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椭圆测试题


枣庄市实验高中学 2014-2015 学年度高二文科 选修 1-1 第二章:椭圆自主测试
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.椭圆 x2+my2=1 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则 m 的值为( A. )

x2 y2 2.若椭圆 + 2=1 过点(-2, 3),则其焦距为( ) 16 m A.2 3 B.2 5 C.4 3 D.4 5 3.椭圆 kx2+(k+2)y2=k 的焦点在 y 轴上,则 k 的取值范围是( ) A.k>-2 B.k<-2 C.k>0 D.k<0 4. ,“m>n>0”是“方程 mx2+ny2=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.矩形 ABCD 中,|AB|=4,|BC|=3,则以 A、B 为焦点,且过 C、D 两点的椭圆的短轴的长为( A.2 3 B.2 6 C.4 2 D.4 3 6.已知椭圆

1 4

B.

1 2

C. 2

D.4

)

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左焦点为 F,右顶点为 A,点 B 在椭圆上,且 BF⊥x 轴, 直线 AB 交 y a 2 b2 轴于点 P.若 AP ? 2 PB ,则椭圆的离心率是( )
A.

3 2

B.

2 2

C.

1 3

D.

1 2

7.在平面直角坐标系 xOy 中,已知△ABC 顶点 A(-4,0)和 C(4,0) ,顶点 B 在椭圆 则

sin A ? sin C =( ) sin B 3 2 4 5 A. B. C. D. 4 3 5 4 2 2 1 x y 8.设椭圆 2 ? 2 ? 1 ,(m>0,n>0)的右焦点与抛物线 y2=8x 的焦点相同,离心率为 ,则此椭圆的方程为 2 m n 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y2 ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? ?1 A. B. C. D. 12 16 16 12 48 64 64 48 x2 y 2 9、过椭圆 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P,F2 为右焦点,若∠ F1PF2=60° ,则椭 a b
圆的离心率为( 2 A. 2 ) B. 3 3 1 C. 2 1 D. 3

x2 y 2 ? ? 1 上, 25 9

x2 ? y 2 ? 1的离心率为 10.已知实数 4,m, 9 构成一个等比数列,则圆锥曲线 m 5 30 30 A. B. 7 C. 或 7 D. 或7 6 6 6 11.长为 3 的线段 AB 的端点 A、B 分别在 x 轴、y 轴上移动, AC =2 CB ,则点 C 的轨迹是(
A.线段 B.圆 C.椭圆 D.双曲线 12.如图,有公共左顶点和公共左焦点 F 的椭圆Ⅰ 与Ⅱ 的长半轴 的长分别为 A1 和 A2,半焦距分别为 c1 和 c2,且椭圆Ⅱ 的右顶 点为椭圆Ⅰ 的中心.则下列结论不正确的是 ( ) A . A1 + c1>A2 + c2 B . A1 - c1 = A2 - c2 C . A1c2<A2c1

)

D.A1c2>A2c1
1

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13.如果 x 2 ? ky 2 ? 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是 14.与椭圆 9x2 ? 4 y 2 ? 36 有相同的焦点,且短轴长为 4 5 的椭圆方程是 15.已知 . .

1 2 x y ? ? 1 (m>0, n>0,),则当 mn 取得最小值时,椭圆 2 ? 2 ? 1 的离心率是 m n m n
,则动点 P 的轨迹为双曲线;

2

2

16.以下同个关于圆锥曲线的命题中 ① 设 A、B 为两个定点,k 为非零常数, | PA | ? | PB |? k

② 过定圆 C 上一定点 A 作圆的动弦 AB,O 为坐标原点,若 OP ? ③ 方程 2x2-5x+2=0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;

1 (OA ? OB) 则动点 P 的轨迹为椭圆; 2

x2 y 2 x2 ? ? 1 与椭圆 ? y 2 ? 1 有相同的焦点. ④ 双曲线 25 9 35
其中真命题的序号为 一、选择题答案(每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 二、填空题答案(每小题 4 分,共 16 分) (13) (15) (14) (16) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 .(写出所有真命题的序号)

三、解答题(写出必要的文字和步骤,只给出结果不得分)

x2 ? y 2 ? 1上任意一点,F1,F2 是椭圆的两个焦点,求: 4 2 2 (1) PF (2) PF1 ? PF2 的最小值. 1 ? PF 2 的最大值;
17、 (满分 12 分)已知 P 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1 过左焦点的直线 l 的倾角为 45 与椭圆相交于 A,B 两点 18、 (满分 12 分)已知椭圆 3 2 (1)求 AB 的中点坐标; (2)求 ?ABF2 的周长与面积

