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数学基本思想






第一章 高中数学解题基本方法 ........................................................................................................................... 2 一、配方法 ....................................................................................................................................................... 2 二、换元法 ....................................................................................................................................................... 3 三、待定系数法 ............................................................................................................................................... 4 四、定义法 ....................................................................................................................................................... 5 五、数学归纳法 ............................................................................................................................................... 5 六、参数法 ....................................................................................................................................................... 7 七、反证法 ....................................................................................................................................................... 7 第二章 高中数学常用的数学思想 ....................................................................................................................... 9 一、数形结合思想方法 ................................................................................................................................... 9 二、分类讨论思想方法 ................................................................................................................................. 10 三、函数与方程的思想方法 ......................................................................................................................... 10 四、等价转化思想方法 ................................................................................................................................. 11





美国著名数学教育家波利亚说过,掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题, 总想用熟悉的题型去“套”,这只是满足于解出来,只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时, 才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查,特别是突出考查能力的试题,其 解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题,形成能 力,提高数学素质,使自己具有数学头脑和眼光。 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查: ① 常用数学方法:配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等; ② 数学逻辑方法:分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等; ③ 数学思维方法:观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和演绎等; ④ 常用数学思想:函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化(化归)思想等。 数学思想方法与数学基础知识相比较,它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容,可以用文字和 符号来记录和描述,随着时间的推移,记忆力的减退,将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识, 只能够领会和运用,属于思维的范畴,用以对数学问题的认识、处理和解决,掌握数学思想方法,不是受 用一阵子,而是受用一辈子,即使数学知识忘记了,数学思想方法也还是对你起作用。 数学思想方法中,数学基本方法是数学思想的体现,是数学的行为,具有模式化与可操作性的特征, 可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂,它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的 同时获得。 可以说,“知识”是基础,“方法”是手段,“思想”是深化,提高数学素质的核心就是提高学生对 数学思想方法的认识和运用,数学素质的综合体现就是“能力”。 为了帮助学生掌握解题的金钥匙,掌握解题的思想方法,本书先是介绍高考中常用的数学基本方法: 配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、 类比与归纳法、观察与实验法,再介绍高考中常用的数学思想:函数与方程思想、数形结合思想、分类讨 论思想、转化(化归)思想。最后谈谈解题中的有关策略和高考中的几个热点问题,并在附录部分提供了 近几年的高考试卷。 在每节的内容中,先是对方法或者问题进行综合性的叙述,再以三种题组的形式出现。再现性题组是 一组简单的选择填空题进行方法的再现,示范性题组进行详细的解答和分析,对方法和问题进行示范。巩 固性题组旨在检查学习的效果,起到巩固的作用。每个题组中习题的选取,又尽量综合到代数、三角、几

何几个部分重要章节的数学知识。

第一章

高中数学解题基本方法

一、配方法
配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方”)的技巧,通过配方找到已知和未知的联 系,从而化繁为简。何时配方,需要我们适当预测,并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑” 的技巧,从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。 最常见的配方是进行恒等变形,使数学式子出现完全平方。它主要适用于:已知或者未知中含有二次 方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解,或者缺 xy 项的二次曲线的平移变换等问题。 配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a+b) =a +2ab+b ,将这个公式灵活运用, 可得到各种基本配方形式,如: a +b =(a+b) -2ab=(a-b) +2ab; a +ab+b =(a+b) -ab=(a-b) +3ab=(a+
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

b 2 3 2 ) +( b) ; 2 2

a +b +c +ab+bc+ca=
2 2 2 2

2

2

2

1 2 2 2 [(a+b) +(b+c) +(c+a) ] 2
2

a +b +c =(a+b+c) -2(ab+bc+ca)=(a+b-c) -2(ab-bc-ca)=? 结合其它数学知识和性质,相应有另外的一些配方形式,如: 1+sin2α =1+2sinα cosα =(sinα +cosα ) ; x +
2 2

1 1 2 1 2 ) -2=(x- ) +2 ;?? 等等。 2 =(x+ x x x

Ⅱ、示范性题组: 例 1. 已知长方体的全面积为 11, 12 条棱的长度之和为 24, 其 则这个长方体的一条对角线长为_____。 A. 2 3 B. 14 C. 5 D. 6 【分析】 先转换为数学表达式:设长方体长宽高分别为 x,y,z,则 ? 对角线长 x 2 ? y 2 ? z 2 ,将其配凑成两已知式的组合形式可得。 【解】设长方体长宽高分别为 x,y,z,由已知“长方体的全面积为 11,其 12 条棱的长度之和为 24”而 得: ?

