6 -3 ?(0≤x≤9)的最大值与 ?π π? ? 3 ? π π π 7π ? ? ? ? ∵0≤x≤9,∴- ≤ x- ≤ , ∴sin?6x-3?∈?- 2 ,1?. 3 6 3 6 ? ? ? ? 最小值之和为 ( ) ? ? ? ?,∴y - 3 , 2 ∴y∈? ? max+ymin=2- 3. A.2- 3 B.0 tan x-1≠0 ? ? (2) 要使函数有意义,必须有 , C .- 1 D.-1-? 3 π x≠2+kπ,k∈Z ? ? 1 π ? (2) 函数 y = ,k∈Z 的定义域为 ?x≠4+kπ tan x-1
即? π ? ___________________________ . x≠2+kπ,k∈Z. ? π π 故函数的定义域为{x|x≠ +kπ 且 x≠ +kπ,k∈Z}. 4 2
基础知识 题型分类 思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 求三角函数的定义域和最值
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 1】 (1)(2012· 山东)函数 y= ?πx π ? ? - 2sin? (0≤x≤9)的最大值与 ?6 3? ? ? 最小值之和为 A.2- 3 C.-1 B.0 D.-1- 3 ( A )

1 (2) 函数 y = 的定义域为 tan x-1 π π {x|x≠ +kπ 且 x≠ +kπ,k∈Z} 4 2 ___________________________ .

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 求三角函数的定义域和最值
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 1】 (1)(2012· 山东)函数 y= ?πx π ? ? (1) 求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式,常借助三 - 2sin? (0≤x≤9)的最大值与 ?6 3? ? ? 角函数线或三角函数图像来求解. 最小值之和为 ( A ) (2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目: A . 2- y= 3 asin x+ B . 0 x+c 的三角函数化为 y=Asin(ωx+φ)+k ① 形如 b cos C .-1 D .- 1- 3 的形式,再求最值 (值域 ); 21 ② 形如 y = a sin x+bsin x+c 的三角函数,可先设 sin x=t,化为 (2) 函数 y = 的定义域为 tan x-1 关于 π t 的二次函数求值域 (最值); π { x|x≠ +kπ 且 x≠ +kπ, k∈Z}. ___________________________ 4 2 ③形如 y=asin xcos x+b(sin x± cos x)+c 的三角函数,可先设 t=
sin x± cos x,化为关于 t 的二次函数求值域(最值).
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 (1)函数 y=lg(sin x)+ π ≤3+2kπ,k∈Z} . ________________ 1 x|2kπ<x cos x- 的定义域为{ ________ 2 ( )

(2)函数 y=sin2x+sin x-1 的值域为 5 A.[-1,1] B.[- ,-1] 4 5 5 C.[- ,1] D.[-1, ] 4 4 sin x>0, ? ? 解析 (1)要使函数有意义必须有? 1 cos x - ≥0, ? 2 ? sin x>0, 2kπ<x<π+2kπ, ? ? ? ? 即? 解得? π (k∈Z), 1 π cos x≥2, - +2kπ≤x≤3+2kπ ? ? ? ? 3 π ∴2kπ<x≤3+2kπ,k∈Z, π ∴函数的定义域为{x|2kπ<x≤3+2kπ,k∈Z}.
基础知识 题型分类 思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 (1)函数 y=lg(sin x)+ π ≤ +2kπ,k∈Z}. ________________ 3 1 x|2kπ<x cos x- 的定义域为{ ________ 2

(2)函数 y=sin2x+sin x-1 的值域为 ( C ) 5 A.[-1,1] B.[- ,-1] 4 5 5 C.[- ,1] D.[-1, ] 4 4 (2)y=sin2x+sin x-1, 令 t=sin x, 则有 y=t2+t-1, t∈[-1,1],
画出函数图像如图所示,从图像可以看出, 1 当 t=-2及 t=1 时,函数取最值,
代入 y=t2+t-1, 5 可得 y∈[-4,1].
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 三角函数的单调性、周期性
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 写出下列函数的单调区 间及周期:
? π? ? (1)y=sin?-2x+3 ? ?; ? ?

