当前位置:首页 >> 高三数学 >> 2012届高考数学专题复习教案23讲

2012届高考数学专题复习教案23讲


专题一 集合、简单逻辑用语、函数、 不等式、导数及应用 第1讲 集合与简单逻辑用语

1. 理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键:弄清元素是函数关系式中自变量的 取值?还是因变量的取值?还是曲线上的点?? 2. 数形结合是解集合问题的常用方法:解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦 恩图等工具,将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化,然后利用数形结合的思想方法解 决. 3. 已知集合 A、B,当 A∩B=? 时,你是否注意到“极端”情况:A=? B=? 或 ?求 集合的子集时是否忘记? ?分类讨论思想的建立在集合这节内容学习中要得到强化. 4. 对于含有 n 个元素的有限集合 M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数 依次为 2n,2n-1,2n-1,2n-2. 5. ? 是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.

1. A、 是非空集合, B 定义 A×B={x|x∈A∪B, x?A 且 ∩B}, A={x∈R|y= x2-3x}, 若 x B={y|y=3 ,x∈R},则 A×B=______________.

2. 已知命题 P: n∈N,2n>1 000,则

P 为________.

3. 条件 p:a∈M={x|x2-x<0},条件 q:a∈N={x||x|<2},p 是 q 的______________条 件. (填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)

4. 若命题“?x ∈R,x2+(a-1)x+1>0”是假命题,则实数 a 的取值范围为________.

【例 1】 已知集合 A={x|x2-3x-10≤0},集合 B={x|p+1≤x≤2p-1}.若 B?A , 求实数 p 的取值范围.

1

【例 2】 设 A={(x,y)|y2-x-1=0},B={(x,y)|4x2+2x-2y+5=0},C={(x,y)|y =kx+b},是否存在 k、b∈N,使得(A∪B)∩C=? ?若存在,求出 k,b 的值;若不存在, 请说明理由.

【例 3】 (2011· 广东)设 S 是整数集 Z 的非空子集,如果?a ,b∈S,有 ab∈S,则称 S 关于数的乘法是封闭的, T, 是 Z 的两个不相交的非空子集,T∪V=Z 且?a 若 V ,b,c∈T, 有 abc∈T,?x ,y,z∈V,有 xyz∈V. 则下列结论恒成立的是________. A. T,V 中至少有一个关于乘法封闭 B. T,V 中至多有一个关于乘法封闭 C. T,V 中有且只有一个关于乘法封闭 D. T,V 中每一个关于乘法封闭

【例 4】 已知 a>0,函数 f(x)=ax-bx2. (1) 当 b>0 时,若?x ∈R,都有 f(x)≤1,证明:0<a≤2 b; (2) 当 b>1 时,证明:?x ∈[0,1],|f(x)|≤1 的充要条件是 b-1≤a≤2 b.

1. (2011· 江苏)已知集合 A={-1,1,2,4},B={-1,0,2},则 A∩B=________.

2.(2011· 天津)命题“若 f(x)是奇函数,则 f(-x)是奇函数”的否命题是________.

3.(2009· 江苏)已知集合 A={x|log2x≤2},B=(-∞,a),若 A?B ,则实数 a 的取值范围 是(c,+∞),其中 c=________.

4.(2009· 陕西)某班有 36 名同学参加数学、物理、化学课外探究小组,每名同学至多参 加两个小组,已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为 26,15,13,同时参加数学和物理 小组的有 6 人, 同时参加物理和化学小组的有 4 人, 则同时参加数学和化学小组的有________ 人.

5.(2011· 陕西)设 n∈N+,一元二次方程 x2-4x+n=0 有正整数根的充要条件是 n= ________.

6.(2011· 福建)在整数集 Z 中, 5 除所得余数为 k 的所有整数组成一个“类”, 被 记为[k], 即[k]={5n+k|n∈Z},k=0,1,2,3,4.给出如下四个结论: ①2 011∈[1];
2

②-3∈[3]; ③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]; ④“整数 a,b 属于同一‘类’”的充要条件是“a-b∈[0]”. 其中,正确结论的个数是________个.

(2011· 全国)(本小题满分 14 分)设 a∈R, 二次函数 f(x)=ax2-2x-2a.若 f(x)>0 的解集为 A,B={x|1<x<3},A∩B≠? ,求实数 a 的取值范围. 1 解:由 f(x)为二次函数知 a≠0,令 f(x)=0 解得其两根为 x1= - a 1 2+ 2, a 由此可知 x1<0,x2>0,(3 分) ① 当 a>0 时,A={x|x<x1}∪{x|x>x2},(5 分) 1 A∩B≠? 的充要条件是 x2<3,即 + a ② 当 a<0 时, A={x|x1<x<x2},(10 分) 1 A∩B≠? 的充要条件是 x2>1,即 + a 1 2+ 2>1,解得 a<-2,(13 分) a 1 6 2+ 2<3,解得 a> ,(9 分) a 7 1 1 2+ 2,x2= + a a

6 综上,使 A∩B≠? 成立的实数 a 的取值范围为(-∞,-2)∪?7,+∞?.(14 分) ? ?