?2( xy ? yz ? xz ) ? 11 ,而欲求 ?4( x ? y ? z ) ? 24

?2( xy ? yz ? xz ) ? 11 。 ?4( x ? y ? z ) ? 24
2 2 2

2 长方体所求对角线长为: x ? y ? z = ( x ? y ? z ) ? 2( xy ? yz ? xz ) = 62 ? 11 =5

所以选 B。

【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式,观察和分析三个数学式, 容易发现使用配方法将三个数学式进行联系,即联系了已知和未知,从而求解。这也是我们使用配方法的 一种解题模式。

二、换元法
解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法。 换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对 象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理。 换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量,可以把分散的条件联系起来,隐含的条件 显露出来,或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式,把复杂的计算和推证简化。 它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式,在研究方程、不等式、 函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。 换元的方法有:局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元,是在已知或者未知中, 某个代数式几次出现,而用一个字母来代替它从而简化问题,当然有时候要通过变形才能发现。例如解不 等式:4 +2 -2≥0,先变形为设 2 =t(t>0),而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。 三角换元,应用于去根号,或者变换为三角形式易求时,主要利用已知代数式中与三角知识中有某点 联系进行换元。如求函数 y= x + 1? x 的值域时,易发现 x∈[0,1],设 x=sin α ,α ∈[0,
2 x x x

? ],问题 2

变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设,其中主要应该是发现值域的联系,又有去根号的需 要。如变量 x、y 适合条件 x +y =r (r>0)时,则可作三角代换 x=rcosθ 、y=rsinθ 化为三角问题。 均值换元,如遇到 x+y=S 形式时,设 x=
2 2 2

S S +t,y= -t 等等。 2 2

我们使用换元法时,要遵循有利于运算、有利于标准化的原则,换元后要注重新变量范围的选取,一 定要使新变量范围对应于原变量的取值范围,不能缩小也不能扩大。如上几例中的 t>0 和α ∈[0, Ⅱ、示范性题组: 例 1. 实数 x、y 满足 4x -5xy+4y =5 国高中数学联赛题) 【分析】 由 S=x +y 联想到 cos α +sin α =1,于是进行三角换元,设 ?
2 2 2 2 2 2

? ]。 2

( ①式) ,设 S=x +y ,求

2

2

1 S max



1 S min

的值。(全

? x ? S cos α ? ? y ? S sin α ?

代入①式

求 S max 和 S min 的值。 【解】设 ?

? x ? S cos α ? ? y ? S sin α ?
10 8 ? 5 sin 2α

代入①式得: 4S-5S·sinα cosα =5

解得 S=



∵ -1≤sin2α ≤1 ∴ 3≤8-5sin2α ≤13



10 10 10 ≤ ≤ 13 8 ? 5 sin ? 3



1 S max



1 S min



3 13 16 8 + = = 10 10 10 5

此种解法后面求 S 最大值和最小值,还可由 sin2α = ≤1。这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法”。

8 S ? 10 8S ? 10 的有界性而求,即解不等式:| | S S

三、待定系数法
要确定变量间的函数关系,设出某些未知系数,然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定 系数法,其理论依据是多项式恒等,也就是利用了多项式 f(x) ? g(x)的充要条件是:对于一个任意的 a 值, 都有 f(a) ? g(a);或者两个多项式各同类项的系数对应相等。 待定系数法解题的关键是依据已知,正确列出等式或方程。使用待定系数法,就是把具有某种确定形 式的数学问题, 通过引入一些待定的系数, 转化为方程组来解决, 要判断一个问题是否用待定系数法求解, 主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式,如果具有,就可以用待定系数法求解。例如 分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等,这些问题都具有确定的 数学表达形式,所以都可以用待定系数法求解。 使用待定系数法,它解题的基本步骤是: 第一步,确定所求问题含有待定系数的解析式; 第二步,根据恒等的条件,列出一组含待定系数的方程; 第三步,解方程组或者消去待定系数,从而使问题得到解决。 如何列出一组含待定系数的方程,主要从以下几方面着手分析: ①利用对应系数相等列方程; ②由恒等的概念用数值代入法列方程; ③利用定义本身的属性列方程; ④利用几何条件列方程。 比如在求圆锥曲线的方程时,我们可以用待定系数法求方程:首先设所求方程的形式,其中含有待定 的系数;再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组;最后解所得的方程或方程组求出未知 的系数,并把求出的系数代入已经明确的方程形式,得到所求圆锥曲线的方程。 Ⅱ、示范性题组:

