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(新课程)高中数学 2.2.2《二次函数的性质与图象》学案2 新人教B版必修1


2.2.2 二次函数的性质与图象 学案
【预习要点及要求】 1.二次函数的一般方法——配方法。 2.二次函数的图像的画法。 3.二次函数的图像的顶点坐标、对称轴方程、单调区间和最值的求法。 4.掌握研究二次函数图像和性质的配方法。 5.进一步掌握二次函数的图像和性质。 6.会综合运用二次函数图像和性质解决有关问题。 【知识再现】 1. 二次函数的一般形式 y ? ax2

? bx ? c(a ? 0) 2.二次函数的 顶点坐标( ?

b 4ac ? b 2 , ) 2a 4a

【概念探究】 阅读课本 57 页到例 1 的上方,完成下列问题 1、二次函数的定义及图象的形状是怎样的? 2、函数_____________________叫二次函数,它的定义域是_______ __________. 3、当 b ? c ? 0 时,二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 变为______ _____,它的图像和性质特 征为:(1)顶点坐标________,奇偶性为_______,图形关于_______对称; (2) a ? 0 时, 当 抛物线的开口______,在_________上是增函数, 在_________上是减函数, 当 x=_____有最小值_______; a ? 0 时, 当 抛物线的开口_______,在_ ________上是增函数, 在____________上是减函数,当 x=______有最大值_______. (3) 当 a ? 0 时,抛物线在 x 轴的______,开口向上 并随 a 的增大逐渐______;当 a ? 0 时, 抛物线在 x 轴的______,开口向下并随 a 的增大逐渐______; 【例题解析】 例 1、求函数 y ? ? x ? 2 x ? 3 的顶点坐标,对称轴以 及函数的单调区间.
2

例 2、求函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 1 在区间[0,2]上的最小值
2

2 例 3、已知函数 y ? ax ? (a ? 1) x ?

1 的图像恒在 x 轴上方,求实数 a 的取值范围 4

1

参考答案: 例 1、解: y ? ? x 2 ? 2 x ? 3 ? ?( x ? 1) 2 ? 4

? 顶点坐标为(1,4),对称轴为 x ? 1
单调增区间为 (??,1] ,单调减区间为 [1,??) 评析:配方法是解决二次函数的最常用的方法。 例 2. 解: f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 1 ? ( x ? a) 2 ? 1 ? a 2 ,对称轴 x ? a (1)、当 a ? 0 时,函数在[0,2]上是增函数,因此 y min ? f (0) ? ?1 (2)、当 0 ? a ? 2 时, ymin ? f (a) ? ?1 ? a 2 (3)、当 a ? 2 时,函数在[0,2]上是减函数,因此 y min ? f (2) ? 3 ? 4a 评析:含参数的最值问题,依据对称轴的位置对参数进行分类讨论。 例 3、解:(1)、若 a ? 0 ,则 f ( x ) ? ? x ?

1 ,不合题意,舍去 4

(2)、若 a ? 0 ,则该函数为二次函数,

?a ? 0 3? 5 3? 5 ,解得 a ? ( , ) ?? 2 2 ?? ? 0
综上可知, a 的取值范围是 (

3? 5 3? 5 , ) 2 2

评析:本题要注意分 a ? 0 和 a ? 0 两种情 况进行分析。 【总结点拨】 对概念的理解要注意: (1)二次函数的一般形 式中 a ? 0 (2)对称轴是直线 x ? ?

b 2a

(3)配方时要先提出 a 【课堂检测】 2 1.抛物 线 y=x +2x-2 的顶点坐标是( ) A .(2, -2) B.(1,-2) C.(1,-3)

D.(-1,-3)
2

2.若一次函数 y ? ax ? b 的图象经过二、三、四象限,则二次函数 y ? ax ? bx 的图象 只可能是( )

2

A

B )

C

D

3. f ( x) ? x 2 ? bx ? c 且 f (?1) ? f (3) 则 ( A

f (1) ? c ? f (?1) B f (1) ? c ? f (?1) C c ? f (?1) ? f (1) D c ? f (?1) ? f (1)

4、函数 y ? 3x 2 ? 2 x ? 1( x ? 0) 的最小值为__ _________________. 5、二次函数 f ( x) ? x 2 ? 6 x ? 8, x ? [2, a] 且 f (x) 的最小值为 f (a ) ,则 a 的取值范围是 ____________________________. 6、已知函数 f ( x) ?

1 2 3 x ? 3x ? 2 4

(1)求函数的顶点坐标、对称轴方程和最值 (2)若 x ? ?1,4? ,求函数值域

3

参考答案: 1、D; 2、B; 3、B; 4、1; 5、 2 ? a ? 3 6、 f ( x) ?

1 21 21 ( x ? 3) 2 ? , 对称轴为 x ? 3 。最小值为 ? 。 2 4 4

4


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