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初赛模拟试题(二)


初赛模拟试题(二)
填空题: 1.已知函数 f ( x ) = x 3 - 3 x 的值域为 { - 2,0,2} ,这样的 f ( x ) 有________个。 2.实数 x , y 满足 í 3.已知对 " x

ì ? 2 x + sin y = 2014 (0 #y ? ? 2 x + 2014cos y = 2013


p ) ,则 x + 2 y = _________ 。 2

[ 0,1] ,都有 ax + b

1 ,则 bx + a 的最大值是___________。

4.在四面体 ABCD 中, AB = CD = 5 , AC = BD = 34 , AD = BC = 41 ,则 ABCD 外 接球的表面积是_____________。

ABC 的外接圆,且 tan A = 2 ,若 AO = x AB+ y AC, 则 5. 已知圆 O : x 2 + y 2 = 1 为 D
x + y 的最大值为_______________。

kx + y + 4 = 0(k > 0) 上一动点,PA, PB 是圆 C : x 2 + y 2 - 2 y = 0 的 6.已知点 P 是直线 l :
两条切线, A, B 是切点,若四边形 PACB 的最小面积是 2 ,则 k = __________ 。 7. 已 知 函 数 f ( x ) = x 2 + x +11 的 图 象 上 有 一 点 (m, n2 ) , 且 m , n 为 正 整 数 , 则

mn- m = ________ 。
8.过正四面体 A1 A2 A3 A4 的四个顶点分别作四个互相平行的平面 a1 , a 2 , a 3 , a 4 。若相邻两个 平面间的距离都为 1,则该四面体的体积为______________。 9.由 1, 2,

, n 排列而成的 n 项数列 { an } 满足:每项都大于它之前的所有项或者小于它之前

的所有项,则满足这样条件的数列 { an } 的个数为______________。 10.某家电影院的票价为每张 5 元,现有 10 个人,其中 5 个人手持 5 元钞票,另外 5 个人手 持 10 元车票,假设开始售票时售票处没有钱,这 10 个人随机排队购票,则售票处不会出现 找不开钱的局面的概率是______________。 解答题:

ABC 中, AB = 2 , AC = 1 , ? C 11.在 D
(1)求 BC 的长;

2 A.

ABC 内一点, PA = AC , PB = PC ,求 ?PAB 的大小。 (2)设 P 为 D

12.已知正实数 x , y ,设 a = x + y , b = (1)当 y = 1 时,求

x 2 + 7 xy + y 2 。

b 的取值范围; a

(2)若 c 2 = kxy ,且对于任意的正数 x , y ,以 a, b, c 为长度的线段恒能构成三角形,求 k 的取值范围。

13.设数列 { an } 的前 n 项和为 Sn ,且满足: S2 = 3, 2Sn = n + nan (n (1)求数列 { an } 的通项公式; (2)求数列 cn = í

N* )

ì ? an+1 an- 1 1 ? ? 3? 2

的前 2 n 项和 T2 n 。

14.对正整数 n ,记 f ( n) 为数 3n + n + 1 的十进制表示的数码和。 (1)求 f ( n) 的最小值; (2)当 n = 2?10
k

2

1 ( k 是正整数)时,求 f ( n) ;

(3)是否存在一个正整数 n ,使得 f (n) = 2012 ?


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