一 集合、简单逻辑用语、函数、不等式、导数及应用 第 1 讲 集合与简单逻辑用语

1. (2011· 安徽)设集合 A={1,2,3,4,5,6}, B={4,5,6,7}, 则满足 S?A且 S∩B≠? 的集合 S 的个数为________. A. 57 B. 56 C. 49 D. 8 6 【答案】 B 解析:集合 A 的所有子集共有 2 =64 个,其中不含 4,5,6,7 的子集有 23 =8 个,所以集合 S 共有 56 个.故选 B. m 2. (2011· 江苏)设集合 A={(x,y)| ≤(x-2)2+y2≤m2,x,y∈R}, B={(x,y)|2m≤x+ 2 y≤2m+1,x,y∈R}, 若 A∩B≠? ,则实数 m 的取值范围是________. 1 【答案】 ?2,2+ 2? ? ? m 1 解析:由 A∩B≠? 得,A≠? ,所以 m2≥ ,m≥ 或 m≤0. 2 2

|2-2m| |2-2m-1| 2 当 m≤0 时, = 2- 2m>-m,且 = - 2m>-m,又 2+0=2>2m 2 2 2 |2-2m| 1 +1, 所以集合 A 表示的区域和集合 B 表示的区域无公共部分; m≥ 时, 当 只要 ≤m 2 2

3

|2-2m-1| 2 2 或 ≤m,解得 2- 2≤m≤2+ 2或 1- ≤m≤1+ ,所以实数 m 的取值范围 2 2 2 1 是?2,2+ 2?. ? ? 点评:解决此类问题要挖掘问题的条件,并适当转化,画出必要的图形,得出求解实数 m 的取值范围的相关条件. 基础训练 1. (-∞,3) 解析:A=(-∞,0]∪[3,+∞),B=(0,+∞),A∪B=(-∞,+∞), A∩B=[3,+∞). 2. ?n ∈N,2n≤1 000 3. 充分不必要 解析:M=(0,1)?N =(-2,2). 4. a≥3 或 a≤-1 解析:Δ=(a-1)2-4≥0,a≥3 或 a≤-1. 例题选讲 例 1 解:由 x2-3x-10≤0 得-2≤x≤5. ∴ A=[-2,5]. ① 当 B≠? 即 p+1≤2p-1?p 时, ≥2.由 B?A得-2≤p+1 且 2p-1≤5.得-3≤p≤3.∴ 2≤p≤3. ② 当 B=? 时,即 p+1>2p-1?p <2.B?A成立.综上得 p≤3. 点评:从以上解答应看到:解决有关 A∩B=? ,A∪B=A,A∪B=B 或 A?B等集合 问题易忽视空集的情况而出现漏解,这需要在解题过程中全方位、多角度审视问题. 变式训练 设不等式 x2-2ax+a+2≤0 的解集为 M,如果 M?[1,4] 求实数 a 的取值 , 范围. 解: M?[1,4] n 种情况:其一是 M=? 有 ,此时 Δ<0;其二是 M≠? ,此时 Δ≥0,分 三种情况计算 a 的取值范围. 设 f(x)=x2-2ax+a+2,有 Δ=(-2a)2-(4a+8)=4(a2-a-2), ① 当 Δ<0 时,-1<a<2,M=??[1,4] 成立; ② 当 Δ=0 时, a=-1 或 2, a=-1 时, 当 M={-1}?[1,4] 当 a=2 时, , M={2}?[1,4] ; ③ 当 Δ>0 时,a<-1 或 a>2.设方程 f(x)=0 的两根为 x1,x2,且 x1<x2,那么 M=
?f?1?≥0且f?4?≥0, ? ? [x1,x2],M?[1,4]?1 x1<x2≤4? ≤ ? ?1≤a≤4且Δ>0.

?-a+3≥0, ?18-7a≥0, 即? 1≤a≤4, ?a<-1或a>2, ?
?y2=x+1, ? 由 ? ? ?y=kx+b

18 18 解得:2<a≤ ,综上实数 a 的取值范围是?-1, 7 ?. ? ? 7

例 2 解: ∵ (A∪B)∩C=? ,∵A∩C=? B∩C=? 且 , 得 k2x2+(2bk-1)x+b2-1=0,

∵ A∩C=? ,∴ k≠0,Δ1=(2bk-1)2-4k2(b2-1)<0, ∴ 4k2-4bk+1<0,此不等式有解,其充要条件是 16b2-16>0,即 b2>1,①
? 2 ?4x +2x-2y+5=0, ∵ ? ?y=kx+b, ?

