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2012届河北省五校联盟高三数学(理)2月联合考试试卷


河北省五校联盟 2012 届高三下学期 2 月联合考试数学(理)试卷

卷Ⅰ(选择题

共 60 分)

一.选择题(共 12 小题,每小题 5 分,计 60 分。在每小题给出的四个选项中,有且只有一个选项正确.) 1.已知复数 z = a + bi (a、b ? R ) , z 是 z 的共轭复数,且 z = (2 +

i )(3 - i ) 则 a、b 的值分别为 A. 7 , 1

B. 6 , 1

C. 7 , 1 -

D. 6 , 1

2.若方程 lnx + x - 4 = 0 在区间 (a, b)(a, b ? Z , 且 b - a = 1) 上有一根,则 a 的值为 A. 1 B.2 C.3 D.4

3.已知等差数列 {a n } 中, a 7 + a9 = 16 , s11 = A. 15 B.30
x

99 , 则 a12 的值是 2
C.31 D.64

4.已知命题 p : "x ? R , 3 > 0 ,则 A. ?p : $x ? R , 3 ? 0
x

B. ?p : "x ? R , 3 ? 0
x

C. ?p : $x ? R , 3 < 0
x

D. ?p : "x ? R , 3 < 0
x

5.已知直线 m, n 和平面 a , 则 m //n 的必要非充分条件是 A. m//a 且 n // a 6.二项式 ( x + A.第 7 项 B. m ^ a 且 n ^ a C. m//a 且 n ? a D. m, n 与 a 成等角

2 x

)12 展开式中的常数项是
B.第 8 项 C.第 9 项 D.第 10 项

7.某学生四次模拟考试时,其英语作文的减分情况如下表: 考试次数 x 所减分数 y 1 4.5 2 4 3 3 4 2.5

显然所减分数 y 与模拟考试次数 x 之间有较好的线性相关关系,则其线性回归 方程为 A. y = 0.7 x + 5.25 C. y = -0.7 x + 6.25 8. 将函数 f ( x) = 2 sin( 2 x B. y = -0.6 x + 5.25 D. y = -0.7 x + 5.25

p p ) 的图像向左平移 个单位,得到函数 g (x) 的 3 4

图像,则函数 g (x) 的一个单调递增区间是
1/8

A. [-

5p , 0] 24

B. [-

p p , 0] C. [0 , ] 3 3
否; 否;

D. [-

p p , ] 6 2
B. f(b)f(m)<0 D. f(b)f(m)<0 ; b=m; 是; ; b=m; 否; 否 是

9.右面是“二分法”解方程的流程图.在①~④处应填写的内容分别是 A. f(a)f(m)<0 C. f(b)f(m)<0 ; a=m; 是; ; m=b; 是;

10. 任取 k ? [- 3 ,

3 ] ,直线 y = kx + 3 与圆 ( x - 2) 2 + ( y - 3) 2 = 4 交 M、N 两点,则|MN| ? 2 3 的概率为
B.

A.

1 2

3 2

C.

1 3
2

D.

3 3

11.直线 l 的方向向量为 n = ( 4 , 3) 且过抛物线 x = 4 y 的焦点,则直线 l 与抛物线围成的封闭图形面积为 A.

85 8

B.

125 24

C.

125 12

D.

385 24

12.已知 P 是双曲线

x 2 y2 = 1 (b > 0) 上一点,F1、F2 是左右焦点,⊿P F1F2 的三边长成等差数列,且∠F1 P 4 b2

F2=120°,则双曲线的离心率等于 A.

3 5 7

B.

3 5 2

C.

2 7
共 90 分)

D.

7 2

卷Ⅱ(非选择题

二.填空题(共 4 小题,每小题 5 分,计 20 分) 13.已知函数 f ( x) 满足 f (1) =1 且 f ( x + 1) = 2 f ( x ) ,则

1

1

f (1) + f (2) + … + f (10) =___________。
14.若 f ( x) = 3 x + sinx ,则满足不等式 f (2m - 1) + f (3 - m) > 0 的m的取值范围 为 。
1

正视图 主视图

1

俯视图 俯视图

15.把边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起,形成三棱锥 C-ABD,它的主视图 与俯视图如右上图所示,则二面角 C-AB-D 的正切值为 16.如右图,在直角梯形 ABCD 中,AB//DC,AD⊥AB , AD=DC=2,AB=3,点 M 是梯形 ABCD 内或边界上的一个动点,点 N 是 DC 边的中点,则
D


