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2012年温州摇篮杯数学竞赛试题


2012 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题 2012 年 4 月 15 日
本卷满分为 150 分,考试时间为 120 分钟
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。 1. 从 n 名男生和 2 名女生中, 任选 2 人参加英语口语比赛, 若 2 人中至少有 1 名男生的概率为 则 n 的值为 A. 3 ( B.4 C.5 D. 6

▲ )

14 , 15

2.将向量 a ? (3, 4) 按向量 b ? (1, 2) 平移得到向量 c ,则 | c |? A. 2 2 3.对任意 ? ? ? 0, B. 2 13 C. 5 D. 5

?

?

?

?

(

▲ )

? ?

??

? ,下列不等式正确的是 2?
B. tan ? tan ? ? ? tan ? D. cos ? tan ? ? ? cos?

(

▲ )

A. tan ? cos? ? ? tan ? C. cos? ? tan ? cos? ?

4), C(2, k ) ,若 ? B 为锐角,则实数 k 的取值范围是( 4.在 ?ABC 中, A(1, 2), B(3,
A. k ? 5 B. k ? 5 C. 3 ? k ? 5 D . k ? 3或3 ? k ? 5

▲ )

5.已知函数 f ( x ) 满足 f (1) ? 2 , f ( x ? 1) ? 的值为 A. 3

1 ? f ( x) ( x ? N *) ,则 f (1) ? f (2) ? f (3) ?   ?  ? f (2012) 1 ? f ( x)
( ▲ ) D . ?6

B.2

C. 1

? ? 2 2 6. 已知 A 为 ?ABC 的最小内角, 若向量 a ? (cos A,sin A), b ? (
的取值范围是 A. (??, )

? ? 1 1 , ), 则 a ?b cos 2 A ? 1 sin 2 A ? 2
( ▲ )

1 2

B. ( ?1, )

1 2

C. [ ?

2 1 , ) 5 2

D. [? , ??)

2 5

? x3 ? 12 x ?8 y ? 0 ? 7.已知 x, y ? R ,且 ? 3 x ,则在平面直角坐标系中,点 ( x, y ) 对应的轨迹图 x ?sin ?3sin ? y ?0 ? 2 2
形为 A.一个点 8.函数 f ( x) ? B .两个点 C.三个点 ( ▲ )

D .除 A、 B 、 C 外的其他图形 ( ▲ )

x2 ? 2lg 2 x ? x ? lg x ?1( x ? 0) 的最小值是 8

A . ?1
n

B. 0

C. 1

D .不存在

9.定义

?x
k ?1

k

? x1 ? x2 ? x3 ?   ???   ? xn ,则

? (1 ? cos 2k ?)
k ?1

89

? sin 2k ?
k ?1

89

的值为

(

▲ )

A . ?1

B. 1

C . ?89

D . 89

10.若函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x ? 1) ? f ( x) ,有以下命题: ①函数 f ( x ) 可以为一次函数; ②函数 f ( x ) 的最小正周期为 6; ③若函数 f ( x ) 为奇函数且 f (1) ? 0 ,则在区间 [?5,5] 上至少有 11 个解; ④若 ?、? ? R 且 ? ? 0 ,则当且仅当 ? ? 2k? ? 知条件. 其中错误 的是 .. A.①② B.③④ C.①②③ D.①②④
开 始

?
3

(k ? Z ) 时,函数 f ( x) ? cos(? x ? ? ) 满足已
( ▲ )

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 7 分,共 49 分。 11.如图执行右面的程序框图,那么输出的 s 值为 ▲ 12 .函数 f ( x) ?| sin x | ? cos x ? sin x? | cos x | 的值域 是 ▲ . 13.美籍华人林书豪现已成为家喻户晓的 NBA 篮球明星, 下图是他在职业生涯前 8 场首发得分的茎叶统计图, 这些数据的平均值和方差分别为 ▲ . 3 2 1 8 8 3 0 7 6 8 0
(13 题图)



s ? 0, k ? 1



k ? 99?