4

∴ 4x2+(2-2k)x+(5-2b)=0, ∵ B∩C=? ,∴ Δ2=4(1-k)2-16(5-2b)<0, ∴ k2-2k+8b-19<0, 从而 8b<20,即 b<2.5, ② 由①②及 b∈N,得 b=2,代入由 Δ1<0 和 Δ2<0 组成的不等式组,得
? 2 ?4k -8k+1<0, ? 2 ? ?k -2k-3<0,

∴ k=1,故存在自然数 k=1,b=2,使得(A∪B)∩C=? . 点评:把集合所表示的意义读懂,分辨出所考查的知识点,进而解决问题. 变式训练 已知集合 A=??x,y??
? ? ? ? ? ?1-y=3 ?,B={(x,y)|y=kx+3},若 A∩B=? ? , ?x+1 ? ?

求实数 k 的取值范围. 解: 集合 A 表示直线 y=-3x-2 上除去点(-1,1)外所有点的集合,集合 B 表示直线 y=kx+3 上所有点的集合,A∩B=? ,所以两直线平行或直线 y=kx+3 过点(-1,1),所以 k=2 或 k=-3. 例 3 【答案】 A 解析:由于 T∪V=Z,故整数 1 一定在 T,V 两个集合中的一个 中,不妨设 1∈T,则?a ,b∈T, 由于 a,b,1∈T,则 a· 1∈T,即 ab∈T,从而 T 对乘法封闭; b· 另一方面,当 T={非负整数},V={负整数}时,T 关于乘法封闭,V 关于乘法不封闭, 故 D 不对; 当 T={奇数},V={偶数}时,T,V 显然关于乘法都是封闭的,故 B,C 不对. 从而本题就选 A. 例 4 证明:(1) ax-bx2≤1 对 x∈R 恒成立,又 b>0, ∴ a2-4b≤0,∴ 0<a≤2 b. (2) 必要性,∵ ?x ∈[0,1],|f(x)|≤1 恒成立,∴ bx2-ax≤1 且 bx2-ax≥-1, 显然 x=0 时成立, 1 1 1 对 x∈(0,1]时 a≥bx- 且 a≤bx+ ,函数 f(x)=bx- 在 x∈(0,1]上单调增,f(x)最大值 x x x f(1)=b-1. 1 1 1 1 函数 g(x)=bx+ 在?0, ?上单调减, ? ,1?上单调增, 在 函数 g(x)的最小值为 g? ? x ? b? ? b ? ? b? =2 b,∴ b-1≤a≤2 b,故必要性成立; a a2 a a 1 1 充分性:f(x)=ax-bx2=-b(x- )2+ , = × ≤1× ≤1, 2b 4b 2b 2 b b b f(x)max= a2 ≤1,又 f(x)是开口向下的抛物线,f(0)=0,f(1)=a-b, 4b

f(x)的最小值从 f(0)=0,f(1)=a-b 中取最小的,又 a-b≥-1, ∴ -1≤f(x)≤1,故充分性成立; 综上命题得证. 变式训练 命题甲:方程 x2+mx+1=0 有两个相异负根;命题乙:方程 4x2+4(m-2)x +1=0 无实根,这两个命题有且只有一个成立,求实数 m 的取值范围.
?Δ1=m2-4>0, ? 解: 使命题甲成立的条件是: ? ?m >2. ?x1+x2=-m<0 ?



集合 A={m|m>2}.
5

使命题乙成立的条件是:Δ2=16(m-2)2-16<0,∴ 1<m<3. ∴ 集合 B={m|1<m<3}. 若命题甲、乙有且只有一个成立,则有: ① m∈A∩ B,② m∈ A∩B.

若为①,则有:A∩ 若为②,则有:B∩

B={m|m>2}∩{m|m≤1 或 m≥3}={m|m≥3}; A={m|1<m<3}∩{m|m≤2}={m|1<m≤2};

综合①、②可知所求 m 的取值范围是{m|1<m≤2 或 m≥3}. 点评:明确命题为真时的充要条件,再分类确定. 高考回顾 1. {-1,2} 2. 若 f(x)不是奇函数,则 f(-x)不是奇函数 3. 4 解析:A=(0,4],A?B,∴ a>4, ∴ c=4. 4. 8 解析:画韦恩图.设同时参加数学和化学小组的有 x 人,则 20-x+11+x+4+9 -x=36,x=8. 5. 3 或 4 解析: f(x)=x2-4x+n, 令 n∈N*, f(0)=n>0, ∴ f(2)≤0 即 n≤4, n=1,2,3,4, 故 经检验,n=3,4 适合,或直接解出方程的根,x=2± 4-n,n∈N*,只有 n=3,4 适合. 6. 3 解析:正确的是①③④,在②中-3∈[2]才对.

