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2016届高考数学(文科,大纲版)一轮复习配套课件:7.1 直线的方程


第七章

直线和圆的方程

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考纲解读 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线的 斜率公式;掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式,并

能根据条件熟练地求出直线的方程.
2.掌握两条直线平行与垂直的条件,两条直线所成的角和 点到直线的距离公式;能够根据直线的方程判断两条直

线

的位置关系.
3.了解用二元一次不等式表示平面区域,了解线性规划的 意义,并会简单的应用.

4.了解解析几何的基本思想,了解坐标法.
5.掌握圆的标准方程和一般方程,了解参数方程的概念, 理解圆的参数方程.

§7.1 直线的方程

本节目录

教 材 回 顾 夯 实 双 基

考 点 探 究 讲 练 互 动

考 向 瞭 望 把 脉 高 考

知 能 演 练 轻 松 闯 关

教材回顾夯实双基
基础梳理 1.直线的倾斜角和斜率 某条直线上 的点,反过 (1)以一个方程的解为坐标的点都是_____________ 来,这条直线上点的坐标都是这个方程的解,这时,这个方 程就叫做这条直线的方程,这条直线叫做这个方程的直线. 逆时针 (2)对于一条与x轴相交的直线,如果把x轴绕着交点按______

方向旋转到和直线重合时,所转的最小正角记为α,那么α就 倾斜角 ,规定直线与x轴平行或重合时,直线 叫做直线的__________
[0°,180°) 的倾斜角为零.倾斜角的取值范围为________________ .

(3)倾斜角不是 90° 的直线,它的倾斜角的正切值叫做这条直线 的斜率,直线的斜率常用 k 表示,即 k= tan , α 为直线的倾 . . .α . 斜角,由正切函数的单调性可知倾斜角不同的直线,其斜率也 不同. (4)经过两点 P1(x1, y1)、 P2(x2, y2)的直线的斜率公式为 y2 - y1 → k= (x ≠x2) ____________________ ,直线上的向量P1P2及与它平行的向量 x2-x1 1 → 都称为直线的方向向量.直线 P1P2 的方向向量P1P2的坐标是 (x2-x1,y2-y1) . __________________

2.直线方程的五种形式
名称 点斜式 斜截式 两点式 截距式 方程的形式 y- y1= k(x- x1) y= kx+b y - y 1 x -x 1 = y 2 - y 1 x 2 -x 1 x y + =1 a b 常数的几何意义 (x1, y1)是直线上一定 点,k 是斜率 k 是斜率, b 是直线在 y 轴上的截距 (x1,y1),(x2,y2)是直线 上两定点 a 是直线在 x 轴上的截 距,b 是直线在 y 轴上 的截距 A 斜率为- , 在 x 轴上的 B C 截距为- , 在 y 轴上的 A C 截距为- B 适用范围 不能表示垂直于 x 轴 的直线 不能表示垂直于 x 轴 的直线 不能表示垂直于 x 轴 和 y 轴的直线 不能表示垂直于 x 轴 和 y 轴以及过原点的 直线

一般式

Ax+ By+ C=0

可表示任何直线

思考探究 1.所有的直线都存在斜率吗?都有倾斜角吗? 提示:所有的直线都有倾斜角,但不一定都有斜率,当倾斜 角等于90°时,直线的斜率就不存在. 2.若直线l的斜率为k,能否用k表示出直线l的所有的方 向向量?

提示:能.所有与向量(1,k)共线的向量均为直线l的方向向量,
可以表示为向量λ(1,k),其中λ为不等于零的常数. 3.直线ax+by=c可化为截距式吗?
x y 提示:当 a≠ 0, b≠ 0, c≠ 0 时可化为截距式, + = 1.否则, c c a b 不能化为截距式.

课前热身
1 1.如图,方程 y=ax+ 表示的直线可能是( a )

答案:B

2.(教材改编 )直线 l1 的倾斜角 α1=60° ,直线 l2⊥l1,则 l2 的斜 率为( 3 A. 3 3 C.- 3 ) B. 3 D.- 3

答案:C

3.过点(-1,3)且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为( A.2x+y-1=0 C.x+2y-5=0 答案:A B.2x+y-5=0 D.x-2y+7=0

)

4.已知直线的倾斜角是60°,在y轴上的截距是5,则该直线
的方程为________.
答案: 3x-y+5=0

5.已知直线l过点P(-2,3),它的一个方向向量为a=(2,4),则

直线l的方程为________.
答案:2x-y+7=0

考点探究讲练互动
考点突破
考点1 直线的倾斜角和斜率
π (0, ) 2 (0, +∞ ) 递增 π 2 不存在 π ( , π) 2 (-∞,0) 递增

倾斜角α与斜率k之间的关系
倾斜角 α 斜率 k 取 值 增减性 0

0

当k>0时,α=arctan k,当k<0时,α=π+arctan k.

