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雅礼中学2010届高三第五次质检


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雅礼中学 2010 届高三第五次质检

数学(理科) 数学(理科)试卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择)题两部分,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 第Ⅰ卷(选 择题) 选择题: 小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 要求的. 1. (1 i)(1 + 2i) = ( C ) 1+ i A. 2 i 2.已知集合 M = x | A. ( 2,+ ∞ )
5 6

B. 2 + i

C. 2 i

D. 2 + i )



1 ≤ 2 x ≤ 4 , N = { x | x k > 0} , 若M ∩ N = φ ,则 k 的取值范围是( 2
B. [ 2, + ∞ )
4

C. ( ∞, 1)

D. ( ∞, 1] )

3.在(3+x) +(2-x) 的展开式中,含 x 的项的二项式系数是以 an=2n+2 为通项的数列{an}的( A.第 6 项 B .第 7 项 C.第 8 项 D.第 9 项 4.函数 y = sin 3 x ( )

A.是周期函数,最小正周期为

2π π B.是周期函数,最小正周期为 3 3

C.不是周期函数,但是奇函数 D.不是周期函数,但是偶函数 2 2 5. (如图) ,在一个边长为 1 的正方形 AOBC 内,曲线 y=x 和曲线 y = x 围成一个叶形图(阴影部分) ,向 ,则所投的点落在叶形图 正方形 AOBC 内随机投一点. (该点落在正方形 AOBC 内任何一点是等可能的) 内部的概率是( ) A.

1 2 1 C. 4

1 3 1 D. 6
B.

y=x2 y2=x

6.长沙市组织一次高三调研考试,考试后统 计的数学成绩服从正态分布,其密度函数为

f ( x) =

1 2π 10

e

( x 80 ) 2 200

( x ∈ R ) ,则下列命题不正确的是

( )

A.长沙市这次考试的数学平均成绩为 80 分; B.分数在 120 分以上的人数与分数在 60 分以下的人数相同; C.分数在 110 分以上的人数与分数在 50 分以下的人数相同; D.长沙市这次考试的数学成绩标准差为10. 答案:B 7.已知 α、 是两个不同的平面,直线 a α ,直线 b β ,命题 p:a 与 b 无公共点,命题 q: α // β , β ) 则 p 是 q 的( A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

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C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

8.已知 an = log ( n +1) ( n + 2 ) , n ∈ N * ,若称使乘积 a1a2a3…an 为整数的数 n 为劣数,则在区间(1, 2010)内所有劣数的和为( ) A.2026 B.2046 C.1024 D.1022 填空题: 小题, 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. , ,若点 C 满足 OC = λ1 OA + λ2 OB (O 为坐标原 9.在平面直角坐标系中,已知两点 A(2,5) B(0,1) 点) ,其中 λ1、 2 ∈ R ,且 λ1 + λ2 = 1 ,则点 C 的轨迹方程为 2x-y+1=0 . λ 10.已知两圆相交于两点 A(1,3), B ( m,1) ,两圆圆心都在直线 x y + c = 0 上,则 m + c 的值是 3

(

)

其中 mn>0, 11. 已知函数 y = log a ( x + 3) 1( a > 0且a ≠ 1) 的图象恒过定点 A. 若点 A 在直线 mx+ny+1=0 上, 当

1 2 x2 y2 + 有最小值时,椭圆 2 + 2 = 1 的离心率为 m n m n
2 2 2



3 . 2

12.如果圆 x +y =k 至少覆盖函数 f ( x ) = 3 sin

πx
k

的一个极大值点和一个极小值点,则 k 的取值范围是

( ∞, 2] ∪ [ 2, + ∞ ) .
13 . 在 如 图 所 示 三角 形中 , 令 第 n 行 的 各 数 的 和为 a n , 得 到 数 列 {a n } , 则 数 列 {a n } 的 通 项 公 式 为 .

a n = n 2 n 1
[来源:Zxxk.Com] [来源:学科网 ZXXK]

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14.已知 f ( x ) = x 6 , 以下程序框图表示的是给定 x 的值, 求其函数值的算法.请将该程序框图补充完整. 其中①处应填 【解析】 x ≤ 6 ? ,②处应填 .
开始

y = x6

输入 x

是 ①



y=6-x



输出 y

结束

15.棱长为 1 的正四面体与一个球 ①若正四面体的四个顶点都在球面上,则这个球的表面积为 6π .

