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衡水金考卷新课标理数(1)答案


1.B 【解析】

?

1 ? 3i 3 ?i

?

2

1 - 3i 1 - 3i 1 + 3i = == ,故选 B. 4 2 + 2 3i 2 1 + 3i 1 - 3i

(

(

)(

/>)

2

)

? M ? {x | x ? 0} .因为集合 y y ? x 2 ? 1 ? {y | y ? 1} , 2.C 【解析】 集合
x 表示点集,集合 x y ? 2 ? R ,故选 C.

?

?

?? x, y ? y ? ln x?

?

?

3.A 【解析】将全称量词改写成存在量词,再将结论否定.因此命题“ ?x ? 0 , x ? ln x >0” 的否定是 ?x ? 0 , x ? ln x ≤0,A 符合题意. 4.D 【解析】画出已知不等式所表示的平面区域: ,再作出 l0 : x ? y ? 0 ,由于目标函数 z 的几何意义可知:当直线经过点 B(0, 2) 时, zmin ? 0 ? 2 ? ?2 ,故选 D.

5.C 【解析】第一次循环:打印点(-3,6),x=-2,y=5,i=5;第二次循环:打印点(- 2,5),x=-1,y=4,i=4;第三次循环:打印点(-1,4),x=0,y=3,i=3;第四次循环: 打印点(0,3),x=1,y=2,i=2;第五次循环:打印点(1,2),x=2,y=1,i=1;第六次循 环:打印点(2,1),x=3,y=0,i=0 满足循环终止条件,结束.则点(-1,4)、 (0,3)、 (1,2)、 (2,1)在圆 x2 ? y 2 ? 20 内,共有 4 个.

6.D 【解析】由题意可得正方体的内切球的球心为正方体的中心,且球的半径为 3.由正方体 的性质可得球心 O 到平面 ACD1 的距离等于
2 2 2

1 1 B1 D ? ? 6 ? 3 ? 3 , 设内切球被平面 6 6

ACD1 所截小圆的半径为 r,则 r ? ( 3) ? (3) ,解得 r ?

6 ,所以所求截面面积为 6? .

2 7.A 【解析】 y ? sin(2x ? ? ) ???? ,所以 ? y ? sin[2(x ? )?? ] ? sin(2 x ?? ?? )

向右平移

?

?

2

f ( x) ? sin(2 x ? ? ? ? ) ,其周期 T ? ? ,而
2?

?
12

?? ?? ? ?
,故选 A.

?
2

7? ? ? T ? ? ? ? ,由此可得 f ( ) ? ?1 ,即 12 12 2 2 12

? 2 k? ( k ? Z ) ,解得 ? ?

?

??

?

3

? 2k? ( k ? Z ) ,又因为 0 ? ? ? 2? ,得

3

8.CD【解析】 BD ? BC ?| BD || BC | cos ? CBD ,又因为在直角△BDC 中,

| BC | cos ? CBD ?| BD | ,所以 BD ? BC ?| BD || BC | cos ? CBD ?| BD |2 ? 4 .
9.D 【解析】 由题意设甲、 乙两店的销售额分别为 y1 , y2 , 其距离市中心的距离分别为 x1 , x2 ,

由题意得 y1 ? y2 ? ?3.2x1 ? 3.2 x2 ? 6.4 ,解得 x2 ? x1 ? 2 ,故选 D. 10.B 【解析】本题考查了三视图的还原、简单几何体的体积计算.由三视图可知,该几何体 如下图所示的三棱锥 P-ABC. 其中长方体的长宽高分别为 1,2,4, 所以该几何体的体积为

1 1 4 ? 4 ? ( ? 2 ?1) ? . 3 2 3

11.B 【解析】焦点 P 到 A 和 B 的距离之和 8 等于点 A 和点 B 分别到准线 l 的距离和,而点 A 和点 B 分别到准线 l 的距离和为 A 和 B 的中点 O 到准线 l 的距离的二倍,所以点 O 到准线 l 的距离是定值 4,等于圆 O 的半径,所以直线与 l 相切. 12.B 【解析】令 g ( x ) ?

xf ?( x) ? 2 f ? x ? f ( x) ? 0 ,所以函数 g ( x) 在 (??, 0) 上 ,则 g ?( x) ? 2 x x3 f ( x ? 2015) f (?3) ? 即为 g ( x ? 2015) ? g (?3) ,根据 g ( x) 的 ( x ? 2015) 2 (?3) 2
c ? 3 ,令 c ? 3t , a

为减函数.原不等式等价于

单调性可得, x ? 2015 ? ?3 ,解得 x ? ?2018 . 13.答案 2 【解析】令 c ? a ? b ,由双曲线的离心率 3 ,可得
2 2 2

