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抛物线经典例题



抛物线习题精选精讲
(1)抛物线——二次曲线的和谐线 椭圆与双曲线都有两种定义方法,可抛物线只有一种:到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点 的集合.其离心率 e=1,这使它既与椭圆、双曲线相依相伴,又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美好的 1, 既使它享尽和谐之美,又生出多少华丽的篇章. 【例 1】P 为抛物线 y 2 ? 2 px 上任一点,F 为焦点,则以 PF 为直径的圆与 y 轴(
A . 相交 B . 相切
? p ? 2



C . 相离
? , 0 ? ,准线是 ?

D . 位置由 P 确定

【解析】如图,抛物线的焦点为 F ?
l:x ? ? p 2

Y H Q N O P M
p 2

.作 PH⊥ l 于 H,交 y 轴于 Q,那么 P F ? P H ,
p 2 1 2

且 QH ? OF ? 中位线, M N ?

.作 MN⊥y 轴于 N 则 MN 是梯形 PQOF 的

F(

, 0)

X

? OF

? PQ

??

1 2

PH ?

1 2

P F .故以
l:x=-

p 2

PF 为直径的圆与 y 轴相切,选 B. 【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说,其结论则 分别是相离或相交的.

y = 2 px

2

(2)焦点弦——常考常新的亮点弦 有关抛物线的试题,许多都与它的焦点弦有关.理解并掌握这个焦点弦的性质,对破解这些试题是大 有帮助的. 【例 2】 过抛物线 y 2 ? 2 px ? p ? 0 ? 的焦点 F 作直线交抛物线于 A ? x1 , y1 ? , B ? x 2 , y 2 ? 两点,求证: (1) A B ? x1 ? x 2 ? p (2)
1 AF ? 1 BF ? 2 p

【证明】 (1)如图设抛物线的准线为 l ,作
A A1 ? l A1 , B B 1 ? l 于 B 1, 则 A F ? A A1 ? x 1 ?
B F ? B B1 ? x 2 ? p 2 p 2



Y A1 A (x,y )
1 1

.两式相加即得:

A B ? x1 ? x 2 ? p

(2)当 AB⊥x 轴时,有
? A F ? B F ? p, 1 AF ? 1 BF ? 2 p

F B 1 B (x,y ) 2
2

X

l
成立;

当 AB 与 x 轴不垂直时,设焦点弦 AB 的方程为:
p ? ? y ? k?x? ? .代入抛物线方程: 2 ? ?

-1-

-1-

p p ? ? 2 2 2 2 k ? 0 k ?x? ? ? 2 p x .化简得: k x ? p ? k ? 2 ? x ? 4 2 ? ?
2

2

2

?1 ?

∵方程(1)之二根为 x1,x2,∴ x ? x 2 ?
1

k

2

.
x1 ? x 2 ? p x1 x 2 ? p 2

4

1 AF

?

1 BF

?

1 A A1

?

1 B B1

?

1 x1 ? p 2

?

1 x2 ? p 2

?

? x1 ?

x2 ? ?

p

2

4

? p

x1 ? x 2 ? p
2

?

p 2

4

? x1 ?

x2 ? ?

p

2

?

x1 ? x 2 ? p p 2

?

2 p

.

? x1 ?

x2 ? p ?

4

故不论弦 AB 与 x 轴是否垂直,恒有

1 AF

?

1 BF

?

2 p

成立.

(3)切线——抛物线与函数有缘 有关抛物线的许多试题,又与它的切线有关.理解并掌握抛物线的切线方程,是解题者不可或缺的基 本功. 【例 3】证明:过抛物线 y 2 ? 2 px 上一点 M(x0,y0)的切线方程是:y0y=p(x+x0)
? 【证明】对方程 y 2 ? 2 px 两边取导数: 2 y ? y ? ? 2 p, y ? ? p y

.切 线 的 斜 率

k ? y?

x ? x0

?

p y0

.由点斜式方程: y ? y 0 ?

p y0

?x ?

x0 ? ? y0 y ? p x ? p x0 ? y0

2

?1 ?