②若球与正四面体的六条棱都相切,则这个球的体积是

2 π .[来源:学。科。网] 24

小题, 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 解答题: 16. (本小题满分 12 分) 已知△ABC 中,∠A、∠B、∠C 的对边分别是 a、b、c,若 4 sin
2

B+C 7 COS 2 A = , b + c = 3a ,求 2 2

A、B、C 的大小.
解: 4

1 cos ( B + C ) 7 ( 2 cos 2 A 1) = 2 2
7 2

2 + 2 cos A 2 cos 2 A + 1 = 2 cos 2 A 2 cos A + 1 =0 2

( 2 cos A 1) 2 = 0
∴ cos A = ∴A=

π
3

1 A ∈ ( 0, π ) 2

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b + c = 3a ,由正弦定理得: sin B + sin C = 3 sin A =
3 2π ∴ sin c + sin c = 2 3 3 π ∴ sin c + = 6 2 ∴c + ∴c = ∴A=

3 2

π π
6 6

=

π
3

或c +

π
6

=

或c = ,B=

π π
2

2π 3

π
3

2

,C=

π
6

或A =

π
3

,B=

π
6

,C=

π
2

17. (本小题满分 12 分) 某篮球职业联赛的总决赛在甲队与乙队间角逐,采用五局三胜制,即若一队先胜三场,则此队获胜, 比赛结束,雅创教育网因两队实力相当,每场比赛获胜的可能性相等,据以往资料统计,第一场比赛 组织者可获门票收入 30 万元,以后每场比赛门票收入都比上一场增加 10 万元,问: ⑴组织者在此次总决赛中获得门票收入不少于 180 万元的概率是多少? ⑵用 ξ 表示组织者在此次总决赛中的门票收入,求 ξ 的数学期望? 解:⑴每场比赛的门票收入构成等差数列{an},其中 a1=30,d=10, Sn=5n2+25n 2 令 Sn≥180,即 5n +25n≥180,解得 n≥4 或 n≤-9(舍) ∴n=4 或 5

若n = 4, 则需打4场比赛,某队必须第4场胜,且前3场中胜2场 若n ≥ 5, 则需打5场比赛,某队必须第5场胜,且前4场中胜2场
4 5

3 1 21 ∴ P = 2C + 2C4 = 2 2 4 …………………………………………………6 分 3 ∴为 4
2 3



ξ

120[来 源:学#科#网]

180[来 源:Zxxk.Com]

250

P

1 4

3 8 [来
源:Zxxk.Com]

3 8

1 3 3 ∴E ξ = 120 × + 180 × + 250 × = 191.25 …………………………………………12 分 4 8 8
18. 本小题满分 12 分) ( 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, ⊥底面 ABCD, DAB=90, //CD, PA ∠ AB F 分别为 PC、CD 的中点.[来源:学+科+网] ⑴证明:CD⊥平面 BEF;

AD=CD=2AB, E、

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⑵设 PA=kAB 且二面角 E-BD-C 的平面角大于 30,求 k 的取值范围. 18.⑴如图,以 A 为原点,AB 所在直线为 x 轴,AD 所在直线为 y 轴,AP 所在直线为 z 轴建立空间直角坐 标系. 设 AB=a, 则易知点 A、 C、 F 的坐标分别为 A B、 D、 (0, 0) B a, 0) C a, a,0) D(0,2a,0),F(a, 0, ,( 0, ,(2 2 , 2a,0). 从而 DC = ( 2a, 0, 0 ) , BF = ( 0, 2a, 0 ) .

DC BF = 0, 故 DC ⊥ BF .
设 PA=b, P 0, b) 而 E 为 PC 的中点, E a,a, 则 ( 0, , 故( 从而 BE = 0, a,

b ) . 2



b , DC BE = 0, 故 DC ⊥ BE. 2

由此得 CD⊥面 BEF. ………………………………………………6 分 ⑵设 E 在 xOy 平面上的投影为 G,作 G 作 DH⊥BD,垂足为 H. 由三垂线定理知 EH⊥BD. 从而∠EHG 为二面角 E-BD-C 的平面角. 由 PA=kAB 得 P(0,0,ka) E a, a, ,



ka ,G ( a , a , 0 ) . 2

设 H(x,y,0) ,则 GH = ( x a, y a, 0 ) , BD = ( a, 2a, 0 ) , 由 GH BD = 0 得-a(x-a)+2a(y-a)=0,即 x-2y=-a ①, 又因为 BH = ( x a, y , 0 ) , 且 BH 与BD 的方向相同, 故

xa y = ,即 2x+y=2a a 2a 3 4 1 5 2 a, y = a. 从而GH = a, a, 0 , GH = a. 5 5 5 5 5

由①②解得 x =

ka 5 tan EHG = = 2 = k. 2 5 GH a 5 EG
由 k>0 知∠EHG 是锐角,由∠EHG>30,得 tanEHG>tan30,即 19、 (本小题满分 13 分) 有一座大桥既是交通拥挤地段, 又是事故多发地段, 为了保证安全, 交通部门规定。 大桥上的车距 d ( m) 与 车速 v( km / h) 和车长 l ( m) 的关系满足: d = kv l +
2

5 3 k> . …12 分 2 3

1 l ( k 为正的常数) ,假定车身长为 4m ,当车速为 2

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60(km / h) 时,车距为 2.66 个车身长。
A. 写出车距 d 关于车速 v 的函 数关系式; B. 应规定怎样的车速,才能使大桥上每小时通过的车辆最多?