(2)y=|tan x|.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 三角函数的单调性、周期性
思维启迪 解析 思维升华
? π? ? y=-sin?2x-3 ? 再求 ?, ? ?

【例 2】 写出下列函数的单调区 间及周期:
? π? ? (1)y=sin?-2x+3 ? ?; ? ?

(1)化为

单调区间及周期.

(2)y=|tan x|.

(2)由 y=tan x 的图像→y= |tan x|的图像→求单调性及 周期.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 三角函数的单调性、周期性
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 写出下列函数的单调区 ? π? 解 (1)y=-sin?2x-3 ?, 间及周期: ? ? ? π? ? ? ? (1)y=sin?-2x+3 ? ?;?2x-π? 它的增区间是 y=? sin ? 3?的减区间, ? (2)y=|tan x|. ? π? 它的减区间是 y=sin?2x-3?的增区间. ? ? π π π 由 2kπ-2≤2x-3≤2kπ+2,k∈Z, π 5π 得 kπ-12≤x≤kπ+12,k∈Z. π π 3π 由 2kπ+ ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z, 2 3 2
基础知识 题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 三角函数的单调性、周期性
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 写出下列函数的单调区 5π 11π 得 kπ+ ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 间及周期: 12 12 ? ? ? ? π 5π π ? ?kπ- ,kπ+ ?,k∈Z; 故所给函数的减区间为 - 2 x + (1) y=sin? ; ? ? 12 12? ? 3? ? ? 5π 11π? kπ 增区间为 (2) y=|tan?x |.+12,kπ+ 12 ?,k∈Z. ? ? 2π 最小正周期 T= 2 =π. ? π?
? ? ? ? π 减区间是?kπ-2,kπ?,k∈Z. ? ?

(2)观察图像可知,y=|tan x|的增区间是?kπ,kπ+2?,k∈Z,

最小正周期 T=π.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 三角函数的单调性、周期性
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 写出下列函数的单调区

(1)求形如 y=Asin(ωx+φ)或 y=Acos(ωx+φ)(其中,ω>0)的单调 间及周期: ? 区间时,要视 “ωx π? ? ? + φ”为一个整体,通过解不等式求解.但如 (1)y=sin?-2x+3 ?; ? ? 果 ω<0,那么一定先借助诱导公式将 ω 化为正数,防止把单调性

(2) y=|tan x|. 弄错.
(2)求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式先化简,并注 意复合函数单调性规律“同增异减”.
(3)求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时,通常要画出图 像,结合图像判定.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 求函数
?π ? ? π? y=sin?3+4x?+cos?4x-6 ?的周期、单调区间及 ? ? ? ?

最大、最小值.

?π ? ?π ? π ∵?3+4x?+?6-4x?= , ? ? ? ? 2

?π ?π ?? ? ?π ? ?π ? π? ? ? ∴cos?4x-6?=cos?6-4x?=cos?2-?3+4x??=sin?3+4x?. ? ?? ? ? ? ? ? ? ?
? π? ∴y=2sin?4x+3?,周期 ? ?

2π π T= = . 4 2

π π π 当-2+2kπ≤4x+3≤2+2kπ (k∈Z)时,函数单调递增,
? 5π kπ π kπ? ∴函数的递增区间为?-24+ 2 ,24+ 2 ? ? ?

(k∈Z).
思想方法 练出高分

基础知识

题型分类

题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 求函数
?π ? ? π? y=sin?3+4x?+cos?4x-6 ?的周期、单调区间及 ? ? ? ?

最大、最小值.
π π 3π 当 +2kπ≤4x+ ≤ +2kπ (k∈Z)时,函数单调递减, 2 3 2
?π kπ 7π kπ? ∴函数的递减区间为?24+ 2 ,24+ 2 ?(k∈Z). ? ?

