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2013届高考数学一轮复习课件:第二十六讲 平面向量的应用 人教A版湖北文科


第五模块 平面向量

必修 4:第二章

平面向量

第二十六讲

平面向量的应用

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1.向量应用的常用结论 (1)两个向量垂直的充要条件. 符号表示:a⊥b?a· b=0. 坐标表示:设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a⊥b?x1x2 +y1y2=0.

(2)两个向量平行的充要条件. 符号表示:若 a∥b,b≠0,则 a=λb. 坐标表示:设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b?(x1,
?x =λx , ? 1 2 y1)=λ(x2,y2),即? ?y1=λy2, ?

或 x1y2-x2y1=0.

a· b (3)夹角公式 cosθ= (0° ≤θ≤180° ). |a||b| (4)模长公式|a|= |a|2= x2+y2(a=(x,y)). (5)数量积性质|a· b|≤|a|· |b|.

2.向量应用的分类概述 (1)应用平面向量解决函数与不等式的问题,是以函数和 不等式为背景的一种向量描述,它需要掌握向量的概念及基 本运算,并能根据题设条件构造合适的向量,利用向量的 “数”、“形”两重性解决问题. (2)平面向量与三角函数的整合,仍然是以三角题型为背 景的一种向量描述,它需要根据向量的运算性质将向量问题 转化为三角函数的相关知识来解答, 三角知识是考查的主体.

(3)平面向量在解析几何中的应用,是以解析几何中的坐 标为背景的一种向量描述,它主要强调向量的坐标运算,将 向量问题转化为坐标问题,进而利用直线和圆锥曲线的位置 关系的相关知识来解答,坐标的运算是考查的主体. (4)平面向量在平面几何中的应用,是以平面几何中的基 本图形(三角形、平行四边形、菱形等)为背景,重点考查平面 向量的几何运算(三角形法则、 平行四边形法则)和几何图形的 基本性质.

(5)平面向量在物理力学等实际问题中的应用,是以实际 问题为背景,考查学科知识的综合及向量的方法. 注意 (1)在解决三角形形状问题时, 回答要全面、 准确,

处理四边形问题时,要根据平行四边形或矩形、菱形、正方 形及梯形的性质处理. (2)用向量处理物理问题时, 一般情况下应画出几何图形, 结合向量运算与物理实际进行解决.

思考感悟 b 在 a 上的投影是向量吗? 提示 不是,b 在 a 上的投影是一个数量|b|cosθ,它可以 为正,可以为负,也可以为 0.

考点陪练
1.(2011· 湖北)若向量 a=(1,2),b=(1,-1),则 2a+b 与 a -b 的夹角等于( π A.- 4 π C. 4 ) π B. 6 3π D. 4

解析

2a+b=(3,3),a-b=(0,3),则 cos〈2a+b,a-b〉

?2a+b?· ?a-b? 9 2 π = = = ,故夹角为 ,选 C. 4 |2a+b|· |a-b| 3 2×3 2
答案 C

评析

本题考查了向量的坐标运算及数量积运算.

2.(2011· 广东)已知向量 a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若 λ 为实数,(a+λb)∥c,则 λ=( 1 A. 4 C.1
解析

) 1 B. 2 D.2

可得 a+λb=(1+λ,2),由(a+λb)∥c 得(1+λ)×4

1 -3×2=0,∴λ= . 2
答案 B

评析 本题考查平面向量的坐标运算与共线关系.值得注 意的是,本题易混淆平行与垂直的结论,而由(1+λ)×3+2×4 11 =0 而错得 λ=- . 3

3.将

?x π? y=2cos?3+6 ?的图像按向量 ? ?

? π ? a=?-4,-2?平移,则 ? ?

平移后所得图像的解析式为(
?x π? A.y=2cos?3+4 ?-2 ? ? ?x π? B.y=2cos?3-4 ?+2 ? ? ?x π? C.y=2cos?3-12?-2 ? ? ?x π? D.y=2cos?3+12?+2 ? ?

)

解析

函数

?x π? y=2cos?3+6 ?的图像按向量 ? ?

? π ? a=?- 4,-2?平移后所得图像解析式为 ? ? ?1? ?1 π? π ? π? ? ? ? y=2cos?3 x+4 ?+6 ?-2=2cos?3x+4 ?-2,所以选 ? ? ? ? ? ?

A.

