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2014-2015学年高一下学期期末考试数学试题


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贵州省习水市第二中学 2014-2015 学年度高一下学期期末考 试数学试题
题号 得分 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一 二 三 总分

第 I 卷(选择题)
一、选择题(10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.已知 A ? ?0,1, 2,3? ,且 A 中至少有一个奇数,则这样的集合 A 共有( A.11 个 B.12 个 C.15 个 D.16 个 )

2.三个数 60.7, 0.76, log0.7 6 的大小顺序是 A.0.7 <log0.76<6
0.7 6 0.7

B.0.7 <6 <log0.76 D.

6

0.7

C.log0.76<6 <0.7

6

log0.7 6 ? 0.76 ? 60.7
1 的 一 个 零 点 , 若 x1 ? ?1, x0 ? , x2 ? ? x0 , ??? , 则 1? x

3 . 已 知 x0 是 函 数 f ( x) ? 2 x ?

( )\ A 、f(x1)<0,f(x2)<0 B、f(x1)<0,f(x2)>0 C、f(x1)>0,f(x2)<0 D、f(x1)>0,f(x2)>0 4.若 tan ? ?

1 ,则 cos 2? ? 3
3 5 3 D. 4
B. , f (a ? 1)(填写“<”

4 5 5 C. 12
A.

5.已知函数 f ( x) ? loga x 在 (0, ??) 上单调递增,则 f (?2) “=” , “>”之一) 6. y ? sin x 的一个单调增区间为





A

(?

? ?

, ) 4 4

B

? 3? ( , ) 4 4

C

? 5? ? ?? , ? 4 ? ?
) D、

D

(

3? ,2? ) 2

7.若 sin ? ? 3 cos ? ? 0 ,则 A、 ?

sin ? ? cos? 的值为( sin ? ? cos?
C、 ? 2

1 2

B、 2

1 2


8.设全集 U ? x ? N ? x ? 6 ,集合 A ? ?1,3? , B ? ?3,5? 则 CU ? A ? B? 等于(

?

?

试卷第 1 页,总 5 页

A. ?2,4?

B. ?2,5?

1,5? C. ?

D. ?2,4? )

9.设全集 U ? ?0,1,2,3,4?, A ? ?0,3,4?, B ? ? 1,3?,则 (CU A) ? B =( A.{2} C.{1,3} B.{1,2,3} D.{0,1,2,3,4}

10.若 A ? ?0,1, 2? , B ? x 1 ? x ? 2 , 则 A ? B ? ( A. ?1? B. ?0,1, 2? C. ?0,1? D. ?1, 2?

?

?



试卷第 2 页,总 5 页

第 II 卷(非选择题)
评卷人 得分 二、填空题(5 小题,每小题 5 分,共 25 分)

11.已知函数① f ( x) ? ln x ;② f ( x) ? cos x ;③ f ( x) ? e x ;④ f ( x) ? e cos x .其中对 于 f ( x) 定 义 域 内 的 任 意 一 个 x1 都 存 在 唯 一 个 x2 , 使f ( x1 ) f ( x2 ) ? 1 成 立 的 函 数 是 . (写出所有满足条件的函数的序号) .

12.函数 f ( x) ? log2 ( x2 ?1) 的定义域为

13. (2011?浙江)若平面向量α ,β 满足|α |=1,|β |≤1,且以向量α ,β 为邻边的 平行四边形的面积为 ,则α 和β 的夹角θ 的范围是 _________ .

a 的图像向右平移 2 个单位后得曲线 C1 ,将函数 y ? g ( x) 的图像 2x f ( x) ? g ( x) 的最 向下平移 2 个单位后得曲线 C2 , C1 与 C2 关于 x 轴对称.若 F ( x ) ? a
x 14.将 f ( x) ? 2 ?

小值为 m且 m ? 2 ? 7 ,则实数 a 的取值范围为



15.已知函数 f ( x) 与 g ( x) 的图像关于直线 x ? 2 对称,若 f ( x) ? 4 x ? 15 ,则不等式

g ( x) ? 0 的解集是_________。 x2 ?1
评卷人 得分 三、解答题(75 分) 16. (本小题满分 12 分)已知 {an } 是正项数列, a1 ? 1 ,且点 ( an , an?1 ) ( n ? N* )在 函数 y ? x 2 ? 1 的图像上. (1)求数列 {an } 的通项公式;
2 (2)若列数 {bn } 满足 b1 ? 1 , bn?1 ? bn ? 2an ,求证: bnbn ? 2 ? bn ?1 .

