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2012年河南省六市高中毕业班第一次联合考试--数学理


2012 年东方高中数学(理)测试

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.考试时间 120 分钟,满分 150 分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息,然后在答题卡上作答,在试题卷上作答无效.

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中.只有一项是符 合题目要求的. 1.已知

全集 U=R,A={x| lo g 2 x <0},B={x| A. (1,+∞) C. (-∞,0)∪(1,+∞) 2.已知复数 z1=1+i,z2= ,则复数 z=
i 1 1 x

≤1},则( UA)∩B 等于

C

B.[1,+∞) D. (-∞,0)∪[1,+∞)
z1 z2

在复平面内对应

的点位于 A.第Ⅰ象限 C.第Ⅲ象限 3.右图给出的是计算

B.第Ⅱ象限 D.第Ⅳ象限
1 2



1 4



1 6

+?+

1 100

的值的一个程序

框图,则判断框中应该填入的条件是 A.i>98 B.i≤98 C.i≤100 D.i>100 ? 3 4.已知 sin( +0)= ,则 sin2θ 的值为
4 5

A.- C.-

19 25 16 25

B.- D.
7 25

7 25

5.已知命题 p: ? x ∈R,x2+1≥1”的否定是“ ? x ∈R, “ 2 x +1≤1” ;命题 q:在△ABC 中, “A>B”是“sinA> sinB”的充分条件;则下列命题是真命题的是 A.p 且 q B.P 或 ? q C. ? p 且 ? q D.p 或 q 6.如图为一个几何体的三视图,正视图和侧视图均为矩形,俯视图为正三角形,尺寸如图,则
1

该几何体的全面积为 A.14 3
x a
2 2

B.6+2 3
y b
2 2

C.12+2 3

D.16+2 3

7.过双曲线



=1 (a>0,b>0)的一个焦点 F 作一条渐近线的垂线,垂足为点 A,且
??? ? ??? ?

与另一条渐近线交于点 B,若 F B =2 F A .则此双曲线的离心率为 A. 2 B. 3 C. 5 D.2
x m

8.函数 y= lo g a x +1(a>0 且 a≠1)的图象恒过定点 P,若点 P 在直线 >0)上,则 m+n 的最小值为 A.1 9. x+ (
a x



y n

(m>0,n

B.2+ 2 ) ( 2 x-
1 x
5

C.2

D.4

) 的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中常数项为

A.-40

B.-20

C.20

D.40

? x 2+ y 2- 2 x- 2 y+1≥ 0, ??? ? ??? ? ? 10.设 O 为坐标原点,A(1,1) ,若点 B(x,y)满足 ? 1 ≤ x ≤ 2 , 则 O A ·O B ?1 ≤ y ≤ 2 , ?

取得最小值时,点 B 的个数是 A.1 B.2

C.3

D.无数个

11.已知函数 f(x)=Asin(ω x+ ? )(A>0,ω >0,0< ? <π ) , ,其导函数 f ? (x) 的部分图象如图所示,则函数 f(x)的解析式为 1 ? A.f(x)=4sin( x+ ) B.f(x)=2sin(
2 1
2

x+
?
4

4 ?
4



C.f(x)=2sin(x+ D.f(x)=4sin(
1 2


3? 4

x+



12.若定义在 R 上的函数 y=f(x)满足 f(x+1)=-f(x) ,且当 x∈[-l,1]时,f(x)= x ,

2

2

函数 g(x)= ?

? l o g 3 ( x-1) ?2
x

( x>1)

( x ≤ 1)

,则函数 h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,5]

内的零点的个数为 A.9 B.8

C.7

D.6

第Ⅱ卷
本卷分为必做题和选做题两部分,13-21 题为必做题,22、23、24 为选做题。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.若函数 y=lg(a x +2x+1)的值域为 R,则实数 a 的取值范 围是___________. 14.如图,矩形 OABC 内的阴影部分是由曲线 f(x)=sinx (x∈(0,π ) )及直线 x=a(a∈(0,π ) )与 x 轴围成,向 矩形 OABC 内随机投掷一点,若落在阴影部分的概率为
3 16
2



则 a 的值是__________. 15.正四棱锥 P-ABCD 底面的四个顶点 A、B、C、D 在球 O 的 同一个大圆上,点 P 在球面上,如果 VP-ABCD=
2

16 3

,则球 O 的体积是_______.
???? ??? ?