答案

A

4.若直线 2x-y+c=0 按向量 a=(1,-1)平移后与圆 x2 +y2=5 相切,则 c 的值为( A.8 或-2 C.4 或-6 ) B.6 或-4 D.2 或-8

解析 直线 2x-y+c=0,按 a=(1,-1)平移后得直线 2(x-1)-(y+1)+c=0,即 2x-y-3+c=0, |c-3| 由 d=r,得 = 5,得 c=8 或-2. 5
答案 A

→ → 5.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若OB=a2OA+ → a2009OC,且 A,B,C 三点共线(该直线不过点 O),则 S2010 等 于( ) A.1005 C.2010 B.1010 D.2015

解析 由题意知 A,B,C 三点共线,则 a2+a2009=1, 2010?a1+a2010? ∴S2010= =1005×1=1005.故选 A. 2
答案 A

名师讲解· 练思维

类型一 解题准备

利用向量解决平面几何问题 一般情况下,用向量解决平面几何问题,要用

不共线的向量表示题目所涉及的所有向量, 再通过向量的运算 法则和性质解决问题. 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”:

①建立平面几何与向量的联系, 用向量表示问题中涉及的 几何元素,将平面几何问题转化为向量问题; ②通过运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等 问题; ③把运算结果“翻译”成几何关系.

【典例 1】 如图,正方形 OABC 两边 AB,BC 的中点分 别为 D 和 E,求∠DOE 的余弦值.

[分析] 把∠DOE 转化为向量夹角.

[解]

→ → → → 1→ 解法一:OD=OA+AD=OA+ AB, 2

→ → → → 1→ OE=OC+CE=OC+ CB, 2 → → → 1→ → 1→ ∴OD· =(OA+ AB)· + CB) OE (OC 2 2 → → 1 → → → → 1→ → =OA· + (AB· +OA· )+ AB· . OC OC CB CB 2 4 → → → → ∵OA⊥OC,AB⊥CB, → → → → ∴OA· =0,AB· =0. OC CB

→ → → → ∵AB=OC,OA=CB, → → →2 → 2 → → →2 → 2 ∴AB· =AB =|AB| ,OA· =OA =|OA| , OC CB → → →2 ∴OD· =|AB| . OE → 2 → 2 → 2 →2 1→2 又|OD| =|OA| +|AD| =|AB| + |AB| 4 5→2 → 2 → 2 = |AB| ,|OE| =|OD| , 4

→ → →2 →2 OD· OE |AB| |AB| 4 ∴cos∠DOE= = = = . → → → 2 5→2 5 |OD||OE| |OD| |AB| 4 解法二: 如图建立直角坐标系, A(2,0), 设 C(0,2), D(2,1), 则 E(1,2).

→ → OD· =2×1+1×2=4. OE → → |OD|=|OE|= 5. → → OD· OE 4 4 故 cos∠DOE= = = . → → ? 5?2 5 |OD||OE|

[反思感悟]

利用向量解几何题,关键是将有关线段设为

向量,不同的设法可出现不同的解法;或者建立平面直角坐标 系,用坐标法解之.利用向量解平面几何有时特别方便,但要 注意一点,不宜搞得过难,因为高考在这方面要求不高.

类型二 向量在解析几何的应用 解题准备 向量与解析几何结合的综合题是高考命题的

热点,解题的关键是正确把握向量与坐标之间的转化和条件的 运用.常见技巧有两个:一是以向量的运算为切入口;二是结 合向量的几何意义及曲线的有关定义作转化.

【典例 2】 在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 到两点(0, - 3),(0, 3)的距离之和等于 4,设点 P 的轨迹为 C,直线 y=kx+1 与 C 交于 A,B 两点. (1)写出 C 的方程; → → (2)若OA⊥OB,求 k 的值; → → (3)若点 A 在第一象限,证明:当 k>0 时,恒有|OA|>|OB|.

[分析] 程;

(1)由点 P 满足的条件列出等式, 化简可得 C 的方

→ → → → (2)由OA⊥OB?OA· =0,这是解题的突破口; OB → 2 → 2 (3)证明的关键是写出|OA| -|OB| ,再结合题的条件即可 求证. 定义法求 向量与坐标间的 → → C的方程 转化求k的值

[解]

(1)设 P(x,y),由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是

以(0,- 3),(0, 3)为焦点,长半轴为 2 的椭圆. 它的短半轴 b= 22-? 3?2=1, y2 故曲线 C 的方程为 x2+ =1. 4

2 ? 2 y ?x + =1, 4 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足? 消 ?y=kx+1, ?