17. (本题满分 14 分)已知圆 C: x ? y ? 2 x ? 4 y ? m ? 0 。
2 2

(1)求 m 的取值范围。 (2)当 m=4 时,若圆 C 与直线 x ? ay ? 4 ? 0 交于 M,N 两点,且 CM ? CN ,求 a 的 值。 18. (本题满分 12 分) 如图, AB 是⊙ O 的直径,PA 垂直于⊙ O 所在的平面,C 是圆周上不同于 A, B 的一动点.

试卷第 3 页,总 5 页

(1)证明:面 PAC ? 面 PBC; (2)若 PA ? AB ? 2 ,则当直线 PC 与平面 ABC 所成角正切值为 2 时,求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值. 19.(本题满分 12 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 如图: 三棱锥 P ? ABC 中,PA 底面 ABC , 若底面 ABC 是边长为 2 的正三角形, 且 PB 与底面 ABC 所成的角为

? ,若 M 是 BC 的中点, 3

P

A B M

C

求: (1)三棱锥 P ? ABC 的体积; (2)异面直线 PM 与 AC 所成角的大小(结果用反三角函数值表示). 20.(本小题 12 分) 如图,在三棱锥 P ? ABC 中, AB ? AC , D 为 BC 的中点, PO 平面 ABC ,垂足 O 落在线段 AD 上,已知 BC ? 8, PO ? 4, AO ? 3, OD ? 2 (1)证明: AP ? BC ; (2)在线段 AP 上是否存在点 M ,使得二面角 A ? MC ? B 为直二面角?若存在,求出 AM 的长;若不存在,请说明理由.
P

A O B D

C

21.(本题满分 14 分) 已 知 正 项 数 列 {an },{bn } 满 足 : 对 任 意 正 整 数 n , 都 有 an , bn , an?1 成 等 差 数 列 ,
试卷第 4 页,总 5 页

bn , an?1 , bn?1 成等比数列,且 a1 ? 10, a2 ? 15.
(Ⅰ)求证:数列 { b n } 是等差数列; (Ⅱ)求数列 {an },{bn } 的通项公式; (Ⅲ) 设 Sn ?

b 1 1 1 ? ? ? ? , 如果对任意正整数 n ,不等式 2aSn ? 2 ? n 恒成立,求 a1 a2 an an

实数 a 的取值范围.

试卷第 5 页,总 5 页

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参考答案 1.B 【解析】 试题分析:根据题意,分 A 中有 1 个奇数或 2 个奇数两种情况讨论,由排列组合知识易得每 种情况下的集合 A 数目, 由分步计数原理计算可得答案解: 根据题意, A 中至少有一个奇数, 1 2 包含两种情况,A 中有 1 个奇数或 2 个奇数,若 A 中含 1 个奇数,有 C2 ×2 =8, A 中含 2 2 2 个奇数:C2 ×2 =4,由分类计数原理可得.共有 8+4=12 种情况;故选 B. 考点:排列、组合 点评:本题考查排列、组合的运用,解题的关键在于对“A 中至少有一个奇数”的理解,进 而分“A 中有 1 个奇数或 2 个奇数”两种情况讨论. 2.D 【解析】 试题分析:根据题意,由于三个数 60.7 >1,0<0.76 <1, log0.7 6 ? 0 ,那么可知其大小关系为

log0.7 6 ? 0.76 ? 60.7 ,选 D.
考点:指数函数与对数函数 点评:主要是考查了指数式与对数式的比较大小,属于基础题。 3.B

?2 x 2 ? 2 x ? 1 [ x ? (1 ? 3)][ x ? (1 ? 3)] 【解析】 f ( x) ? ? . 则 x0 ? 1 ? 3. 当 1? x x ?1