6

第2讲 函数、图象及性质

1. 函数在高考中的题型设置有小题也有大题,其中大题有简单的函数应用题、函数与 其他知识综合题, 也有复杂的代数推理题, 可以说函数性质的应用是高考考查的主要着力点 之一. 2. 重点:①函数的奇偶性、单调性和周期性;②函数与不等式结合;③函数与方程的 综合;④函数与数列的综合;⑤函数与向量的综合;⑥利用导数来刻画函数. 3. 难点:①新定义的函数问题;②代数推理问题,常作为高考压轴题.

1. 已知 f(x)是二次函数,且 f(0)=0,f(x+1)=f(x)+x+1,则 f(x)=________. ?x+1?0 |x|-x

2.函数 f(x)=

的定义域为________.

1 1 3.函数 f(x)的定义域是 R,其图象关于直线 x=1 和点(2 , 0)都对称,f?-2?=2,则 f?2? ? ? ? ? 2009 +f? 2 ?=________. ? ? 4.函数 f(x)=x2-2x,g(x)=mx+2,对?x ∈[-1,2],?x ∈[-1,2],使 g(x1)=f(x0),则 1 0 实数 m 的取值范围是________.

【例 1】 已知 f(x)是二次函数,不等式 f(x)<0 的解集是(0,5) ,且 f(x)在区间[-1,4]上 的最大值是 12. (1) 求 f(x)的解析式; 37 (2) 是否存在整数 m 使得方程 f(x)+ =0 在区间(m,m+1)内有且只有两个不等的实 x 数根?若存在,求出 m 值;若不存在,说明理由.

【例 2】

a 已知函数 f(x)=x2+ (x≠0,常数 a∈R). x

(1) 讨论函数 f(x)的奇偶性,并说明理由; (2) 若函数 f(x)在 x∈[2,+∞)上为增函数,求 a 的取值范围.

【例 3】 设函数 f(x)=x2+|2x-a|(x∈R,常数 a 为实数).
7

(1) 若 f(x)为偶函数,求实数 a 的值; (2) 设 a>2,求函数 f(x)的最小值.

【例 4】 (2011· 苏锡常镇模拟)已知函数 f(x)= x+a+a|x|,a 为实数. (1) 当 a=1,x∈[-1,1]时,求函数 f(x)的值域; 31 (2) 设 m、 是两个实数, n 满足 m<n, 若函数 f(x)的单调减区间为(m, 且 n-m≤ , n), 16 求 a 的取值范围.

x 1. (2011· 辽宁)若函数 f(x)= 为奇函数,则 a=________. ?2x+1??x-a? 2.(2011· 湖北)若定义在 R 上的偶函数 f(x)和奇函数 g(x)满足 f(x)+g(x)=ex,则 g(x)= ________. 3.(2011· 上海)设 g(x)是定义在 R 上、以 1 为周期的函数,若 f(x)=x+g(x)在[0,1]上的值 域为[-2,5],则 f(x)在区间[0,3]上的值域为____________. 4.(2011· 北京)已知点 A(0,2),B(2,0),若点 C 在函数 y=x2 的图象上,则使得△ABC 的 面积为 2 的点 C 的个数为________. 5.(2011· 上海) 已知函数 f(x)=a·x+b·x,其中常数 a,b 满足 ab≠0. 2 3 (1) 若 ab>0,判断函数 f(x)的单调性; (2) 若 ab<0,求 f(x+1)>f(x)时 x 的取值范围.

6.(2011· 湖北)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况 下,大桥上的车流速度 v(单位:千米/小时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的 车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/千米 时,车流速度为 60 千米/小时.研究表明:当 20≤x≤200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的 一次函数. (1) 当 0≤x≤200 时,求函数 v(x)的表达式; (2) 当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆 /小时)f(x)=x· v(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到 1 辆/小时)

(2011· 镇江一模)(本小题满分 14 分)已知函数 f(x)=3-2log2x,g(x)=log2x. (1) 如果 x∈[1,4],求函数 h(x)=(f(x)+1)g(x)的值域;
8

f?x?+g?x?-|f?x?-g?x?| (2) 求函数 M(x)= 的最大值; 2 (3) 如果对不等式 f(x2)f( x)>kg(x)中的任意 x∈[1,4],不等式恒成立,求实数 k 的取值 范围. 解:令 t=log2x,(1 分) (1) h(x)=(4-2log2x)· 2x=-2(t-1)2+2,(2 分) log ∵ x∈[1,4],∴ t∈[0,2],(3 分) ∴ h(x)的值域为[0,2].(4 分) (2) f(x)-g(x)=3(1-log2x), 当 0<x≤2 时,f(x)≥g(x);当 x>2 时,f(x)<g(x),(5 分) ∴ M(x)=?
? ?g?x?,f?x?≥g?x?, ?f?x?,f?x?<g?x?, ? ? ?log2x,0<x≤2, M(x)=? (6 分) ?3-2log2x,x>2, ?