π kπ 当 x= + (k∈Z)时,ymax=2; 24 2

5π kπ 当 x=- + (k∈Z)时,ymin=-2. 24 2

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 三角函数的奇偶性和对称性
解析 答案 思维升华

【例 3】 (1)已知 f(x)=sin x+ 3cos x ? π? (x∈R),函数 y=f(x+φ) ?|φ|≤2 ?的 ? ? 图像关于直线 x=0 对称, 则 φ 的值 为________. (2)如果函数 y=3cos(2x+φ)的图像 ?4π ? 关于点? 3 ,0?中心对称,那么|φ|的 ? ? 最小值为 π π A. B. 6 4 π C. 3 ( π D. 2
题型分类

)

基础知识

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 三角函数的奇偶性和对称性
解析 答案 思维升华

【例 3】 (1)已知 f(x)=sin x+ 3cos x ? ? π ? π? ?|φ|≤ ?的 (x解析 ∈R),函数 y= f( x+φ )+ ?x ?, (1)f(x )= 2sin 2 ? ? 3? ?
? φ 的值 π 则 图像关于直线 x=? 0 对称, ? ? ? ?

y=f(x+φ)=2sin x+3+φ 图像关于 x=0 对称,即 f(x+φ)为偶函数.
π π π π π ∴如果函数 +φ= + kπ,k∈Z,φ=kπ+ ,k∈Z, 又∵|φ|≤ ,∴φ= . (2) 3 2 y=3cos(2x+φ)的图像6 2 6 ?4π ? ? ? ?2π ? 4π ? ,0?中心对称,那么 关于点 | φ | 的 (2)由题意得 ?3 ?3cos?2× 3 +φ?=3cos? 3 +φ+2π? ? ? ? ? 最小值为 ) ?2π ? 2π ( π ? ? +φ =0π = ,∴ + π 3cos 3 π π φ=kπ+2,k∈Z, 3 ? ? A. B. C. D. 6 4 3 2 π π ∴φ=kπ-6,k∈Z,取 k=0,得|φ|的最小值为6.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

为________.

题型分类·深度剖析
题型三 三角函数的奇偶性和对称性
解析 答案 思维升华

【例 3】 (1)已知 f(x)=sin x+ 3cos x ? π? (x∈R),函数 y=f(x+φ) ?|φ|≤2 ?的 ? ? 图像关于直线 x=0 对称, 则 φ 的值

π 为________ 6 .

(2)如果函数 y=3cos(2x+φ)的图像 ?4π ? 关于点? 3 ,0?中心对称,那么|φ|的 ? ? 最小值为 π π A. B. 6 4 π C. 3 ( A ) π D. 2
题型分类 思想方法 练出高分

基础知识

题型分类·深度剖析
题型三 三角函数的奇偶性和对称性
解析 答案 思维升华
若 f(x)=Asin(ωx+φ)为偶函数, 则当 x=0 时,f(x)取得最大值或 最小值.

【例 3】 (1)已知 f(x)=sin x+ 3cos x ? π? (x∈R),函数 y=f(x+φ) ?|φ|≤2 ?的 ? ? 图像关于直线 x=0 对称, 则 φ 的值

π 为________ 6 .

若 f(x)=Asin(ωx+φ)为奇函数, 则当 x=0 时,f(x)=0.
如果求 f(x)的对称轴,只需令 ωx π +φ= +kπ (k∈Z),求 x. 2
如果求 f(x)的对称中心的横坐标, 只需令 ωx+φ=kπ (k∈Z)即可.
思想方法 练出高分

(2)如果函数 y=3cos(2x+φ)的图像 ?4π ? 关于点? 3 ,0?中心对称,那么|φ|的 ? ? 最小值为 π π A. B. 6 4 π C. 3 ( A ) π D. 2
题型分类

基础知识

题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 (1)若函数 f(x)=sin ax+cos ax(a>0)的最小正周期 ( ) 为 1,则它的图像的一个对称中心为 π A.(- ,0) B.(0,0) 8 1 1 C.(- ,0) D.( ,0) 8 8