例1 直线 l 过点 A(1,2),B(m,3),
(1)求直线 l 的倾斜角; π π (2)若倾斜角 α∈[ , ],求 m 的取值范围. 4 3

【思路分析】

首先讨论m=1与m≠1,用公式求斜率,再求

倾斜角.

(1)设直线 l 的倾斜角为 α, α∈ [0, π). π 若 m=1,即 A(1,2), B(1,3),则 l⊥ x 轴, α= . 2 若 m≠1,则直线 l 的斜率 k 存在, 3-2 1 且 k= tan α= = . m- 1 m- 1 1 当 m>1 时, tan α>0, α= arctan ; m- 1 1 当 m<1 时, tan α<0, α= π- arctan . 1- m 1 综上, m<1 时, α= π- arctan ; 1- m 【解】 π 1 m= 1 时, α= ; m>1 时, α= arctan . 2 m- 1

π π (2)∵ ≤ α≤ ,∴tan α∈ [1, 3]. 4 3 1 1 3 又 tan α= ,∴ 1≤ ≤ 3,∴ m∈ [1+ ,2]. 3 m- 1 m- 1

【领悟归纳】

直线倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°,

而这个区间不是正切函数的单调区间,因此在由斜率的范围 求倾斜角的范围时,一般要分成(-∞,0)与[0,+∞)两种情

况讨论.直线垂直x轴的情况不要忽略.

考点2

求直线方程

求直线方程的方法 (1) 直接法:直接选用直线方程的五种形式,写出形式适当的

直线方程.
(2)待定系数法:先由题意写出满足其中一个条件并含有待定 系数的直线方程,再由题目给出的另一条件求出待定系数, 最后将求得的系数代入所设的方程,即可得所求的直线方程, 即设方程,求系数,代入这三步.

例2 已知P(-3,4),一直线l过P点.若直线l在两坐标轴上 截距相等,求直线l的方程.
设直线 代入 求得 得到直 方程 → 条件 → 系数 → 线方程

【思路分析】

【解】

若直线 l 过原点,方程设为 y= kx,

4 4 ∴ 4=- 3k,k=- ,∴y=- x. 3 3 x y 若直线 l 不过原点,设直线为 + = 1,过点 (- 3,4), a a ∴ a=- 3+ 4= 1,∴ l 为 x+ y- 1= 0. 4 ∴ l 的方程为 y=- x 或 x+ y- 1= 0. 3

【思维总结】 直线方程的特殊形式都具有明显的几何意义, 但又都有一些特定的限制条件,因此在应用时要注意它们各自 4 的适用范围,以避免漏解.本题易丢掉 y=- x. 3

跟踪训练 在本例题中,若直线l过P(-3,4)点且直线l在两坐标轴上截距 之和为12,求直线l的方程.
-3 4 ? ? + =1 x y a b 解:法一:设方程为 + = 1,根据题意得? , a b ? ? a+b=12
? ? ?b=3 ?b=16 消去 a 得 b - 19b+ 48= 0,∴? ,? . ?a=9 ? ? ?a=- 4
2

∴直线方程为 4x- y+16= 0 或 x+3y- 9= 0.

法二:由题意可知,直线斜率存在,故设方程为 y- 4= k(x+ 3), 4 在两轴上截距分别为 3k+ 4,- - 3, k 4 1 ∴ 3k+4+(- -3)= 12,∴ k= 4 或 k=- . 3 k 1 ∴直线方程为 y- 4= 4(x+ 3)或 y- 4=- (x+ 3), 3 即 4x- y+ 16= 0 或 x+ 3y-9=0.

考点3

直线方程的应用

直线的综合问题常常与函数、不等式、最值问题相结合,且

题型多为计算题,解决这类问题一般是利用直线方程中x、y的
关系,将问题转化成关于x的函数,借助函数的性质来解决.

例3

在校园的清华路和北大路交叉东北处有一消防水阀 P(

如图),它到两路的距离分别为 2和1,为使消防车接水方便, 现过水阀画一条线与两路形成三角形的区域硬化,问怎样画 线使区域面积最小?

【思路分析】

建立平面坐标系,问题转化为过P点的直线与

坐标轴形成的三角形的面积.