则 a=t,b= 2t ,∴

b ? 2 ,∴该双曲线的渐近线的方程为 y ? ? 2x ,焦点 (?c, 0) 到渐 a

近线的距离为

| 2c | ? 2 ,解得 c ? 6 ,a= 2 . 3

14. 答 案 325 【 解 析 】 an ? n ? a2n , an ? a2 n?1 ? 1 , ∴ a2n?1 ? a2n ? n ? 1 ,

a1 ? (a2 ? a3 ) ? (a4 ? a5 ) ? … ?(a48 ? a49 ) ? 1 ? 2 ? 3 ? ... ?25=325 .
15. 10、11 【解析】由二项展开式的通项公式可知 Tr ?1 = Cn (a)
r n?r

(?

3r n? 1 r r ) = (?1)r Cn a 2, a

则n?

3 3 r =0,即 n ? r ,由题意得 r 的取值是 2,4,6,此时 n 的最小值为 9,n 的最大值为 11, 2 2

所以 n 可以取 10,11. 16.

(3, 2 3]











1?

t C a nC B 2C ? ? 1? ? ? tan B b cos C sin B sin B

B

C? s B sin B cos C

iC

?

nA c 由正弦 sin B

o

定理得 a ?

?
6

? A?

? ?
,

c c sin A ? 2 sin A ,b ? sinB ? 2 sin B .∵△ABC 是锐角三角形,可得 sin C sinC

2 6

?B?

?

2

,





a?b ? 2
得 A?

A?

B ?

( A?

2? ? A ?s 3

A?

?
6

i ,因为

?
6

? A?

?
2

,可

n

?

? 2? ? ? ( , ) ,所以 2 3 sin( A ? ) ? (3, 2 3] ,即 a ? b ? (3,2 3] . 6 3 3 6

17. 解析: (Ⅰ)设公差为 d.

? (a5 ? a9 ) ? 5 ? 5a7 ? 100 ? 由已知得 ? , 2 2 ?a ? a (a ? 18) 1 5 ? 3
即?

a1 ? 6d ? 20 ? ……………… 4 分 2 ?(a1 ? 2d ) ? a1 (a1 ? 4d ? 18)
解得 d ? 3或d ? ?30(舍去) ,所以 a1 ? 2, 故an ? 3n ? 1…………………………… 7 分 (Ⅱ)由(I)知

1 1 n 1 1 1 1 ? ? …………………………… 9 分 ? Sn ? ? ? ? ? … ? n ? 1 n ? 2 2(n ? 2) 2 3 3 4 S n 1 1 1 ∴ n ? ? ≤ ? (仅当 n=2 时等号成立)… 12 分 2 4 n ? 2 2(n ? 2) 2(n ? ? 4) 2(4 ? 4) 16 n
18. (1) 证明:设 AB=a ∴面 ACC1A1⊥面 ABC,AB⊥AC ∴AB⊥面 ACC1A1,即有 AB⊥CD; 又 AC=A1C,D 为 AA1 中点,则 CD⊥AA1 ∴CD⊥面 ABB1A1.………………5 分 (2) 解:如图所示以点 C 为坐标系原点, CA 为 x 轴, 过 C 点平行于 AB 的直线为 y 轴, CA1 为 z 轴,建立空间直角坐标系 C-xyz,则有 A(a,0,0),B(a,a,0),A1(0,0,a), B1(0,a,a)

C1(-a,0,a),设 E ? x, y, z ? ,且 BE ? ? BB1 , 即有 ? x ? a, y ? a,z ? ? ? ? ?a, 0,a ? 所以 E 点坐标为 ?1 ? ? ? a,a,? a

?

?

由条件易得面 A1C1A 的一个法向量为 n1 ? ? 0 ,1, 0 ? 设平面 EA1C1 的一个法向量为 n2 ? ? x, y,z ? ,

? ? ? ?ax ? 0 ? n ? A1C1 由? 2 可得 ? ? ?? 1 ? ? ? ax ? ay ? ? ? ? 1? az ? 0 ? ? n2 ? A1 E
1 ? 令 y=1,则有 n2 ? ? 0 ,1 1? ? ?
则 cos

? ? ,………………9 分 ?

?
3

?

n1 ? n2 n1 n2

? 1?

1 1

?
2

5 1 ,得 ? ? , 5 2

?1 ? ? ?

∴当 19.

BE BB1

?