s?s? 1 k (k ? 1)
输出s

k ? k ?1

结 束

1 ? ? 14.设集合 A ? ? x ? 8x ? 2012? 和B ? x log 2 ? x 2 ? ? x ?? ? 2 , ? 2012 ? 其中符号 ?x ? 表示不大于 x 的最大整数,则 A ? B ? ▲ . 4 4 ? 5sin 2 x 的解集为 ▲ . 15.方程 sin x ? 4 sin x
16.函数 f ( x) ? 2 x 4 ? 3x 2 ? 1 ? x 4 ? 2 x 2 的最小值为
x 2 2 x

?

?

(11 题图)



. ▲ .

17.对于一切实数 x ,不等式 2 ? cos ? ? 2 x ? cos ? ? x ? 2 恒成立,则 ? 的取值范围是

2012 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛答题卷
2012 年 4 月 15 日 本卷满分为 150 分,考试时间为 120 分钟
题号 得分 一 二 三 18 19 20 总分

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.

得分

评卷人

题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 7 分,共 49 分.

得分

评卷人

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

三、解答题:本大题共 3 小题,共 51 分. 18.(本题满分 16 分)已知关于 x 的方程 2 x ? bx ?
2

? 3? cos ? ,? ? ( , ) . 4 4 (Ⅰ)求实数 b 的值; sin ? 1 ? cos ? ? (Ⅱ)求 的值. 1 ? cos ? sin ?
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1 ? 0 的两根为 sin ? 和 4

得分

评卷人

19.(本题满分 17 分)设 a 为实数,函数 f ( x) ? (Ⅰ)当 a ? 1 时,判断 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)求 f ( x ) 的值域; (Ⅲ)求实数 a 的范围,使得对于区间 ?

1 ? x2 1 ? x2 . ? a 1 ? x2 1 ? x2

得分

评卷人

? 15 2 5 ? , ? 上的任意三个实数 r、s、t ,都存在以 5 ? ? 5

f (r )、f (s)、f (t ) 为边长的三角形.

20. (本题满分 18 分)函数 f ( x ) 的定义域为 R ,且满足: ①对于任意的 x, y ? R , f ( x ? y ? 1) ? f ( x) f ( y) ? f (1 ? x) f (1 ? y) ; ② f ( x ) 在区间 [0,1] 上单调递增.
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得分

评卷人

求不等式 2 f ( x ? 1) ? 1 ? 0 的解集.

2012 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。 1. 从 n 名男生和 2 名女生中, 任选 2 人参加英语口语比赛, 若 2 人中至少有 1 名男生的概率为 则 n 的值为 A. 3 【答案】B 【解析】 1 ? ( B.4
2 C2 14 ? ?n?4. 2 Cn?2 15

14 , 15

▲ )

C.5

D. 6

2.将向量 a ? (3, 4) 按向量 b ? (1, 2) 平移得到向量 c ,则 | c |? A. 2 2 【答案】C 【解析】由向量平移的不变性可知 c ? (3, 4) ,? | c |? 5 . 3.对任意 ? ? ? 0, B. 2 13 C. 5 D. 5

?

?

?

?

(

▲ )

?

?

? ?

??

? ,下列不等式正确的是 2?
B. tan ? tan ? ? ? tan ? D. cos ? tan ? ? ? cos?

(

▲ )

A. tan ? cos? ? ? tan ? C. cos? ? tan ? cos? ? 【答案】C 【解析】取 ? =

? ? 1 ? ,由 cos ? ? 知 A 错误; 3 3 2 3 取 tan ? ? 2 ,由 tan 2 ? 0 ? 2 知 B 错误; ? ? ? 取 ? = ,由 tan ? 1 ? 知 D 错误; 4 4 4
由 tan ? ? ? ? 0 ? ? ?

? ?

??

