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1.2.2函数的表示法(二)学案(人教A版必修1)


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1.2.2

函数的表示法(二)

学习目标 1.了解分段函数的概念,会画分段函数的图象,并能解决相关问题. 2.了解映射的概念及含义,会判断给定的对应关系是否是映射. 自学导引 1.分段函数 (1)分段函数就是在函数定义域内,对于自变量 x 的不同取

值范围,有着不同的对应关 系的函数. (2)分段函数是一个函数,其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集;各 段函数的定义域的交集是空集. (3)作分段函数图象时,应分别作出每一段的图象. 2.映射的概念 B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射. →B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射. 2.映射与函数 由映射的定义可以看出,映射是函数概念的推广,函数是一种特殊的映射,要注意构成 函数的两个集合 A,B 必须是非空数集.

一、分段函数的求值问题

?x+2 (x≤-1), ?2 例 1 已知函数 f(x)=?x (-1<x<2), ?2x (x≥2). ?
(1)求 f[f( 3)]的值; (2)若 f(a)=3,求 a 的值. 分析 本题给出的是一个分段函数,函数值的取得直接依赖于自变量 x 属于哪一个区 间,所以要对 x 的可能范围逐段进行讨论. 解 (1)∵-1< 3<2.∴f( 3)=( 3)2=3. 而 3≥2,∴f[f( 3)]=f(3)=2×3=6. (2)当 a≤-1 时,f(a)=a+2,又 f(a)=3, ∴a=1(舍去); 当-1<a<2 时,f(a)=a2,又 f(a)=3, ∴a=± 3,其中负值舍去,∴a= 3; 当 a≥2 时,f(a)=2a,又 f(a)=3, 3 ∴a= (舍去).综上所述,a= 3. 2 点评 对于 f(a),究竟用分段函数中的哪一个对应关系,与 a 所在范围有关,因此要对 a 进行讨论.由此我们可以看到:
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(1)分段函数的函数值要分段去求; (2)分类讨论不是随意的,它是根据解题过程中的需要而产生的. 1 x-1 (x≥0), 2 变式迁移 1 设 f(x)= 若 f(a)>a, 则实数 a 的取值范围是________. 1 (x<0), x

? ? ?

答案 a<-1 1 1 解析 当 a≥0 时,f(a)= a-1,解 a-1>a, 2 2 得 a<-2 与 a≥0 矛盾, 当 a<0 时,f(a)=

1 1 ,解 >a,得 a<-1.∴a<-1. a a

二、分段函数的实际应用 例 2 在运距不超过 500 公里以内投寄快递包裹, 首重不超过 1 000 克需付邮资 5 元, 5 000 克以内续重每 500 克需付邮资 2 元,5 001 克以上续重 500 克需付邮资 1 元.一件重 x 克的包裹需付邮资 y 元, 请写出在运距不超过 500 公里以内投寄快递包裹需付邮资 y 元与包 裹重量 x 克(0<x≤4 000)之间的函数表达式,求出函数的值域,并作出函数的图象. 解 根据题意,可得函数关系的表达式为

?5, x ? (0,1000 ] ?7, x ? (1000 ,1500 ] ? ?9, x ? (1500 ,2000 ] ? f(x)= ?11, x ? ( 2000 ,2500 ] ?13, x ? (2500 ,3000 ] ? ?15, x ? (3000 ,3500 ] ?17 , x ? (3500 ,4000 ] ?
根据上述函数的表达式可知,该函数的值域为{5,7,9,11,13,15,17}.

根据上述函数的表达式,在直角坐标系中描点,连线,这个函数的图象如图所示.

点评 由实际问题决定的分段函数,要写出它的解析式,就是根据实际问题需要分成几类,
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就分成几段,求解析式时,先分段分别求出它的解析式,再综合在一起即可. 注意,求分段函数的解析式时,最后要把各段综合在一起写成一个函数.分段函数是一个函 数,不要把它误认为是几个函数., 变式迁移 2 某地出租车的出租费为 4 千米以内(含 4 千米),按起步费收 10 元,超过 4 千米 按每千米加收 1 元,超过 20 千米(不含 20 千米)每千米再加收 0.2 元,若将出租车费设为 y, 所走千米数设为 x,试写出 y=f(x)的表达式,并画出其图象. 解 当 0<x≤4,y=10; 当 4<x≤20 时,y=10+(x-4)×1=x+6; 当 x>20 时,y=10+16+(x-20)×1.2=1.2x+2., 综上所述,y 与 x 的函数关系为,

?10 (0 ? x ? 4) ? y= ? x ? 6( 4 ? x ? 20 ) ?1.2 x ? 2( x ? 20 ) ?

如图所示, 三、映射概念及运用 例3 判断下列对应关系哪些是从集合 A 到集合 B 的映射,哪些不是,为什么?

(1)A= x | x ? R , B ? ?y | y ? R?, f : x ? y ? ? x
*

?

?

(2)A=R,B= ?0,1?, 对应关系 f: x ? y ? ? (3)A=Z,B=Q,对应关系 f: x ? y ?