π π (2)设函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0,φ∈(- , ))的最小正周期为 π, 2 2 π 且其图像关于直线 x= 对称,则在下面四个结论:①图像关于 12 π π π 点( ,0)对称;②图像关于点( ,0)对称;③在[0, ]上是增函 4 3 6 π 数 ; ④ 在 [ - , 0] 上 是 增 函 数 中 , 所 有 正 确 结 论 的 编 号 为 6 ________.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
π 解析 (1)由条件得 f(x)= 2sin(ax+ ), 4 2π 又函数的最小正周期为 1,故 a =1,∴a=2π, π 故 f(x)= 2sin(2πx+4). 1 将 x=-8代入得函数值为 0. (2)∵T=π,∴ω=2. π π π 又 2×12+φ=kπ+2(k∈Z),∴φ=kπ+3(k∈Z). π π π π ∵φ∈(-2,2),∴φ=3,∴y=sin(2x+3),
由图像及性质可知②④正确.

答案 (1)C
基础知识

(2)②④
题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
高频小考点4 三角函数的单调性、对称性

π π 典例:(20 分)(1)已知 ω>0,函数 f(x)=sin(ωx+ )在( ,π)上单 4 2 调递减,则 ω 的取值范围是 1 5 1 3 A. [ , ] B.[ , ] 2 4 2 4 1 C.(0, ] D.(0,2] 2 ( )

π (2)已知函数 f(x)=2cos(ωx+φ)+b 对任意实数 x 有 f(x+ )= 4 π f(-x)成立,且 f( )=1,则实数 b 的值为 ( ) 8 A.-1
基础知识

B.3

C.-1 或 3
题型分类

D.-3
练出高分

思想方法

题型分类·深度剖析
高频小考点4 三角函数的单调性、对称性

π 5π (3)(2012· 课标全国)已知 ω>0,0<φ<π,直线 x= 和 x= 是函数 4 4 f(x)=sin(ωx+φ)图像的两条相邻的对称轴,则 φ 等于( ) π π π 3π A. B. C. D. 4 3 2 4 π π 2π (4)函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0 且|φ|< )在区间[ , ]上单调递减, 2 6 3 且函数值从 1 减小到-1, 那么此函数图像与 y 轴交点的纵坐标 为 1 A. 2
基础知识

( 2 B. 2 3 C. 2
题型分类

)

6+ 2 D. 4
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
高频小考点4
思 维 启 迪

三角函数的单调性、对称性
规 范 解 答 温 馨 提 醒

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
高频小考点4
审 思题 维路 启线 迪图

三角函数的单调性、对称性
规 范 解 答
温 馨 提 醒

π (1)( ,π)为函数 f(x)某个单调减区间的子集; 2

π (2)由 f(x+ )=f(-x)可得函数的对称轴,应用函数在对称轴 4 处的性质求解即可;

T (3)f(x) = sin(ωx + φ) 图像相邻两条对称轴之间的距离是 ; 2 (4)可结合图像分析函数的单调性,周期性确定 ω,φ.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
高频小考点4
思 维 启 迪

三角函数的单调性、对称性
规 范 解 答

温 馨 提 醒

π π π π π 解析 (1)由 <x<π 得 ω+ <ωx+ <πω+ , 2 2 4 4 4 π π π π 3π 由题意知( ω+ ,πω+ )?[ , ], 2 4 4 2 2 π π ?π ?2ω+4≥2, 1 5 ∴? ,∴ ≤ω≤ ,故选 A. 2 4 ?πω+π≤3π 4 2 ? π π (2)由 f(x+4)=f(-x)可知函数 f(x)=2cos(ωx+φ)+b 关于直线 x=8
对称,

又函数 f(x)在对称轴处取得最值,故± 2+b=1,∴b=-1 或 b=3.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
高频小考点4
思 维 启 迪

三角函数的单调性、对称性
规 范 解 答

温 馨 提 醒

(3)利用三角函数的对称轴求得周期. 由题意得周期
?5π π? T=2? 4 -4?=2π, ? ?

2π ∴2π= ,即 ω=1,∴f(x)=sin(x+φ), ω
?π? ?π ? ∴f?4?=sin?4+φ?=± 1, ? ? ? ?