N C M A B

uuuu uuur r AM × AN 的最大值是________
三.解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分。解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤。 ) 17.(本题满分 12 分)若 f ( x) =

3 cos 2 ax - sin ax cos ax (a > 0) 的图像与直线 y = m(m > 0) 相切,并且切

点横坐标依次成公差为 p 的等差数列.
2/8

(1)求 a 和 m 的值; (2) ⊿ABC 中, b、 分别是∠A、 a、 c ∠B、 ∠C 的对边。 ( 若 求⊿ABC 外接圆的面积。 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 75 80 85 90 95 100 分数

A 3 , ) 是函数 f (x) 图象的一个对称中心,且 a=4, 2 2
频率 组距

18.(本小题满分12分)某高校在2012年自主招生考试成绩中 随机抽取100名学生的笔试成绩,按成绩分组:第1组[75, 80),第2组[80,85),第3组[85,90),第4组[90,95),第5 组[95,100]得到的频率分布直方图如图所示. (1)分别求第3,4,5组的频率; (2) 若该校决定在笔试成绩较高的第3,4,5组中用分层抽 样抽取6名学生进入第二轮面试。

(ⅰ) 已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组,求学生甲和学生乙恰有一人进入第二轮面试的概率; (ⅱ) 学校决定在这已抽取到的6名学生中随机抽取2名学生接受考官L的面试,设第4组中有 x 名学生被考官L面 试,求 x 的分布列和数学期望.

19.(本小题满分 12 分)如图,四棱锥 P - ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边 形, AB = 2 AD = 2 , BD =

3 , PD ⊥底面 ABCD .

(1)证明:平面 PBC ^ 平面 PBD ; (2)若二面角 P - BC - D 为

p ,求 AP 与平面 PBC 所成角的正弦值。 6

20. (本小题满分 12 分)已知方向向量为 V = (1, 3 ) 的直线 l 过椭圆 C :

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 的焦点以及点(0, - 2 3 ) ,直线 l 与椭圆 C 交于 A 、B 两点, a2 b2

且 A、B 两点与另一焦点围成的三角形周长为 4 6 。 (1)求椭圆 C 的方程 (2)过左焦点 F1 且不与 x 轴垂直的直线 m 交椭圆于 M、N 两点, OM × ON = 点) ,求直线 m 的方程
3/8

4 6 ? 0 (O 坐标原 3 tan ?MON

21. (本小题满分 12 分)设函数 f ( x) = (1 + x ) -2 ln(1 + x )
2

(1)若关于 x 的不等式 f ( x) - m ? 0 在 [0 , e - 1] 有实数解,求实数 m 的取值范围; (2)设 g ( x) = f ( x) - x - 1 ,若关于 x 的方程 g ( x) = p 至少有一个解,求 p 的最小值.
2

(3)证明不等式: ln(n + 1) < 1 +

1 1 1 + +L+ 2 3 n

(n ? N * )

请考生在 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲.如图, CB 是⊙ O 的直径, AP 是⊙ O 的切线, AP 与 CB 的延长线交于点 P , A 为切点.若 PA = 10 , PB = 5 , ?BAC 的平分线 AE 与 BC 和⊙ O 分别交于点 D 、 E ,求 AD × AE 的值。 C 23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程选讲. 在极坐标系中, O 为极点, 半径为 2 的圆 C 的圆心的极坐标为 (2, (1) 求圆 C 的极坐标方程; ? O D E A

B

P

p ). 3

1 ì ?x = 1 + 2 t ? í (2) 在以极点 O 为原点,以极轴为 x 轴正半轴建立的直角坐标系中,直线 l 的参数方程为 ? 3 y = -2 + t ? 2 ?
为参数) ,直线 l 与圆 C 相交于 A,B 两点,已知定点 M (1 , - 2) ,求|MA|·|MB|。

(t

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设正有理数 x 是 2 的一个近似值,令 y = 1 + (Ⅰ)若 x >

1 . 1+ x

2 ,求证: y < 2 ;

(Ⅱ)比较 y 与 x 哪一个更接近于 2 ?

4/8

参考答案
一、选择题:CBAA DCDB 二、填空题:13. 1023 三、解答题: 17. 解: (1) f ( x) = BCBD 15.