? y 0 ? 2 px 0, 代 入 (1) 即 得 : y0y=p(x+x0)
2

(4)定点与定值——抛物线埋在深处的宝藏 抛物线中存在许多不不易发现,却容易为人疏忽的定点和定值.掌握它们,在解题中常会有意想不到 的收获. 例如:1.一动圆的圆心在抛物线 y 2 ? 8 x 上,且动圆恒与直线 x ? 2 ? 0 相切,则此动圆必过定点 ( )
A . ? 4, 0 ? B . ? 2, 0 ? C . ? 0, 2 ? D . ? 0, ? 2 ?

显然.本题是例 1 的翻版,该圆必过抛物线的焦点,选 B. 2.抛物线 y 2 ? 2 px 的通径长为 2p; 3.设抛物线 y 2 ? 2 px 过焦点的弦两端分别为 A ? x1 , y1 ? , B ? x 2 , y 2 ? ,那么: y1 y 2 ? ? p 2 以下再举一例

-2-

-2-

【例 4】设抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点弦 AB 在其准线上的射影是 A1B1,证明:以 A1B1 为直径的圆必过一 定点 【分析】假定这条焦点弦就是抛物线的通径,那么 A1B1=AB=2p,而 A1B1 与 AB 的距离为 p,可知该圆必 过抛物线的焦点.由此我们猜想:一切这样的圆都过抛物线的焦点.以下我们对 AB 的一般情形给于证明. 【证明】如图设焦点两端分别为 A ? x1 , y1 ? , B ? x 2 , y 2 ? , 那么: y1 y 2 ? ? p 2 ? C A1 ? C B1 ? y1 y 2 ? p 2 .
M Y A1
1

A

设抛物线的准线交 x 轴于 C,那么 C F ? p .
? ? A1 F B1中 C F
2

C B1 B

F

X

? C A1 ? C B1 .故 ? A1 F B1 ? 90 ? .

这就说明:以 A1B1 为直径的圆必过该抛物线的焦点. ● 通法 特法 妙法 (1)解析法——为对称问题解困排难 解析几何是用代数的方法去研究几何, 所以它能解决纯几何方法不易解决的几何问题 (如对称问题等) . 【例 5】 (07.四川文科卷.10 题)已知抛物线 2 Y y=-x +3 上存在关于直线 x+y=0 对称的相异两点 A、B,则|AB|等于( )
B

A.3

B.4

C.3 2

D.4 2
M O A
l? x + y = 0

【分析】直线 AB 必与直线 x+y=0 垂直,且线段 AB 的中点必在直线 x+y=0 上,因得解法如下. 【解析】 ∵点 A、 关于直线 x+y=0 对称, B ∴设直线 AB 为 : .m 由 y? ?x
? y ? x?m 2 ? x ? x?m ?3? 0 ? 2 ?y ? ?x ? 3

X

的方程

?1 ?

设方程(1)之两根为 x1,x2,则 x1 ? x 2 ? ? 1 . 设 AB 的中点为 M(x0,y0) ,则 x 0 ?
x1 ? x 2 2 ? ? 1 2

.代入 x+y=0:y0=

1 2

.故有 M ? ?
?

?

1 1? , ?. 2 2?

从而 m ? y ? x ? 1 .直线 AB 的方程为: y ? x ? 1 .方程(1)成为: x 2 ? x ? 2 ? 0 .解得: ,B(1,2).? A B ? 3 2 ,选 C. x ? ? 2,1 ,从而 y ? ? 1, 2 ,故得:A(-2,-1)

(2)几何法——为解析法添彩扬威 虽然解析法使几何学得到长足的发展,但伴之而来的却是难以避免的繁杂计算,这又使得许多考生对 解析几何习题望而生畏.针对这种现状,人们研究出多种使计算量大幅度减少的优秀方法,其中最有成效 的就是几何法. 【例 6】 (07.全国 1 卷.11 题)抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F ,准线为 l ,经过 F 且斜率为 3 的直线与抛
2

-3-

-3-

物线在 x 轴上方的部分相交于点 A , AK ⊥ l ,垂足为 K ,则 △ AKF 的面积( A. 4 B. 3 3 C. 4 3 D. 8



【解析】如图直线 AF 的斜率为 3 时∠AFX=60°. △AFK 为正三角形.设准线 l 交 x 轴于 M,则 F M ? p ? 2,
3 4
K

Y A

且∠KFM=60°,∴ K F ? 4 , S ? A K F ?