1 2.66l l 2 = 2.16 = 0.0006 ……2 分 解析:⑴因为当 v = 60 时, d = 2.66l ,所以 k = 2 60 l 60 2
∴ d = 0.0024v 2 + 2 ………………………………………………………5 分 ⑵设每小时通过的车辆为 Q ,则 Q =

1000v 1000 .即 Q = 1000v ……10 分 = 2 d +4 0.0024v + 6 0.0024v + 6
v

6 6 ∵ 0.0024v + ≥ 2 0.0024v × = 0.24 ,…………………………………………………12 分 v v
∴Q≤

1000 12500 6 12500 = ,当且仅当 0.0024v = ,即 v = 50 时, Q 取最大值 . 0.24 3 v 3

答:当 v = 50 ( km / h ) 时,大桥每小时通过的车辆最多.………13 分 20.(本小题满分 13 分) 已知长方形 ABCD, AB=6,BC=7/4.以 AB 的中点 O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系 xoy (1)求以 A、B 为焦点,且过 C、D 两点的椭圆 C 的标准方程; (2)若 P 为椭圆 C 上的动点,M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点, 明轨迹是什么曲线。

OP OM

=λ,求点 M 的轨迹方程,并说

y
解:(1)

x y + = 1 …………………5 分 16 7

2

2

D

C

(2)设 M ( x, y ) ,其中 x ∈ [ 4, 4] 。由


A O B



x

OP OM

2 2

= λ 2 及点 P 在椭圆 C 上可得

9 x 2 + 112 = λ 2 。整理得 (16λ 2 9) x 2 + 16λ 2 y 2 = 112 ,其中 x ∈ [ 4, 4] ……………8 分 16( x 2 + y 2 )
(i) λ =

3 时。化简得 9 y 2 = 112 4

所以点 M 的轨迹方程为 y = ±

4 7 (4 ≤ x ≤ 4) ,轨迹是两条平行于 x 轴的线段。 3

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(ii) λ ≠

3 时,方程变形为 4

x2 y2 + = 1 ,其中 x ∈ [ 4, 4] 112 112 16λ 2 9 16λ 2

当0 < λ < 当

3 时,点 M 的轨迹为中 心在原点、实轴在 y 轴上的双曲线满足 4 ≤ x ≤ 4 的部分。 4

3 < λ < 1 时,点 M 的轨迹为中心在原点、长轴在 x 轴上的椭圆满足 4 ≤ x ≤ 4 的部分; 4 当 λ ≥ 1 时,点 M 的轨迹为中心在原点、长轴在 x 轴上的椭圆………………13 分[来源:学,科,网
Z,X,X,K] [来源:学_科_网] 21.(本小题满分 13 分) 设函数( x )=

x3 a 2 + x +b x + c (a,b,c ∈ R ),函数 f ( x )的导数记为 f / ( x ) 。 3 2

(1)若 a = f / (2) ,b= f / (1) ,c= f / (0) ,求 a,b,c 的值; (2) a = f /(2) b= f /(1) c= f /(0) 且 F ( n ) 若 , , , =

1 求证:F (1)+ F (2)+ F (3)+…… f ( n) + 2 .
/

+ F (n )

11 ( n ∈ N *); 18

(3)设关于 x 的方程 f / ( x )=0 的两个实数根为 a、β ,且 1 a β 2. 试问 :是否存在正整数 n0 , 使得| f / ( n0 )| ≤

1 ?说明理由: 4
2

解:(1) f / ( x )= x + ax + b ,由已知可得 a =-1,b=c=-3.……………………4 分 (2) f / ( n )= n - n -3, F =( n )=
2

1 1 = 2 f ( n) + 2 n n 1
/

当 n =1 时, F (1)=-1 当 n ≥ 3 时, ( n )= F

11 11 ;当 n =2 时, F (1)+ F (2)=-1+ 1=0 ; 18 18

1 1 1 1 1 1 2 = = ( ) .[来源:Z.xx.k.Com] n n 1 n n 2 (n + 1)(n 2) 3 n 2 n + 1
2

1 1 1 1 1 1 F (1) + F (2) + F (3) + …… + F (n) F (1) + F (2) + [(1 ) + ( ) + ( ) + 3 4 2 5 3 6 1 1 1 1 1 1 1 1 11 …… + ( ] = [1 + + ] ,所以 F (1) + F (2) n 2 n +1 3 2 3 n 1 n n + 1 18 11 + F (3) + …+ F( n) ( n ∈ N *). ………………………………………………9 分 18
/ (3) f ( x ) = ( x a )( x β ) .

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f / (1)

f / (2)= (1 a )(1 β )(2 a )(2 β ) = (a 1)( β 1)(2 a )(2 β )

(a 1) + (2 a ) 2 ( β 1) + (2 β ) 2 1 ] [ ] = , 2 2 16 1 1 1 ∴0 | f / (1)1 ≤ 或0 | f / (2)| ≤ ,所以存在 n0 =1 或 2,使| f / ( n0 )| ≤ …13 分 4 4 4
= ( a 1)(2 a )( β 1)( 2 β ≤ [


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