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6、1.3.2 球的表面积和体积


1.3.2 球的表面积和体积

中国足球队唯一一次进入世界杯决赛圈是在 2002 年日韩世界杯上,小组赛三场皆负,一球 未进,在 32 支球队中排名最后.在巴西世界杯亚洲区 20 强预选赛中,中国队于 10 月 11 日在主 场痛失好局,以 0∶1 不敌伊拉克队,3 战 1 胜 2 负,即使在随后的三轮比赛中连胜对手,也难确 保进入 10 强赛.不可否认,中国

足球队已陷入最低谷,沦为亚洲三流球队. 问题 1:根据球的形成定义来分析,体育比赛中用到的足球与数学中的球有何不同? 提示:比赛中的足球是空心的,而数学中的球是实体球. 问题 2:给你一个足球能否计算出这个足球表皮面积和体积? 提示:由球的定义可知,只要知道球的半径即可求出.

1.球的表面积 设球的半径为 R,则球的表面积 S=4πR2,即球的表面积等于它的大圆面积的 4 倍. 2.球的体积 4 设球的半径为 R,则球的体积 V= πR3. 3

1.要求球的表面积和体积,只需求出球的半径. 2.球的体积与球的半径的立方成正比,即球的体积是关于球的半径的增函数.

[例 1] (1)已知球的直径为 6 cm,求它的表面积和体积; (2)已知球的表面积为 64π,求它的体积; 500 (3)已知球的体积为 π,求它的表面积. 3 [思路点拨] 利用条件确定半径 R 代入相关公式可求. [精解详析] (1)∵直径为 6 cm,∴半径 R=3 cm.
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∴表面积 S 球=4πR2=36π(cm2), 4 体积 V 球= πR3=36π(cm3). 3 (2)∵S 球=4πR2=64π, ∴R2=16,即 R=4, 4 4 256 ∴V 球= πR3= π×43= π. 3 3 3 4 500 (3)∵V 球= πR3= π, 3 3 ∴R3=125,R=5. ∴S 球=4πR2=100π. [一点通] 已知球半径可以利用公式求它的表面积和体积;反过来,已知体积或表面积也可 以求其半径.

1.两个球的半径之比为 1∶3,那么两个球的表面积之比为( A.1∶9 C.1∶3 答案:A B.1∶27 D.1∶1

)

2.火星的半径约是地球半径的一半,则地球的体积是火星体积的________倍. 4 π?2r?3 V地 3 解析:设火星半径为 r,地球半径则为 2r, = =8. 4 3 V火 πr 3 答案:8 3.圆柱形容器内部盛有高度为 8 cm 的水,若放入三个相同的球(球的半径 柱的底面半径相同 ) 后,水恰好淹没最上面的球 ( 如图所示 ) ,则球的半径是 ________ cm. 解析:设球的半径为 r,放入 3 个球后,圆柱液面高度变为 6r.则有 4 πr2· 6r=8πr2+3·πr3,即 2r=8, 3 ∴r=4. 答案:4 与 圆

[例 2] 在球面上有四个点 P、A、B、C,如果 PA、PB、PC 两两垂直,且 PA=PB=PC=a, 求这个球的体积.
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[思路点拨] 将球与正方体联系起来. [精解详析] ∵PA、PB、PC 两两垂直,PA=PB=PC=a, ∴以 PA、PB、PC 为相邻三条棱可以构造正方体. 又∵P、A、B、C 四点是球面上四点, ∴球是正方体的外接球,正方体的体对角线是球的直径. ∴2R= 3a,R= 3 a, 2

4 4 3 3 ∴V= πR3= π( a)3= πa3. 3 3 2 2 [一点通] (1)与球有关的组合体问题一种是内切,一种是外接,明确切点和接点的位置,并 作出合适的截面图,是确定有关元素间的数量关系的关键. (2)球外接于正方体、长方体时,正方体、长方体的对角线长等于球的直径. (3)球与旋转体的组合,通常作轴截面解题.