? 4 ? 4 3 .选 C.
2

6 0° M O F (1 ,0 )

X

【评注】 (1)平面几何知识:边长为 a 的正三角形的
L :x = - 1

面积用公式 S ? ?

3 4

= Y 2px

2

a 计算.

2

(2) 本题如果用解析法, 需先列方程组求点 A 的坐标, 再计算正三角形的边长和面积.虽不是很难, , 但决没有如上的几何法简单. (3)定义法——追本求真的简单一着 许多解析几何习题咋看起来很难.但如果返朴归真,用最原始的定义去做,反而特别简单. 【例 7】 (07.湖北卷.7 题)双曲线
C1 : x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0, b ? 0 ) 的左准线为 l ,左焦点和右焦点分别为 F1 和 F 2 ;抛物线 C 2 的线为 l ,

焦点为 F2; C 1 与 C 2 的一个交点为 M ,则 A. ? 1

F1 F 2 M F1

?

M F1 M F2

等于(


1 2

B. 1

C. ?

1 2

D.

【分析】 这道题如果用解析法去做,计算会特别繁杂,而平面几何知识又一时用不上,那么就从最 原始的定义方面去寻找出路吧. 如图,我们先做必要的准备工作:设双曲线的半 焦距 c,离心率为 e,作 M H ? l 于 H ,令
y

M F1 ? r1 , M F2 ? r2 .∵点 M 在抛物线上,
H

r2
O a2 c

M(x,y)

? M H ? M F 2 ? r2 , 故

M F1 MH

?

M F1 M F2

?

r1 r2

? e,

r1
F 1 ( -c , 0)
l :x = -

r2
F 2 (c,0)
x

这就是说:

| M F1 | | M F2 |

的实质是离心率 e.

其次,

| F1 F 2 | | M F1 |

与离心率 e 有什么关系?注意到:
e ? r1 ? r2 ? r1

F1 F 2 M F1

?

2c r1

?

e ? 2a r1

?

1? ? ? e ?1 ? ? ? e ? 1 . e? ?

-4-

-4-

这样,最后的答案就自然浮出水面了:由于

| F1 F 2 | | M F1 |

?

| M F1 | | M F2 |

? ? e ? 1 ? ? e ? ? 1 .∴选 A..

(4)三角法——本身也是一种解析 三角学蕴藏着丰富的解题资源.利用三角手段,可以比较容易地将异名异角的三角函数转化为同名同 角的三角函数,然后根据各种三角关系实施“九九归一”——达到解题目的. 因此,在解析几何解题中,恰当地引入三角资源,常可以摆脱困境,简化计算.
A

【例 8】 (07.重庆文科.21 题) 如图, 倾斜角为 a 的直线经过
y
2

抛物线

? 8x

的焦点 F,且与抛物线交于 A、B 两点。

(Ⅰ)求抛物线的焦点 F 的坐标及准线 l 的方程; (Ⅱ)若 a 为锐角,作线段 AB 的垂直平分线 m 交 x 轴于点 P,证明|FP|-|FP|cos2a 为定值,并求此定值。 【解析】 (Ⅰ)焦点 F(2,0) ,准线 l ; x ? ? 2 . (Ⅱ)直线 AB: y ? tan ? ? x ? 2 ?
y
2

M

?1 ? . ?2?

x ?

代入(1) ,整理得: y tan ? ? 8 y ? 16 tan ? ? 0
2

8

8 ? ? y1 ? y 2 ? 设方程(2)之二根为 y1,y2,则 ? ta n ? . ? y ? y ? ?16 ? 1 2 y1 ? y 2 4 ? ? ? 4 cot ? ? y0 ? 设 AB 中点为 M ? x 0 , y 0 ? , 则 ? 2 ta n ? ? x ? cot ? ? y ? 2 ? 4 cot 2 ? ? 2 0 ? 0

AB 的垂直平分线方程是: y ? 4 co t ? ? ? co t ? ? x ? 4 co t 2 ? ? 2 ? . 令 y=0,则 x ? 4 co t 2 ? ? 6, 有 P ? 4 co t 2 ? ? 6, 0 ? 故 F P ? O P ? O F ? 4 cot 2 ? ? 6 ? 2 ? 4 ? cot 2 ? ? 1 ? ? 4 cos 2 ? 于是|FP|-|FP|cos2a= 4 csc ? ?1 ? cos 2? ? ? 4 csc ? ? 2 sin ? ? 8 ,故为定值.
2 2 2