当 0<x≤2 时,M(x)最大值为 1;(7 分) 当 x>2 时,M(x)<1.(8 分) 综上:当 x=2 时,M(x)取到最大值为 1.(9 分) (3) 由 f(x2)f( x)>kg(x),得(3-4log2x)(3-log2x)>k· 2x, log ∵ x∈[1,4],∴ t∈[0,2], ∴ (3-4t)(3-t)>kt 对一切 t∈[0,2]恒成立,(10 分) ①当 t=0 时,k∈R;(11 分) ?3-4t??3-t? 9 ②t∈(0,2]时,k< 恒成立,即 k<4t+ -15,(12 分) t t 9 9 3 ∵ 4t+ ≥12,当且仅当 4t= ,即 t= 时取等号.(13 分) t t 2 9 ∴ 4t+ -15 的最小值为-3. t 综上:k<-3.(14 分) 第 2 讲 函数、图象及性质

1. 已知 a= 为________. 【答案】 a=

5-1 ,函数 f(x)=ax,若实数 m、n 满足 f(m)>f(n),则 m、n 的大小关系 2 m<n 解析: 考查指数函数的单调性

5-1 ∈(0,1),函数 f(x)=ax 在 R 上递减.由 f(m)>f(n)得:m<n. 2

2. 设 a 为实数,函数 f(x)=2x2+(x-a)|x-a|. (1) 若 f(0)≥1,求 a 的取值范围; (2) 求 f(x)的最小值; (3) 设函数 h(x)=f(x),x∈(a,+∞),直接写出(不需给出演算步骤)不等式 h(x)≥1 的解 集. 点拨: 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识,考 查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力.

9

? ?a<0, ? 解:(1) 若 f(0)≥1,则-a|a|≥1? 2 ?a ≤-1. ?a ≥1 ?

∴ a 的取值范围是(-∞,-1] (2) 当 x≥a 时,f(x)=3x2-2ax+a2,

?f?a?,a≥0, ?2a ,a≥0, ? ? f(x)min=? ? a? =?2a2 ? ? ?f?3?,a<0 ? 3 ,a<0,
?f?-a?,a≥0, ?-2a2,a≥0, ? ? ? 当 x≤a 时,f(x)=x +2ax-a ,f(x)min= =? 2 ? ? ?f?a?,a<0 ?2a ,a<0,
2 2

2

?-2a ,a≥0, ? 综上 f(x)min=?2a2 ? 3 ,a<0. ?
(3) x∈(a,+∞)时,h(x)≥1 得 3x2-2ax+a2-1≥0,Δ=4a2-12(a2-1)=12-8a2. 当 a≤- 6 6 或 a≥ 时,Δ≤0,x∈(a,+∞); 2 2

2

?? a- 3-2a2?? a+ 3-2a2?≥0, ??x- ??x- ? 6 6 3 3 ?? ? 当- <a< 时,Δ>0,得:?? 2 2 ? ?x>a,
讨论得:当 a∈? 当 a∈?- 2 6? 时,解集为(a,+∞); ?2,2?

? ?

6 2? ? a- 3-2a2?∪?a+ 3-2a2 ? 时,解集为?a, ,- ? ? ,+∞? 2 2? 3 3 ? ? ? ? 2 2? ?a+ 3-2a2 ? 时,解集为? , ,+∞?. 2 2? 3 ? ?

当 a∈?-

综上,当 a∈?-∞,-

?

6? ? 2 2 2? ? ? ∪ 时, ,+∞ 时,解集为(a,+∞),当 a∈ - , 2? ?2 ? ? 2 2?

解集为? ∪?

6 2? ?a+ 3-2a2 ? ? a- 3-2a2? ? ? ,+∞? , 当 a∈ ?- 2 ,- 2 ? 时 , 解 集 为 ?a, 3 3 ? ? ? ?

?a+ 3-2a2 ? ,+∞?. 3 ? ?
基础训练 1 1 1. x2+ x 2 2
?x+1≠0, ? 2. (-∞,-1)∪(-1,0) 解析:? ?x <0,x≠-1. ? ?|x|-x>0

3. -4 解析:函数图象关于直线 x=1 对称,则 f(x)=f(2-x),函数图象关于点(2 , 0) 对称,则 f(x)=-f(4-x),∴ f(x+2)=-f(x),∴ f(x+4)=f(x),