mx 2 ? 4 3x ? n 例1. 已知函数 y= 的最大值为 7,最小值为-1,求此函数式。 x2 ?1
【分析】求函数的表达式,实际上就是确定系数 m、n 的值;已知最大值、最小值实际是就是已知函 数的值域,对分子或分母为二次函数的分式函数的值域易联想到“判别式法”。 【解】 函数式变形为: (y-m)x -4 3 x+(y-n)=0, x∈R, 由已知得 y-m≠0 ∴ △=(-4 3 ) -4(y-m)(y-n)≥0 即: y -(m+n)y+(mn-12)≤0 ① 不等式①的解集为(-1,7),则-1、7 是方程 y -(m+n)y+(mn-12)=0 的两根, 代入两根得: ?
2 2 2 2

? m ? 5 ?m ? 1 ?1 ? ( m ? n) ? mn ? 12 ? 0 解得: ? 或? ? n ? 1 ?n ? 5 ?49 ? 7( m ? n) ? mn ? 12 ? 0

5x 2 ? 4 3x ? 1 x 2 ? 4 3x ? 5 ∴ y= 或者 y= x2 ?1 x2 ?1
此题也可由解集(-1,7)而设(y+1)(y-7)≤0,即 y -6y-7≤0,然后与不等式①比较系数而得:
2

?m ? n ? 6 ,解出 m、n 而求得函数式 y。 ? ?mn ? 12 ? ?7
【注】 在所求函数式中有两个系数 m、n 需要确定,首先用“判别式法”处理函数值域问题,得到了 含参数 m、n 的关于 y 的一元二次不等式,且知道了它的解集,求参数 m、n。两种方法可以求解,一是 视为方程两根,代入后列出 m、n 的方程求解;二是由已知解集写出不等式,比较含参数的不等式而列出 m、n 的方程组求解。本题要求对一元二次不等式的解集概念理解透彻,也要求理解求函数值域的“判别 式法”:将 y 视为参数,函数式化成含参数 y 的关于 x 的一元二次方程,可知其有解,利用△≥0,建立了 关于参数 y 的不等式,解出 y 的范围就是值域,使用“判别式法”的关键是否可以将函数化成一个一元二 次方程。

四、定义法
所谓定义法,就是直接用数学定义解题。数学中的定理、公式、性质和法则等,都是由定义和公理推 演出来。定义是揭示概念内涵的逻辑方法,它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念。 定义是千百次实践后的必然结果,它科学地反映和揭示了客观世界的事物的本质特点。简单地说,定 义是基本概念对数学实体的高度抽象。用定义法解题,是最直接的方法,本讲让我们回到定义中去。 例 1. 已知 z=1+i, ① 设 w=z +3 z -4,求 w 的三角形式;
2

② 如果

z 2 ? az ? b =1-i, z2 ? z ?1

求实数 a、b 的值。(94 年全国理) 【分析】代入 z 进行运算化简后,运用复数三角形式和复数相等的定义解答。 【解】由 z=1+i,有 w=z +3 z -4=(1+i) +3 (1? i) -4=2i+3(1-i)-4=-1-i,w 的 三角形式是 2 (cos
2 2

5? 5? +isin ); 4 4

由 z=1+i,有

z 2 ? az ? b (1 ? i )2 ? a(1 ? i ) ? b ( a ? b) ? ( a ? 2)i = = =(a+2)-(a+b)i。 i z2 ? z ?1 (1 ? i ) 2 ? (1 ? i ) ? 1

由题设条件知:(a+2)-(a+b)i=1+i; 根据复数相等的定义,得: ?

?a ? 2 ? 1 , ?? ( a ? b) ? ?1

解得 ?