(5)消去法——合理减负的常用方法. 避免解析几何中的繁杂运算,是革新、创新的永恒课题.其中最值得推荐的优秀方法之一便是设而不 求,它类似兵法上所说的“不战而屈人之兵”. 【例 9】 是否存在同时满足下列两条件的直线 l : (1) l 与抛物线 y 2 ? 8 x 有两个不同的交点 A 和 B; (2)线段 AB 被直线 l 1 :x+5y-5=0 垂直平分.若不存在,说明理由,若存在,求出直线 l 的方程.

-5-

-5-

【解析】假定在抛物线 y 2 ? 8 x 上存在这样的两点 A ? x1, y1 ? , B ? x 2, y 2 ? .则 有 :
? y 1 ? 8 x1 ? ? 2 ? y2 ? 8 x2
2

? y1 ?

y 2 ? ? y 1 ? y 2 ? ? 8 ? x1 ? x 2 ? ? k A B ?

? y1 ? ? x1 ?
1 5

y2 ? x2 ?

?

8

? y1 ?

y2 ?

∵线段 AB 被直线 l 1 :x+5y-5=0 垂直平分,且 k l ? ?
1

, k A B ? 5, 即 ?

8

? y1 ?

y2

?

? 5

? y1 ? y 2 ?

8 5

.
y1 ? y 2 2 ? 4 5

设线段 AB 的中点为 M ? x 0, y 0 ? , 则 y 0 ?
? ? 4?

.代入 x+5y-5=0 得 x=1.于是:

AB 中点为 M ? 1, ? .故存在符合题设条件的直线,其方程为:
5?
y? 4 5 ? 5 ? x ? 1 ? , 即 :5 x ? 5 y ? 2 1 ? 0 2

(6)探索法——奔向数学方法的高深层次 有一些解析几何习题,初看起来好似“树高荫深,叫樵夫难以下手”.这时就得冷静分析,探索规律, 不断地猜想——证明——再猜想——再证明.终于发现“无限风光在险峰”. 【例 10】 (07.安徽卷.14 题)如图,抛物线 y=-x2+1 与 x 轴的正半轴交于点 A,将线段 OA 的 n 等分点 从左至右依次记为 P1,P2,?,Pn-1,过这些分点分别作 x 轴的垂线,与抛物线的交点依次为 Q1,Q2,?,Qn-1, 从而得到 n-1 个直角三角形△Q1OP1, △Q2P1P2,?, △Qn-1Pn-1Pn-1,当 n→∞时,这些三角形的面积之和的极 限为 . 【解析】∵ O A
? 1, 图 中 每 个 直 角 三 角 形 的 底 边 长 均 为 ? 1 n

k ?k ? 2 0 设 OA 上第 k 个分点为 Pk ? , ? .代 入 y ? ? x ? 1: y ? 1 ? 2 . n ?n ?
1 1? k ? ? ?1 ? 2 ? . 2 n? n ?
2

2

第 k 个三角形的面积为: a k ?

? S n ?1

2 2 1 ? 2 ? ? ? ? n ? 1? 1 ? ? ?? n ? 1? ? 2 2n ? n ?

? ? ? ? ?

? n ? 1? ? 4 n ? 1?
12n
2

.

故这些三角形的面积之和的极限 S ? lim

? n ? 1? ? 4 n ? 1?
12n
2

n? ?

?

