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2012年、2011年北京市中考数学试卷及答案


2012 年北京市高级中等学校招生考试

数 学 试 卷
学校 姓名 准考证号 一、选择题(本题共 32 分,每小题 4 分) 下面各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的. 1.
?9

的相反数是
1 9

A. ?

B.

1 9

C. ? 9

D.9

2. 首届中国(北京)国际服务贸易交易会(京交会)于 2012 年 6 月 1 日闭幕,本届京交 会期间签订的项目成交总金额达 60 110 000 000 美元,将 60 110 000 000 用科学记数法 表示应为 A. 6 .0 1 1 ? 1 0 9 B. 6 0 .1 1 ? 1 0 9 C. 6.011 ? 10 10 D. 0.6011 ? 10 11

3. 正十边形的每个外角等于 A. 1 8 ? C. 45? B. 36? D. 60?

4. 右图是某个几何体的三视图,该几何体是 A.长方体 B.正方体 C.圆柱 D.三棱柱 5. 班主任王老师将 6 份奖品分别放在 6 个完全相同的不透明礼盒中, 准备将它们奖给小英 等 6 位获“爱集体标兵”称号的同学.这些奖品中 3 份是学习文具,2 份是科普读物, 1 份是科技馆通票.小英同学从中随机取一份奖品,恰好取到科普读物的概率是 A.
1 6

B.

1 3

C.

1 2

D.
? 76 ?

2 3

C 6. 如图, 直线 A B , D 交于点 O , 射线 O M 平分 ? A O C , ? B O D 若

, ? BM 则 O

等于 A. 38? C. 1 4 2 ? B. 1 0 4 ? D. 1 4 4 ?

7. 某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了 20 户家庭某月的用电量,如下表所示: 用电量(度) 120 140 160 180 7 200 2 2 3 6 户数 则这 20 户家庭该月用电量的众数和中位数分别是

A.180,160

B.160,180

C.160,160

D.180,180

8. 小翔在如图 1 所示的场地上匀速跑步,他从点 A 出发,沿箭头所示方向经过点 B 跑到 点 C ,共用时 30 秒.他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程.设小翔跑 步的时间为 t (单位:秒) ,他与教练的距离为 y (单位:米) ,表示 y 与 t 的函数关系 的图象大致如图 2 所示,则这个固定位置可能是图 1 中的 A.点 M B.点 N C.点 P D.点 Q

二、填空题(本题共 16 分,每小题 4 分) 9. 分解因式: m n 2 ? 6 m n ? 9 m ? . .

10.若关于 x 的方程 x 2 ? 2 x ? m ? 0 有两个相等的实数根,则 m 的值是 11.如图,小明同学用自制的直角三角形纸板 D E F 测量树的高度
AB DE

,他调整自己的位置,设法使斜边 D F 保持水平,并且边 与点 B 在同一直线上.已知纸板的两条直角边 ,
E F ? 20 cm ? 8m

D E ? 40 cm A C ? 1.5m

, 测 得 边 DF 离 地 面 的 高 度
m

, CD

,则树高 A B ?



12.在平面直角坐标系 xO y 中,我们把横 、纵坐标都是 整数的点叫做整点.已知点 A ? 0 ,4 ? ,点 B 是 x 轴 正半轴上的整点,记 △ AO B 内部(不包括边界)的 整点个数为 m .当 m 可能值是 正整数)时, m
?

?3

时,点 B 的横坐标的所有

;当点 B 的横坐标为 4 n ( n 为 (用含 n 的代数式表示. )

三、解答题(本题共 30 分,每小题 5 分) 13.计算: ? π ? 3 ?
0

?

?1? 1 8 ? 2 sin 4 5 ? ? ? ? ?8?

?1

.

14.解不等式组: ?

?4x ? 3 ? x , ? x ? 4 ? 2 x ? 1.

15.已知

a 2

?

b 3

≠0

,求代数式

5a ? 2b a ? 4b
2 2

? ? a ? 2b ?

的值.

16.已知:如图,点 E , A ,C 在同一条直线上, A B ∥ C D ,
A B ? C E ,A C ? C D



求证: BC

? ED

.

17.如图,在平面直角坐标系 xO y 中,函数 y
y ? kx ? k

?

4 x

?x

? 0?

的图象与一次函数

的图象的交点为 A ? m ,2 ? .

(1)求一次函数的解析式; (2)设一次函数 y ? kx ? k 的图象与 y 轴交于点 B ,若 P 是 x 轴上一点, 且满足 △ P A B 的面积是 4,直接写出点 P 的坐标.