去 y 并整理,得(k2+4)x2+2kx-3=0, 2k 3 故 x1+x2=- 2 ,x1x2=- 2 . k +4 k +4

→ → 若OA⊥OB,则 x1x2+y1y2=0. 而 y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+1, 3 3k2 2k2 于是 x1x2+y1y2=- 2 - 2 - 2 +1=0, k +4 k +4 k +4 1 化简得-4k +1=0,所以 k=± . 2
2

→ 2 → 2 2 (3)证明:|OA| -|OB| =(x2+y1)-(x2+y2) 1 2 2 =(x2-x2)+4(1-x2-1+x2) 1 2 1 2 6k?x1-x2? =-3(x1-x2)(x1+x2)= 2 . k +4 3 ∵A 在第一象限,故 x1>0.由 x1x2=- 2 , k +4 知 x2<0,从而 x1-x2>0.又 k>0, → 2 → 2 故|OA| -|OB| >0. → → 即在题设条件下,恒有|OA|>|OB|.

类型三

向量在物理中的应用 用向量知识研究物理问题的基本思想和方法

解题准备

是: ①认真分析物理现象, 深刻把握物理量之间的相互关系. ② 通过抽象、概括,把物理现象转化为与之相关的向量问题.③ 利用向量知识解决这个向量问题,并获得这个向量的解.④利 用这个结果,对原物理现象作出合理解释.即用向量知识圆满 解决物理问题.

【典例 3】 一条河的两岸平行,河宽为 dkm,一艘船从 A 处出发航行到对岸,已知船航行的速度为|v1|km/h,水流速 度为|v2|km/h.要使船抵达 B 的上游 C 处且 BC=dkm,若取|v1| =10,|v2|=4,d=2,则用时多少?

[解]

作出位移平行四边形 AGCF,如图所示,则 CF=

AG=|tv2|,在 Rt△ABF 中, d2+(d+t|v2|)2=t2|v1|2, 即(|v1|2-|v2|2)t2-2d|v2|t-2d2=0, 把 d=2,|v1|=10,|v2|=4 代入上式,得 84t2-16t-8=0,解得 t≈0.418(h).

类型四

向量在三角形中的应用 平面向量与解三角形的综合题是高考中的一

解题准备

个热点.其解题的基本思路是: (1)在这些问题中, 平面向量实际上主要呈现为叙述问题的 一种语言或者工具,其考查要求并不高,解题时要综合利用平 面向量的几何意义等将题中的条件翻译成简单的数学问题.

(2)在解题时,既要考虑三角形中的边角关系性质的应用; 又要考虑向量的工具性作用, 如利用向量的模与数量积转化边 长与夹角问题; 还要注意三角形中边角的向量关系式的表示形 式.

→ → 【典例 4】 已知△ABC 的面积 S 满足 3≤S≤3, 且AB· BC → → =6,设AB与BC的夹角为 θ. (1)求 θ 的取值范围; (2)求函数 f(θ)=sin2θ+2sinθ· cosθ+3cos2θ 的最小值.

[解]

→ → → → (1)∵AB· =6,∴|AB|· |· BC |BC cosθ=6,

→ → 6 ∴|AB|· |= |BC . cosθ 1→ → 又∵S= |AB|· |·sin(π-θ)=3tanθ, |BC 2 3 ∴ 3≤3tanθ≤3,即 ≤tanθ≤1, 3 π π 又∵θ∈(0,π),∴ ≤θ≤ . 6 4

(2)f(θ)=1+2cos2θ+sin2θ =cos2θ+sin2θ+2= 由
?π π? θ∈?6,4 ?,得 ? ? ? π? 2sin?2θ+4?+2, ? ?

?π π? 2θ∈?3, 2?, ? ?

3 ? π ?7 ∴2θ+ ∈?12π,4π?, 4 ? ? π 3 ∴当 2θ+ = π 时,f(θ)min=3. 4 4

[反思感悟]

三角形的三边可与三个向量对应,这样就可

以利用向量的知识来解三角形了, 解决此类问题要注意内角与 向量的夹角之间的联系与区别, 还要注意向量的数量积与三角 形面积公式之间关系的应用.

类型五 解题准备

向量在函数不等式中的应用 借助向量的坐标表示, 将已知条件实数化并转

化为函数问题,利用函数的性质解之.向量主要是通过模与不 等式联系起来,常用的工具有均值不等式及|a· b|≤|a|· |b|.

【典例 5】

设 0<|a|≤2 且函数 f(x)=cos2x-|a|sinx-|b|

的最大值为 0,最小值为-4,且 a 与 b 的夹角为 45° ,求|a+ b|. [分析] 由于已知〈a,b〉=45° ,故可求出|a|,|b|后再求 |a+b|.

[解]

f(x)=1-sin2x-|a|sinx-|b|

? |a|?2 |a|2 =-?sinx+ 2 ? + -|b|+1. 4 ? ?

|a| 1 2 ∵0<|a|≤2,∴当 sinx=- 时, |a| -|b|+1=0; 2 4 当 sinx=1 时,-|a|-|b|=-4.