10

2 009 1 1 1 1 ∴ f? 2 ?=f?1 004+2?=f?2?,又 f?-2?=-f?4+2?= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 2 009 1 1 -f?2?,f?2?+f? 2 ?=2f?2?=-2f?-2?=-4. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 4. ?-1,2? 解析:x∈[-1,2]时,f(x)∈[-1,3].m≥0,x∈[-1,2]时,g(x)∈[2-m,2 ? ? +2m];m<0,x∈[-1,2]时,g(x)∈[2+2m,2-m].m≥0,[2-m,2+2m]?[ -1,3];m<0, 1 1 [2+2m,2-m]?[ -1,3]得 0≤m≤ 或-1≤m<0,故实数 m 的取值范围是?-1,2?. ? ? 2 例题选讲 例 1 解: (1) ∵ f(x)是二次函数,且 f(x)<0 的解集是(0,5), ∴ 可设 f(x)=ax(x-5)(a >0). ∴ f(x)在区间[-1,4]上的最大值是 f(-1)=6a. 由已知得 6a=12, ∴ a=2, ∴ f(x)=2x(x-5)=2x2-10x(x∈R). 37 (2) 方程 f(x)+ =0 等价于方程 2x3-10x2+37=0.设 h(x)=2x3-10x2+37,则 h′(x) x =6x2-20x=2x(3x-10). 10 10 当 x∈?0, 3 ?时,h′(x)<0,h(x)是减函数;当 x∈? 3 ,+∞?时,h′(x)>0,h(x)是 ? ? ? ? 增函数. 10 10 ?10 1 ∵ h(3)=1>0, ? 3 ?=- <0, h? ? h(4)=5>0, 方程 h(x)=0 在区间?3, 3 ?, 3 ,4? ∴ ? ? ? ? 27 内分别有唯一实数根,而在区间(0,3),(4,+∞)内没有实数根,所以存在唯一的自然数 m 37 =3,使得方程 f(x)+ =0 在区间(m,m+1)内有且只有两个不同的实数根. x 变式训练 已知函数 y=f (x)是定义在 R 上的周期函数,周期 T=5,函数 y=f(x)(- 1≤x≤1)的图象关于原点对称.又知 y=f(x)在[0,1]上是一次函数,在[1,4]上是二次函数,且 在 x=2 时函数取得最小值-5. (1) 证明:f(1)+f(4)=0; (2)求 y=f(x),x∈[1,4]的解析式; (3)求 y=f(x)在[4,9]上的解析式. (1)证明: ∵ f (x)是以 5 为周期的周期函数,∴ f(4)=f(4-5)=f(-1), 又∵ y=f(x)(-1≤x≤1)关于原点对称,∴ f(1)=-f(-1)=-f(4), ∴ f(1)+f(4)=0. (2)解: 当 x∈[1,4]时,由题意可设 f(x)=a(x-2)2-5(a>0), 由 f(1)+f(4)=0 得 a(1-2)2-5+a(4-2)2-5=0,∴ a=2, ∴ f(x)=2(x-2)2-5(1≤x≤4). (3)解: ∵ y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数,∴ f(0)=0,又知 y=f(x)在[0,1]上是一次函数, ∴ 可设 f(x)=kx(0≤x≤1),而 f(1)=2(1-2)2-5=-3,∴ k=-3,∴ 当 0≤x≤1 时,f(x) =-3x,从而当-1≤x<0 时,f(x)=-f(-x)=-3x,故-1≤x≤1 时,f(x)=-3x,∴ 当 4≤x≤6 时,有-1≤x-5≤1,∴ f(x)=f(x-5)=-3(x-5)=-3x+15, 当 6<x≤9 时,1<x-5≤4,∴ f(x)=f(x-5)=2[(x-5)-2]2-5=2(x-7)2-5,∴ f(x)
? ?-3x+15,4≤x≤6, =? 2 ?2?x-7? -5,6<x≤9. ? 11

点评:紧抓函数几个性质,将未知的转化为已知的,注意函数图象及端点值. 例 2 解: (1) 当 a=0 时,f(x)=x2,对任意 x∈(-∞,0)∪(0,+∞),f(-x)=(-x)2 =x2=f(x), ∴ f(x)为偶函数. a 当 a≠0 时,f(x)=x2+ (a≠0,x≠0), x 取 x=± 1,得 f(-1)+f(1)=2≠0,f(-1)-f(1)=-2a≠0, ∴ f(-1)≠-f(1),f(-1)≠f(1), ∴ 函数 f(x)既不是奇函数,也不是偶函数. (2) (解法 1)设 2≤x1<x2, a a ?x1-x2? 2 f(x1)-f(x2)=x1+ -x2- = [x1x2(x1+x2)-a], x1 2 x2 x1x2 要使函数 f(x)在 x∈[2,+∞)上为增函数,必须 f(x1)-f(x2)<0 恒成立. ∵ x1-x2<0,x1x2>4,即 a<x1x2(x1+x2)恒成立. 又∵ x1+x2>4, ∴ x1x2(x1+x2)>16. ∴ a 的取值范围是(-∞,16]. (解法 2)当 a=0 时,f(x)=x2,显然在[2,+∞)为增函数. a 当 a<0 时,反比例函数 在[2,+∞)为增函数, x a ∴ f(x)=x2+ 在[2,+∞)为增函数. x 当 a>0 时,同解法 1. a (解法 3)f′(x)=2x- 2≥0,对 x∈[2,+∞)恒成立.∴ a≤2x3 而 y≤2x3.在[2,+∞) x 上单调增,最小值为 16,∴ a≤16. 点评:本题主要考查函数奇偶性、单调性及分类讨论处理含参数问题. 例 3 解:(1) 由已知 f(-x)=f(x),即|2x-a|=|2x+a|,解得 a=0.