18.列方程或方程组解应用题: 据林业专家分析,树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物, 具有滞尘净化空气的作用. 已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均 滞尘量的 2 倍少 4 毫克,若一年滞尘 1000 毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘 550 毫克 所需的国槐树叶的片数相同,求一片国槐树叶一年的平均滞尘量.

四、解答题(本题共 20 分,每小题 5 分) 19.如图,在四边形 A B C D 中,对角线 A C ,B D 交于点 E ,
? B A C ? 9 0 ? ,? C E D ? 4 5 ? ,? D C E ? 3 0 ? ,D E ?
BE ? 2 2

2,

.求 C D 的长和四边形 A B C D 的面积.

20.已知:如图, A B 是 ⊙ O 的直径,C 是 ⊙ O 上一点,O D ⊥

BC

于点 D ,

过点 C 作 ⊙ O 的切线,交 O D 的延长线于点 E ,连结 B E . (1)求证: B E 与 ⊙ O 相切;

(2)连结 A D 并延长交 B E 于点 F ,若 O B ? 9 ,

sin ? A B C ?

2 3

,求 B F 的长.

21.近年来,北京市大力发展轨道交通,轨道运营里程大幅增加,2011 年北京市又调整修 订了 2010 至 2020 年轨道交通线网的发展规划. 以下是根据北京市轨道交通指挥中心发 布的有关数据制作的统计图表的一部分. 北京市轨道交通已开通线路 相关数据统计表(截至 2010 年底) 开通时间 1971 1984 2003 2007 2008 2009 开通线路 1 号线 2 号线 13 号线 八通线 5 号线 8 号线 10 号线 机场线 4 号线 房山线 大兴线 2010 亦庄线 昌平线 15 号线 请根据以上信息解答下列问题: (1)补全条形统计图并在图中标明相应数据; (2)按照 2011 年规划方案,预计 2020 年北京市轨道交通运营里程将达到多少千米? (3)要按时完成截至 2015 年的轨道交通规划任务,从 2011 到 2015 这 4 年中,平均每 年需新增运营里程多少千米? 22.操作与探究: (1)对数轴上的点 P 进行如下操作:先把点 P 表示的数乘以 ,再把所得数对应的点
3 1

运营里程 (千米) 31 23 41 19 28 5 25 28 28 22 22 23 21 20

向右平移 1 个单位,得到点 P 的对应点 P ? . 点 A , B 在数轴上,对线段 A B 上的每个点进行上述操作后得到线段 A ? B ? ,其中点
A ,B

的对应点分别为 A ? , B ? .如图 1,若点 A 表示的数是 ? 3 ,则点 A ? 表示的数 ;若点 B ? 表示的数是 2,则点 B 表示的数是 ;已知线段 A B 上



的点 E 经过上述操作后得到的对应点 E ? 与点 E 重合,则点 E 表示的数是



(2)如图 2,在平面直角坐标系 xO y 中,对正方形 A B C D 及其内部的每 个点进行如下操作:把每 个点的横、纵坐标都乘以同一种实数 a , 将得到的点先向右平移 m 个单位,再向上平移 n 个单位 ( m ? 0 ,n ? 0 ) ,得到正方形 A ? B ?C ?D ? 及其内部的点,其中点
A ,B

的对应点分别为 A ? , B ? 。 已知正方形 A B C D 内部的一个点 F

经过上述操作后得到的对应点 F ? 与点 F 重合,求点 F 的坐标。

五、解答题(本题共 22 分,第 23 题 7 分,第 24 题 7 分,第 25 题 8 分) 23.已知二次函数 y 在x
?0
? ( t ? 1) x ? 2 ( t ? 2 ) x ?
2

3 2

和x

? 2

时的函数值相等。

(1) 求二次函数的解析式; (2) 若一次函数 y ? kx ? 6 的图象与二次函数的 图象都经过点 A ( ? 3 , m ) ,求 m 和 k 的值; (3) 设二次函数的图象与 x 轴交于点 B , C(点 B 在点 C 的左侧) ,将二次函数的图象在点
B ,C

间的部分(含点 B 和点 C )向左平移 个单位后得到的图象记为 G ,同时将(2)中得到的直线 y ? kx ? 6 向上

n ( n ? 0)

平移 n 个单位。请结合图象回答:当平移后的直线与图象 G 有公共点时, n 的 取值范围。 24.在 △ A B C 中, B A ? B C ,? B A C ? ? , M 是 A C 的中点, P 是线段 B M 上的动点,将线 段 P A 绕点 P 顺时针旋转 2 ? 得到线段 P Q 。 (1) 若 ?
? ???

