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一道赛题的证法荟萃和变式探究


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中学 数 学 月 刊 

20 0 3年 第 9期 



道 赛 题 的证 法 荟 萃 和 变 式 探 究 
束仁武 ( 徽 省 庐 江 第 四 中学 安


10 ) 3 5 0 

20 0 3年 “ TRULY 信 利 杯 ” 国 初 中 数  全
学竞赛试题 的第 l l题 , 构 新 颖 、 法 多 样 , 结 证  
?
。 .



‘ DE / /OM ,  
A P 

E P 

颇 有 探 究 开 发 的价 值 . 文 将 整 理 它 的 证 法 , 本   探 究 它 的 变 式 并 谈 一 点 自己 的 看 法 , 妥 之  不

‘O — M 一  砑 一 
。   r  

A P 

处 , 大家 斧正. 请  
1 试 题 证 法 荟 萃 

‘ .

‘AD / /OC,  
口  C 

DE / M ,‘APD  /O . .
∽ a CM O .  
?

问 题  如 图 1   所 示 , 知 AB 是  已
oO 的 直 径 , BC 是 

图 3  

。 一 ,E — P ’ 篇 … P .   孺 . 一 。 . D  .
. . 

DP



oO 的切 线 , C 平   O 行 于 弦 AD, 点 D  过

证 法 4 如 图   

4 过 E 点 作 EM /  , /
口  C 

作 DE上 AB 于 点 
E, 结 AC, DE 连 与  
结论.  

OC交 AC 于 M , 则 
A E  EM   — OA 一   。  

图 1  

交 于 点 P. PE 与  问 PD 是 否 相 等 ? 明你 的  证 证 法 1 探 究 发 现 , 段 PE 与 PD 相    线
等.  
’ .



△ A ED  O C  .AE  
—  

口 

C 

A OBC 
A D 


图 4  
O—   ——。 C
? .

‘ AB 是 o 0 的直 径 , BC是 切 线 ,  






AB上 B   C.
. 

。 OA=OB。?   .壹^ 一AD. .  

由 Rt AEPc Rt ABC, 丽P一  A o A 得E

又 EM /OC/AD , / /  
故 四边 形 AEMD 为平 行 四边 形 ,  

. .

又 AD/ /OC,’L DAE一 /'OB, 是  . . C 于
Rt AAE o A OB 故 丽D —AE一  Dc Rt C, E  
. 

PE — PD .  

证 法 5 如 图   

可见 , ED= 2 EP , 以 PD — PE. 所  

5 过 D 点 作 DM /  , /
AB 交 AC 于 点 M ,  
可 得 A ADM   O C 
一 
B   C 

证 法 2 如 图   
2 延 长 AD 交 BC ,   于 M , BC—CM . 则  

A AOC ’ . . .  
DM   AM  

(.O 为 AB 中 点 , ’ ’  

且 OC/AM ) / .  
‘ :DE }Bc。  



口  C 
M 

一 

?  

图 5  
一  
. 

Y. AED c . A oA OBC ’.A  . E .

E P 

A P 

P D 

一丽

. .

一 

,  

图 2  

- OA — OB ,- AE — DM , . . . .  
‘ .

EP — P D .  

‘ AE/DM , /  


证 法 3 如 图 3 取 AC 中点 M , OM , , 连  





四边 形 AE D 为 平 行 四 边 形 . M  
PD = PE.  

则 M 丢c o  B.  

‘ . .

证 法 6 如 图 6 过 C点 作 CG/   , /AB 交 

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20 0 3年 第 9期  AD 的 延 长 线 于 G   点 ,可 得 四 边 形 

中学 数 学 月 刊  2 探 究 变 换 条 件 , 论 始 终 如 一  结

? 1? 4  

2 1 将 题 设 中 的条 件 “ . OC/ /AD” 为 “ C  改 过 点 作 o0 的 切 线 C , 它 条 件 不 变 , 论   D” 其 结
G 

AoC 为 平 行 四 边  G
形.  

照样成立.  

连 0G 交 AC   于 F, F 为 0G 则  
B  C 

变 式 1 如 图    8 已 知 AB 为 o0  , 的直 径 , BC 为 o0  
.  

中点 ,  
。 . .

图6  

, 
’  

oG/ BC/ ED, / /  
PE
一  

切 线 , 点 C 另 作  过
o0 的 切 线 C 一 切  n  D

一 一    
—  

?-一 罢    .D P . ?Y   一 D .   , ’    O Y ‘ 一乜 P ,P — E -? G ’ ,  
? . .

, 

o0 于 点 D , 点  过

B 

C 

G 

证 法 7 如 图 1 设  B0C— , 0 的 半  , o
径 为 R.  



D 作 DE_ AB, 1 _ 垂 

图8  

‘ AD/OC,‘ EAD— . / .  .  

足 为 E. 结 AC 交 DE 于 点 P. 判 断 PD  连 试 与 PE 是 否 相 等 , 证 明 你 的结 论 . 并   ( 据 苏 州市 20 根 0 1年 初 中 毕 业 、 学 考  升
试试题 改编 )  

在 Rtx C 中 , C—R ?tn , / OB B a    在 Rtx / EAP 中 ,  
P E — A E ?t n  a


BAC ,  

证 明  连 结 AD 并 延 长 AD 交 B 于 G C   点 , 结 BD. 连   由 BC, 是 圆 0 的 切 线 , 及  BDG DC 以  
D E 

D E ?c ot & ?t n / B A C  a
D E ?c   ot ?  