?x +2x-a,x≥2a, (2) f(x)=? 1 ?x -2x+a,x<2a,
2

1

2

1 当 x≥ a 时,f(x)=x2+2x-a=(x+1)2-(a+1), 2 1 由 a>2,x≥ a,得 x>1,从而 x>-1,又 f′(x)=2(x+1), 2 a a2 1 故 f(x)在 x≥ a 时单调递增,f(x)的最小值为 f?2?= ; ? ? 4 2 1 当 x< a 时,f(x)=x2-2x+a=(x-1)2+(a-1), 2 a 故当 1<x< 时,f(x)单调递增,当 x<1 时,f(x)单调递减, 2 则 f(x)的最小值为 f(1)=a-1; ?a-2?2 a2 由 -(a-1)= >0,知 f(x)的最小值为 a-1. 4 4 点评:本题考查二次函数含参数最值的讨论方法.

12

变式训练 已知函数 f(x)=x|x-2|.设 a>0,求 f(x)在[0,a]上的最大值.
2 ? 2 ?x -2x=?x-1? -1,x≥2, 解: f(x)=x|x-2|=? 2 2 ?-x +2x=-?x-1? +1,x<2. ?

∴ f(x)的单调递增区间是(-∞,1]和[2,+∞); 单调递减区间是[1,2]. ① 当 0<a≤1 时,f(x)是[0,a]上的增函数,此时 f(x)在[0,a]上的最大值是 f(a)=a(2 -a); ② 当 1<a≤2 时,f(x)在[0,1]上是增函数,在[1,a]上是减函数,此时 f(x)在[0,a]上的 最大值是 f(1)=1; ③ 当 a>2 时,令 f(a)-f(1)=a(a-2)-1=a2-2a-1>0, 解得 a>1+ 2. 若 2<a≤1+ 2,则 f(a)≤f(1),f(x)在[0,a]上的最大值是 f(1)=1; 若 a>1+ 2,则 f(a)>f(1),f(x)在[0,a]上的最大值是 f(a)=a(a-2). 综上,当 0<a<1 时,f(x)在[0,a]上的最大值是 a(2-a);当 1≤a≤1+ 2时,f(x)在[0, a]上的最大值是 1;当 a>1+ 2时,f(x)在[0,a]上的最大值是 a(a-2). 例 4 解: 设 y=f(x), (1) a=1 时,f(x)= x+1+|x|, 当 x∈(0,1]时,f(x)= x+1+x 为增函数,y 的取值范围为(1,1+ 2]. 当 x∈[-1,0]时,f(x)= x+1-x,令 t= x+1,0≤t≤1, 1 5 5 则 x=t2-1,y=-?t-2?2+ ,0≤t≤1,y 的取值范围为?1,4?. ? ? 4 ? ? 5 ∵ <1+ 2, 4 ∴x∈[1,1]时,函数 f(x)的值域为[1,1+ 2]. (2) 令 t= x+a,则 x=t2-a,t≥0,y=g(t)=t+a|t2-a|. ① a=0 时,f(x)= x无单调减区间; 1 1 ② a<0 时,y=g(t)=at2+t-a2,在?-2a,+∞?上 g(t)是减函数,则在?4a2-a,+∞? ? ? ? ? 上 f(x)是减函数.∴a<0 不成立.
2 2 ?-at +t+a ,0≤t≤ a, ③ a>0 时,y=g(t)=? 2 ?at +t-a2,t> a.

3 1 1 仅当 < a,即 a> 时, 2a 2 1 1 在 t∈?2a, a?时,g(t)是减函数,即 x∈?4a2-a,0?时,f(x)是减函数. ? ? ? ? ∴n-m=a- 1 31 ≤ ,即(a-2)(16a2+a+2)≤0. ∴a≤2. 4a2 16

故 a 的取值范围是? 高考回顾 1. 1 2

?3 1 ? ?. ? 4,2?

解析:f(-x)=-f(x)恒成立或从定义域可直接得到.

13

ex+e 2. g(x)= 2 =f(x)-g(x)=e x.