? 知 C 正确. 2?
▲ )

4), C(2, k ) ,若 ? B 为锐角,则实数 k 的取值范围是( 4.在 ?ABC 中, A(1, 2), B(3,
A. k ? 5 【答案】D B. k ? 5 C. 3 ? k ? 5 D . k ? 3或3 ? k ? 5

【解析】? ?B 为锐角,? AB ? BC ? 0 且 A、B、C 三点不共线,解得 k ? 3或3 ? k ? 5 .

??? ? ??? ?

5.已知函数 f ( x ) 满足 f (1) ? 2 , f ( x ? 1) ? 的值为 A. 3 【答案】C

1 ? f ( x) ( x ? N *) ,则 f (1) ? f (2) ? f (3) ?   ?  ? f (2012) 1 ? f ( x)
( ▲ ) D . ?6

B.2

C. 1

【解析】分别求出 f (2) ? ?3 、 f (3) ? ?

1 1 、 f (4) ? 、 f (5) ? 2 , 2 3

可以发现 f (5) ? f (1) ,且 f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? 1 ,

?  ? f (2012) ? 1. 故 f (1) ? f (2) ? f (3) ?  
【另解】由 f ( x ? 1) ?

1 ? f ( x) ( x ? N *) ,联想到两角和的正切公式, 1 ? f ( x)

设 f (1) ? 2 ? tan ? ,则有 f (2) ? tan ?

?? ? ?? ? ? ? ? , f (3) ? tan ? ? ? ? , ?4 ? ?2 ?

? 3? ? f (4) ? tan ? ? ? ? , f (5) ? tan ?? ? ? ? ? a1 ,… ? 4 ?
?  ? f (2012) ? 1. 则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? 1 ,故 f (1) ? f (2) ? f (3) ?  
6. 已知 A 为 ?ABC 的最小内角, 若向量 a ? (cos A,sin A), b ? (
2 2

?

?

? ? 1 1 , ), 则 a ?b cos 2 A ? 1 sin 2 A ? 2
( ▲ )

的取值范围是 A. (??, ) 【答案】C

1 2

B. ( ?1, )

1 2

C. [ ?

2 1 , ) 5 2

D. [? , ??)

2 5

? ? cos 2 A sin 2 A cos 2 A ? sin 2 A 1 ? tan 2 A 3 ? 2 ? ? ? ?1 , 【解析】 a ? b ? 2 2 2 2 2 cos A ? 1 sin A ? 2 2cos A ? sin A 2 ? tan A tan A ? 2

? ? ? ? 2 1 ? ? ? A ? (0, ] ? ? tan A ? (0, 3]? a ? b ? [? , ) . 3 ? 5 2 ?

? x3 ? 12 x ?8 y ? 0 ? 7.已知 x, y ? R ,且 ? 3 x ,则在平面直角坐标系中,点 ( x, y ) 对应的轨迹图 x ?sin ?3sin ? y ?0 ? 2 2
形为 A.一个点 B .两个点 C.三个点 ( ▲ )

D .除 A、 B 、 C 外的其他图形

【答案】A 【解析】 x3 ? 12x ? 8 y ? 0 变形为 ?

x x x ? x? ? x? 3 x ? ? 3 ? ? y ? 0 ,则 ? ? ? 3 ? ? sin ? 3sin , 2 2 2 2 ?2? ?2?
x x ? , 2 2

3

3

构造函数 f ( x) ? x3 ? x ,则 f ( x ) 在 R 单调递增,从而 sin

? x ? 0 ,? y ? 0 ,从而点 ( x, y ) 对应的轨迹图形为一个点.

x2 ? 2lg 2 x ? x ? lg x ?1( x ? 0) 的最小值是 8.函数 f ( x) ? 8
A . ?1 【答案】A B. 0 C. 1 D .不存在

(

▲ )

【解析】由于 f ( x) ?

x2 1 ? 2lg 2 x ? x ? lg x ? 1 ? ( x ? 4lg x) 2 ? 1 ? ?1 , 8 8

且直线 y ? ? x 与 y ? 4lg x 的图像有交点,∴函数的最小值为 ?1 .

