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高中数学竞赛平面几何定理证明大全


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坚持住 坚持住 坚持住

莫利定理:将任意三角形的各角三等分,则每两个角的相邻三等分线的交点构 成一个正三角形。

設△ABC 中的∠B,∠C 的两条三等分角线分別交于 P, D 两个点(图 1),按照莫利定理, D 是莫莱三角形的一個頂点,当然 D

就是△BPC 的內心,因為 BD, CD 正好是∠CBP, ∠BCP 的角平分线。 莫利三角形的另两个頂点 E, F 应该分別落在 CP 和 BP 上,因此我们产生了 一个念头,如果能夠在 CP, BP 上找到 E, F 这两个点,使△DEF 是个正三角形, 再证 AE、AF 正好是∠BAC 的三等分线就行了 为此, 先把 DP 连起來, 在 CP, BP 上分別取两点 E, F 使∠EDP=∠FDP=30°, 于是就得到一个三角形△DEF。为什么它是一个正三角形呢?因为 D 是△BPC 的 內心,所以 DP 是∠BPC 的角平分线,即∠DPE=∠DPF,由作图知∠EDP=∠FDP =30°,在△DPE 和△DPF 中,DP 是公共边,而夹此边的两角又是对应相等的, 所以△DPE≌△DPF。于是 DE=DF,即△DEF 是个等腰三角形,它的腰是 DE 和 DF, 而它的頂角又是 60°,所以它当然是个正三角形。 接下來,我们的目标就是希望能证明△DEF 真的是莫利三角形,亦即 AE, AF 的确会三等分∠BAC。 如图 2 所示,在 AB, AC 上各取一点 G,H,使得 BG=BD, CH=CD,把 G、 F、 E、H 各点依次连起來,根据△BFD≌△BFG,△CED≌△CEH,我们就得到 GF=FD =FE=ED=EH。 下面,如果能夠证明 G,F,E,H,A 五点共圆,則定理的证明就完成了,因为 ∠GAF,∠FAE,∠EAH 这三个圆周角所对的弦 GF, FE, EH 都等長,因而这三个圆 周角也就都相等了。 为了证明 G,H,E,F,A 共圓,必须证明∠FGE=∠FHE=∠A/3。

看图 2,首先我们注意到△GFE 是个等腰三角形,∠GFE 是它的顶角,如果 这个角能求出來,其底角∠FGE 也就能求出来了。 △PFE 也是一个等腰三角形, 这是因为△PDF≌△PDE, (PD 是公用边, ∠DPF =∠DPE, ∠PDF=∠PDE=30°) , 所以 PF=PE。 等腰三角形△PFE 的顶角大小为: ∠FPE=π -2/3(∠ABC+∠ACB)=π -2/3(π -∠BAC)=π /3+2/3∠ BAC……………………………(1) ∠BFD=∠PDF+∠DPF=π /6+1/2∠FPE=π /6+π /6+1/3∠BAC=π /3+1/3∠ BAC…………………… (2) ∠GFE=2π -∠EFD-2∠BFD=2π -π /3-2π /3-2∠BAC/3=π -2/3∠ BAC………………………… (3)

最后得到:∠FGE=∠FEG=1/2(π -∠GFE)=1/3∠BAC…(4)同理可证:∠FHE=∠ HFE=1/3∠BAC……………(5) 至此可知 G,H,E,F,A 五点共圓。 因 GF=FE=EH,所以∠GAF=∠FAE=∠EAH=1/3∠BAC…(6) 即 AE 和 AF 恰好是∠BAC 的三等分线,所以△DEF 是莫利三角形。 蝴蝶定理:AB 是圆的一条弦,中点记为 S,圆心为 O,过 S 作任意两条弦 CD、 EF,分别交圆于 C、D、E、F,连接 CF,ED 分别交 AB 于点 M、N,求证:MS=NS。

证明(一) 过 O 作 OL⊥AD,OT⊥CF,垂足为 L、T,连接 ON,OM,OS,SL,ST 容易证明△ESD∽△CSF 所以 ES/CS=ED/FC 根据垂径定理得:LD=ED/2,FT=FC/2 所以 ES/CS=EL/CT 又因为∠E=∠C 所以△ESL∽△CST 所以∠SLN=∠STM 因为 S 是 AB 的中点 所以 OS⊥AB 所以∠OSN=∠OSN=90° 所以∠OSN+∠OSN =180° 所以 O,S,N,L 四点共圆 同理 O,T,M,S 四点共圆 所以∠STM=∠SOM,∠SLN=∠SON 所以∠SON=∠SOM , 因为 OS⊥AB 所以 MS=NS

证明(二) 从 向 和 作垂线, 设垂足分别为 和 和 。 类似地, 从 向 和

作垂线,设垂足分别为

。现在,由于

从这些等式,可以很容易看出:

由于 PM=MQ

现在,

因此,我们得出结论:

,也就是说,



的中点。

清宫定理 :设 P 、Q 为△ ABC 的外接圆上异于 A 、B 、C 的两点,P 关于三边 BC 、 CA 、 AB 的对称点分别是 U 、 V 、 W ,且 QU 、 QV 、 QW 分别交三边 BC 、 CA 、 AB 或其延长线于 D 、 E 、 F ,则 D 、 E 、 F 在同一直线上

证明 设 P 、 Q 为△ ABC 的外接圆上异于 A 、 B、 C 的两点, P 关于三边 BC 、 CA、 AB 的对称点分别是 U 、 V 、 W ,且 QU 、 QV、 QW 分别交三边 BC、 CA、 AB 或其延长线于 D 、 E 、 F 这时, P、 Q 两点和 D、 F 、 E 、三点有如下关系: 将三角形的三边或者其延长线作为镜面,则从 P 点出发的光线照到 D 点经过 BC 反射以后通过 Q 点,从 P 点出发的光线照到 E 点经 AC 的延长线 反射后通过 Q 点,从 P 点出发的光线照到 F 点后通过 Q 点 从而,如果 P 、Q 两点重合,则 D 、 E 、F 三点成为从 P(即 Q )点向 BC , CA, AB 或者它们的延长线所引的垂线的垂足。于是,如果 P、 Q 两点重合, 清宫定理就成为西摩松定理。 我们决定将证明清宫定理的方针确定如下:因为 D、 E 、 F 三点中,有 两点在△ ABC 的边上,其余一点在边的延长线上,

如证明 ( BD/DC )·( CE/EA )·( AF/FB ) =1 , 则根据梅涅劳斯定理的逆定理,就可证明 DEF 三点在同一直线上。 首先, A、 B 、 P 、 C 四点在同一圆周上,因此 ∠ PCE= ∠ ABP 但是,点 P 和 V 关于 CA 对称 所以∠ PCV=2 ∠ PCE 又因为 P 和W关于 AB 对称,所以 ∠ PBW=2 ∠ ABP 从这三个式子,有 ∠ PCV= ∠ PBW 另一方面,因为∠ PCQ 和∠ PBQ 都是弦 PQ 所对的圆周角,所以 ∠ PCQ= ∠ PBQ 两式相加,有 ∠ PCV+ ∠ PCQ= ∠ PBW+ ∠ PBQ 即∠ QCV= ∠ QBW 即△ QCV 和△ QBW 有一个顶角相等,因此 S(△ QCV ) /S (△ QBW ) =(CV·CQ) / (BW·BQ) 但是 CV=CP , BW=BP , 所以 S (△ QCV )/S (△ QBW ) = (CP·CQ) / (BP·BQ) 同理 S (△ QAW ) /S(△ QCU ) = (AP·AQ) /(CP·CQ) S(△ QBU ) /S (△ QAV ) =(BP·BQ) / (AP·AQ) 于是 ( BD/DC )·( CE/EA )·( AF/FB ) =[S(△ QBU )/S(△ QCU )]·[S(△ QCV )/S(△ QAV )]·[S(△ QAW )/S (△ QBW ) ] =[S(△ QBU )/S(△ QAV )]·[S(△ QCV )/S(△ QBW )]·[S(△ QAW )/S (△ QCU ) ] =[ ( BP·BQ)/ ( AP·AQ) ]·[ ( CP·CQ)/ ( BP·BQ) ]· [ ( AP·AQ)/ ( CP·CQ) ] =1 根据梅涅劳斯定理的逆定理, D 、 E 、 F 三点在同一直线上 牛顿定理 1 : 四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角 线的中点,三点共线。这条直线叫做这个四边形的牛顿线。 证明 四边形 ABCD,AB∩CD=E,AD∩BC=F,BD 中点 M,AC 中点 L,EF 中点 N

牛顿定理 1 取 BE 中点 P,BC 中点 R,PN∩CE=Q QL/LR=EA/AB R,L,Q 共线

M,R,P 共线 RM/MP=CD/DE N,P,Q 共线 PN/NQ=BF/FC 三式相乘得 : QL/LR*RM/MP*PN/NQ=EA/AB*CD/DE*BF/FC 由梅涅劳斯定理 QL/LR*RM/MP*PN/NQ=1 由梅涅劳斯定理的逆定理知 :L,M,N 三点共 证毕 故牛顿定理 1 成立

牛顿定理 2 :圆外切四边形的两条对角线的中点,及该圆的圆心,三点共线。 证明: 设四边形 ABCD 是⊙ I 的外切四边形, E 和 F 分别是它的对角线 AC 和 BD 的中点,连接 EI 只需证它过点 F,即只需证△ BEI 与△ DEI 面积相等。

