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四川省绵阳南山中学2015-2016学年高一数学上学期9月月考试题


南山中学 2015 年秋季 2018 届 9 月月考 数学试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 100 分。考试时间 100 分钟。 注意事项: 1.答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干 净后,再选涂其他答案标号,不能答在试卷

上。 第Ⅰ卷(选择题 共 40 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1.设集合 A ? x ? Q x ? ?1 ,则( A. ? ? A B. 2 ? A

?

?

) C. 2 ? A D.

? 2? ? A
? ?
)

2.设全集 U={1,2,3,4,5},集合 M={1,4},N={1,3,5},则 N ? CU M 等于( A.{1,3} B.{1,5} C.{3,5} 3.下列图象中可作为函数 y ? f ?x ? 的图象是( ) D.{4,5}

A . B . 4.下列函数是奇函数的是( ) A. y ? x B. y ? 2 x ? 3
2

C . C. y ?

D. D. y ? x , x ? [0,1]
2

x
)

5.设函数 f ? x ? ? ? A.0

?2,

x ?1

? x ? 1, x ? 1
B. 2

,则 f ( f ( f (1))) ? ( C.1 )

D.2

6.下列函数中值域为 ?0,??? 的是( A. y ? 3x B. y ? x

C. y ? x ? 6 x ? 7
2

D. y ?

8 x

1,2,3,4,5?, B ? ( x, y) x ? A, y ? A, x ? y ? A ,则 B 中所含元素的个数为 7.已知集合 A ? ?
( ) A.3
2

?

?

B.6

C.8

D.10 )
-1-

8.若函数 f ?x ? ? x ? 2(a ? 1) x 在区间[4,+∞)上是增函数,则实数 a 的取值范围是(

A. a ? 3

B. a ? ?3

C. a ? ?3

D. a ? 5

9. 若定义在 R 上的函数 f ?x ? 满足 f ?x ? ? f ?? x ? ,且 f ?x ? 在 (0 ,+∞)上是减函数,又

f ?? 3? ? 1 ,则不等式 f ?x ? ? 1 的解集为(

)

? ? C. ?x x ? ?3或x ? 3?
A. x x ? 3或 ? 3 ? x ? 0

? ? D. ?x ? 3 ? x ? 0或0 ? x ? 3?
B. x x ? ?3或0 ? x ? ?3 )

10 若函数 f ?x ? 和 g ?x ? 在 R 上都是奇函数, 设函数 F ?x ? ? f ( x) ? g ( x) +2 在(0, +∞)上有最 大值为 8,则在(-∞,0)上 F ?x ? 有( A.最小值-4 C.最小值-6 B.最大值-8 D.最小值-8 第Ⅱ卷(非选择题 共 60 分) 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 11.已知集合 A={x|x 是等腰三角形},B={x|x 是直角三角形},则 A ? B 为_______. 12.函数 y ?

1? x 的定义域为_______. x?2
2

13.设集合 A={-1,2,3},B={a+2,a +2},A∩B={3},则实数 a=________. 14.已知函数 y ? f ?x ? 在区间 D 上有定义,若对任意 x1 , x2 ∈ D,当x1 ? x2 时,都有

f(

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? 成立,则称函数 y ? f ?x ? 在区间 D 上是凹函数.以下函数在 2 2

?0,?∞? 上为凹函数的是_______.(写出正确的番号)
① y ? x ?1 15.已知函数 f ?x ? ? 是________. 三、解答题(本大题共 4 小题,共 40 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。) 16.设集合 A ? {x | 3 ≤ x ? 10}, B ? {x | 2 ? x ? 7}, 求 A ? B, A ? C R B . ②y?x
2

③ y ? ? x2

④y?

1 x

3 ? ax (a ? 1) .若 f ?x ? 在区间(0,1]上是减函数,则实数 a 的取值范围 a ?1

-2-

17.已知函数 f ( x ) ? x ?

1 . x

(I)判断函数 f ?x ? 的奇偶性,并加以证明; (II)用定义证明 f ( x) 在 ? 0,1? 上是减函数; (III)函数 f ( x) 在 ? ?1,0? 上是单调增函数还是单调减函数?(直接写出答案, 不要求写证明过 程).

18. 某 商 品 在 近 30 天 内 每 件 的 销 售 价 格 p( 元 ) 与 时 间 t( 天 ) 的 函 数 关 系 是

0 ? t ? 25, t ? N ?t ? 20, ,该商品的日销售量 Q(件)与时间 t(天)的函数关系是 p?? ?? t ? 100, 25 ? t ? 30, t ? N Q ? ?t ? 40(0 ? t ? 30, t ? N ) .
(1)求这种商品的日销售金额与时间 t 的函数解析式; (2)求日销售金额的最大值,并指出日销售金额最大的一天是 30 天中的第几天?

19.已知函数 y ? f ?x ? 是定义在 R 上的奇函数, 当

x ? 0 时, f ( x) ? x 2 ? 2x .