?1, x ? 0; ?0,x ? 0;

1 ; x
2

(4)A= ?0,1,2,9?, B ? ?0,1,4,9,64? ,对应关系 f: a ? b ? (a ? 1) 。 解 (1)任一个 x 都有两个 y 与之对应,∴不是映射. (2)对于 A 中任意一个非负数都有唯一的元素 1 和它对应,对于 A 中任意的一个负数都有唯 一的元素 0 和它对应,∴是映射. (3)集合 A 中的 0 在集合 B 中没有元素和它对应,故不是映射. (4)在 f 的作用下,A 中的 0,1,2,9 分别对应到 B 中的 1,0,1,64,∴是映射. 点评 判断一个对应是不是映射,应该从两个角度去分析: (1)是否是“对于 A 中的每一个元素”;(2)在 B 中是否“有唯一的元素与之对应”. 一个对应是映射必须是这两个方面都具备; 一个对应对于这两点至少有一点不具备就不是映 射.说明一个对应不是映射,只需举一个反例即可. 变式迁移 3 下列对应是否是从 A 到 B 的映射,能否构成函数? (1)A=R,B=R,f:x ? y ?

1 ; x ?1

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? ?

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1 1 ? , n ? N ? ?, f : a ? b ? ; n a ?

(2)A= ?a | a ? n, n ? N ? ?,B= ?b | b ? (3)A=[0,+ ? ],B=R,f:x ? y ? x
2

(4)A={x|x 是平面 M 内的矩形},B={x|x 是平面 M 内的圆},f:作矩形的外接圆. 解 (1)当 x=-1 时,y 的值不存在,∴不是映射,更不是函数. (2)是映射,也是函数,因 A 中所有的元素的倒数都是 B 中的元素. (3)∵当 A 中的元素不为零时,B 中有两个元素与之对应,所以不是映射,更不是函数. (4)是映射,但不是函数,因为 A,B 不是数集.

1.分段函数求值要先找准自变量所在的区间;分段函数的定义域、值域分别是各段函数的 定义域、值域的并集. 2.判断一个对应是不是映射,先看第一集合 A:看集合 A 中的每一个元素是否都有对应元 素,若有,再看对应元素是否唯一;至于集合 B 中的元素不作任何要求.

一、选择题, 1.设数集 A={a.,, c}, b, 集合 B=R, 以下对应关系中, 一定能建立 A 到 B 的映射的是( A.对 A 中的数开平方, B.对 A 中的数取倒数 C.对 A 中的数求算术平方根, D.对 A 中的数开立方 答案 D, 2.已知 A= ?? 1,1? ,映射 f:A ? A,则对 x∈A,下列关系中肯定错误的是( A.f(x)=x B.f(x)=-1,C.f(x)=x2 D.f(x)=x+2 答案 D, 3.下列给出的函数是分段函数的是( ), (1)f(x)= ? )

)

? x 2 ? 1,1 ? x ? 5, ?2 x, x ? 1

(2)f(x)= ?

? x ? 1, x ? R,
2 ? x , x ? 2,

(3)f(x)= ?

?2 x ? 3,1 ? x ? 5,
2 ? x , x ? 1,

(4)f(x)= ?

? x 2 ? 3, x ? 0, ? x ? 1, x ? 5

,

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A.(1)(2) B.(1)(4), C.(2)(4) D.(3)(4), 答案 B, 4.已知 f(x)= ?

? x 2 ?x ? 0? ? x?x ? 0 ?

,g(x)= ?

? x? x ? 0 ?
2 ?? x ? x ? 0 ?

,则当 x<0 时,f[g(x)]为(

),

A.-x B.-x2 C.x D.x2, 答案 B, 解析 当 x<0 时,g(x)=-x2<0, ∴f[g(x)]=-x2. 5.已知 A={x|0≤x≤3},B={y|0≤y≤3},下列从集合 A 到集合 B 的对应关系不是映射的是 ( ),

1 2 x 2 1 2 C. f : x ? y ? x 4
Af: x ? y ?

1 2 x 3 1 2 D. f : x ? y ? x 5
B.f: x ? y ?

答案 A 解析 集合 A 中有的元素在 B 中找不到和它对应的元素, x=3 在 B 中就没有元素和它对 如 应. 二、填空题, 6.设函数 f(x)= ?

?| x ? 1 |, x ? 1 使得 f(x)≥1 的自变量 x 的取值范围是__________., ?? x ? 3, x ? 1

答案 (-∞,-2]∪[0,2], 解析 在同一坐标系中分别作出 f(x)及 y=1 的图象(如图所示),观察图象知,x 的取值范围 是(-∞,-2]∪[0,2].

?0? x ? 0 ? ? 7.已知 f(x)= ?? ? x ? 0 ? ,则 f(f(f(-1)))的值是__________., ? x ? 1? x ? 0 ? ?
答案 π+1, 解析 f(-1)=0,f(0)=π,f(π)=π+1, ∴f(f(f(-1)))=f(f(0))=f(π)=π+1. 8.已知函数 f(n)= ?

?n ? 3?n ? 10 ? ,其中 n∈N,则 f(8)=________. ? f ? f ?n ? 5??, ?n ? 10 ?

答案 7, 解析 f(8)=f[f(13)]=f(10)=7., 三、解答题 9.若[x]表示不超过 x 的最大整数,画出 y=[x] (-3≤x≤3)的图象.
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解 作出 y=[x]的图象如下图所示. 10.已知函数 f(x)= ?

,

?1, x ? ?0,1?, ,求使等式 f[f(x)]=1 成立的实数 x 构成的集合. ? x ? 3, x ? ?0,1?,

解 当 x∈[0,1]时,恒有 f[f(x)]=f(1)=1,当 x?[0,1]时,f[f(x)]=f(x-3),若 0≤x-3≤1. 即 3≤x≤4 时,f(x-3)=1,若 x-3?[0,1],f(x-3)=(x-3)-3,令其值为 1, 即(x-3)-3=1, ∴x=7., 综合知:x 的值构成的集合为,{x|0≤x≤1 或 3≤x≤4 或 x=7}.

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