【解】

以北大路为 x 轴,清华路为 y 轴,建立平面直角坐标系,则 P(2,1).设直线与北大路交于 A 点,与清华路交于 B 点,过 P 画直线 l,

x y 设 l 的方程为 + = 1(a>0, b>0), a b 2 1 ∵点 P(2,1)在 l 上,∴ + = 1, a b 2 1 21 2 又∵ + ≥ 2 ·,∴2 ≤ 1, a b ab ab 1 2 1 1 ∴ ab≥4,当且仅当 = = , 2 a b 2 1 即 a= 4, b= 2 时,△ AOB 面积 S= ab 有最小值 4. 2 x y 此时直线 l 的方程为 + = 1. 4 2 故在北大路上,距交叉点向右 4 个单位找点 A,过 AP 画线即 可 (或在清华路上向北距交叉点 2 个单位找点 B).

【思维总结】本题结合均值不等式和解不等式求面积的最小值.

方法感悟
方法技巧
1.求斜率一般有两种方法. y 2 - y1 (1)已知直线上两点,根据斜率公式 k= (x1≠x2)求斜率; x2-x1 (2)已知倾斜角 α 或 α 的三角函数值,根据 k= tan α 求斜率.

2.求直线方程的方法. 直接 直接选用直线方程的五种形式之一,写出形式适 法 待定 系数 法 当的直线方程. 先由题意写出满足其中一个条件并含有待定系数

的直线方程,再由题目给出的另一条件求出待定
系数,将求得的系数代入所设的方程,即得所求 直线方程.

失误防范 1.平面直角坐标系内,每一条直线都有倾斜角,但不是每一条

直线都有斜率.

斜率k与α的关系如右图:要注意对斜率存在与否的讨论. 2.截距可取一切实数,即可取正数、零、负数;要区分截距 与距离这两个不同的概念.求直线方程时要注意截距为0或不 存在的情况.

考向瞭望把脉高考
命题预测 高考对这部分知识很少单独成题,尽管直线方程及有关概念 是重要的知识点和基础内容,大多数是与函数、圆、圆锥曲 线综合,利用相切、相交等位置关系,既有客观题,也有主 观题,数形结合,分类讨论思想考查较多.这样的综合题在 2012年的高考中,各省市考题都有.

预测2014年高考试题以基础知识为主,考查斜截式、点斜式、
截距式的表示形式,关注直线的斜率和倾斜角问题,以及以 直线与曲线的位置关系为载体求直线方程等问题.

典例透析 例 (2011· 高考安徽卷)在平面直角坐标系中,如果x与y都 是整数,就称点(x,y)为整点.下列命题中正确的是________ (写出所有正确命题的编号).

①存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点;
②如果k与b都是无理数,则直线y=kx+b不经过任何整点; ③直线l经过无穷多个整点,当且仅当l经过两个不同的整点;

④直线y=kx+b经过无穷多个整点的充分必要条件是:k与b都
是有理数; ⑤存在恰经过一个整点的直线.

1 【解析】 ①正确.设 y= 2x+ ,当 x 是整数时, y 是无理 2 数,(x, y)必不是整点. ②不正确.设 k= 2, b=- 2, 则 y= 2(x- 1),过整点(1,0). ③正确.直线 l 经过无穷多个整点,则直线 l 必然经过两个不 同的整点, 显然成立; 反之亦成立, 设直线 l 经过两个整点 P1(x1, y1)、P2(x2, y2),则 l 的方程为 (x2-x1)(y- y1)= (y2- y1)(x-x1), 令 x= x1+ k(x2-x1)(k∈ Z),则 x∈ Z,且 y=k(y2- y1)+ y1 也是 整数,故直线 l 经过无穷多个整点. ④不正确. 由③知直线 l 经过无穷多个整点的充要条件是直线 l 经过两个不同的整点,设为 P1(x1, y1)、 P2(x2, y2),则直线 l 的方程为 (x2- x1)(y- y1)= (y2- y1)(x-x1),

又∵直线方程为 y= kx+ b 的形式,∴x2≠x1, y2 - y 1 y1x2- y2x1 ∴ y= x+ ,∴k,b∈ Q; x2-x1 x2-x1 1 1 3 反之不成立,若 k, b∈ Q,设 y= x+ ,则 x= 3y- , 3 4 4 3? ? 若 y∈ Z,则 3y-4 ? Z, ? ? 即 x? Z, 即由 k,b∈ Q 得不到 y= kx+ b 经过无穷多个整点.⑤正确. 直线 y= 2(x-1)只经过整点(1,0).

【答案】

①③⑤

【名师点评】

本题考查了直线方程、直线过定点、充分必要

条件、 存在性问题、 命题真假的判定, 综合性较强, 难度很大. 主 要考查学生分析、判断、转化、解决问题的能力,此类问题正 确的命题要给出证明,错误命题要举出反例.

知能演练轻松闯关

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