2

19、 (满分 12 分)已知动点 P 与平面上两定点 A(? 2,0), B( 2,0) 连线的斜率的积为定值 ? (Ⅰ )试求动点 P 的轨迹方程 C. (Ⅱ )设直线 l : y ? kx ? 1 与曲线 C 交于 M、N 两点,当|MN|=

1 . 2

4 2 时,求直线 l 的方程. 3

20、 (满分 12 分)已知椭圆中心在原点,焦点在 y 轴上,焦距为 4,离心率为

2 . 3

(I)求椭圆方程; (II)设椭圆在 y 轴的正半轴上的焦点为 M,又点 A 和点 B 在椭圆上,且 AM ? 2MB , 求线段 AB 所在直线的方程.

3

21、 (满分 12 分)已知椭圆 M 的对称轴为坐标轴,且(0, ? 2 )是椭圆 M 的一个焦点,又点 A(1, 2 )在椭圆 M 上. (Ⅰ )求椭圆 M 的方程; (Ⅱ )已知直线 l 的斜率是 2 ,若直线 l 与椭圆 M 交于 B、C 两点,求 ? ABC 面积的最大值.

22、 (满分 14 分)己知椭圆 C :

x2 y 2 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 旳离心率 e = ,左、.右焦点分别为 F1,F2,点., P(2, 2 a b 2

3 ),点 F2 在线段 PF1 的中垂线上。(1) 求椭圆 C 的方程;(2) 设直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 交于 M,N 两点,直 线 F2M,F2N 的倾斜角分别为 ?、? ,且 ? ? ? ? ? ,求证:直线 l 过定点,并求该定点的坐标.

4

选修 1-1 第二章:椭圆自主测试答案
一、选择题答案(每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 A 2 C 3 B 4 C 5 D 6 D 7 B 8 B 9 D 10 C 11 C 12 D

二、填空题答案(每小题 4 分,共 16 分) (13) (0,1) (14)

x2 y 2 ? ? 1 (15) 20 25
2

3 2

(16) ③ ④

? PF1 ? PF2 ? 2 17.【解析】(1) PF1 ? PF2 ? ? ? ?a ?4 2 ? ?
故: PF 1 ? PF 2 的最大值是 4 (2) PF1 ? PF2
2 2

2

2

? PF ? PF2 ? 2 ? ( PF1 ? PF2 ) ? 2 PF1 ? PF2 ? 4a ? 2 ? ? 1 ? ? 2a ? 8 2 ? ?
2 2

2

故 PF1 ? PF2 的最小值是 8 18、 【解析】 (1)由

x2 y 2 ? ? 1 知, a ? 3, b ? 2 3 2

?l方程为y ? x ? 1 ?c ? 1? F ( 1 -1,0)F 2 (1,0)

? x2 y 2 ?1 ? ? ?? 3 消y得5 x 2 ? 6 x ? 3 ? 0 2 ? y ? x ?1 ?
设A 设 AB 中点 M ? x0 , y0 ? 则 (x1,y1)( B x2 ,y2)

x1 ? x2 ? ?

x ?x y ? y2 x1 ? 1 ? x2 ? 1 x1 ? x2 6 3 3 x1 x2 ? ? 则 x0 ? 1 2 ? ? , y0 ? 1 ? ?1 = 5 5 2 5 2 2 2

?

2 5

3 2? ? 或y0 ? x0 ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? 5 5? ?

3 2? ? 中点坐标为 M ? ?? , ? ? 5 5?
(3) F2 到直线距离 d ?

Ax0 ? By0 ? C A +B
2 2

?

2 ? 2 2

? S?ABC ?

1 1 8 3 4 6 AB d ? ? ? 2? 三角形周长 l ? 4a ? 4 3 2 2 5 5
1 2
5

19、 【解析】 (1)设动点 P 的坐标是(x,y) ,由题意得:kPAkPB= ?



x2 y y 1 ? ? ? ,化简,整理得 ? y 2 ? 1 2 2 x? 2 x? 2

x2 ? y 2 ? 1, 故 P 点的轨迹方程是 (x≠± 2 ) 2
(2)设直线 l 与曲线 C 的交点 M(x1,y1),N(x2,y2) , 由?

? y ? kx ? 1
2 2 ?x ? 2 y ? 2

得, (1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0

∴ x1+ x2=

4k 2 2k 2 ? 2 , x x = 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
2 2

|AB|= 1 ? k ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ?