16.抛物线 y =2px 的焦点为 F,一直线交抛物线于 A,B 且 A F =3 F B ,则该直线的倾斜 角为______________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知数列{ a n }的前 n 项和是 S n ,且 2 S n =2- a n . (Ⅰ)求数列{ a n }的通项公式; (Ⅱ)记 b n = a n +n,求数列{ b n }的前 n 项和 T n .

18. (本小题满分 12 分) 如图,已知四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是直角 梯形,AB∥DC,∠ABC=45°,DC=1,AB=2,
3

PA⊥平面 ABCD,PA=1. (Ⅰ)求证:BC⊥平面 PAC; (Ⅱ)求平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的平面 角的余弦值.

19. (本小题满分 12 分) 为了让学生更多的了解“数学史”知识,某班级举办一次“追寻先哲的足迹,倾听数学 的声音”的数学史知识竞赛活动。现将初赛答卷成绩(得分均为整数,满分为 100 分) 进行统计,制成如下频率分布表:

(Ⅰ)填充频率分布表中的空格(在解答中直接写出对应空格序号的答案) ; (Ⅱ)决赛规则如下:为每位参加决赛的选手准备 4 道判断题,选手对其依次口答,答 对其中两道就终止答题,并获得一等奖,若题目答完仍然只答对 1 道,则获得二 等奖。某同学进入决赛,每道题答对的概率 P 的值恰好与频率分布表中不少于 80 分的频率的值相同。 (ⅰ)求该同学恰好答 4 道题而获得一等奖的概率; (ⅱ)设该同学决赛结束后答题个数为 X,求 X 的分布列及 X 的数学期望.

20. (本小题满分 12 分) 已知直线 l 与抛物线 x2=4y 相切于点 P(2,1) ,且与 x 轴交于点 A,O 为坐标原点,定 点 B 的坐标为(2,0) ,动点 Q 满足 A B · B Q + 2 | A Q |=0. (Ⅰ)求动点 Q 的轨迹 C 的方程. (Ⅱ) 是否存在圆心在原点的圆, 只要该圆的切线与动点 Q 的轨迹 C 有两个不同交点 M, N,就一定有 O M · O N =0?若存在,求出该圆的方程;若不存在,请说明理由。
???? ?

??? ?

????

????

????

21. (本小题满分 12 分)
4

已知函数 f(x)=

1 2

x2-m ln 1+ 2 x +mx-2m,m<0.
x 3

(Ⅰ)当 m=-1 时,求函数 y=f(x)- (Ⅱ)已知 m≤-
e 2

的单调区间;
1 2

(其中 e 是自然对数的底数) ,若存在实数 x0∈(-



e ?1 2

] ,使

f( x 0 )>e+1 成立,证明:2m+e+1<0; (Ⅲ)证明:

?

n

8k ? 3 3k
2

> ln

( n+1)( n+ 2 ) 2

(n∈N ) .



k ?1

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。做答 时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,AB、CD 是圆的两条平行弦,BE∥AC,BE 交 CD 于 E,交圆于 F,过 A 点的切线交 DC 的延 长线于 P,PC=ED=1,PA=2. (Ⅰ)求 AC 的长; (Ⅱ)求证:BE=EF 23. (本小题满分 10 分) 曲线 C1 的极坐标方程为ρ =4cosθ ,直线 C2 的参数方程为 ?
? x= 3+ 4 t ? y = 2+ 3 t

(t 为参数) .

(Ⅰ)将 C1 化为直角坐标方程. (Ⅱ)曲线 C1 与 C2 是否相交?若相交,求出弦长,若不相交,请说明理由. 24. (本小题满分 10 分) 已知函数 f(x)=|x-8|-|x-4|. (Ⅰ)解不等式|x-8|-|x-4|>2; (Ⅱ)f(x)>a 在 x∈[-3,5]上恒成立,求实数 a 的取值范围.

5

6

7

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