?a ? ?1 。 ?b ? 2

【注】求复数的三角形式,一般直接利用复数的三角形式定义求解。利用复数相等的定义,由实部、 虚部分别相等而建立方程组,这是复数中经常遇到的。

五、数学归纳法
归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种。 不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质,推断该类事物全体都具有的性质,这种推 理方法, 在数学推理论证中是不允许的。 完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来。

数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法, 在解数学题中有着广泛的应用。 它是一个递推的数学论证方法,论证的第一步是证明命题在 n=1(或 n 0 )时成立,这是递推的基础;第二 步是假设在 n=k 时命题成立,再证明 n=k+1 时命题也成立,这是无限递推下去的理论依据,它判断命 题的正确性能否由特殊推广到一般,实际上它使命题的正确性突破了有限,达到无限。这两个步骤密切相 关,缺一不可,完成了这两步,就可以断定“对任何自然数(或 n≥n 0 且 n∈N)结论都正确”。由这两 步可以看出,数学归纳法是由递推实现归纳的,属于完全归纳。 运用数学归纳法证明问题时,关键是 n=k+1 时命题成立的推证,此步证明要具有目标意识,注意与 最终要达到的解题目标进行分析比较,以此确定和调控解题的方向,使差异逐步减小,最终实现目标完成 解题。 运用数学归纳法,可以证明下列问题:与自然数 n 有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问 题、几何问题、整除性问题等等。 Ⅱ、示范性题组: 例1. 已知数列

8·n 8·1 ,?。S n 为其前 n 项和,求 S 1 、S 2 、S 3 、 2 ,得,?, 1 ·3 ( 2n ? 1) 2 · ( 2n ? 1)2
2

S 4 ,推测 S n 公式,并用数学归纳法证明。 (93 年全国理) 【解】 计算得 S 1 =

80 24 48 8 ,S 2 = ,S 3 = ,S 4 = , 25 49 81 9

猜测 S n =

( 2n ? 1) 2 ? 1 (n∈N)。 ( 2n ? 1) 2

当 n=1 时,等式显然成立;

( 2k ? 1) 2 ? 1 假设当 n=k 时等式成立,即:S k = , ( 2k ? 1) 2
当 n=k+1 时,S k ?1 =S k +

8·( k ? 1) ( 2k ? 1) 2 ·( 2k ? 3) 2



8·( k ? 1) ( 2k ? 1) 2 ? 1 + 2 ( 2k ? 1) 2 ·( 2k ? 3) 2 ( 2k ? 1)



( 2k ? 1) 2 ? ( 2k ? 3) 2 ? ( 2k ? 3) 2 ? 8·( k ? 1) ( 2k ? 1) 2 ·( 2k ? 3) 2
( 2k ? 1) 2 ? ( 2k ? 3) 2 ? ( 2k ? 1) 2 ( 2k ? 3) 2 ? 1 = , ( 2k ? 3) 2 ( 2k ? 1) 2 ·( 2k ? 3) 2



由此可知,当 n=k+1 时等式也成立。 综上所述,等式对任何 n∈N 都成立。 【注】 把要证的等式 S k ?1 =

( 2k ? 3) 2 ? 1 2 作为目标,先通分使分母含有(2k+3) ,再考虑要约分, ( 2k ? 3) 2
2

而将分子变形,并注意约分后得到(2k+3) -1。这样证题过程中简洁一些,有效地确定了证题的方向。 本题的思路是从试验、观察出发,用不完全归纳法作出归纳猜想,再用数学归纳法进行严格证明,这是关

于探索性问题的常见证法,在数列问题中经常见到。 假如猜想后不用数学归纳法证明,结论不一定正确, 即使正确,解答过程也不严密。必须要进行三步:试值 → 猜想 → 证明。

六、参数法
参数法是指在解题过程中,通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量(参数),以 此作为媒介,再进行分析和综合,从而解决问题。直线与二次曲线的参数方程都是用参数法解题的例证。 换元法也是引入参数的典型例子。 辨证唯物论肯定了事物之间的联系是无穷的,联系的方式是丰富多采的,科学的任务就是要揭示事物 之间的内在联系,从而发现事物的变化规律。参数的作用就是刻画事物的变化状态,揭示变化因素之间的 内在联系。参数体现了近代数学中运动与变化的思想,其观点已经渗透到中学数学的各个分支。运用参数 法解题已经比较普遍。 参数法解题的关键是恰到好处地引进参数,沟通已知和未知之间的内在联系,利用参数提供的信息, 顺利地解答问题。 Ⅱ、示范性题组: 例1. 实数 a、b、c 满足 a+b+c=1,求 a +b +c 的最小值。 【分析】由 a+b+c=1 想到“均值换元法”,于是引入了新的参数,即设 a=
2 2 2