1 ? x1 ? 1 ? 3 时, f ( x1 ) ? 0; 当 x2 ? 1 ? 3 时, f ( x2 ) ? 0. 故选 B
4.A 【解析】

1 1? ( )2 1 ? tan ? 3 ?4. 试题分析:用万能公式即得 cos 2? ? ? 2 1 5 1 ? tan ? 1 ? ( )2 3
2

考点:倍角公式 点评:解决本题的关键是熟练掌握倍角公式,敏锐的观察角间的关系,属基础题. 5.< 【解析】解:因为函数 f ( x) ? log a x 在 (0, ??) 上单调递增,且为偶函数,因此 f(-2)=f (2) 则底数 a>1,那么 a+1>2,因此 f (?2) < f (a ? 1) 6.C 【解析】 7.B 【解析】 试题分析:由题的条件可知 tan a = 3 ,所以原式 =

sin a + cos a tan a +1 3 +1 = = =2. sin a - cos a tan a - 1 3 - 1

答案第 1 页,总 7 页

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考点:三角函数求值问题. 8.D 【解析】 试题分析:由

U ? ?1,2,3,4,5?

, A ? B ? {1,3,5} ,所以

CU ? A ? B? ? ?2,4?

.

故选 D. 考点:集合的简单运算. 9.B 【解析】 CU ? ?1,2?, (CU ) ? B ? {1,2,3}
A A

10.A 【解析】 试题分析:集合 A 三个实数 0,1,2,而集合 B 表示的是大于等于 1 小于 2 的所有实数,所 以两个集合的交集为{1}. A ? B ? {1},故选 B. 考点:集合的运算. 11.③ 【解析】对函数 f ( x) ? ln x ,因为 f (1) ? 0 ,所以对任意 x ? 0 ,有 f ( x) f (1) ? 0 ,①不 符合; 对函数 f ( x) ? cos x ,因为 f ( ) ? 0 ,所以对任意 x ? R ,有 f ( x ) f ( ) ? 0 ,②不符合;

?

?

2

2

对函数 f ( x) ? e ,任意 x1 ? R ,有 x2 ? ? x1 ,使得 f ( x1 ) f ( x2 ) ? e x1 ? e? x1 ? 1 ,③符合;
x

对 函 数

f ( x) ? ecos x , 任 意 x1 ? R , 有 x2 ? 2k? ? x1 (k ? Z ) , 使 得

f ( x1 ) f ( x2 ) ? ecos x1 ? ecos x2 ? ecos x1 ? e? cos x1 ? 1,此时 x2 不唯一,④不符合
12. {x | x ? ?1或x ? ?1} 【解析】解:要是原式有意义,则 x ?1 ? 0 ? x ? 1, 或x ? ?1
2

13.[30°,150°],或[ 【解析】∵ | ∴sinθ = ∵| |=1,| , || |sinθ = , |≤1,

]

∴sinθ

∵θ ∈[0,π ] ∴θ ∈[30°,150°],

答案第 2 页,总 7 页

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故答案为:[30°,150°],或[ 14. ( , 2) 【解析】

],

1 2

试题分析:首先应求出 g ( x) 的表达式, 曲线 C1 对应的函数式为 y ? 2

,曲线 C2 与 2 x?2 a a C1 关于 x 轴对称,因此 C2 的函数解析式为 y ? ?(2 x ? 2 ? x ? 2 ) ? ?2 x ? 2 ? x ? 2 , C2 向上平 2 2 2 个 单 位 , 就 是 函 数

x?2

?

a



g ( x)











g(x ? ) ?

x?2

2x 1 a a ? 2 x ? 2 ? . F ( x) ? 2 ? x ? 2 x ?2 ? x ? 2 ? 2 ,其最小值大于 2 ? 7 ,说明函 2 a 2 2

数 G ( x) ?

2x 1 a 4 ? a x 4a ? 1 ? x ? 2 x?2 ? x?2 ? ?2 ? x 的最小值大于 7 .下面观察函数 a 2 2 4a 2

4?a ? 0 ,则当 x ??? 时, G( x) ? ?? , G ( x) 无最小值,同理当 4a ? 1 ? 0 4a 4a ? 1 4?a x ? ?? , G ( x) 无最小值,因此 ? 0, 4a ? 1 ? 0, 时, x ? ??时 2 ? 0 , x 2 4a

G ( x) ,若

G ( x) ? 2

4 ? a x 4a ? 1 (4 ? a)(4a ? 1) 4 ? a x 4a ? 1 ?2 ? ,当且仅当 时等号成 ?2 ? x ? 4a 2x 4a 2 a (4 ? a)(4a ? 1) (4 ? a)(4a ? 1) 1 ,从而 ? 7 ,解得 ? a ? 2 . 2 a a

