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选修4-4 第二讲 参数方程


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第二讲

参数方程
? x ? f (t ), 并 ? y ? g (t ),

1. 参数方程的概念: 在平面直角坐标系中, 如果曲线上任意一点的坐标 x , y 都是某个变数 t 的函数 ?

且对于 t 的每一个允许值,由这个方程所确定的点 M

( x, y ) 都在这条曲线上,那么这个方程就叫做这条曲线的 参数方程,联系变数 x , y 的变数 t 叫做参变数,简称参数。 相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。 2.1、圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的参数方程可表示为 ?

? x ? a ? rcos? , (?为参数) . ? y ? b ? rsin? . ? x ? acos? , x2 y2 2、椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的参数方程可表示为 ? (?为参数) . a b ? y ? bsin?.
3、抛物线 y ? 2 px 的参数方程可表示为
2

?

x ? 2 pt 2 。 y ? 2 pt (t 为参数)

x2 y2 ? x ? a sec ? 消去参数后,得 4、双曲 a 2 - b2 =1, 线的参数方程可表示 所以M的轨迹方程是 ? (?为参数) ? y ? b tan ? 这是中心在原点,焦点在x轴上的双曲线。

5、经过点 M O ( xo , yo ) ,倾斜角为 ? 的直线 l 的参数方程可表示为 ?

?x ? xo ? tcos? , ( t 为参数). ? y ? yo ? tsin? .

3.在建立曲线的参数方程时,要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中,必须使 x , y 的 取值范围保持一致.

巩固练习:
一、选择题
1 ? x=2cos ?- 1.将参数方程 ? (a 为参数)化成普通方程为( ? y=-cos ?

).

A.2x+y+1=0 C.2x+y+1=0(-3≤x≤1) 2.双曲线 xy=1 的参数方程是(
1 ? 2 ? x = t ? A. ? 1 - ? 2 ? y = t ?

B.x+2y+1=0 D.x+2y+1=0(-1≤y≤1) ).

? x=sin t ? B. ? 1 y= ? sin t ?
? et+e -t ? x= ? 2 D. ? 2 ? y= t ? e +e -t ?

? x=tan t ? C. ? 1 y= ? tan t ?

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x =1-t cos 30? 和 3.对于参数方程 ? ? ? ? y = 2+t sin 30

? ? x =1+ t cos 30? 的曲线,正确的结论是( ? ? 2- t sin 30? ? y = 
B.是倾斜角为 30?的同一直线 D.是过点(1,2)的相交直线

).

A.是倾斜角为 30?的平行线 C.是倾斜角为 150?的同一直线

? ? ? x= cos +sin ? ? 2 2 4.参数方程 ? (0≤?≤2?)的曲线( ? y= 1(1+sin ? ) ? 2 ?

).

A.抛物线的一部分,且过点(-1, B.抛物线的一部分,且过点(1, C.双曲线的一支,且过点(-1, D.双曲线的一支,且过点(1,

1 ) 2

1 ) 2 1 ) 2

1 ) 2
).

? x=2 -t 5.直线 ? (t 为参数)上与点 A(2,-3)的距离等于 1 的点的坐标是( ? y=-3 +t

A.(1,-2)或(3,-4) B.(2- 2 ,-3+ 2 )或(2+ 2 ,-3- 2 ) C.(2-
2 2 2 2 ,-3+ )或(2+ ,-3- ) 2 2 2 2

D.(0,-1)或(4,-5)
? x=2cos ? 6.直线 xcos ?+ysin ?=2 与圆 ? (??为参数)的位置关系是( ? y=2sin?

). D.相离 ).

A.相交不过圆心

B.相交且过圆心

C.相切

? x= t ? 7.若点 P(4,a)在曲线 ? 2 (t 为参数)上,点 F(2,0),则|PF|等于( ? y = 2 t ?
A.4 B.5 C.6 D.7

? ?x = 6 cos ? ? 8. 已知点(m,n)在曲线 ? (?为参数)上,点(x,y)在曲线 ? x= 24 cos ? (?为参数)上,则 mx+ny ? y =  6 sin ? ? y= 24 sin ? ?

的最大值为( A.12

). B.15 C.24 D.30
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? x= 2cos ? ? 9.直线 y=kx+2 与曲线 ? 至多一个交点的充要条件是( ? y= 3sin ? ?

).

A.k∈[- C.k∈[-

1 1 , ] 2 2
2 2 , ] 2 2

B.k∈(-∞,- D.k∈(-∞,-

1 1 ]∪[ ,+∞) 2 2
2 2 ]∪[ ,+∞) 2 2

? 1 1 ? x= 2cos? 10. 过椭圆 C: (??为参数)的右焦点 F 作直线 l 交 C 于 M, N 两点, |MF|=m, |NF|=n, 则 + ? m n ? ? y= 3sin ?
的值为( A. ).

2 3

B.

4 3

C.

8 3

D.不能确定

11.若直线的参数方程为 ?

? x ? 1 ? 2t (t为参数) ,则直线的斜率为( y ? 2 ? 3 t ?