9.定义

?x
k ?1

n

k

? x1 ? x2 ? x3 ?   ???   ? xn ,则

? (1 ? cos 2k ?)
k ?1

89

? sin 2k ?
k ?1

89

的值为

(

▲ )

A . ?1 【答案】B
89

B. 1

C . ?89

D . 89

? (1 ? cos 2k ?)
【解析】
k ?1

? sin 2k ?
k ?1

89

??

1 ? cos 2k ? 89 ? ? tan k ? ? 1 . sin 2k ? k ?1 k ?1
89

10.若函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x ? 1) ? f ( x) ,有以下命题: ①函数 f ( x ) 可以为一次函数; ②函数 f ( x ) 的最小正周期为 6; ③若函数 f ( x ) 为奇函数且 f (1) ? 0 ,则在区间 [?5,5] 上至少有 11 个解; ④若 ?、? ? R 且 ? ? 0 ,则当且仅当 ? ? 2k? ? 知条件. 其中错误 的是 .. A.①② B .③④ C .①②③ D .①②④

?
3

(k ? Z ) 时,函数 f ( x) ? cos(? x ? ? ) 满足已
( ▲ )

【答案】D 【解析】由 f ( x ? 2) ? f ( x ? 1) ? f ( x) ,可得 f ( x ? 3) ? f ( x ? 2) ? f ( x ? 1) ? ? f ( x) ,

? f ( x ? 6) ? f ( x) ,? f ( x) 的周期 T ? 6 ,从而①错误;
若 f ( x) ? 0 ,则 f ( x ) 的周期为任意非零实数,从而②错误; 对于③, f (0) ? 0, f (1) ? 0 ? f (2) ? 0 ? f (3) ? 0 ? f (4) ? 0 ? f (5) ? 0 , 又 f ( x ) 为奇函数,所以 f ( x ) 在区间 [?5,5] 上至少有 11 个解,从而③正确; 对于④,当 ? ? 2k? ?

?
3

(k ? Z ) 时,函数也符合已知条件,从而④错误.
开 始

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 7 分,共 49 分。 11.如图执行右面的程序框图,那么输出的 s 值为 ▲ 【答案】


s ? 0, k ? 1

99 100 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 99 ?100 1 1 1 1 1 99 ? 1 ? ? ? ? ??? ? ? ? . 2 2 3 99 100 100

【解析】 s ?



k ? 99?

s?s? 1 k (k ? 1)
输出s

12 .函数 f ( x) ?| sin x | ? cos x ? sin x? | cos x | 的值域 是 ▲ .

【答案】 [?1,1] 【解析】由函数 f ( x) ?| sin x | ? cos x ? sin x? | cos x | 得:

k ? k ?1

结 束

(11 题图)

当x的终边落在第一象限时,有f (x)=sin2x∈(0,1]; 当x的终边落在第二象限时,有f (x)=0; 当x的终边落在第三象限时,有f (x)= ? sin2x∈[ ? 1,0); 当x的终边落在第四象限时,有f (x)=0; 当x的终边落在两个坐标轴上时,有f (x)=0. 综上所述, f (x)的值域是 [?1,1] . 13.美籍华人林书豪现已成为家喻户晓的 NBA 篮球明星, 下图是他在职业生涯前 8 场首发得分的茎叶统计图, 这些数据的平均值和方差分别为 ▲ . 3 2 1 8 8 3 0 7 6 8 0
(13 题图)

【答案】25,

223 4

【解析】平均值 x ? 方差 s ?
2

38 ? 28 ? 23 ? 20 ? 27 ? 26 ? 28 ? 10 ? 25 , 8

1 ?(38 ? 25) 2 ? (28 ? 25) 2 ? (23 ? 25) 2 ? (20 ? 25) 2 ? (27 ? 25) 2 8? 223 ?(26 ? 25) 2 ? (28 ? 25)2 ? (10 ? 25)2 ? ?? 4 . 1 ? ? 14.设集合 A ? ? x ? 8x ? 2012? 和B ? x log 2 ? x 2 ? ? x ?? ? 2 ,其中符号 ?x ? 表示不大于 ? 2012 ? x 的最大整数,则 A ? B ? ▲ .