立,即 G ( x ) 最小值为

考点:图象的变换,函数的最小值,解不等式. 15. ( ??, ?1) ? [ ,1) 【解析】 试题分析: 若 f ( x) ? 4 x ? 15 ,则 g ( x) ? f ? 4 ? x? ? 4? 4 ? x? ? 15 ? 1? 4x ,故不等式

1 4

g ( x) 1? 4x ? 0 等价于 2 ? 0 ,即 ( x ? 1)(x ? 1)(4x ? 1)? 0(x ? 1 ,解得 x ? ?1 , 且 x ? ? 1) 2 x ?1 x ?1 1 或 ? x ? 1. 4
考点:利用对称性求解析式,解不等式. 【答案】解: (1)由已知得 an ?1 ? an ? 1 ,即 an ?1 ? an ? 1 ,又 a1 ? 1 , 所以数列 {an } 是以 1 为首项,公差为 1 的等差数列,故 an ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n . 4 分 (2)由(1)知: an ? n ,从而 bn?1 ? bn ? 2n .

答案第 3 页,总 7 页

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bn ? (bn ? bn?1 ) ? (bn?1 ? bn?2 ) ? ? ? (b2 ? b1 ) ? b1

? 2n ?1 ? 2n ? 2 ? ? ? 2 ? 1 ?

1 ? 2n ? 2n ? 1 . 1? 2

8分

2 n n?2 因为 bnbn? 2 ? bn ? 1) ? (2n?1 ? 1)2 ?1 ? (2 ? 1)(2

? 22 n ? 2 ? 5 ? 2n ? 1 ? 22 n ? 2 ? 4 ? 2n ? 1 ? ?2n ? 0
2 ∴ bnbn ? 2 ? bn ?1 .

12 分

【解析】 试题分析: (1)将点代入到函数解析式中可求通项; (2)作差的方法比较代数式大小时 考点:等差数列,等比数列的的通项公式与性质。 点评:本题主要考查了等差数列、等比数列等基本知识。 17. (1) m ? 5 ; (2) a ? 1 或 a ? 【解析】

17 7

m ? 5; 试题分析: (1)x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? m ? ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 5 ? m , 则5 ? m ? 0 ,
( 2 ) CM ? CN ? 圆心到直线的距离为半径的

2 ,故由点到直线的距离公式可得 2

| 1 ? 2a ? 4 | 1 ? a2

?

17 2 ,解得 a ? 1 或 a ? 7 2
5分

2 2 试题解析: (1) D ? E ? 4F ? 4 ? 16 ? 4m ? 0 ,∴ m ? 5

(2)∵ m ? 4 ,∴ ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 1 , 圆心 C : (1 , 2) ,半径 r ? 1 ∵ CM ? CN ∴d ? 6分

2 | 1 ? 2a ? 4 | 2 r ,即 ? 2 2 1 ? a2

10 分

2 化简: 7a ? 24a ? 17 ? 0

12 分 14 分

∴ a ? 1或 a ?

17 7

考点:圆与直线的应用
3 18.(1) 证明见解析; (2) AC 与平面 PBC 所成角正弦值为 3 。

【解析】
答案第 4 页,总 7 页

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试题分析:(1) 证明略 ----------------6 分 (2)如图,过 A 作 AH ? PC于H ,? BC ? 平面PAC ? BC ? AH ,

? AH ? 平面PBC ,则 ?ABH 即是要求的角。?..8 分
? PA ? 平面ABC

? ?PCA 即是 PC 与平面 ABC 所成角,?..9 分
tan ?PCA ? PA ? 2 AC ,又 PC ? 2 ? AC ? 2 ?..10 分

? 在 Rt ?PAC 中,

AH ?

PA ? AC PA ? AC
2 2

?

2 3 3

,?..11 分

2 3 3 3 sin ?ABH ? 3 ? AC Rt ? ABH PBC 3 2 3 ,即 在 中, 与平面 所成角正弦值为 。..12 分 考点:本题主要考查立体几何中线面垂直、直线与平面所成的角。 点评:典型题,立体几何中线面关系与线线关系的相互转化是高考重点考查内容,角的计算 问题,要注意“一作、二证、三计算” 。
19.解: (1)因为 PA ? 底面 ABC , PB 与底面 ABC 所成的角为

? , 3

所以 ?PBA ?