1 1 +t 1 ,b= +t 2 ,c 3 3



1 2 2 2 +t 3 ,代入 a +b +c 可求。 3
【解】由 a+b+c=1,设 a=

1 1 1 +t 1 ,b= +t 2 ,c= +t 3 ,其中 t 1 +t 2 +t 3 =0, 3 3 3

∴ a +b +c =(

2

2

2

1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 +t 1 ) +( +t 2 ) +( +t 3 ) = + (t 1 +t 2 +t 3 )+t 1 +t 2 +t 3 = 3 3 3 3 3

1 1 2 2 2 +t 1 +t 2 +t 3 ≥ 3 3
所以 a +b +c 的最小值是
2 2 2

1 。 3

【注】由“均值换元法”引入了三个参数,却将代数式的研究进行了简化,是本题此种解法的一个技 巧。 本题另一种解题思路是利用均值不等式和“配方法”进行求解,解法是:a +b +c =(a+b+c) - 2(ab+bc+ac)≥1-2(a +b +c ),即 a +b +c ≥
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 。 3

两种解法都要求代数变形的技巧性强,多次练习,可以提高我们的代数变形能力。

七、反证法
与前面所讲的方法不同,反证法是属于“间接证明法”一类,是从反面的角度思考问题的证明方法, 即:肯定题设而否定结论,从而导出矛盾推理而得。法国数学家阿达玛(Hadamard)对反证法的实质作过概 括: “若肯定定理的假设而否定其结论,就会导致矛盾”。具体地讲,反证法就是从否定命题的结论入手, 并把对命题结论的否定作为推理的已知条件,进行正确的逻辑推理,使之得到与已知条件、已知公理、定

理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛,矛盾的原因是假设不成立,所以肯定了命题的结论,从而使 命题获得了证明。 反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思维过程中,两个互相矛盾的 判断不能同时都为真,至少有一个是假的,这就是逻辑思维中的“矛盾律”;两个互相矛盾的判断不能同 时都假,简单地说“A 或者非 A”,这就是逻辑思维中的“排中律”。反证法在其证明过程中,得到矛盾的 判断,根据“矛盾律”,这些矛盾的判断不能同时为真,必有一假,而已知条件、已知公理、定理、法则 或者已经证明为正确的命题都是真的,所以“否定的结论”必为假。再根据“排中律”,结论与“否定的 结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假,必有一真,于是我们得到原结论必为真。所以反证法是 以逻辑思维的基本规律和理论为依据的,反证法是可信的。 反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”。即从否定结论开始,经过正确无误的 推理导致逻辑矛盾,达到新的否定,可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”。应用反证法证明的 主要三步是:否定结论 → 推导出矛盾 → 结论成立。实施的具体步骤是: 第一步,反设:作出与求证结论相反的假设; 第二步,归谬:将反设作为条件,并由此通过一系列的正确推理导出矛盾; 第三步,结论:说明反设不成立,从而肯定原命题成立。 在应用反证法证题时,一定要用到“反设”进行推理,否则就不是反证法。用反证法证题时,如果欲 证明的命题的方面情况只有一种,那么只要将这种情况驳倒了就可以,这种反证法又叫“归谬法”;如果 结论的方面情况有多种,那么必须将所有的反面情况一一驳倒,才能推断原结论成立,这种证法又叫“穷 举法”。 在数学解题中经常使用反证法,牛顿曾经说过:“反证法是数学家最精当的武器之一”。一般来讲, 反证法常用来证明的题型有:命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“无限”形 式出现的命题;或者否定结论更明显。具体、简单的命题;或者直接证明难以下手的命题,改变其思维方 向,从结论入手进行反面思考,问题可能解决得十分干脆。 例 2. 若下列方程:x +4ax-4a+3=0, x +(a-1)x+a =0, x +2ax-2a=0 至少有一个方程有 实根。试求实数 a 的取值范围。 【分析】 三个方程至少有一个方程有实根的反面情况仅有一种:三个方程均没有实根。先求出反面情 况时 a 的范围,再所得范围的补集就是正面情况的答案。 【解】 设三个方程均无实根,则有:
2 2 2 2