DE ?c   ? ot  



/BDA= 9 。容 易 证 得 B 0, C=DC=C   G.





2 ’  



PD — PE .  

再 由 DE/ BC, / 得  一 



,  

证 法 8  

(   坐



PE — PD .  

标法) 立如 图 7 建   所示 的坐标 系, 设 
B ( O 0 ( r A  O, ), O, ), ( , r , 口, )  O 2 ) C( O ,
一  

22 将题设 条件 “ . OC/ AD , / DEJ AB” 为  - 改 “ 点 A 作 切 线 和 o0 上 异 于 A, 两 点 的  过 B 任 一 点 D 作 切 线 ” 其 结 论 不 变 , 能 证 明其   , 并
题设.  
B  C 


一  

AC:Y 一 

变式 2

如 图 
A  F  

一 — z+     — 一 r, Z1 2 r’
口 

① 

图7   ②  ⑧ 

9 AB 是 o0 的 直  ,

径, AF, F, C BC 皆 
为 o0 的 切 线 , 切 

O: 一 zr C 一 詈 +,    
o 0:   ( - r  r. z + y- ) 一    

点 分 别 为 A, B, D,  
AC, BF 相 交 于 P,  
8   C 

又 AD/ OC, 知  / 可

求 证 : DP上 AB; ①   ④ 
2 a   r
z  
, . 

A : 一 z 2  D  丢 +r 一 ,
由③ 、 , ④ 得  .22   干a r
,  

图 9  

(  ̄PD=PE.   略 证  由 已 知 得 AF/ /BC, PF 则

一  





因 EA,E: 筹 , DI B l    ̄D 一   J  

⑤ 



 



PD/BC. /  



由 、,P , , ①⑤得 (  a , 寿 2     r z
可见 , PD= PE.  



‘ BC上 AB ,‘ . DP上 AB , 而 可 证 PD  . 进



PE.  

23 将 “ . o0” 为 “ 圆 ” 其 它 条 件 不 变 , 改 椭 ,  

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?4   2? 结论依 旧成立.   变 式 3 如 图    1 , 椭 圆 长 轴 一  O过 端 作 切 线 BC, 连  OC, 长 轴 的 另 一  过

中学 数 学 月 刊 

20 0 3年 第 9期 

。 oc : 一 一  z+ 6  . .   .
AC . = - 2 y   b

z 2. + b  
. 

②  ③ 

b  ̄ AD : 一    2 l  一 bz+ b

端作 弦 A / C D /O  
交椭 圆 于 D 点 , 过  曰   C  

由① , 解 得  L2 2 ,22  ③ . ac 孺c   b
?





D: 等 . E一    
cb 22 


④  


由② , ④解 得  孺 2 _. ac
. PD — PE . . .  

.十



),  

由上 可 见 , 们 在 解 题 过 程 中 , 能 一 解  我 不

薯  +

  ① 结 论 。全 方 位 进 行 探 索 。以 开 发 其 价 值 .  

了 知 , 要 挖 掘 其 解 法 , 换 其 条 件 , 新 其  而 变 更

l ,     集l
a‘   c。 a 

l。 ,。    锦l  
。‘   ∞。  

一3 2  + (

+ 

+ 

)  .

() 3 

有 关 高 线 的 一 个 不 等 式 
田正 平  ( . 师 范 学 院 数 学 系 3 0 3 ) 杭 州   1 0 6 
在 文 献 L J , F面 一 个 关 于 三 角 形 高   1中 有


为 了 确 定 起 见 , 妨 可 设 口 6 c 且 进  不 ≥ ≥ ,
步 设 a c b c 再 由 6 >a, 得 1 =x , =y , +c 可 ≤ 

≤x l < + . a b代 入 ( ) 简 后 得 出  将 , 3化
线的不等式 :  

等 +b + ≥. I h 再r 等 6  t + ( a —  
Tu t i   ro u) () 1 

H 32 + + ) _+( 南 南   南 <+( + +   . 32 南 南    
从 () 3 中容 易 看 出 , a=b ̄+∞ 时 ,   当 - - H 一 7 所 以 H 的上 界 7是 精 确 上 界 , , 即不 等 式 
( ) 能 再 加 以改 进 了 . 2不  

其 中 h , h 和 r分 别 为 A ABC 相 应 边 上  。h , 
的 高 线 和 内切 圆 半 径 .  
本 文 试 图 给 出 ( ) 左 端 的一 个 上 界 , 1式 即 
证 明 

在 AABC 是 等 腰 三 角 形 时 , 以证 明 6 可  

≤ H < 7 其 中 下 界 6在 等 边 三 角 形 时 达 到. ,  

日 等 + + <. ( 在 1≤ H <是 , 角 三 角 形5  ̄, 以证 明5腰/  一 等 等 7 2 AABC 7直 中 下 界 时 /可 1在 等  ̄_   )   其 _  一 直 


由 ^ 一  S 。 2

.  

, r一 

( 里 . 是  这 S

角三角形 时达到.  
参 考 文 献 

AB ̄ ) 得 一 立,入2 1 Bote , 搏 译 . 何 不 等式 .北京 : AC , 等   代 (  O. tma等 单 可 )   几 北京 
可 以求 得  


?  

大 学 出版社 ,9 1 1 9.  

-   +l

+1 生 +1  

2 田正平 . 学 奥 林 匹克 问题 . 数 中等数 学 ,0 3 1 20 ,.  

. .

+ +     云


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