1 ?? 1? 1 ? lim ? 1 ? ? ? 4 ? ? ? n? ? 12 n ?? n? 3 ? 1

抛物线定义的妙用 对于抛物线有关问题的求解,若能巧妙地应用定义思考,常能化繁为简,优化解题思路,提高思维能力。 现举例说明如下。 一、求轨迹(或方程) 例 1. 已知动点 M 的坐标满足方程 A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 以上都不对 ,则动点 M 的轨迹是( )

-6-

-6-

解:由题意得: 即动点 到直线 的距离等于它到原点(0,0)的距离 为准线的抛物线。

由抛物线定义可知:动点 M 的轨迹是以原点(0,0)为焦点,以直线 故选 C。 二、求参数的值 例 2. 已知抛物线的顶点在原点,焦点在 y 轴上,抛物线上一点 解:设抛物线方程为 ∵点 M 到焦点距离与到准线距离相等 ,准线方程:

到焦点距离为 5,求 m 的值。

解得: ∴抛物线方程为 把 三、求角 代入得: ,则

例 3. 过抛物线焦点 F 的直线与抛物线交于 A、B 两点,若 A、B 在抛物线准线上的射影分别为 __________。 A. 45° B. 60° C. 90° D. 120°

图1 解:如图 1,由抛物线的定义知:

则 由题意知:

即 故选 C。 四、求三角形面积 例 4. 设 O 为抛物线的顶点,F 为抛物线的焦点且 PQ 为过焦点的弦,若 面积。 解析:如图 2,不妨设抛物线方程为 ,点 、点 , 。求△OPQ 的

-7-

-7-

图2 则由抛物线定义知: 又 由 即 又 PQ 为过焦点的弦,所以 则 所以, 点评:将焦点弦分成两段,利用定义将焦点弦长用两端点横坐标表示,结合抛物线方程,利用韦达定理是 常见的基本技能。 五、求最值 例 5. 设 P 是抛物线 上的一个动点。 (1)求点 P 到点 A(-1,1)的距离与点 P 到直线 的距离之和的最小值; ,则 得:

(2)若 B(3,2),求 的最小值。 解:(1)如图 3,易知抛物线的焦点为 F(1,0),准线是 由抛物线的定义知:点 P 到直线 的距离等于点 P 到焦点 F 的距离。 于是,问题转化为:在曲线上求一点 P,使点 P 到点 A(-1,1)的距离与点 P 到 F(1,0)的距离之和最 小。 显然,连结 AF 交曲线于 P 点,则所求最小值为 ,即为 。

图3 (2)如图 4,自点 B 作 BQ 垂直准线于 Q 交抛物线于点 ,则有 即 的最小值为 4 ,则

-8-

-8-

图4 点评:本题利用抛物线的定义,将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,从而构造出“两 点间线段距离最短”,使问题获解。 六、证明 例 6. 求证:以抛物线 中点 M,作 MH 垂直 于 H。 过焦点的弦为直径的圆,必与此抛物线的准线相切。 证明:如图 5,设抛物线的准线为 ,过 A、B 两点分别作 AC、BD 垂直于 ,垂足分别为 C、D。取线段 AB

图5 由抛物线的定义有: ∵ABDC 是直角梯形



为圆的半径,而准线过半径 MH 的外端且与半径垂直,故本题得证。 抛物线与面积问题 抛物线与面积相结合的题目是近年来中考数学中常见的问题。解答此类问题时,要充分利用抛物线和面积 的有关知识,重点把握相交坐标点的位置及坐标点之间的距离,得出相应的线段长或高,从而求解。 例 1. 如图 1,二次函数 的图像与 x 轴交于 A、B 两点,其中 A 点坐标为(-1,0)。 点 C(0,5)、点 D(1,8)在抛物线上,M 为抛物线的顶点。

图1 (1)求抛物线的解析式; (2)求△MCB 的面积。 解:(1)设抛物线的解析式为 ,根据题意得

-9-

-9-

,解得 ∴所求的抛物线的解析式为 (2)∵C 点坐标为(0,5),∴OC=5 令 ,则 ,

解得 ∴B 点坐标为(5,0),OB=5 ∵ ∴顶点 M 的坐标为(2,9) 过点 M 作 MN⊥AB 于点 N, 则 ON=2,MN=9 ∴ ,

例 2. 如图 2, 面积为 18 的等腰直角三角形 OAB 的一条直角边 OA 在 x 轴上, 二次函数 的图像过原点、A 点和斜边 OB 的中点 M。

图2 (1)求出这个二次函数的解析式和对称轴。 (2)在坐标轴上是否存一点 P,使△PMA 中 PA=PM,如果存在,写出 P 点的坐标,如果不存在,说明理由。 解:(1)∵等腰直角△OAB 的面积为 18, ∴OA=OB=6 ∵M 是斜边 OB 的中点, ∴ ∴点 A 的坐标为(6,0) 点 M 的坐标为(3,3) ∵抛物线