1 ? 3 ? ?a? ? 2 2 ?△ 1 ? 16a 2 ? 4( ?4a ? 3) ? 0 ? 1 ? 3 ? 2 2 ,解得 ? a ? ?1或a ? ,即- <a<-1。 ?△ 2 ? ( a ? 1) ? 4a ? 0 3 2 ? ? 2 ?△ 2 ? 4a ? 4( ?2a ) ? 0 ?2?a?0 ? ? ?
所以当 a≥-1 或 a≤-

3 时,三个方程至少有一个方程有实根。 2

【注】 “至少”、 “至多”问题经常从反面考虑,有可能使情况变得简单。本题还用到了“判别式法”、 “补集法”(全集 R),也可以从正面直接求解,即分别求出三个方程有实根时(△≥0)a 的取值范围, 再将三个范围并起来,即求集合的并集。两种解法,要求对不等式解集的交、并、补概念和运算理解透彻。

第二章

高中数学常用的数学思想

一、数形结合思想方法
中学数学的基本知识分三类:一类是纯粹数的知识,如实数、代数式、方程(组)、不等式(组)、 函数等;一类是关于纯粹形的知识,如平面几何、立体几何等;一类是关于数形结合的知识,主要体现是 解析几何。 数形结合是一个数学思想方法,包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用大致可以分为两 种情形:或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,数为目的,比如应用函数 的图像来直观地说明函数的性质;或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性,即以数作 为手段,形作为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。 恩格斯曾说过:“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合就是根据数学问题 的条件和结论之间的内在联系,既分析其代数意义,又揭示其几何直观,使数量关的精确刻划与空间形式 的直观形象巧妙、和谐地结合在一起,充分利用这种结合,寻找解题思路,使问题化难为易、化繁为简, 从而得到解决。“数”与“形”是一对矛盾,宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。华罗庚先 生说过:数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休。 数形结合的思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来,关键是代数问题与图形之间的 相互转化,它可以使代数问题几何化,几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时,要注意 三点:第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征,对数学题目中的条件和结论既分 析其几何意义又分析其代数意义;第二是恰当设参、合理用参,建立关系,由数思形,以形想数,做好数 形转化;第三是正确确定参数的取值范围。 数学中的知识,有的本身就可以看作是数形的结合。如:锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来 定义的;任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。 Ⅱ、示范性题组: 例 1. 若方程 lg(-x +3x-m)=lg(3-x)在 x∈(0,3)内有唯一解,求实数 m 的取值范围。 【分析】将对数方程进行等价变形,转化为一元二次方程在某个范围内有实解的问题,再利用二次函 数的图像进行解决。 【解】 原方程变形为 ?
2

?3 ? x ? 0
2 ? ? x ? 3x ? m ? 3 ? x

即: ?

?3 ? x ? 0
2 ?( x ? 2 ) ? 1 ? m
2

设曲线 y 1 =(x-2)

, x∈(0,3)和直线 y 2 =1-m,图像如图所示。由图可知:

① 当 1-m=0 时,有唯一解,m=1; ②当 1≤1-m<4 时,有唯一解,即-3<m≤0, ∴ m=1 或-3<m≤0 此题也可设曲线 y 1 =-(x-2) +1 , x∈(0,3)和直线 y 2 =m 后画出图像求解。 【注】 一般地,方程的解、不等式的解集、函数的性质等进行讨论时,可以借助于函数的图像直观解 决,简单明了。此题也可用代数方法来讨论方程的解的情况,还可用分离参数法来求(也注意结合图像分 析只一个 x 值)。
2