π π 5π ∵0<φ<π,∴4<φ+4< 4 , π π π ∴φ+4=2,∴φ=4.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
高频小考点4
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三角函数的单调性、对称性
规 范 解 答

温 馨 提 醒

(4)函数 y=sin(ωx+φ)的最大值为 1,最小值为-1, π 2π 由该函数在区间[ , ]上单调递减,且函数值从 1 减小到-1, 6 3 2π π π 2π 2π 可知 - = 为半周期,则周期为 π,ω= = =2, 3 6 2 T π
此时原函数式为 y=sin(2x+φ),
π 又由函数 y=sin(ωx+φ)的图像过点(6,1), π 代入可得 φ=6, π 1 因此函数为 y=sin(2x+6),令 x=0,可得 y=2.
答案 (1)A
(2)C (3)A
题型分类

(4)A
思想方法 练出高分

基础知识

题型分类·深度剖析
高频小考点4
思 维 启 迪

三角函数的单调性、对称性
规 范 解 答 温 馨 提 醒

(1)对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数 ω 的范 围的问题,首先,明确已知的单调区间应为函数的单调区 间的子集;其次,要确定已知函数的单调区间,从而利用 它们之间的关系可求解.
(2)函数 y=Asin(ωx+φ)+b 的图像与其对称轴的交点是最 值点.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高
1.讨论三角函数性质,应先把函数式化成 y=

方 法 与 技 巧

Asin(ωx+φ)(ω>0)的形式.

2.函数 y=Asin(ωx+φ)和 y=Acos(ωx+φ)的最 2π 小正周期为 ,y=tan(ωx+φ)的最小正周期 |ω| π 为 . |ω|
3.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对 称性、最值等 )可以通过换元的方法令 t=ωx +φ,将其转化为研究 y=sin t 的性质.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高

1. 闭区间上最值或值域问题, 首先要在定义域基础

失 误 与 防 范

上分析单调性, 含参数的最值问题, 要讨论参数 对最值的影响.

2.要注意求函数 y=Asin(ωx+φ)的单调区间时 ω 的符号,尽量化成 ω>0 时情况.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

π 1.下列函数中,周期为 π 且在[0, ]上是减函数的是 ( D ) 2 π π A.y=sin(x+ ) B.y=cos(x+ ) 4 4 C.y=sin 2x D.y=cos 2x

解析

对于函数 y=cos 2x,T=π,

π 当 x∈[0, ]时,2x∈[0,π] ,y=cos 2x 是减函数. 2

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10
? π? x-cos?x+6 ?的值域为 ? ?

2.(2012· 湖南)函数 f(x)=sin A.[-2,2] C.[-1,1]

( B )

B.[- 3, 3] ? 3 3? ? D.?- , ? 2 2? ? ?
? π? x-cos?x+6?=sin ? ?

解析 将函数化为 y=Asin(ωx+φ)的形式后求解.

π π ∵f(x)=sin x-cos xcos +sin xsin 6 6 ? 3 ? 3 1 1 ? =sin x- cos x+ sin x= 3? sin x- cos x? ? 2 2 2 ? 2 ? ? π? = 3sin?x-6?(x∈R), ? ?
∴f(x)的值域为[- 3, 3].
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3.(2013· 浙江)已知函数 f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ∈R), π 则“f(x)是奇函数”是“φ= ”的 ( B ) 2 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

? π? π 解析 φ= ?f(x)=Acos?ωx+2?=-Asin ωx 为奇函数, 2 ? ? π ∴“f(x)是奇函数”是“φ=2”的必要条件. π 又 f(x)=Acos(ωx+φ)是奇函数?f(0)=0?φ= +kπ(k∈Z) 2 π φ=2. π ∴“f(x)是奇函数”不是“φ=2”的充分条件.

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4.函数 y=cos 2x+sin2x,x∈R 的值域是 1 A.[0,1] B.[ ,1] C.[-1,2] 2
2

( A ) D.[0,2]

1-cos 2x 1+cos 2x 解析 y=cos 2x+sin x=cos 2x+ = . 2 2
∵cos 2x∈[ -1,1] ,∴y∈[0,1] .