且点 P 与点 M 重合(如图 1) ,线段 C Q 的延长线交射线 B M 于点 D ,

请补全图形,并写出 ? C D B 的度数;

(2) 在图 2 中,点 P 不与点 B , M 重合,线段 C Q 的延长线与射线 B M 交于点 D ,猜 想 ? C D B 的大小(用含 ? 的代数式表示) ,并加以证明; (3) 对于适当大小的 ? ,当点 P 在线段 B M 上运动到某一位置(不与点 B , M 重合) 时,能使得线段 C Q 的延长线与射线 B M 交于点 D ,且 PQ ?QD ,请直接写出 ? 的范围。 25.在平面直角坐标系 xO y 中,对于任意两点 P1 ( x1 , y1 ) 与 P2 ( x 2 , y 2 ) 的“非常距离” , 给出如下定义: 若 | x1 若 | x1
? x 2 |≥ | y1 ? y 2 | ,则点 P1 与点 P2 ? x 2 |? | y1 ? y 2 | ,则点 P1 与点 P2

的“非常距离”为 | x1

? x2 | ;

的“非常距离”为 |

y1 ? y 2 | .

5) 例如:点 P1 (1 , 2 ) ,点 P2 (3 , ,因为 | 1 ? 3 |? | 2 ? 5 | ,所以点 P1 与点 P2 的“非常距离”

为 | 2 ? 5 |? 3 ,也就是图 1 中线段 P1 Q 与线段 P2 Q 长度的较大值(点 Q 为垂直于 y 轴 的直线 P1 Q 与垂直于 x 轴的直线 P2 Q 的交点) 。 (1)已知点 A ( ?
1 2 ,0 )

, B 为 y 轴上的一个动点,

①若点 A 与点 B 的“非常距离”为 2,写出一个满足条件的点 B 的坐标; ②直接写出点 A 与点 B 的“非常距离”的最小值; (2)已知 C 是直线 y
? 3 4 x?3

上的一个动点,

①如图 2,点 D 的坐标是(0,1) ,求点 C 与点 D 的“非常距离”的最小值及相 应的点 C 的坐标; ②如图 3, E 是以原点 O 为圆心,1 为半径的圆上的一个动点,求点 C 与点 E 的 “非常距离” 的最小值及相应的点 E 和点 C 的坐标。

2011 年北京市高级中等学校招生考试


学校 考 生 须 知 姓名






准考证号

1.本试卷共 6 页,共五道大题,25 道小题,满分 120 分。考试时间 120 分钟。 2.在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。

4.在答题卡上,选择题、作图题用 2B 铅笔作答,其他试题用黑色字迹签字笔作答。 5.考试结束,将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。

一、选择题(本题共 32 分,每小题 4 分) 下面各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的. .. 3 1.- 的绝对值是( 4 A.- 4 3 ) B. 4 3 C.- 3 4 D. 3 4

2.我国第六次全国人口普查数据显示,居住在城镇的人口总数达到 665 575 306 人.将 665 575 306 用科学记数法表示(保留三个有效数字)约为( ) 7 8 A.66.6×10 B.0.666×10 C.6.66×108 D.6.66×107 3.下列图形中,即是中心对称又是轴对称图形的是( ) A.等边三角形 B.平行四边形 C.梯形 D.矩形 4.如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,对角线 AC、BD 相交于点 O, A D 若 AD=1,BC=3,则 A. 1 2 B. 1 3 平谷 30 OA 的值为( OC C. 1 4 怀柔 30 ) D. 1 9 延庆 29 昌平 32 密云 30 房山 32 O B C

5.北京今年 6 月某日部分区县的高气温如下表: 区县 最高气温 大兴 32 通州 32 顺义 32 门头沟 32

则这 10 个区县该日最高气温的人数和中位数分别是( ) A.32,32 B.32,30 C.30,32 D.32,31 6.一个不透明的盒子中装有 2 个白球,5 个红球和 8 个黄球,这些球除颜色外,没有任何 其他区别,现从这个盒子中随机摸出一个球,摸到红球的概率为( ) A. 5 18 B. 1 3 C. 2 15 D. 1 15 D.(-3,4) C E A y 1 1 2 x C. O 1 2 x D. D B