?

?

【答案】 ? 2, 6 【解析】∵

?

?

1 ? 8 x ? 2012 , ?x ? 的值可取 ?3, ?2, ?1,0,1,1, 2,3 . 2012 2 2 当[x]= ?3 ,则 x ? 1 ,无解; 当[x]= ?2 ,则 x ? 2 ,∴x= ? 2 ; 2 2 当[x]= ? 1 ,则 x ? 3 ,无解; 当[x]=0,则 x ? 4 ,无解. 2 2 当[x]=1,则 x ? 5 ,无解; 当[x]=2,则 x ? 6 ,∴x= 6 ; 2 当[x]=3,则 x ? 7 ,无解.
综上 A ? B ? ? 2, 6 .

?

?

15.方程 sin x ?
4

4 ? 5sin 2 x 的解集为 sin 4 x





【答案】 ? x | x ? k? ?

? ?

?

? ,k ?Z? 2 ?

【解析】令 t ? sin 2 x ?[0,1] ,则 t 4 ? 5t 3 ? 4 ? 0 ? (t ?1)(t 3 ? 4t 2 ? 4t ? 4) ? 0 ,

? t ? 1 或 t 3 ? 4t 2 ? 4t ? 4 ? 0 , 3 2 令 g (t ) ? t ? 4t ? 4t ? 4(0 ? t ? 1) ,可以证明 g (t ) 在区间 [0,1] 上为减函数, 而 g (0) ? ?4 ? 0 ,? g (t ) ? 0 ,
2 综上 sin x ? 1 ,? x ? k? ?

?
2

(k ? Z ) ,

【另解】? sin x ?
4

4 ? 5,5sin 2 x ? 5 (两式取等条件相同) , sin 4 x 4 ? ? sin 4 x ? 4 ? 5sin 2 x ? 5 ,?sin 2 x ? 1 ,? x ? k? ? (k ? Z ) , sin x 2 ? ? ? ? 原方程的解集为 ? x | x ? k? ? , k ? Z ? . 2 ? ?
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16.函数 f ( x) ? 2 x 4 ? 3x 2 ? 1 ? x 4 ? 2 x 2 的最小值为 【答案】1





【解析】先求定义域 (??,- 2] ? [ 2, ??) ?{0} ,易得 f (? x) ? f ( x) ,故 f ( x ) 为偶函数,

从而只需考虑 f ( x ) 在 [ 2, ??) ?{0}上的最小值, 注意到两个根号内的函数在 [ 2, ??) 上都递增,故 f ( x ) 在 [ 2, ??) 上递增, 故 ymin ? min{ f (0), f ( 2)} ? 1.当 x ? 0 时取到最小值. 17.对于一切实数 x ,不等式 2 ? cos ? ? 2 x ? cos ? ? x ? 2 恒成立,则 ? 的取值范围是
x 2 2 x

▲ .

【答案】 2k? ?
x

2? 4? ? ? ? 2 k? ? ,k ?Z 3 3
2 2 x

【解析】 2 ? cos ? ? 2 x ? cos ? ? x ? 2 恒成立 ? 2x (cos? ? 1) ? x2 (2cos ? ? 1) 恒成立, 当 cos ? ? ?1 时,显然符合题意; 当 cos ? ? ?1 时,若 x ? 0 ,显然成立; 当 cos ? ? ?1 时,若 x ? 0 ,则原命题 ?

2 x 2cos ? ? 1 ? 恒成立, x2 cos ? ? 1



2 cos ? ? 1 1 2x 2x ? 0 ,??1 ? cos ? ? ? , ? 0 ,? ? 0 ,且当 时, x ??? 2 2 cos ? ? 1 2 x x

从而 ?1 ? cos ? ? ?