二、分类讨论思想方法
在解答某些数学问题时,有时会遇到多种情况,需要对各种情况加以分类,并逐类求解,然后综合得 解,这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法,是一种重要的数学思想,同时也是一种重要的解题策 略,它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻 辑性、综合性、探索性,能训练人的思维条理性和概括性,所以在高考试题中占有重要的位置。 引起分类讨论的原因主要是以下几个方面: ① 问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分 a>0、a=0、a<0 三种情况。这种分类 讨论题型可以称为概念型。 ② 问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制,或者是分类给出的。如等 比数列的前 n 项和的公式,分 q=1 和 q≠1 两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。 ③ 解含有参数的题目时,必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式 ax>2 时分 a>0、a=0 和 a<0 三种情况讨论。这称为含参型。 另外,某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等,都主要通过分类讨论,保 证其完整性,使之具有确定性。 进行分类讨论时,我们要遵循的原则是:分类的对象是确定的,标准是统一的,不遗漏、不重复,科 学地划分,分清主次,不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。 解答分类讨论问题时,我们的基本方法和步骤是:首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围; 其次确定分类标准,正确进行合理分类,即标准统一、不漏不重、分类互斥(没有重复);再对所分类逐 步进行讨论,分级进行,获取阶段性结果;最后进行归纳小结,综合得出结论。 例 1. 设 0<x<1,a>0 且 a≠1,比较|log a (1-x)|与|log a (1+x)|的大小。 【分析】 比较对数大小,运用对数函数的单调性,而单调性与底数 a 有关,所以对底数 a 分两类情况 进行讨论。 【解】 ∵ 0<x<1 ∴ 0<1-x<1 , 1+x>1 ① 当 0<a<1 时,log a (1-x)>0,log a (1+x)<0,所以 |log a (1-x)|-|log a (1+x)|=log a (1-x)-[-log a (1+x)]=log a (1-x )>0; ② 当 a>1 时,log a (1-x)<0,log a (1+x)>0,所以 |log a (1-x)|-|log a (1+x)|=-log a (1-x) -log a (1+x)=-log a (1-x )>0; 由①、②可知,|log a (1-x)|>|log a (1+x)|。 【注】 本题要求对对数函数 y=log a x 的单调性的两种情况十分熟悉, 即当 a>1 时其是增函数, 0<a<1 当 时其是减函数。去绝对值时要判别符号,用到了函数的单调性;最后差值的符号判断,也用到函数的单调 性。
2 2

三、函数与方程的思想方法
函数思想,是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想,是从问题的数量 关系入手,运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式、或方程与不等式的混合组), 然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解。有时,还实现函数与方程的互相转化、接轨,达到 解决问题的目的。 笛卡尔的方程思想是:实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界,充斥着等式和不等式。 我们知道, 哪里有等式, 哪里就有方程; 哪里有公式, 哪里就有方程; 求值问题是通过解方程来实现的?? 等等;不等式问题也与方程是近亲,密切相关。而函数和多元方程没有什么本质的区别,如函数 y=f(x),

就可以看作关于 x、y 的二元方程 f(x)-y=0。可以说,函数的研究离不开方程。列方程、解方程和研究方 程的特性,都是应用方程思想时需要重点考虑的。 函数描述了自然界中数量之间的关系,函数思想通过提出问题的数学特征,建立函数关系型的数学模 型,从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地,函数思想是构造函数从而利 用函数的性质解题,经常利用的性质是:f(x)、f
?1

(x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像

变换等,要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特 性。在解题中,善于挖掘题目中的隐含条件,构造出函数解析式和妙用函数的性质,是应用函数思想的关 键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时,才能产生由此及彼的联系,构造出函数原 型。另外,方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题,即用函数思想解答 非函数问题。 函数知识涉及的知识点多、面广,在概念性、应用性、理解性都有一定的要求,所以是高考中考查的 重点。我们应用函数思想的几种常见题型是:遇到变量,构造函数关系解题;有关的不等式、方程、最小 值和最大值之类的问题,利用函数观点加以分析;含有多个变量的数学问题中,选定合适的主变量,从而 揭示其中的函数关系;实际应用问题,翻译成数学语言,建立数学模型和函数关系式,应用函数性质或不 等式等知识解答;等差、等比数列中,通项公式、前 n 项和的公式,都可以看成 n 的函数,数列问题也可 以用函数方法解决。 Ⅱ、示范性题组: 例 2. 设不等式 2x-1>m(x -1)对满足|m|≤2 的一切实数 m 的取值都成立。求 x 的取值范围。 【分析】 此问题由于常见的思维定势,易把它看成关于 x 的不等式讨论。然而,若变换一个角度以 m 为变量, 即关于 m 的一次不等式(x -1)m-(2x-1)<0 在[-2,2]上恒成立的问题。 对此的研究, f(m)=(x 设
2 2 2

-1)m-(2x-1),则问题转化为求一次函数(或常数函数)f(m)的值在[-2,2]内恒为负值时参数 x 应该满足 的条件 ?