7.抛物线 y=x2-6x+5 的顶点坐标为( ) A.(3,-4) B.(3,4) C.(-3,-4) 8.如图,在△ABC 中,∠ACB=90° ,∠BAC=30° ,AB=2,D 是 AB 边上的一个动点(不与点 A、B 重合),过点 D 作 CD 的垂线 交射线 CA 于点 E.设 AD=x,CE=y,则下列图象中,能表示 y 与 x 的函数关系图象大致是( ) y 1 O 1 2 x A. y 1 O 1 2 x B. y 1 O

二、填空题(本题共 16 分,每小题 4 分) 9.若分式 x―8 的值为 0,则 x 的值等于________. x

10.分解因式:a3―10a2+25a=______________. 11.若右图是某几何体的表面展开图,则这个几何体是__________. 12.在右表中,我们把第 i 行第 j 列的数记为 aij(其中 i,j 都是不 a11 大于 5 的正整数),对于表中的每个数 aij,规定如下:当 i≥j a21 时,aij=1;当 i<j 时,aij=0.例如:当 i=2,j=1 时,aij a31 =a21=1.按此规定,a13=_____;表中的 25 个数中,共有 a41 _____个 1; 计算: 11· i1+a12· i2+a13· i3+a14· i4+a15· i5 a a a a a a a51 的值为________. 三、解答题(本题共 30 分,每小题 5 分)
?1? 13.计算: ? ? ?2?
?1

a12 a22 a32 a42 a52

a13 a23 a33 a43 a53

a14 a24 a34 a44 a54

a15 a25 a35 a45 a55

? 2 cos 30

?

?

27 ? ( 2 ? ? ) .
0

14.解不等式:4(x-1)>5x-6.

15.已知 a2+2ab+b2=0,求代数式 a(a+4b)-(a+2b)(a-2b)的值.

16.如图,点 A、B、C、D 在同一条直线上,BE∥DF,∠A=∠F,AB=FD. E 求证:AE=FC.

F D

A

C

B

k 17.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一次函数 y=-2x 的图象与反比例函数 y= 的图象 x y 的一个交点为 A(-1,n). k (1)求反比例函数 y= 的解析式; x (2)若 P 是坐标轴上一点,且满足 PA=OA,直接写出点 P 的坐标. A 1 O 1 x

18.列方程或方程组解应用题: 京通公交快速通道开通后, 为响应市政府“绿色出行”的号召, 家住通州新城的小王上

班由自驾车改为乘坐公交车.已知小王家距上班地点 18 千米.他用乘公交车的方式平 均每小时行驶的路程比他自用驾车的方式平均每小时行驶的路程的 2 倍还多 9 千米, 他 3 从家出发到达上班地点,乘公交车方式所用时间是自驾车方式所用时间的 .小王用自 7 驾车方式上班平均每小时行驶多少千米?

四、解答题(本题共 20 分,每小题 5 分) 19.如图,在△ABC 中,∠ACB=90° ,D 是 BC 的中点,DE⊥BC,CE∥AD.若 AC=2, A CE=4,求四边形 ACEB 的周长. C D E B

20.如图,在△ABC,AB=AC,以 AB 为直径的⊙O 分别交 AC、BC 于点 D、E,点 F 在 1 AC 的延长线上,且∠CBF= ∠CAB. 2 (1)求证:直线 BF 是⊙O 的切线; (2)若 AB=5,sin∠CBF= 5 ,求 BC 和 BF 的长. 5 O E B F A D C

21.以下是根据北京市国民经济和社会发展统计公报中的相关数据,绘制统计图的一部分. 北京市 2001~2010 年 私人轿车拥有量的年增长率统计图 年增长率/% 30 25 20 15 10 5 0 22 25 21 19 年份 27 300 250 200 150 100 50 0 北京市 2001~2010 年 私人轿车拥有量统计图 轿车拥有量/万辆 276 217 121 146

2006 2007 2008 2009 2010

2006 2007 2008 2009 2010

年份

请根据以上信息解答下列问题: (1)2008 年北京市私人轿车拥有是多少万辆(结果保留三个有效数字)? (2)补全条形统计图; (3)汽车数量增多除造成交通拥堵外,还增加了碳排放量,为了了解汽车碳排放量的情 况, 小明同学通过网络了解到汽车的碳排放量与汽车排量有关. 一辆排量为 1.6L 如: 的轿车,如果一年行驶 1 万千米,这一年,它碳排放量约为 2.7 吨.于是他调查了 他所居住小区的 150 辆私人轿车,不同排量的轿车数量如下表所示. 排量(L) 数量(辆) 小于 1.6 29 1.6 75 1.8 31 大于 1.8 15

如果按照小明的统计数据,请你通过计算估计,2010 年北京市仅排量为 1.6L 的这类私 人轿车(假设每辆车平均一行行驶 1 万千米)的碳排放总量约为多少万吨?