?
3

????????2 分

因为 AB ? 2 ,所以 PA ? 2 3

????????4 分

1 1 3 VP ? ABC ? S ?ABC ? PA ? ? ? 4 ? 2 3 ? 2 ?????6 分 3 3 4
(2)连接 PM ,取 AB 的中点,记为 N ,连接 MN ,则 MN // AC 所以 ?PMN 为异面直线 PM 与 AC 所成的角或其补角 (或直线 MN 和 PM 所成角等于异面直线 PM 与 AC 所成的角)????8 分 计 算 可 得 : PN ? 13 , MN ? 1 , PM ? 15 ? ? ? ? ? ? ? ? 10 分

答案第 5 页,总 7 页

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cos?PMN ?

1 ? 15 ? 13 2 15

?

15 10
15 . 10

????????11 分

异面直线 PM 与 AC 所成的角为 arccos 【解析】略 20 . (1)见解析;(2) AM ? 3

????????12 分

【 解 析 】 (I) 可 以 证 明 BC ? 平面PAD . (2) 在平面 PAB 内作 BM ? PA 于 M ,连 CM ,得 AP ? 平面 BMC ? 平面BMC ? 平面APC ,然后再根据题目给的数据确定点 M 的位置,从而可求出 AM 的长. 解:(1) AD ? BC , PO ? BC , BC ? 平面PAD, 故BC ? PA (2)在平面 PAB 内作 BM ? PA 于 M ,连 CM ,得 AP ? 平面 BMC ? 平面BMC ? 平面APC

在R t ?ADB中, 勾股定理得AB ? 41, 在R t ?POD, R t ?PBD中, 勾股定理得
?POA中,得PA ? 5 PB2 ? PO2 ? OD2 ? DB2 ? 36, 得PB ? 6 , 在R t

1 又 cos ?BPA ? , ? PM ? PB cos ?BPA ? 2,? AM ? PA ? PM ? 3 3

综上所述,存在点 M 符合题意, AM ? 3 21.解: (I)由已知,得 2bn ? an ? an?1 ①, an?1 ? bn ? bn?1
2

② .

--------------2 分

由②得 an?1 ? bnbn?1

③.将③代入①得,

对任意 n ? 2, n ? N * ,有 2bn ? bn?1bn ? bnbn?1 . 即 2 bn ? bn?1 ? bn?1 .

?{ bn } 是等差数列.
(Ⅱ)设数列 { bn } 的公差为 d , 由 a1 ? 10, a2 ? 15. 经计算,得 b1 ?

------------------4 分

25 , b2 ? 18. 2

--------------------5 分

? b1 ? ? bn ?

5 5 2 2, d ? b2 ? b1 ? 3 2 ? 2? . 2 2 2 5 2 2 2 ? (n ? 1) ? ? (n ? 4). 2 2 2

----------------------7 分

答案第 6 页,总 7 页

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? bn ?

(n ? 3)(n ? 4) (n ? 4) 2 . , an ? 2 2

---------------------8 分

(Ⅲ)由(1)得

1 2 1 1 ? ? 2( ? ). an (n ? 3)(n ? 4) n?3 n?4

1 1 1 1 1 1 1 1 ? Sn ? 2[( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? 2( ? ). 4 5 5 6 n?3 n?4 4 n?4
不等式 2aSn ? 2 ?

----------9 分

bn 1 1 n?4 ) ? 2? . 化为 4a ( ? 4 n?4 n?3 an

即 (a ?1)n2 ? (3a ? 6)n ? 8 ? 0. 设 f (n) ? (a ?1)n2 ? (3a ? 6)n ? 8 ,则 f (n) ? 0 对任意正整数 n 恒成立. ---------10 分 当 a ? 1 ? 0 ,即 a ? 1 时,不满足条件; 当 a ? 1 ? 0 ,即 a ? 1 时,满足条件; 当 a ? 1 ? 0 ,即 a ? 1 时, f ( n) 的对称轴为 x ? ?

3(a ? 2) ? 0 , f (n) 关于 n 递减, 2(a ? 1)

因此,只需 f (1) ? 4a ? 15 ? 0. 解得 a ? 综上, a ? 1. 【解析】略

15 ,? a ? 1. 4

------------------13 分

---------------------------------------------------------14 分

答案第 7 页,总 7 页


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