2 3 3 C. 2
A.

2 3 3 D. ? 2
B. ?

12.下列在曲线 ?

? x ? sin 2? (? 为参数) 上的点是( ? y ? cos ? ? sin ?
B. ( ?



A. ( , ? 2) 13.将参数方程 ?

1 2

3 1 , ) 4 2

C. (2, 3)

D. (1, 3)

? x ? 2 ? sin 2 ? ? (? 为参数) 化为普通方程为( 2 y ? sin ? ? ?
B. y ? x ? 2
2

) D. y ? x ? 2(0 ? y ? 1)

A. y ? x ? 2

C. y ? x ? 2(2 ? x ? 3) )

14.化极坐标方程 ? cos ? ? ? ? 0 为直角坐标方程为( A. x ? y ? 0或y ? 1
2 2

B. x ? 1

C. x ? y ? 0或x ? 1
2 2

D. y ? 1

15.点 M 的直角坐标是 (?1, 3) ,则点 M 的极坐标为( A. (2,



?
3

)

B. (2, ?

?
3

)

C. (2,

2? ) 3

D. (2, 2k? ? )

?
3

), (k ? Z )

16.极坐标方程 ? cos ? ? 2sin 2? 表示的曲线为( A.一条射线和一个圆 B.两条直线

C.一条直线和一个圆

D.一个圆

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二、填空题
? x=v 0tcos ? ? ? 11. 弹道曲线的参数方程为 ? (t 为参数,a,v0,g 为常数),当炮弹达到最高点时,炮弹 ? y=v 0tsin ?- 1 gt 2 ? ? 2

飞行的水平距离为

. .

? ? ? x=tsin 20 +3 12.直线的参数方程为 ? (t 为参数),则直线的倾斜角为 ? ? ? y=- tcos 20

? ? x= t 13.曲线 C1:y=|x|,C2:x=0,C3 的参数方程为 ? (t 为参数),则 C1,C2,C3 围成的图形的面积 ? ? y= 1-t
为 .
? x=tcos ? ? x=4+2cos ? 14.直线 ? 与圆 ? 相切,则该直线的倾斜角=________. ? y=tsin ? ? y= 2sin ?

? y+2 ? x= t 15.变量 x,y 满足 ? (t 为参数),则代数式 的取值范围是 x+2 ? ? y=2 1-t
16.若动点(x,y)在曲线
x2 y 2 + =  1 (0<b≤4)上变化,则 x2+2y 的最大值为 4 b2





17.直线 ?

? x ? 3 ? 4t (t为参数) 的斜率为______________________。 ? y ? 4 ? 5t
t ?t ? ?x ? e ? e (t为参数) 的普通方程为__________________。 t ?t y ? 2( e ? e ) ? ?

18.参数方程 ?

19.已知直线 l1 : ?

? x ? 1 ? 3t (t为参数) 与直线 l2 : 2 x ? 4 y ? 5 相交于点 B ,又点 A(1, 2) , ? y ? 2 ? 4t

则 AB ? _______________。

1 ? x ? 2? t ? ? 2 (t为参数) 被圆 x2 ? y 2 ? 4 截得的弦长为______________。 20.直线 ? ? y ? ?1 ? 1 t ? ? 2
21.直线 x cos ? ? y sin ? ? 0 的极坐标方程为____________________。

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三.解答题 1.已知点 P( x, y ) 是圆 x 2 ? y 2 ? 2 y 上的动点, (1)求 2 x ? y 的取值范围;

(2)若 x ? y ? a ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围。

2.求直线 l1 : ?

? ?x ? 1? t (t为参数) 和直线 l2 : x ? y ? 2 3 ? 0 的交点 P 的坐标,及点 P ? ? y ? ?5 ? 3t

与 Q(1, ?5) 的距离。

3.在椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上找一点,使这一点到直线 x ? 2 y ? 12 ? 0 的距离的最小值。 16 12

4.已知直线 l1 过点 P(2,0),斜率为 (1)求直线 l1 的参数方程;

4 . 3

(2)若直线 l2 的方程为 x+y+5=0,且满足 l1∩l2=Q,求|PQ|的值.

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? x= 3sin? +4cos? 5.已知点 P(x,y)为曲线 C: ? (??为参数)上动点, ? y= 4sin? -3cos?

若不等式 x+y+m>0 恒成立,求实数 m 的取值范围.

1 ? x=t+ ? ? t 6.经过点 M(2,1)作直线交曲线 ? (t 是参数)于 A,B 两点,若点 M 为线段 AB 的中点,求直线 AB 的 1 ? y=t- ? t ?

方程.

1 ? x= ? ? ? ? x= 2 +1+tcos ? t 7.已知直线 l: ? (t 为参数,?∈R),曲线 C: ? (t 为参数). 1 ? y = - 1 + t sin ? 2 ? ? y= t - 1 ? t ?

(1)若 l 与 C 有公共点,求直线 l 的斜率的取值范围; (2)若 l 与 C 有两个公共点,求直线 l 的斜率的取值范围.

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