牛顿定理 2 图 显然, S △ BEI=-S △ BIC+S △ CEI+S △ BCE ,而 S △ DEI=-S △ ADE+S △ AIE+S △ AID 。 注意两个式子,由 ABCD 外切于⊙ I, AB+CD=AD+BC , S △ BIC+S △ AID=1/2*S 四边形 ABCD , S △ ADE+S △ BCE=1/2*S △ ACD+1/2*S △ ABC=1/2*S 四边形 ABCD 即 S △ BIC+S △ AID=S △ ADE+S △ BCE , 移项得 S △ BIC-S △ BCE=S △ ADE-S △ AID , 由 E 是 AC 中点, S △ CEI=S △ AEI ,故 S △ BIC-S △ CEI-S △ BCE=S △ ADE-S △ AIE-S△ AID ,即 S △ BEI= △ DEI ,而 F 是 BD 中点,由共边比例定理 EI 过点 F 即 EF 过点 I ,故结论成立。 证毕。 (共边比例定理:平行四边形 ABCD(不一定是凸四边形) ,设 AC,BD 相交于 E 则有 BE/DE=S △ ABC/S △ ADC )

牛顿定理 3 :圆的外切四边形的对角线的交点和以切点为顶点的四边形对 角线交点重合。

证明 设四边形 ABCD 的边 AB,BC,CD,DA 与内切圆分别切于点 E,F,G,H. 首先 证明 ,直线 AC,EG,FH 交于一点 . 设 EG,FH 分别交 AC 于点 I,I'. 显然 ∠ AHI'= ∠ BFI' 因此易知 AI'*HI'/FI'*CI'=S(AI'H)/S(CI'F)=AH*HI'/CF*FI' 故 AI'/CI'=AH/CF. 同样可证 :AI/CI=AE/CG 又 AE=AH,CF=CG. 故 AI/CI=AH/CF=AI'/CI'. 从而 I,I' 重合 . 即直线 AC,EG,FH 交于一点 . 同理可证 : 直线 BD,EG,FH 交于一点 . 因此 直线 AC,BD,EG,FH 交于一点 . 证毕。

燕尾定理

燕尾定理,因此图类似燕尾而得名,是一个关于三角形的定理(如图△ ABC , D、 E 、 F 为 BC 、 CA 、 AB 上的中点, AD 、 BE 、 CF 交于 O 点)。

图2 S △ ABC 中, S △ AOB : S △ AOC=S △ BDO : S △ CDO=BD : CD ; 同理, S △ AOC : S △ BOC=S △ AFO : S △ BFO=AF : BF ; S △ BOC : S △ BOA=S △ CEO : S △ AEO=EC : EA 。 证法 1 下面的是第一种方法:利用合比性质 ∵△ ABD 与△ ACD 同高 ∴ S△ ABD : S △ ACD=BD : CD 同理, S △ OBD : S △ OCD=BD : CD 利用合比性质,得 S△ ABD-S △ OBD : S △ ACD-S △ OCD=BD : CD 即 S△ AOB : S △ AOC=BD : CD 命题得证。 证法 2 下面的是第二种方法:相似三角形法 已知:△ ABC 的两条中线 AD、CF 相交于点 O,连接并延长 BO ,交 AC 于点 E 。 求证: AE=CE 证明: 如图 2 ,过点 O 作 MN ∥ BC ,交 AB 于点 M ,交 AC 于点 N ; 过点 O 作 PQ∥ AB ,交 BC 于点 P ,交 AC 于点 Q 。 ∵ MN ∥ BC ∴△ AMO ∽△ ABD ,△ ANO ∽△ ACD ∴ MO : BD=AO : AD , NO : CD=AO : AD ∴ MO : BD=NO : CD ∵ AD 是△ ABC 的一条中线 ∴ BD=CD ∴ MO=NO ∵ PQ∥ AB ∴△ CPO ∽△ CBF ,△ CQO ∽△ CAF ∴ PO : BF=CO : CF , QO : AF=CO : CF ∴ PO : BF=QO : AF ∵ CF 是△ ABC 的一条中线 ∴ AF=BF ∴ PO=QO ∵ MO=NO ,∠ MOP= ∠ NOQ , PO=QO ∴△ MOP ≌△ NOQ(SAS) ∴∠ MPO= ∠ NQO ∴ MP ∥ AC (内错角相等,两条直线平行)

∴△ BMR ∽△ BAE ( R 为 MP 与 BO 的交点),△ BPR ∽△ BCE ∴ MR : AE=BR : BE , PR : CE=BR : BE ∴ MR: AE=PR : CE ∵ MN ∥ BC , PQ ∥ AB ∴四边形 BMOP 是平行四边形 ∴ MR=PR (平行四边形的对角线互相平分) ∴ AE=CE 命题得证。


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