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5.(2012· 天津)将函数 f(x)=sin ωx(其中 ω>0)的图像向右平移 ?3π ? π ? 个单位长度,所得图像经过点? 4 ,0? ?,则 ω 的最小值是 4 ? ? ( D ) 1 A. 3
解析

B.1

5 C. 3

D.2
? π? ? ω?x-4? ?, ? ?

根据题意平移后函数的解析式为 y=sin

?3π ? ? 将? 4 ,0? ?代入得 ? ?

ωπ sin =0,则 ω=2k,k∈Z,且 ω>0, 2

故 ω 的最小值为 2.
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π 5π π [kπ+ ,kπ+ ](k∈Z) . 6.函数 y=cos( -2x)的单调减区间为____________________ 8 8 4
解析 π π 由 y=cos( -2x)=cos(2x- ) 4 4

π 得 2kπ≤2x- ≤2kπ+π(k∈Z), 4 π 5π 故 kπ+ ≤x≤kπ+ (k∈Z). 8 8
π 5π 所以函数的单调减区间为[kπ+ ,kπ+ ](k∈Z). 8 8
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1 7.函数 y=sin x 的定义域为[a,b],值域为[-1, ],则 b 2
4 π 3 -a 的最大值为________.

13π 5π 4π 解析 由正弦函数的图像知(b-a)max= - = . 6 6 3

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π 8.已知函数 f(x)=Atan(ωx+φ)(ω>0,|φ|< ),y= 2 π f(x)的部分图像如图,则 f( )=________. 24
3π π π 解析 由题中图像可知,此正切函数的半周期等于 8 -8=4, π 即最小正周期为2, 3π 所以 ω=2.由题意可知,图像过定点( ,0), 8 3π 3π 所以 0=Atan(2× +φ),即 +φ=kπ(k∈Z), 8 4 3π 所以 φ=kπ- (k∈Z), 4
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π 8.已知函数 f(x)=Atan(ωx+φ)(ω>0,|φ|< ),y= 2 π 3 f(x)的部分图像如图,则 f( )=________. 24
π π 又|φ|< ,所以 φ= . 2 4

又图像过定点(0,1),所以 A=1.

π 综上可知,f(x)=tan(2x+ ), 4 π π π π 故有 f(24)=tan(2×24+4)=tan 3= 3.
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? ? (-π<φ<0),y=f(x)图像的一条对称 2 x + φ 9.设函数 f(x)=sin ? π 轴是直线 x= . 8

(1)求 φ; (2)求函数 y=f(x)的单调增区间.
解 π π (1)令 2× +φ=kπ+ ,k∈Z, 8 2

π ∴φ=kπ+ ,k∈Z, 4 3π 又-π<φ<0,则 φ=- . 4
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? ? (-π<φ<0),y=f(x)图像的一条对称 2 x + φ 9.设函数 f(x)=sin ? π 轴是直线 x= . 8

(1)求 φ; (2)求函数 y=f(x)的单调增区间.
? 3π? (2)由(1)得:f(x)=sin?2x- 4 ?, ? ?

π 3π π 令- +2kπ≤2x- ≤ +2kπ,k∈Z, 2 4 2 π 5π 可解得8+kπ≤x≤ 8 +kπ,k∈Z, ?π ? 5π 因此 y=f(x)的单调增区间为?8+kπ, 8 +kπ?,k∈Z. ? ?
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πx π 2 πx 10.设函数 f(x)=sin( - )-2cos +1. 4 6 8 (1)求 f(x)的最小正周期. (2)若函数 y=g(x)与 y=f(x)的图像关于直线 x=1 对称,求 4 当 x∈[0, ]时,y=g(x)的最大值. 3 πx π πx π πx 解 (1)f(x)=sin cos -cos sin -cos 4 6 4 6 4
3 πx 3 πx πx π = sin - cos = 3sin( - ), 2 4 2 4 4 3 2π 故 f(x)的最小正周期为 T= =8. π 4
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πx π 2 πx 10.设函数 f(x)=sin( - )-2cos +1. 4 6 8 (1)求 f(x)的最小正周期. (2)若函数 y=g(x)与 y=f(x)的图像关于直线 x=1 对称,求 4 当 x∈[0, ]时,y=g(x)的最大值. 3
(2)方法一 在 y=g(x)的图像上任取一点(x,g(x)),