1 5 时,二面角 E-A1C1-A 的平面角的余弦值为 ………………………12 分 5 2

解:依题意,这 4 个人中,每个人去抽取A套、B 套面试问题的概率都为

1 . 2

设 “ 这 4 个 人 中 恰 有 i 人 抽 到 A 套 面 试 问 题 ” 为 事 件 Ai (i = 0,1,2,3,4) , 则
i 1 i 1 4 ?i P( Ai ) ? C4 ( ) ( ) (i ? 0,1, 2,3, 4) 2 2

(1)设“这 4 个应聘者中选择 A 套面试问题的人数大于选择 B 套面试问题的人数”为事件 B,则 B ? A3 ? A4 ,
3 3 4 4 由于 A3 与 A4 互斥,故 P ( B ) ? P ( A3 ) ? P ( A4 ) ? C4 ( ) ( ) ? C4 ( ) ?

1 2

1 2

1 2

5 16

所以,概率为

5 .????7 分 16

(2)ξ 的所有可能取值为 0,3,4.由于 A1 与 A3 互斥, A0 与 A4 互斥,故

P (? ? 0) ? P( A0 ) ? P( A4 ) ?

1 , 8

P(? ? 3) ? P( A1 ) ? P( A3 ) ?

1 2

P (? ? 4) ? P ( A2 ) ?
所以ξ 的分布列是 ξ P 0 3

3 . 8
4

1 8

1 2

3 8
1 1 3 ? 3 ? ? 4 ? ? 3 ???????12 分 8 2 8

随机变量ξ 的数学期望 E? ? 0 ? 20. 解:(1)由题: e ?

c 1 ? ① a 2
(2 ? c) 2 ? 12 ? 10 ②
………2 分

左焦点 (-c,0) 到点 M(2,1) 的距离为: d ?

由①②可解得 c = 1 , a = 2 , b 2 = a 2-c 2 = 3. ………3 分 ∴所求椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 . ………4 分 4 3

(2)设过点 F2 ?1,0? 的直线 l 方程为: y ? k ( x ? 1) , 则由 l ? ? l ,可得直线 l ? 的斜率为 ? 设点 E ( x1 , y1 ) ,点 F ( x 2 , y 2 )

1 1 ,可设直线 l ? 的方程为 y ? ? ( x ? 1) k k
…………5 分

x2 y2 ? ?1 将直线 l 方程 y ? k ( x ? 1) 代入椭圆 C : 4 3
整理得: (4k 2 ? 3) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 因为点 F 在椭圆内,所以直线 l 和椭圆都相交, ? ? 0 恒成立, 且 x1 ? x 2 ? …………6 分

8k 2 4k 2 ? 3

x1 ? x 2 ?

4k 2 ? 12 4k 2 ? 3

…………7 分

直线 AE 的方程为: y ?

y1 y2 ( x ? 2) ,直线 AF 的方程为: y ? ( x ? 2) x1 ? 2 x2 ? 2

令 x ? 4 ,得点 M ? 4,

? ?

? 2 y2 ? 2 y1 ? ? , N ? 4, ?, x1 ? 2 ? ? x2 ? 2 ?
………… 9 分

所以点 P 的坐标 ? 4,

? ?

y1 y ? ? 2 ? x1 ? 2 x2 ? 2 ?

又因为

y1 y y x ? x y ? 2( y1 ? y2 ) 2kx1 x2 ? 3k ( x1 ? x2 ) ? 4k ? 2 ? 2 1 2 1 ? x1 ? 2 x2 ? 2 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4

4k 2 ? 12 8k 2 2k ? 2 ? 3k ? 2 ? 4k 3 4k ? 3 4k ? 3 ? ?? , 2 2 4k ? 12 8k k ?2 2 ?4 2 4k ? 3 4k ? 3
也即是点 P 的坐标能使直线 l ? 的方程为 y ? ? 所以直线 l ? 一定过点 P. …………12 分 21.

1 ( x ? 1) 成立, k

ln x ? k 1 ? kx ? x ln x ' 得 f ( x) ? , x ? (0, ??) , x e xe x 1 ? (k ? 1)e 1 1 ? e ? [ ? (k ? 1)] , 所以曲线 y ? f ( x ) 在点( e, f (e) )处的切线斜率为 f ' (e) ? e ? ee e e 1? k 1? k 1 1 f (e) ? e ,? 曲线 y ? f ( x) 切线方程为 y ? e ? e ? [ ? (k ? 1)]( x ? e) , e e e e 1 1? k 1 1 假设切线过点( e ? 1, 0 ),代入上式得: 0 ? e ? e ? [ ? ( k ? 1)](e ? 1 ? e) ,得到 0 ? 产 e e e e
解:(1)由 f ( x) ? 生矛盾,所以假设错误, 故曲线 y ? f ( x ) 在点( e, f (e) )处的切线不过点( e ? 1, 0 ) ………5 分 ( 2 ) 令

g ( x) ? ( x2 ? x) f ' ( x)





x0

=1





k ?1







g ( x) ?