4 2 , 3
5 (舍) 7

整理得,7k4-2k2-5=0,解得 k2=1,或 k2=-

∴ k=± 1,经检验符合题意。 ∴ 直线 l 的方程是 y=± x+1 即:x-y+1=0 或 x+y-1=0 20.【解析】(I)根据题意知 c=2,A=3,所以 b ? a ? c ? 5 ,所以椭圆方程为
2 2 2

x2 y 2 ? ? 1. 9 5

(II) 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,过 A , B 的直线方程为 y ? kx ? 2 , 由 AM =2 MB ,得 x1 ? ?2x2 ( * ) ,再由

? y ? kx ? 2 得 (9 ? 5k 2 ) x2 ? 20kx ? 25 ? 0 , ? 2 2 ? 5 x ? 9 y ? 45
根据韦达定理再得到两个关于 x1 , x2 的方程,再与(*)方程结合解方程组可解出 k 值.

解: (I) c ? 2, e ?

c 2 ? , a ? 3, b ? 5 . a 3

x2 y 2 ? ? 1. 所以,所求椭圆方程为 5 9
(II)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 过 A,B 的直线方程为 y ? kx ? 2 由 AM =2 MB 得 x1 ? ?2x2 , 则由 ?

? y ? kx ? 2 2 2 得 (9 ? 5k ) x ? 20kx ? 25 ? 0 2 2 ? 5 x ? 9 y ? 45

6

?20k ? x1 ? x2 ? ? x2 ? ? 20k 2 25 ? 9 ? 5k 2 ) ? 故? , 消 x2 得 2( 2 9 ? 5k 9 ? 5k 2 ? x ? x ? ?2 x 2 ? ?25 1 2 2 ? 9 ? 5k 2 ?
解得 k ?
2

1 3 3 , 所以, y ? ? ,k ? ? x?2 . 3 3 3
y2 x2 ? ?1. a2 a2 ? 2

21. 【解析】: (Ⅰ )由已知抛物线的焦点为 (0, ? 2) ,故设椭圆方程为 将点 A(1, 2) 代入方程得
2 2

2 1 4 2 ? 2 ? 1 ,整理得 a ? 5a ? 4 ? 0 , 2 a a ?2

y 2 x2 ? ? 1. 解得 a ? 4 或 a ? 1 (舍).故所求椭圆方程为 4 2
(Ⅱ )设直线 BC 的方程为 y ?
2

2 x ? m ,设 B( x1 , y1 ) , C( x2 , y2 ) ,
2

代入椭圆方程并化简得 4 x ? 2 2mx ? m ? 4 ? 0 ,
2 2 2 由 ? ? 8m ?16(m ? 4) ? 8(8 ? m ) ? 0 ,可得 m ? 8 .
2

(* )

由 x1 ? x2 ? ?

m2 ? 4 2 , m , x1 x2 ? 4 2 |m| 3 16 ? 2m2 . 又点 A 到 BC 的距离为 d ? , 2 3

故 | BC |? 3 | x1 ? x2 |?

故 S?ABC ?

m2 (16 ? 2m2 ) 1 1 2m2 ? (16 ? 2m2 ) | BC | ?d ? ? ? ? 2, 2 4 2 4 2
2 2

当且仅当 2m ? 16 ? 2m ,即 m ? ?2 时取等号(满足 ? 式) 所以 ?ABC 面积的最大值为 2 . 22. 【解析】由椭圆C的离心率e ?

2 c 2 得 ? , 其中c ? a 2 ? b2 , 2 a 2

椭圆 C 的左右焦点分别为 F1(-c,0),F2(c,0),又点 F2 在线段 PF1 的中垂线上,

?解得c ? 1, a2 ? 2, b2 ? 1 ,?

x2 ? y2 ? 1 2

? x2 ? ? y2 ? 1 (2)由题意知直线 MN 存在斜率,设其方程为 y=kx+m,由 ? 2 消去 y, ? y ? kx ? m ?
7

得 (2k 2 ? 1) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 2 ? 0 ,设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,

4km 2m 2 ? 2 kx ? m kx ? m , x1 ? x2 ? ? 2 则 x1 ? x2 ? ? 2 ,且 k F2 M ? 1 , kF2 N ? 2 2k ? 1 2k ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1

由已知 α+β=π,得 kF2M ? kF2 N ? 0 ,

kx1 ? m kx2 ? m ? ?0 x1 ? 1 x2 ? 1

化简,得 2kx1x2+(m-k) (x1+x2-2m)=0

2k ?

2m2 ? 2 4km(m ? k ) ? ? 2m ? 0 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

∴ 整理得 m=-2k. ∴ 直线 MN 的方程为 y=k(x-2),因此直线 MN 过定点,该定点的坐标为(2,0).

8


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