它关于 x=1 的对称点(2-x,g(x)). 由题设条件,知点(2-x,g(x))在 y=f(x)的图像上,

π π 从而 g(x)=f(2-x)= 3sin[4(2-x)-3]
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πx π 2 πx 10.设函数 f(x)=sin( - )-2cos +1. 4 6 8 (1)求 f(x)的最小正周期. (2)若函数 y=g(x)与 y=f(x)的图像关于直线 x=1 对称,求 4 当 x∈[0, ]时,y=g(x)的最大值. 3 π πx π πx π = 3sin[ - - ]= 3cos( + ). 2 4 3 4 3 4 π πx π 2π 当 0≤x≤ 时, ≤ + ≤ , 3 3 4 3 3 4 因此 y=g(x)在区间[0,3]上的最大值为 π 3 g(x)max= 3cos = . 3 2
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πx π 2 πx 10.设函数 f(x)=sin( - )-2cos +1. 4 6 8 (1)求 f(x)的最小正周期. (2)若函数 y=g(x)与 y=f(x)的图像关于直线 x=1 对称,求 4 当 x∈[0, ]时,y=g(x)的最大值. 3 4 2 方法二 区间[0, ]关于 x=1 的对称区间为[ ,2], 3 3 且 y=g(x)与 y=f(x)的图像关于直线 x=1 对称, 4 2 故 y=g(x)在[0,3]上的最大值为 y=f(x)在[3,2]上的最大值. πx π 2 π πx π π 由(1)知 f(x)= 3sin( - ), 当 ≤x≤2 时, - ≤ - ≤ . 4 3 3 6 4 3 6 4 π 3 因此 y=g(x)在[0, ]上的最大值为 g(x)max= 3sin = . 3 6 2
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1.函数 y= |sin x+cos x|-1的定义域是 ( A ) π π A.[kπ,kπ+ ](k∈Z) B.[2kπ,2kπ+ ](k∈Z) 2 2 π π C.[- +kπ,kπ](k∈Z) D.[- +2kπ,2kπ](k∈Z) 2 2

解析

|sin x+cos x|-1≥0?(sin x+cos x)2≥1

?sin 2x≥0,
∴2kπ≤2x≤2kπ+π,k∈Z,
π 故原函数的定义域是[kπ,kπ+2](k∈Z).
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π π 2.设函数 f(x)=3sin( x+ ),若存在这样的实数 x1,x2,对 2 4 任意的 x∈R,都有 f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则|x1-x2|的最

2 . 小值为________
解析 π π 2 f(x)=3sin( x+ )的周期 T=2π× =4, 2 4 π

f(x1),f(x2)应分别为函数 f(x)的最小值和最大值,
T 故|x1-x2|的最小值为 =2. 2
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3.已知函数 f(x)=cos xsin x(x∈R),给出下列四个命题: ①若 f(x1)=-f(x2),则 x1=-x2; ②f(x)的最小正周期是 2π; π π ③f(x)在区间[- , ]上是增函数; 4 4 3π ④f(x)的图像关于直线 x= 对称. 4 其中真命题是________.

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解析

1 π f(x)= sin 2x,当 x1=0,x2= 时, 2 2

f(x1)=-f(x2),但 x1≠-x2,故①是假命题; f(x)的最小正周期为 π,故②是假命题;

π π π π 当 x∈[- , ]时,2x∈[- , ],故③是真命题; 4 4 2 2
3π 1 3 1 因为 f( )= sin π=- , 4 2 2 2 3 故 f(x)的图像关于直线 x= π 对称,故④是真命题. 4