x ?1 (1 ? x ? x ln x), x ? (0, ??) .. ex

因此,对任意 x ? 0 , g ( x) ? e?2 ? 1 等价于 1 ? x ? x ln x ?

ex (e?2 ? 1) . x ?1

……….7 分

由 h( x) ? 1 ? x ? x ln x , x ? (0, ??) .所以 h' ( x) ? ? ln x ? 2, x ? (0, ??) . 因此,当 x ? (0, e?2 ) 时,h' ( x) ? 0 ,h( x) 单调递增; x ? (e?2 , ??) 时,h' ( x) ? 0 ,h( x) 单 调递减. 所以 h( x) 的最大值为 h(e ) ? e
?2 ?2

? 1,故1 ? x ? x ln x ? e?2 ? 1 .

…………..10 分

设 ? ( x) ? e x ? ( x ? 1) ,

? ' ( x) ? ex ?1 ,所以 x ? (0, ??) 时 ? ' ( x) ? 0 , ? ( x) 单调递增,

? ( x) ? ? (0) ? 0 ,
故 x ? (0, ??) 时, ? ( x) ? e x ? ( x ? 1) ? 0 ,即

ex ?1. x ?1

所以 1 ? x ? x ln x ? e

?2

?1 ?

ex (e?2 ? 1) . x ?1
e ?2 ? 1 恒成立 x2 ? x
…………….12 分

因此,对任意 x ? 0 , f ( x) ?
'

22. 证明:(1)连接 DE ,因为 ACED 是圆内接四边形,所以 ?BDE ? ?BCA , 又 ?DBE ? ?CBA, ? ?DBE ∽ ?CBA ,即有 又因为 AB ? 2 AC ,可得 BE ? 2DE, 因为 CD 是 ?ACB 的平分线,所以 AD ? DE , 从而 BE ? 2 AD ; ????????5 分

BE DE ? , BA CA

(2)由条件知 AB ? 2 AC ? 2 ,设 AD ? t , 则 BE ? 2t , BC ? 2t ? 2 ,根据割线定理得 BD ? BA ? BE ? BC ,
2 即 (2 ? t ) ? 2 ? 2t ? (2t ? 2), 即 2t ? 3t ? 2 ? 0 ,

解得 t ? 23.

1 1 或 ?2 (舍去) ,则 AD ? . 2 2

???????10 分

解析:(Ⅰ)圆 C 的普通方程是 ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 5 ,即又 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? , 所以圆 C 的极坐标方程是 ? ? 4cos ? ? 2sin ? . ………….5 分

? ?1 ? 4 cos ?1 ? 2sin ?1 ? (Ⅱ)设 ( ?1 , ?1 ) 为点 M 的极坐标,则有 ? ? ?1 ? ? ? 4

? ?1 ? 2 ? 解得 ? ? . ? ?1 ? ? 4

? ?2 (sin ? 2 ? cos ? 2 ) ? 3 ? 设 ( ? 2 , ? 2 ) 为点 N 的极坐标, 则有 ? ? ?2 ? ? ? 4
? 3 2 ?2 ? ? ? 2 得? ? ? ?? 2 ? ? 4
由于 ?1 ? ? 2 ,所以 | MN |?| ?1 ? ? 2 |?

错误! 未找到引用源。 解

2 2 ,所以线段 MN 的长为 . ……….10 分 2 2

24.解: (1)当 a=1 时, f ( x) ? f ( x ? 1) ? 2 ? | x ? 1| ? | x ? 2 |? 4 . 原不等式等价于:

1 ? x ? 1. 2 当 1 ? x ? 2 时, 1 ? 4 ,即1 ? x ? 2 7 当 x ? 2 时, 2 x ? 3 ? 4 ,即 2 ? x ? . 2 1 7 综上所述,原不等式的解集为 {x | ? ? x ? } . ??????5 分 2 2
当 x ? 1 时, ?2 x ? 3 ? 4 ,即 ? ( 2)令 g ( x) ?| x ? a | ? x ? ?

??a, x ? a 2 ,可得 g( x) ? ?a ,欲使不等式 |x-a|-x>2- a a ? 2 x , x ? a ?
3 .---------10 分 2

2 对 x∈R 恒成立,只需使 ?a ? 3 ? 2a 即可,解得 a ? ?1 或 a ?


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