4.棱长为 2 的正方体的外接球的表面积是( A.8π C.12π B.4π D.16π

)

解析:正方体的体对角线长为 2 3,即 2R=2 3, ∴R= 3,S=4πR2=12π. 答案:C 5.球内切于正方体的六个面,正方体的边长为 a,则球的表面积为________. 解析:正方体的内切球球心是正方体的中心,切点是六个面(正方形)的中心,经过四个切点 及球心作截面,如图, a 2 所以有 2r1=a,r1= ,所以 S1=4πr2 1=πa . 2 答案:πa2

[例 3] (12 分)已知球的两平行截面的面积为 5π 和 8π, 它们位于球心的同一侧, 且相距为 1, 求这个球的表面积. [思路点拨] 根据已知条件, 通过解三角形列出方程式, 求出球的半 [精解详析] 如图所示,设以 r1 为半径的截面面积为 5π,以 r2 为半 截面面积为 8π,O1O2=1,球的半径为 R,OO2=x,那么可得下列关系
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径. 径 的 式:

2 2 2 2 2 r2 2=R -x 且 πr2=π(R -x )=8π, 2 2 2 2 2 r2 1=R -(x+1) 且 πr1=π[R -(x+1) ]=5π,

(4 分) (6 分)

于是 π(R2-x2)-π[R2-(x+1)2]=8π-5π, 即 R2-x2-R2+x2+2x+1=3,∴2x=2,即 x=1. 又∵π(R2-x2)=8π,∴R2-1=8,R2=9,∴R=3. 球的表面积为 S=4πR2=4π×32= (8 分) (10 分) (12 分)

[一点通] 与球有关的截面问题在解决时多转化为平面图形,即作出轴截面进而计算,作平 面图时,要注意区别大圆与小圆.

6.用到球心距离等于 3 的平面去截球,所得截面的面积为 7π,则球的半径为________. 解析:由题意知所得截面为半径等于 7的圆,所以 R= 7+9=4. 答案:4 7.已知过球面上三点 A、B、C 的截面到球心的距离等于球半径的一半,且 AC=BC=6,AB =4,求球的表面积与球的体积. 解:如图,设球心为 O,球半径为 R,作 OO1 垂直平面 ABC 于 O1,

由于 OA=OB=OC=R, 则 O1 是△ABC 的外心. 设 M 是 AB 的中点, 由于 AC=BC,则 O1 在 CM 上. 设 O1M=x,易知 O1M⊥AB, 设 O1A= 22+x2, O1C=CM-O1M= 62-22-x. 又 O1A=O1C,∴ 22+x2= 62-22-x. 7 2 9 2 解得 x= .则 O1A=O1B=O1C= . 4 4 R 在 Rt△OO1A 中,O1O= ,∠OO1A=90° ,OA=R. 2 R 9 22 由勾股定理得( )2+( ) =R2. 2 4
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3 6 解得 R= . 2 4 故 S 球=4πR2=54π,V 球= πR3=27 6π. 3

1.求球的体积和表面积时,关键是求球的半径. 2.与球有关的组合体问题解决的关键是作出截面图.找出球半径与几何体的棱长之间的关 系,这样可把球有关的组合体的立体问题转化为平面问题解决.

1.长方体的一个顶点上三条棱的长分别是 3、4、5,且它的八个顶点都在同一个球面上,则 这个球的表面积是( A. 22π C.50π ) B.25 2π D.200π

5 2 解析:长方体的体对角线长= 32+42+52=5 2,球的半径为 r,则 2r=5 2,∴r= , 2 ∴S 表=4πr2=50π. 答案:C 2.两个球的体积之比为 8∶27,那么这两个球的表面积之比为( A.2∶3 C. 2∶ 3 B.4∶9 D. 8∶ 27 )

3 V1 r1 8 解析:设两个球的半径分别为 r1,r2,则 = 3= . V2 r2 27

r1 2 S1 r2 4 1 ∴ = , = 2= . r2 3 S2 r2 9 答案:B 3.(2011· 湖南高考)设下图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( )

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A.9π+42 9 C. π+12 2

B.36π+18 9 D. π+18 2

4 3 9π 解析:由三视图可知,该几何体是一个球体和一个长方体的组合体.其中,V 球= π·( )3= , 3 2 2 9 V 长方体=2×3×3=18.所以 V 总= π+18. 2 答案:D 4.如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的 3 倍,则圆锥的侧面面积和球的表面积之 比为( ) B.3∶1 D.9∶4 3 PC= 3 3 r,