,解得

∴解析式为 , 对称轴为 (2)答:在 x 轴、y 轴上都存在点 P,使△PAM 中 PA=PM。

- 10 -

- 10 -

①P 点在 x 轴上,且满足 PA=PM 时,点 P 坐标为(3,0)。 ②P 点在 y 轴上,且满足 PA=PM 时,点 P 坐标为(0,-3)。 例 3. 二次函数 和点 B(0,1)。 的图像一部分如图 3,已知它的顶点 M 在第二象限,且经过点 A(1,0)

图3 (1)请判断实数 a 的取值范围,并说明理由。 (2)设此二次函数的图像与 x 轴的另一个交点为 c,当△AMC 的面积为△ABC 面积的 倍时,求 a 的值。 解:(1)由图象可知: ;图象过点(0,1),所以 c=1;图象过点(1,0),则 ; 当 当 时,应有 ,则 代入 。 ,

得 ,即 所以,实数 a 的取值范围为 (2)此时函数 要使 , 可求得 。

例 4. 如图 4,在同一直角坐标系内,如果 x 轴与一次函数 0)两点且平行于 y 轴的两条直线所围成的图形 ABDC 的面积为 7。

的图象以及分别过 C(1,0)、D(4,

图4 (1)求 K 的值; (2)求过 F、C、D 三点的抛物线的解析式; (3)线段 CD 上的一个动点 P 从点 D 出发,以 1 单位/秒的速度沿 DC 的方向移动(点 P 不重合于点 C), 过 P 点作直线 PQ⊥CD 交 EF 于 Q。 P 从点 D 出发 t 秒后, 当 求四边形 PQFC 的面积 S 与 t 之间的函数关系式, 并确定 t 的取值范围。 解:(1)∵点 A、B 在一次函数 ∴ 且 的图象上,

- 11 -

- 11 -

∵四边形 ABDC 的面积为 7 ∴ ∴ 。 (2)由 F(0,4),C(1,0),D(4,0)得 (3)∵PD=1×t=t ∴OP=4-t ∴

即 抛物线
2



1 已知抛物线 D: =4x 的焦点与椭圆 Q: y

x

2 2

?

y b

2 2

a

? 1 ( a ? b ? 0 ) 的右焦点 F1 重合, 且点 P (

2,

6 2

)

在椭圆 Q 上。 (Ⅰ)求椭圆 Q 的方程及其离心率; (Ⅱ)若倾斜角为 45°的直线 l 过椭圆 Q 的左 焦点 F2,且与椭圆相交于 A,B 两点,求△ABF1 的面积。 解: (Ⅰ)由题意知,抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为(1,0)

∴椭圆 Q 的右焦点 F1 的坐标为(1,0) 。∴ a 2 ? b 2 ? 1



又点 P ( 2 ,

6 2

) 在椭圆 Q 上,



( 2) a
2

2

( ?

6 2 b
2

)

2

? 1即

2 a
2

?

3 2b
2

?1



由①②,解得

a

2

? 4, b

2

? 3 ∴椭圆 Q 的方程为

x

2

?

y

2

? 1 ∴离心离 e ?

c a

?

1?

b a

2 2

?

1 2

4

3

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 F2(-1,0)∴直线 l 的方程为 y ? 0 ? tan 45 ? ( x ? 1),即 y ? x ? 1 设
?y ? x ?1 8 8 ? 2 2 消 y 整理,得 7 x ? 8 x ? 8 ? 0 ,? x 1 ? x 2 ? ? , x 1 x 2 ? ? A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) 由方程组 ? x 2 y 7 7 ? ?1 ? 3 ? 4

- 12 -

- 12 -

2 ∴ | AB |? 2 | x 1 ? x 2 |? 2 ( x 1 ? x 2 ) ? 4 x 1 x 2 ?

12 2 7

又点 F1 到直线 l 的距离 d ?

|1 ? 1 | 1 ? ( ? 1)
2

?

2 ∴ S ? ABF 1 ?

1 2

| AB | d ?
?
4

1 12 2 ? ? 2 7

2 ?