(1) 求函数 f (x) 的解析式. (2) 问是否存在这样的正数 a , b ,当 x ? ?a, b? 时,g ( x) ? f ( x) ,g ( x) 的值域为 ? , ? ?若存 b a 在,求出所有的 a , b 值;若不存在,请说明理由.

?1 1 ? ? ?

-3-

南山中学 2015 年秋季 2018 届 9 月月考 数学试题(参考答案) 一.选择题(每小题 4 分,共 40 分) 1-5: BCDAC 6-10: BDCCA 二.填空题 (每小题 4 分,共 20 分) 11. { x | x 是等腰直角三角形} 12. (??,?2) ? (?2,1] 13. -1 14. ②和④ 15. (-∞,0)∪(1,3] 也可以写成

{x | x ? 1且x ? ?2}

(备注:12 小题只能写成集合或区间的形式, 其他形式不给分; 14 小题答案必须写完整才给分。 )

三.解答题(每小题 10 分,共 40 分) 16. 解: ? A ? {x | 3 ≤ x ? 10}, B ? {x | 2 ? x ? 7},

? A ? B ? {x | 3 ? x ? 7}

┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5 分

?CR B ? {x | x ? 2或x ? 7}
? A ? CR B ? {x | x ? 2或x ? 3} ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈10 分

17.解:(Ⅰ)函数 f ( x ) 为奇函数;┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1 分 证明:? 函数 f ( x ) 的定义域为 (??,0) ? (0,??) 且对定义域内任意 x ,都有

f ( ? x) ? ? x ?

1 1? ? ? ? ? x ? ? ? ? f ( x) x x? ?

? f ( x) 为奇函数. ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3 分
(Ⅱ)证明:任取 x1 , x2 ? ?0,1? 且 x1 ? x2



f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ?

1 1 1 ? x2 ? ? ( x1 ? x2 )(1 ? ) x1 x2 x1 x2

-4-

?

( x1 ? x2 )(x1 x2 ? 1) x1 x2

? 0 ? x1 ? x2 ? 1,? x1 x2 ? 1, x1 x2 ? 1 ? 0 ? x1 ? x2, ? x1 ? x2 ? 0. ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0,即f ( x1 ) ? f ( x2 )
因此函数 f ( x) 在 ? 0,1? 上是减函数┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈8 分 (Ⅲ) f ( x) 在 ?? 1,0? 上是减函数.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈10 分 18.解:(1)设日销售金额为 y(元),则 y ? p ? Q

?y ?

?

(t ? 20)?( ?t ?40) ( ?t ?100 )?( ?t ?40)

0?t ? 25,t?N 25?t ?30 ,t?N

??t 2 ? 20t ? 800, 0 ? t ? 25, t ? N ? ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5 分 ?? 2 ? ?t ? 140t ? 4000, 25 ? t ? 30, t ? N
(2)由(1)知 y ? ?
2 ? 0 ? t ? 25, t ? N ??t ? 20t ? 800, 2 ? ?t ? 140t ? 4000, 25 ? t ? 30, t ? N

2 ? 0 ? t ? 25, t ? N ??(t ? 10) ? 900, ?? ┈┈┈┈┈┈┈┈┈7 分 2 ( t ? 70) ? 900, 25 ? t ? 30, t ? N ? ?

当 0 ? t ? 25, t ? N , t ? 10 时, ymax ? 900(元) ; 当 25 ? t ? 30, t ? N , t ? 25 时, ymax ? 1125(元). 由 1125>900,知 y max =1125(元) 故第 25 天,日销售额最大. ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈10 分

19.解: (1)若 x ? 0, ,则 ? x ? 0 ,于是

f (? x) ? (- x)2 ? 2(? x) ? x2 ? 2 x
? f ( x) 为奇函数,
-5-

? f ( x ) ? ? f ( ? x) ? ? x 2 ? 2 x
即x

? 0时,f ( x) ? ? x2 ? 2 x ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3 分



f ( x) ?

?

x 2 ? 2 x , x ?0 ? x 2 ? 2 x , x ? 0 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4 分

(2)假设存在这样的正数a , b 满足要求,
2 ? f ( x) ? 2 x-x 2 =1-(x ? 1) ?1



1 1 g ( x)的值域为 [ , ] x ? [ a , b ] 时,( g x ) ? f ( x ) 而 b a , 且

又? a ? 0,

1 ? a ?1

?a ?1


g (x)在x ? [a, b] 上为减函数.

┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈7 分

于是有

?1 ? g (b) ? ?b 2 ? 2b ? ?(a ? 1)(a 2 ? a ? 1) ? 0 ?b ? ? ? 2 ?(b ? 1)(b ? b ? 1) ? 0 ? 1 ? g ( a ) ? ? a 2 ? 2a → ? ? ?a
因为 1 ? a ? b 解得: a ? 1, b ?

1? 5 . ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈10 分 2

-6-


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