1 2? 4? ? ? ? 2 k? ? ,k ?Z . ,解得 2k? ? 2 3 3
2

三、解答题:本大题共 3 小题,共 51 分. 18.(本题满分 16 分)已知关于 x 的方程 2 x ? bx ? (Ⅰ)求实数 b 的值; (Ⅱ)求

1 ? 3? ? 0 的两根为 sin ? 和 cos ? ,? ? ( , ) . 4 4 4

sin ? 1 ? cos ? ? 的值. 1 ? cos ? sin ?
2

解: (Ⅰ)? sin ? , cos ? 为方程 2 x ? bx ?

1 ? 0 的两根, 4

? ?? ? b 2 ? 2 ? 0   ? (1) ? b ? 则有: ?sin ? ? cos ? ?   ? (2) , 2 ? 1 ? sin ? ? cos ? ?   ? (3) ? 8 ?
由(2) 、 (3)有:

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b2 1 ? 1? , 4 4

解得: b ? ? 5 ,此时 ? ? 5 ? 2 ? 0 ,

2 sin(? ? ) ? 0 ,? b ? 5 ; 4 sin ? 1 ? cos ? 1 ? sin ? ? cos ? ? ? ? (Ⅱ)? 且 sin ? ? cos ? ? 2 sin(? ? ) ? 0 , 1 ? cos ? sin ? 1 ? sin ? ? cos ? 4

又 sin ? ? cos ? ?

?

? sin ? ? cos ? ?

3 sin ? 1 ? cos ? 1 ? sin ? ? cos ? 2 5 ? 4 . ? ? ? 2? ? 2 1 ? cos ? sin ? 1 ? sin ? ? cos? 2? 3

19.(本题满分 17 分)设 a 为实数,函数 f ( x) ? (Ⅰ)当 a ? 1 时,判断 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)求实数 a 的范围,使得对于区间 ? ?

1 ? x2 1 ? x2 . ? a 1 ? x2 1 ? x2

? 2 5 2 5? , ? 上的任意三个实数 r、s、t ,都存在以 5 ? ? 5

f ( r )、f ( s)、 f (t )为边长的三角形.
解:易知 f ( x ) 的定义域为 (?1,1) ,且 f ( x ) 为偶函数.

(Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ?

1 ? x2 1 ? x2 , ? 1 ? x2 1 ? x2

令t ?

1 ? x2 2 ? ?1 , 2 1? x 1 ? x2

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则关于 x 的函数 t 在 (?1, 0) 上单调递增,在 (0,1) 上单调递减, 又定义域为 (?1,1) ,? t ? (0,1] ,而 y ? t ? 在 (0,1] 上单调递减, 由复合函数的单调性可知, f ( x ) 在 (?1, 0) 上单调递减,在 (0,1) 上单调递增; (Ⅱ) t ?

1 t

? 2 5 2 5? a 1 1 1 ? x2 , ,? x ? ? ? ? ,? t ? [ ,1] ,? y ? t ? ( ? t ? 1) 2 t 3 5 ? 3 1? x ? 5
1 3

从而原问题等价于求实数 a 的范围,使得在区间 [ ,1] 上,恒有 2 ymin ? ymax . (1)当 a ? 0 时, y ? t ( ? t ? 1) ,? ymin ? (2)当 0 ? a ?

1 3

1 , ymax ? 1,? 2 ymin ? ymax ,不符合题意; 3

? ymin

1 a 1 时, y ? t ? 在 [ ,1] 上单调递增, 9 t 3 1 1 1 1 ? 3a ? , ymax ? a ? 1, 由 2 ymin ? ymax 得 a ? ,从而 ? a ? ; 3 15 15 9

1 1 a 1 ? a ? 时, y ? t ? 在 [ , a ] 上单调递减,在 [ a ,1] 上单调递增, 9 3 t 3 1 ? ymin ? 2 a , ymax ? max{3a ? , a ? 1} ? a ? 1 , 3 1 1 由 2 ymin ? ymax 得 7 ? 4 3 ? a ? 7 ? 4 3 ,从而 ? a ? ; 9 3 1 a 1 (4)当 ? a ? 1 时, y ? t ? 在 [ , a ] 上单调递减,在 [ a ,1] 上单调递增, 3 t 3 1 1 ? ymin ? 2 a , ymax ? max{3a ? , a ? 1} ? 3a ? , 3 3
(3)当 由 2 ymin ? ymax 得