?1 2 ?|a|=2, ? |a| -|b|+1=0, ? 4 由? ?? ?|b|=2. ? ?|a|+|b|=4, ? ∴|a+b|2=8+4 2,即|a+b|=2 2+ 2.

[反思感悟]

由于已知 f(x)的最值,故可结合二次函数的

最值确定|a|与|b|的大小,再结合〈a,b〉=45° ,可求出|a+b|. 本题充分体现了函数与不等式思想在向量中的应用.

名师纠错· 补漏洞

错源一

错误地认为|a· b|=|a||b|

【典例 1】 已知向量 a,b,试比较|a· b|与|a||b|的大小. [错解] |a· b|=|a||b|.

[剖析] 设向量 a 与 b 的夹角为 θ. 则 a· b=|a||b|cosθ. (1)当 a⊥b 时,θ=90° b=0, ,a· 所以|a· b|=0,但|a||b|>0, 故有|a· b|<|a||b|; (2)当 a 与 b 同向或反向时,cos0° =1,cos180° =-1, 有|a· b|=|a||b|;

(3)当夹角 θ 为锐角或钝角时, |a· b|=||a||b|cosθ|, |cosθ|<1,故有|a· b|<|a||b|.
[正解] 综合上述可知,|a· b|≤|a||b|.

错源二

“共线”运用出错 如图,半圆的直径 AB=2,O 为圆心,C 是

【典例 2】

半圆上不同于 A,B 的任意一点,若 P 为半径 C 上的动点,则 → → → (PA+PB)· 的最小值是________. PC

→ → → [错解] ∵点 O 是 AB 的中点,∴PA+PB=2PO, → → 1 → ∵|PO|+|PC|= AB=1,设|PC|=x(0≤x≤1), 2
? → → 1 ?2 1 则 2PO· =2x(1-x)=-2?x-2? + , PC 2 ? ?

∴当 x=0,或 x=1 时,上式有最小值 0.

[剖析] 本题的错误在于忽视向量的方向,导致了计算上 → → 的失误.向量PO,PC虽然共线,但其方向相反,所以向量运 算时,一定要看清方向.

[正解] ∵点 O 是 AB 的中点, → → → ∴PA+PB=2PO, → → 设|PC|=x,则|PO|=1-x(0≤x≤1), → → → → → ∴(PA+PB)· =2PO· PC PC
? 1 ?2 1 =-2x(1-x)=2?x-2? - , 2 ? ?

1 1 ∴当 x= 时,上式有最小值- . 2 2
1 [答案] - 2

名师技法· 练智力

技法一

整体思想 如图所示,在 Rt△ABC 中,已知 BC=a,

【典例 1】

→ → 若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点, 问PQ与BC的夹角 θ 取何 → → 值时,BP· 的值最大?并求出这个最大值. CQ

[解题切入点] 解答本题的关键是要结合图形,利用向量 的三角形法则找出向量之间的关系;或建立适当的坐标系,利 用向量的坐标形式来解答.

[解]

以直角顶点 A 为坐标原点,两直角边所在直线为坐

标轴建立平面直角坐标系, 设 B(b,0),C(0,c),所以 b2+c2=a2, 设 P 点坐标为(x,y), 则 Q 点坐标为(-x,-y),且 x2+y2=a2, → → 则BP=(x-b,y),CQ=(-x,-y-c), → → BP· =(x-b)(-x)+y(-y-c) CQ =-(x2+y2)+(bx-cy).

→ → 又BC=(-b,c),PQ=(-2x,-2y), → → 而BC· =2a2cosθ=2bx-2cy, PQ → → ∴BP· =a2cosθ-a2, CQ → → → ∴当 cosθ=1 时,BP· 有最大值 0,即当 θ=0° CQ (即PQ与 → → → BC的方向相同)时,BP· 最大,最大值为 0. CQ

技法二

转化与化归

【典例 2】 如图所示,若点 D 是△ABC 内一点,并且满 足 AB2+CD2=AC2+BD2,求证:AD⊥BC.

[解题切入点] 借助向量的减法,分别表示出向量,然后 代入已知条件证明.

→ → → [证明] 设AB=c,AC=b,AD=m,则 → → → → → → BD=AD-AB=m-c,CD=AD-AC=m-b. ∵AB2+CD2=AC2+BD2, ∴c2+(m-b)2=b2+(m-c)2,即 c2+m2-2m· 2=b2+m2-2m· 2, b+b c+c → → → 即 2m· (c-b)=0,即AD· -AC)=0, (AB → → ∴AD· =0,∴AD⊥BC. CB


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