答案 ③④
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4.已知函数 f(x)=sin 2x- 3cos 2x+1. π π (1)当 x∈[ , ]时,求 f(x)的最大值和最小值; 4 2 (2)求 f(x)的单调区间.
π 解 (1)f(x)=sin 2x- 3cos 2x+1=2sin(2x- )+1. 3 π π π π π 2π ∵ ≤x≤ ,∴ ≤2x≤π,∴ ≤2x- ≤ , 4 2 2 6 3 3 1 π π ∴ ≤sin(2x- )≤1,∴1≤2sin(2x- )≤2, 2 3 3 π 于是 2≤2sin(2x- )+1≤3, 3
∴f(x)的最大值是 3,最小值是 2.
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4.已知函数 f(x)=sin 2x- 3cos 2x+1. π π (1)当 x∈[ , ]时,求 f(x)的最大值和最小值; 4 2 (2)求 f(x)的单调区间. π π π (2)由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z 2 3 2

π 5π π 5π 得 2kπ- ≤2x≤2kπ+ ,k∈Z,∴kπ-12≤x≤kπ+12,k∈Z, 6 6
π 5π 即 f(x)的单调递增区间为[kπ- ,kπ+ ],k∈Z, 12 12 π π 3π 同理由 2kπ+2≤2x-3≤2kπ+ 2 ,k∈Z 5π 11π 得 f(x)的单调递减区间为[kπ+12,kπ+ 12 ],k∈Z.
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? π? x∈?0,2 ?时, ? ?

5.已知 a>0,函数 -5≤f(x)≤1.

? π? f(x)=-2asin?2x+6 ?+2a+b,当 ? ?

(1)求常数 a,b 的值; ? π? (2)设 g(x)=f?x+2 ?且 lg g(x)>0,求 g(x)的单调区间. ? ?



? π? π ?π 7π? (1)∵x∈?0,2?,∴2x+6∈?6, 6 ?. ? ? ? ?

? ? ? π? ? 1 π? ∴sin?2x+6?∈?-2,1?,∴-2asin?2x+6?∈[ -2a,a] . ? ? ? ? ? ?

∴f(x)∈[ b,3a+b] ,又∵-5≤f(x)≤1,

∴b=-5,3a+b=1,因此 a=2,b=-5.
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? π? x∈?0,2 ?时, ? ?

5.已知 a>0,函数 -5≤f(x)≤1.

? π? f(x)=-2asin?2x+6 ?+2a+b,当 ? ?

(1)求常数 a,b 的值; ? π? (2)设 g(x)=f?x+2 ?且 lg g(x)>0,求 g(x)的单调区间. ? ?
? π? (2)由(1)得,f(x)=-4sin?2x+6 ?-1, ? ?
? ? ? π? 7π? π? g(x)=f?x+2?=-4sin?2x+ 6 ?-1=4sin?2x+6?-1, ? ? ? ? ? ?

又由 lg g(x)>0,得 g(x)>1,
? ? π? π? 1 ∴4sin?2x+6?-1>1,∴sin?2x+6?> , ? ? ? ? 2

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? π? x∈?0,2 ?时, ? ?

5.已知 a>0,函数 -5≤f(x)≤1.

? π? f(x)=-2asin?2x+6 ?+2a+b,当 ? ?

(1)求常数 a,b 的值; ? π? (2)设 g(x)=f?x+2 ?且 lg g(x)>0,求 g(x)的单调区间. ? ? π π 5π ∴2kπ+ <2x+ <2kπ+ ,k∈Z, 6 6 6 π π π 其中当 2kπ+6<2x+6≤2kπ+2,k∈Z 时, π g(x)单调递增,即 kπ<x≤kπ+6,k∈Z,
? π? ∴g(x)的单调增区间为?kπ,kπ+6?,k∈Z. ? ?

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? π? x∈?0,2 ?时, ? ?

5.已知 a>0,函数 -5≤f(x)≤1.

? π? f(x)=-2asin?2x+6 ?+2a+b,当 ? ?

(1)求常数 a,b 的值; ? π? (2)设 g(x)=f?x+2 ?且 lg g(x)>0,求 g(x)的单调区间. ? ?

π π 5π 又∵当 2kπ+ <2x+ <2kπ+ ,k∈Z 时, 2 6 6
π π g(x)单调递减,即 kπ+6<x<kπ+3,k∈Z.
? π π? ∴g(x)的单调减区间为?kπ+6,kπ+3?,k∈Z. ? ?

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