22.阅读下面材料: 小伟遇到这样一个问题:如图 1,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,对角线 AC、BD 相交于 点 O.若梯形 ABCD 的面积为 1,试求以 AC、BD、AD+BC 的长度为三边长的三角形 的面积. A O B D A O D

C B C E 图1 图2 小伟是这样思考的:要想解决这个问题,首先应想办法移动这些分散的线段,构造一个 三角形,再计算其面积即可.他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法,发现通过平移可 以解决这个问题.他的方法是过点 D 作 AC 的平行线交 BC 的延长线于点 E,得到的 △BDE 即是以 AC、BD、AD+BC 的长度为三边长的三角形(如图 2). A 请你回答:图 2 中△BDE 的面积等于____________. 参考小伟同学的思考问题的方法,解决下列问题: 如图 3,△ABC 的三条中线分别为 AD、BE、CF. F E

B

D 图3

C

(1)在图 3 中利用图形变换画出并指明以 AD、BE、CF 的长度为三边长的一个三角形(保留画图痕迹); (2)若△ABC 的面积为 1,则以 AD、BE、CF 的长度为 三边长的三角形的面积等于_______. 五、解答题(本题共 22 分) 23.(7 分)在平面直角坐标系 xOy 中,二次函数 y=mx2+(m―3)x―3(m>0)的图象与 x 轴 交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的左侧),与 y 轴交于点 C. y 5 (1)求点 A 的坐标; (2)当∠ABC=45° 时,求 m 的值; (3)已知一次函数 y=kx+b, P(n, 点 0)是 x 轴上的一个动点, 在(2)的条件下,过点 P 垂直于 x 轴的直线交这个一次函 O 3 x 数的图象于点 M,交二次函数 y=mx2+(m―3)x―3(m> -3 0)的图象于 N.若只有当-2<n<2 时,点 M 位于点 N 的 上方,求这个一次函数的解析式. -5

24.(7 分)在□ABCD 中,∠BAD 的平分线交直线 BC 于点 E,交直线 DC 于点 F. (1)在图 1 中,证明:CE=CF; (2)若∠ABC=90° ,G 是 EF 的中点(如图 2),直接写出∠BDG 的度数; (3)若∠ABC=120° ,FG∥CE,FG=CE,分别连结 DB、DG(如图 3),求∠BDG 的度 数. A D A D A D

B 图1

E

C F

B

E G 图2

C F

B

E G 图3

C F

25.(7 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,我把由两条射线 AE、BF 和以 AB 为直径的半 圆所组成的图形叫作图形 C(注:不含 AB 线段).已知 A(-1,0),B(1,0),AE∥BF, 且半圆与 y 轴的交点 D 在射线 AE 的反向延长线上. (1)求两条射线 AE、BF 所在直线的距离; (2)当一次函数 y=x+b 的图象与图形 C 恰好只有一个公共点时,写出 b 的取值范围; 当一次函数 y=x+b 的图象与图形 C 恰好只有两个公共点时,写出 b 的取值范围; (3)已知□AMPQ(四个顶点 A、M、P、Q 按顺时针方向排列)的各顶点都在图形 C 上, 且不都在两条射线上,求点 M 的横坐标 x 的取值范围. y D F A O E B x

2011 年北京中考数学试题答案
一.选择题 1.D 2. C 二.填空题 9.8 3.D
2

4. B

5. A

6. B

7. A

8. B

10. a ( a ? 5)

11. 圆柱 12. 0 ;15 ;1

三.计算题 13. 3 ? 2 3
y ?

14. x<2
?2 x

15. 0

16. ? ABE ? ? FD A (SAS)

17. (1) 18. x = 27km/h 19. 10 ? 2 13 20. (1)略 21. (1)174 22. 1

(2)P( 5 , 0 ) 或 P(-2 , 0 )

(2) BC=2 5 , BF=20/3 (2) 略 (3) 372.6

(1)

(2) 3/4

23. (1) A(—1 , 0 )

(2)m=1

(3)y= —2x+1
?

24. (2) ? GDF ? ? GCB , ? G B D 为等腰直角三角形, ? B D G ? 45 ; (3) ? GDF ? ? GCB , ? G B D 为等边三角形, ? B D G ? 60 。 25. (1) 2 (2)—1<b<1 或 b= 2 ; 1<b< 2
0? x? 2 2
?

(3)


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