A.4∶3 C.3∶2

解析:作轴截面如图,则 PO=2OD,∠CPB=30° ,CB=

PB=2 3r,圆锥侧面积 S1=6πr2,球的面积 S2=4πr2,S1∶S2=3∶2. 答案:C 5.已知 OA 为球 O 的半径,过 OA 的中点 M 且垂直于 OA 的平面截 面得到圆 M.若圆 M 的面积为 3π,则球 O 的表面积等于________. R 解析:由题意得圆 M 的半径 r= 3,又球心到圆 M 的距离为 ,由勾 2 R 理得 R2=r2+( )2,R=2,则球的表面积为 16π. 2 答案:16π 6.如下图,一个底面半径为 R 的圆柱形量杯中装有适量的水.放入一个半径为 r 的实心铁 R 球,球被水淹没,高度恰好升高 r,则 =________. r 股 定 球

4 4 R 2 3 解析: 放入量杯中一铁球后水恰好升高 r, ∴V 球=πR2· r.∵V 球= πr3, ∴πR2· r= πr3.∴ = . 3 3 r 3 2 3 答案: 3 7.某个几何体的三视图如图所示(单位:m).
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(1)求该几何体的表面积; (2)求该几何体的体积. 解:由三视图可知,该几何体的下部是棱长为 2 m 的正方体,上部是半径为 1 m 的半球. (1)该几何体的表面积为 1 S= ×4π×12+6×22-π×12=24+π(m2). 2 (2)该几何体的体积为 1 4 2π V=23+ × ×π×13=8+ (m3). 2 3 3 8.圆锥的底面半径为 3,母线长为 5,求它的内切球的表面积与 积. 解:作截面图如图, 由题意得圆锥的高为 4. 设球的半径为 R, 1 1 1 则 S△ABC= ×6×4= ×6R+ ×5R×2, 2 2 2 3 解得 R= , 2 ∴S 球面=4πR2=9π, 4 9 V 球= πR3= π. 3 2 体

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一、多面体与旋转体 1.棱柱有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形.但是要注意“有两个面互相平行, 其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱”. 2.有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体 叫棱锥. 注意:一个棱锥至少有四个面,所以三棱锥也叫四面体. 3.棱台是利用棱锥来定义的,用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,得到两个几何体, 一个仍然是棱锥,另一个称之为棱台,截面叫做上底面,原棱锥的底面叫做下底面. 注意:解决台体常用“台还原成锥”的思想. 4.将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的 直线旋转一周,形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台,这条直线叫做轴,垂直于轴的边旋转 一周而成的圆面叫做底面,不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做侧面,无论旋转到什么位置,这 条边都叫做母线. 二、三视图和直观图 1.三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体,画出的空间几何体的图形. 具体包括: (1)正视图:物体前后方向投影所得到的投影图;它能反映物体的高度和长度; (2)侧视图:物体左右方向投影所得到的投影图;它能反映物体的高度和宽度; (3)俯视图:物体上下方向投影所得到的投影图;它能反映物体的长度和宽度. 2.画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置,因为多边形顶点的位置 一旦确定,依次连接这些顶点就可画出多边形来,因此平面多边形水平放置时,直观图的画法可 以归结为确定点的位置的画法. 三、几何体的表面积与体积 1.棱锥、棱台、棱柱的侧面积公式间的联系: 1 1 c′=0 S正棱台侧= ?c+c′?h′ ― ― → S正棱锥侧= ch′ 2 2 ― ― → S正棱柱侧=ch h=h′ c′=0 时,棱锥可以看作上底周长为 0 的棱台. 设球的半径为 R,则球的表面积 S=4πR2.
-8c=c′

2.几何体占有空间部分的大小,明确柱、锥、台的体积公式间的关系,可进一步加强对三 个几何体的认识. 1 1 S =0 V台体= ?S上+S下+ S上S下?h ― ― → V锥体= Sh 3 3


― ― → V柱体=Sh S 上=0 时,棱锥可以看作上底面面积为 0 的棱台; S 上=S 下时,棱柱可以看作上底面等于下底面的棱台. 4 设球的半径为 R,则球的体积 V= πR3. 3 3.解决球的问题时常常用到球的轴截面,在轴截面图形中,球半径、截面圆半径、球心与 圆心的连线所构成的直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径.球心是球的灵魂,抓 住了球心就抓住了球的位置.许多球的有关问题中,要画出实际空间图形比较困难,但我们可以 通过球心、 球面上的点以及切点等的连线构造多面体, 把球的问题转化为多面体的问题加以解决.

S上=S下

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