1 7?4 3 7?4 3 ,从而 ? a ? 1 ; ?a? 3 9 9

a 1 在 [ ,1] 上单调递减, t 3 1 5 5 ? ymin ? a ? 1, ymax ? 3a ? , 由 2 ymin ? ymax 得 a ? ,从而 1 ? a ? ; 3 3 3 a 1 (6)当 a ? 0 时, y ? t ? 在 [ ,1] 上单调递增, t 3 1 1 ? ymin ? 3a ? , ymax ? a ? 1, 由 2 ymin ? ymax 得 a ? ,从而 a 不存在; 3 15 1 5 ?a? . 综上, 15 3
(5)当 a ? 1 时, y ? t ? 20. (本题满分 18 分)函数 f ( x ) 的定义域为 R ,且满足: ①对于任意的 x, y ? R , f ( x ? y ? 1) ? f ( x) f ( y) ? f (1 ? x) f (1 ? y) ; ② f ( x ) 在区间 [0,1] 上单调递增.
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求不等式 2 f ( x ? 1) ? 1 ? 0 的解集. 解:首先证明 f (1) ? 1 . 令 x ? 0, y ? 1 ,则 f (0) ? 2 f (0) f (1) ,所以 f (0) ? 0 或 f (1) ? 令 x ? 0, y ? 0 ,则 f (1) ? [ f (0)]2 ? [ f (1)]2 ,令 x ? y ? 若 f (1) ?
1 1 ,则 f (0) ? ? , 2 2 1 , 2

1 1 ,则 f (1) ? 2[ f ( )]2 , 2 2

1 因为 f ( x) 在 [0,1] 上单调递增,所以 f (0) ? f ( ) ? f (1) ,矛盾! 2

因此 f (0) ? 0 , f (1) ? [ f (1)]2 , f (1) ? 1 . 令 y ? 0 ,则 f ( x ? 1) ? f ( x) f (0) ? f (1 ? x) f (1) ? f (1 ? x) .

再证 f (?1) ? ?1 , 令x?
1 3 1 3 1 1 , y ? ,所以 f (0) ? f ( ) f ( ) ? f ( ) f (? ) , 2 2 2 2 2 2

1 1 3 1 因为 f ( ) ? f (0) ? 0 ,所以 f (? ) ? ? f ( ) ? ? f ( ) , 2 2 2 2 令 y ? 2 ,有 f ( x ? 1) ? f ( x) f (2) ? f (1 ? x) f (?1) , 1 1 1 ,则 f (? ) ? f ( ) f (?1) ,所以 f (?1) ? ?1 . 2 2 2 所以对任意的 x ? R ,恒有 f ( x ? 1) ? ? f (1 ? x) ,

对上式令 x ?

即对任意的 x ? R ,恒有 f (? x) ? ? f ( x) ,所以 f ( x) 是奇函数. 对于任意 x ? R , f ( x) ? f (2 ? x) ? ? f ( x ? 2) ? ? f (4 ? x) ? f ( x ? 4) , 从而 f ( x) 的最小正周期为 4 .
1 2 1 2 2 1 1 令 x ? y ? , f ( ) ? 2 f ( ) f ( ) ,因为 f ( ) ? f (0) ? 0 ,所以 f ( ) ? , 3 3 3 3 3 3 2 5 1 1 5 根据图像 f ( ) ? ,所以 2 f ( x ? 1) ? 1 ? 0 得到 ? 4k ? x ? 1 ? ? 4k , k ? Z , 3 2 3 3 2 2 所以不等式的解集是 {x | 4k ? ? x ? 4k ? , k ? Z} . 3 3
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