14. m>-2

2

16. 6

3 cos 2 ax - sin ax cos ax =

3 p - sin( 2ax - ) ………………3 分 2 3 3 -1 < 0 2

由题意,函数 f (x) 的周期为 p ,且最大(或最小)值为 m ,而 m > 0 ,

所以, a = 1 , m =

3 +1 2

………… ……………………6 分

(2)∵(

A 3 , ) 是函数 f (x) 图象的一个对称中心 2 2

∴ sin( A -

p )=0 3

又因为 A 为⊿ABC 的内角,所以 A = ⊿ABC 中,设外接圆半径为 R, 则由正弦定理得: 2 R =

p 3

………… ……………………9 分

a = sin A
2

4 sin

p 3

=

8 3 , 3

即: R =

4 3 3

则⊿ABC 的外接圆面积 S = pR = 18. 解:(1)

16p 3

………… ……………………12 分

第三组的频率为0.06 ? 5=0.3; 第四组的频率为0.04 ? 5=0.2; ……………………3分

第五组的频率为0.02 ? 5=0.1.

(2)(ⅰ)设“学生甲和学生乙恰有一人进入第二轮面试”为事件A,第三组应有3人进入面试 则: P(A)=
1 2 C 2 × C 28 27 = 3 145 C30

……………………6分

(ⅱ)第四组应有2人进入面试,则随机变量 x 可能的取值为0,1,2.
i 2 C 2 C 4 -i 且 P (x = i ) = (i = 0、 2) ,则随机变量 x 的分布列为: 1、 2 C6

…………7分

x
P

0

1

2

2 5

8 15

1 15
5/8

Ex =

8 2 2 + = 15 15 3
2 2 2

……………………12分 ∴ BC ^ BD ∴ BC ^ 平面 PBD 又∵ PD ⊥底面 ABCD 而 BC ? 平面 PBC ∴ PD ^ BC

19. 解: (1)∵ CD = BC + BD 又∵ PD ? BD = D ∴平面 PBC ^ 平面 PBD

………………………………………5 分

(2)由(1)所证, BC ^ 平面 PBD ,所以∠ PBD 即为二面角P-BC-D的平面角,即∠ PBD = 而 BD =

p 6

3 ,所以 PD = 1

…………………………………………7分

分别以 DA 、 DB、 DP 为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系。 则 A(1,0,0) , B (0, 3 ,0) , C (-1, 3 ,0) , P (0,0,1) 所以, AP = (-1,0,1) , BC = (-1,0,0) , BP = (0,- 3 ,1) 设平面 PBC 的法向量为 n = ( a, b, c ) ,则 í

ìn · BC = 0 ? ? n · BP = 0 ? AP · n AP n =

即í

ì- a = 0 ?- 3b + c = 0 = 6 4

可解得 n = (0 , 1 , 3 )

∴ AP 与平面 PBC 所成角的正弦值为 sin q =

3 2 ×2

……………12 分

20.解: (1) l : y =

3x - 2 3

直线 l 与 x 轴交点即为椭圆的右焦点 F2 2 , 0) (

∴c=2

由已知⊿ F1 AB 周长为 4 6 ,则 4a= 4 6 ,即 a = 故椭圆方程为

6 ,所以 b = 2
………………………………4 分

x2 y2 + =1 6 2

(2)椭圆的左焦点为 F1 - 2 , 0) ( ,则直线 m 的方程可设为 y = k ( x + 2) 代入椭圆方程得: (3k + 1) x + 12k x + 12k - 6 = 0
2 2 2 2

设 M ( x1 , y1 ), N ( x 2 , y 2 ) , 则x1 + x 2 = -

12k 2 3k 2 + 1

x1 × x 2 =

12k 2 - 6 ………6 分 3k 2 + 1

∵ OM × ON =

4 6 4 6 cos ?MON =| OM | × | ON | cos ?MON ? 0 = 3 tan ?MON 3 sin ?MON 4 2 6 ,即 S DOMN = 6 3 3
……………9 分

所以,\ OM | × | ON | sin ?MON = |

2 6 (1 + k 2 ) 又 | MN |= 1 + k | x1 - x 2 |= 3k 2 + 1
2

6/8

原点 O 到 m 的距离 d =

| 2k | 1+ k 2

,则 S DOMN

1 = | MN | d = 2

6 (1 + k 2 ) | 2k | 2 × = 6 2 2 3 3k + 1 1+ k

解得 k = ±

3 3

\ m的方程y = ±
;