12 7

2 如图所示,抛物线 y2=4x 的顶点为 O,点 A 的坐标为(5,0),倾斜角为

的直线 l 与线段 OA 相交(不经
y N

过点 O 或点 A)且交抛物线于 M、N 两点,求△AMN 面积最大时直线 l 的方程,并求△AMN 的最大 面积
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解法一

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由题意, 可设 l 的方程为 y=x+m,其中-5<m<0

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由方程组 ?

?y ? x ? m ?y
2

? 4x

,消去 y,得 x2+(2m

o M

B

A

x

-4)x+m =0

2

①∵直线 l 与抛物线有两个不同交点 M、N,∴方程①的判别式Δ =(2m-4) -

2

4m2=16(1-m)>0,解得 m<1,又-5<m<0,∴m 的范围为(-5,0) 设 M(x1,y1),N(x2,y2)则 x1+x2=4-2m,x1·x2=m2,∴|MN|=4 2 (1 ? m ) 点 A 到直线 l 的距离为 d=
5? m
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2

∴S△=2(5+m) 1 ? m ,从而 S△2=4(1-m)(5+m)2=2(2-2m)·(5+m)(5+m)≤2(

2 ? 2m ? 5 ? m ? 5 ? m 3

)3=128

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∴S△≤8 2 ,当且仅当 2-2m=5+m,即 m=-1 时取等号 积为 8 2
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故直线 l 的方程为 y=x-1,△AMN 的最大面

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解法二

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由题意,可设 l 与 x 轴相交于 B(m,0), l 的方程为 x = y +m,其中 0<m<5
?x ? y ? m ?y
2

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由方程组 ?

? 4x

,消去 x,得 y 2-4 y -4m=0

①∵直线 l 与抛物线有两个不同交点 M、N,

∴方程①的判别式Δ =(-4)2+16m=16(1+m)>0 必成立,设 M(x1,y1),N(x2,y2)则 y 1+ y 2=4,y 1·y 2=-4m,
1 2 (5 ? m ) | y 1 ? y 2 | ? 1 2 (5 ? m ) ( y 1 ? y 2 ) ? 4 y 1 y 2 =
2

∴S△=

4(

5 2

?

1 2

m)

(1 ? m ) =4

(

5 2

?

1 2

m )(

5 2

?

1 2

m )(1 ? m )

- 13 -

- 13 -

5 1 ? 5 1 ? ? ( 2 ? 2 m ) ? ( 2 ? 2 m ) ? (1 ? m ) ? ? 4 ? ? ?8 3 ? ? ? ?

3

2 ∴S△≤8 2 ,当且仅当 (

5 2

?

1 2

m ) ? (1 ? m ) 即 m=1 时取等



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故直线 l 的方程为 y=x-1,△AMN 的最大面积为 8 2

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3 已知 O 为坐标原点,P( a , 0 )( a ? 0 )为 x 轴上一动点,过 P 作直线交抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0 ) 于 A、B 两 点,设 S△AOB= t ? tan ? AOB ,试问: a 为何值时,t 取得最小值,并求出最小值。 解:交 AB 与 x 轴不重叠时,设 AB 的方程为 y ? k ( x ? e )

合?

? y ? k (x ? a) ?y
2

? 2 px

消 y 可得: k 2 x 2 ? 2 ( k 2 a ? p ) x ? k 2 a 2 ? 0

设 A ( x1 , y 1 )

B(x2 , y2 )

则 x 1 x 2 ? a 2 , y 1 y 2 ? ? 2 Pa 交 AB 与 x 轴重叠

时,上述结论仍然成立
1 2 1 2

S O AOB ?

OA ? OB sin ? AOB ?

OA ? OB con ? AOB ? lin ? AOB



t ?

1 2

OA ? OB con ? AOB 又 OA ? OB ? con ? AOB ? OA ? OB ? x 1 x 2 ? y 1 y 2 ∴

t ? ( x1 x 2 ? y 1 y 2 ) ? ( a ? 2 ap ) ? ( a ? p ) ? p ≥ ? 当a ? p 时 2 2 2 2 2
2 2 2

1

1

1

1

p

2

取“=” 综上 当 ,

e ? p时

t min ? ?

p 2

2

- 14 -

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