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【智博教育原创专题】高中数学数列通项求解方法大全(题型超全)


高考必胜秘诀专题研究 世水年华数学工作室冷世平设计 高中数学数列通项求解方法大全 1.观察归纳法 【例1】根据数列的前几项写出下列各数列的一个通项公式: 1 4 9 16 1 1 1 1 3 1 5 1 7 ⑴ , , , ,? ;⑵ 1, ? , , ? , ,? ;⑶ 1, , , , , ,? 2 5 10 17 3 7 15 31 2 3 4 5 6 2 n ?1 n (?1) 1 1 ? (?1)n 【解析】⑴ an ? 2 ;⑵ an ? n ;⑶ an ? ? n ?1 n 2 2 ?1 2.二阶等差或等比数列求法 【例2】根据数列的前几项写出下列各数列的一个通项公式: ⑴ 1,3,7,15,31? ;⑵ 3,7,13,21,31,? ;⑶ 1,2,4,7,11,16,? 【解析】⑴ an ? 2n ? 1 ;⑵ an ? n2 ? n ? 1 ;⑶ an ? 3.辅助数列法 【题型 1】 an?1 ? kan ? b( p, q ? R) n2 ? n ? 2 2 ⑴ k ? 1 时, an ?1 ? an ? b ? ?an ? 是等差数列, an ? bn ? (a1 ? b) ; b ,数列 ?an ? x? 是以 a1 ? x k ?1 b b ? n ?1 b ? n ?1 b ? ? 为首项、 k 为公比的等比数列,则 an ? 。 ? ? a1 ? ? k ,即 an ? ? a1 ? ?k ? k ?1 ? k ?1 ? k ?1 ? 1? k ? 【例3】已知数列 ?an ? 满足 an ? 2an?1 ? 3 且 a1 ? 1 ,求数列 ?an ? 的通项公式。 ⑵ k ? 1 时,(构造法) :设 an?1 ? x ? k (an ? x) ,即 x(k ?1) ? b 得 x ? 【解析】设 an ?1 ? x ? 2(an ? x) ,即 x ? 3 ,?数列 ?an ? 3? 是以 a1 ? 3 ? 4 为首项、 2 为公比的等比数 列,则 an ? 3 ? 4 ? 2n ?1 ? 2n?1 ,即 an ? 2n ?1 ? 3 。 【题型 2】 an?1 ? kan ? f (n) 【类型 1】 k ? 1 时, an?1 ? an ? f (n) ,若 f (n) 可求和,则可用累加消项的方法。 【思路】 (叠加法) : an ? an ?1 ? f (n ? 1) ,依次类推有: an?1 ? an?2 ? f (n ? 2), an?2 ? an?3 ? f (n ? 3),? a2 ? a1 ? f (1) ,将各式叠加并整理得 an ? a1 ? ? f (n) ,即 an ? a1 ? ? f (n) 。 i ?1 i ?1 n ?1 n ?1 【例4】已知 a1 ? 1, an ? an ?1 ? n ,求 an 。 【解析】 an ? an ?1 ? n ,依次类推有: an?1 ? an?2 ? n ? 1, an?2 ? an?3 ? n ? 2,?, a2 ? a1 ? 2 ,将各式叠加 n(n ? 1) 。 2 i ?2 i ?2 i ?1 【类型 2】 k ? 1 时,当 f (n) ? an ? b ,则可设 an?1 ? A(n ? 1) ? B ? k (an ? An ? B) 并整理得 an ? a1 ? ? n, an ? a1 ? ? n ? ? n ? n n n a ? A? ? ?(k ? 1) A ? a k ?1 ? 【思路】? a

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