3 ( x + 2) 3

…… ……………………12 分

21. 解: (1)依题意得 f ( x) max ? m

Q f ?( x) = 2(1 + x) -

2 2 x( x + 2 ) = ,而函数 f (x) 的定义域为 ( -1 , + ?) 1+ x x +1

∴ f (x) 在 (-1 , 0) 上为减函数,在 (0 , + ?) 上为增函数,则 f (x) 在 [0 , e - 1] 上为增函数

\ f ( x) max = f (e - 1) = e 2 - 2 ,即实数 m 的取值范围为 m ? e 2 - 2
(2) g ( x) = f ( x) - x - 1 = 2 x - 2 ln(1 + x) = 2 [ x - ln(1 + x)]
2

……………4 分

则 g ?( x ) = 2(1 -

1 2x )= 1+ x 1+ x

显然,函数 g ( x) 在 (-1 , 0) 上为减函数,在 (0 , + ?) 上为增函数,则函数 g ( x) 的最小值为 g (0) = 0 所以,要使方程 g ( x) = p 至少有一个解,则 p ? 0 ,即 p 的最小值为 0 (3)由(2)可知: g ( x) = 2 [ x - ln(1 + x )] ? 0 在 ( -1 , + ?) 上恒成立 所以 令x = …………8 分

ln(1 + x) ? x ,当且仅当 x=0 时等号成立

1 1 1 (n ? N * ) ,则 x ? (0 , 1) 代入上面不等式得: ln(1 + ) < n n n n +1 1 1 即 ln < , 即 ln(n + 1) - ln n < n n n 1 1 1 所以, ln 2 - ln 1 < 1 , ln 3 - ln 2 < , ln 4 - ln 3 < ,…, ln(n + 1) - ln n < 2 3 n 1 1 1 将以上 n 个等式相加即可得到: ln(n + 1) < 1 + + + L + …………12 分 2 3 n
22. 证明: 连结 CE , PA 2 = PB × PC , = 10 , = 5 , PC = 20 , = 15 . Q PA PB \ BC 又

Q PA 与⊙ O 相切于点 A ,\ ?PAB = ?ACP ,

A

\ DPAB ∽ DPCA ,则

AB PB 1 = = . AC PA 2

………………4 分 C ? O D B P

Q BC 为⊙ O 的直径,\ ?CAB = 90° , AC 2 + AB 2 = BC 2 = 225 .
可解得 AC = 6 5 , AB = 3 5 .……6 分 又Q AE 平分 ?BAC ,\ ?CAE = ?EAB , 又Q ?ABC = ?E ,\ DACE ∽ DADB ,

E

\

AB AD = AE AC
7/8

AD × AE = AB × AC = 3 5 ? 6 5 = 90
23. 解: (1)设 P ( r , q ) 是圆上任意一点,

…………………………………10 分

则在等腰三角形 COP 中,OC=2,OP= r , ?COP =| q 所以, r = 4 cos(q -

p ) 即为所求的圆 C 的极坐标方程。 3
2 2

p 1 | ,而 | OP |=| OC | cos?COP 3 2
……………………5 分
2 2

(2)圆 C 的直角坐标方程为 (x - 1) + ( y - 3 ) = 4 ,即: x + y - 2 x - 2 3 y = 0

1 ì ?x = 1 + 2 t ? í 将直线 l 的参数方程 ? 3 ? y = -2 + 2 t ?

(t 为参数)代入圆 C 的方程得:

t 2 - (3 + 2 3 )t + 3 + 4 3 = 0 ,其两根 t1、t 2 满足 t1 × t 2 = 3 + 4 3
所以,|MA|·|MB| =| t1 × t 2 |= 3 + 4 3 24. 解: (1)因为 y - 2 = 1 + 所以, y < (2) | y ………………10 分

1 2 + x - 2 - 2 x ( x - 2 )(1 - 2 ) - 2 = = <0 1+ x 1+ x 1+ x
……………………………………4 分

2

2 | - | x - 2 |= |

( x - 2 )(1 - 2 ) 2 -2- x | - | x - 2 | =| x - 2 | ( ) 1+ x 1+ x


∵ 2 - 2 < 0, x > 0 ∴| y 即| y -

2 -2- x < 0 ,而 | x - 2 |> 0 1+ x

2 | - | x - 2 |< 0 2 |<| x - 2 |
……………………………………10 分

所以 y 比 x 更接近于 2 .

8/8


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