? f ( 2) ? 0 。 ? f ( ?2) ? 0
2 2

【解】问题可变成关于 m 的一次不等式:(x -1)m-(2x-1)<0 在[-2,2] 恒成立,设 f(m)=(x -1)m -(2x-1),

? f ( 2) ? 2( x 2 ? 1) ? ( 2 x ? 1) ? 0 ? 则 ? ? f ( ?2) ? ?2( x 2 ? 1) ? ( 2 x ? 1) ? 0 ?
解得 x∈(

7 ?1 3 ?1 , ) 2 2
2

【注】 本题的关键是变换角度,以参数 m 作为自变量而构造函数式,不等式问题变成函数在闭区间 上的值域问题。 本题有别于关于 x 的不等式 2x-1>m(x -1)的解集是[-2,2]时求 m 的值、关于 x 的不等式 2x-1>m(x -1)在[-2,2]上恒成立时求 m 的范围。 一般地,在一个含有多个变量的数学问题中,确定合适的变量和参数,从而揭示函数关系,使问题更 明朗化。或者含有参数的函数中,将函数自变量作为参数,而参数作为函数,更具有灵活性,从而巧妙地 解决有关问题。
2

四、等价转化思想方法
等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的 转化,把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。历年高考,等价转化

思想无处不见,我们要不断培养和训练自觉的转化意识,将有利于强化解决数学问题中的应变能力,提高 思维能力和技能、技巧。 转化有等价转化与非等价转化。等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的,才保证转化后的结 果仍为原问题的结果。非等价转化其过程是充分或必要的,要对结论进行必要的修正(如无理方程化有理 方程要求验根),它能给人带来思维的闪光点,找到解决问题的突破口。我们在应用时一定要注意转化的 等价性与非等价性的不同要求,实施等价转化时确保其等价性,保证逻辑上的正确。 著名的数学家,莫斯科大学教授 C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的 演讲时提出:“解题就是把要解题转化为已经解过的题”。数学的解题过程,就是从未知向已知、从复杂 到简单的化归转换过程。 等价转化思想方法的特点是具有灵活性和多样性。在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时,没 有一个统一的模式去进行。它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换;它可以在宏观上进行等价转 化,如在分析和解决实际问题的过程中,普通语言向数学语言的翻译;它可以在符号系统内部实施转换, 即所说的恒等变形。消去法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等等,都体现了等价转化思想,我们 更是经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化。可以说,等价转化是将恒等变形在代数式方面的形变 上升到保持命题的真假不变。由于其多样性和灵活性,我们要合理地设计好转化的途径和方法,避免死搬 硬套题型。 在数学操作中实施等价转化时,我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则,即把我们遇到 的问题,通过转化变成我们比较熟悉的问题来处理;或者将较为繁琐、复杂的问题,变成比较简单的问题, 比如从超越式到代数式、从无理式到有理式、从分式到整式?等;或者比较难以解决、比较抽象的问题, 转化为比较直观的问题,以便准确把握问题的求解过程,比如数形结合法;或者从非标准型向标准型进行 转化。按照这些原则进行数学操作,转化过程省时省力,有如顺水推舟,经常渗透等价转化思想,可以提 高解题的水平和能力。 Ⅱ、示范性题组: 例 1. 若 x、y、z∈R 且 x+y+z=1,求(
?

1 1 1 -1)( -1)( -1)的最小值。 x z y

【分析】由已知 x+y+z=1 而联想到,只有将所求式变形为含代数式 x+y+z,或者运用均值不等式 后含 xyz 的形式。所以,关键是将所求式进行合理的变形,即等价转化。 【解】(

1 1 1 1 -1)( -1)( -1)= (1-x)(1-y)(1-z) x z y xyz



1 1 (1-x-y-z+xy+yz+zx-xyz)= (xy+yz+zx-xyz) xyz xyz



3 1 1 1 3 1 + + -1≥3 3 -1= -1≥ -1=9 3 xyz x? y?z x y z xyz 3
1 1 1 + + 的最小 x y z

【注】对所求式进行等价变换:先通分,再整理分子,最后拆分。将问题转化为求

值,则不难由平均值不等式而进行解决。此题属于代数恒等变形题型,即代数式在形变中保持值不变。


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