-x

解析: 因为函数 f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,所以 f(-x)+g(-x)

ex+e x 又因为 f(x)+g(x)=ex,所以 g(x)= . 2 3. [-2,7] 解析:设 x1∈[0,1],则 f(x1)=x1+g(x1)∈[-2,5],∵ g(x)是定义域为 R 周期 为 1 的函数,∴ 当 x2∈[1,2]时,f(x2)=x1+1+g(x1+1)=1+x1+g(x1)=1+f(x1)∈[-1,6], 当 x2∈[2,3]时,f(x2)=x1+2+g(x1+2)=2+x1+g(x1)=2+f(x1)∈[0,7],∴ f(x)在区间[0,3] 上的值域为[-2,7]. 4. 4 解析:AB=2 2,直线 AB 的方程为 x+y=2,在 y=x2 上取点 C(x,y),点 C(x, |x+y-2| y)到直线 AB 的距离为 2, = 2,|x+x2-2|=2,此方程有四个解. 2 5. 解:(1) 当 a>0,b>0 时,任意 x1,x2∈R,x1<x2, 则 f(x1)-f(x2)=a(2x1-2x2)+b(3x1-3x2), ∵ 2x1<2x2,a>0?a(2x -2x2)<0,3x1<3x2,b>0?b(3x -3x2)<0, 1 1 ∴ f(x1)-f(x2)<0,函数 f(x)在 R 上是增函数. 当 a<0,b<0 时,同理函数 f(x)在 R 上是减函数. 3 a (2) f(x+1)-f(x)=a·x+2b·x>0,当 a<0,b>0 时,?2?x>- ,则 2 3 ? ? 2b a 3 a a x>log1.5?-2b?;当 a>0,b<0 时,?2?x<- ,则 x<log1.5?-2b?. ? ? ? ? ? ? 2b 6. 解:(1) 由题意:当 0≤x≤20 时,v(x)=60;当 20≤x≤200 时,设 v(x)=ax+b,
? ?200a+b=0, 显然 v(x)=ax+b 在[20,200]是减函数, 由已知得? 解得 ? ?20a+b=60,



?a=-3, ? 200 ?b= 3 .
1



?60,0≤x≤20, ? 函数 v(x)的表达式为 v(x)=?1 ? ?3?200-x?,20<x≤200. ?60x,0≤x≤20, ? (2) 依题意并由(1)可得 f(x)=?1 ?3x?200-x?,20<x≤200. ?
当 0≤x≤20 时,f(x)为增函数,故当 x=20 时,其最大值为 60×20=1 200; 1 1 x+?200-x??2 10 000 当 20<x≤200 时,f(x)= x(200-x)≤ ? 3 3? 2 ?= 3 , 当且仅当 x=200-x,即 x=100 时,等号成立. 10 000 所以,当 x=100 时,f(x)在区间[20,200]上取得最大值 . 3 10 000 综上,当 x=100 时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值 ≈3 333, 3 即当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 3 333 辆/小时.

14

第3讲 基本初等函数

1. 2. 3. 4.

掌握指数函数的概念、图象和性质. 理解对数函数的概念、图象和性质. 能够应用函数的性质、指数函数和对数函数性质解决某些简单实际问题. 了解幂函数的定义,熟悉常见幂函数的图形与性质.

1. 函数 y=loga(x+2)+1(a>0,a≠1)的图象经过的定点坐标为________.

2.函数 y=lg(x2-2x)的定义域是________.

3.函数 y=ax(a>0,a≠1)在 R 上为单调递减函数,关于 x 的不等式 a2x-2ax-3>0 的解 集为________.

4.定义:区间[x1,x2](x1<x2)的长度为 x2-x1.已知函数 y=|log0.5x|定义域为[a,b],值域 为[0,2],则区间[a,b]的长度的最大值为________.

ax2+1 【例 1】 函数 f(x)= (a,b,c∈Z)是奇函数,且 f(1)=2,f(2)<3. bx+c (1) 求 a,b,c 的值; (2) 当 x<0 时,讨论 f(x)的单调性.

【例 2】 已知函数 f(x)=2x-

1 . 2|x|

(1) 若 f(x)=2,求 x 的值; (2) 若 2tf(2t)+mf(t)≥0 对于 t∈[1,2]恒成立,求实数 m 的取值范围.

【例 3】 已知函数 g(x)=ax2-2ax+1+b(a≠0,b<1),在区间[2,3]上有最大值 4,最 g?x? 小值 1,设 f(x)= . x

15

(1) 求 a,b 的值; (2) 不等式 f(2x)-k·x≥0 在 x∈[-1,1]上恒成立,求实数 k 的取值范围; 2 2 (3) 方程 f(|2x-1|)+k?|2x-1|-3?=0 有三个不同的实数解,求实数 k 的取值范围.

?

?

【例 4】

(2011· 盐城二模)已知函数 f(x)=

x+a 是定义在 R 上的奇函数,其值域为 x2+b

?-1,1?. ? 4 4?
(1) (2) ① ② 理由. 试求实数 a、b 的值; 函数 y=g(x)(x∈R)满足:当 x∈[0,3)时,g(x)=f(x);g(x+3)=g(x)lnm(m≠1). 求函数 g(x)在 x∈[3,9)上的解析式; 若函数 g(x)在 x∈[0,+∞)上的值域是闭区间,试探求实数 m 的取值范围,并说明

1. (2011· 广东)设函数 f(x)=x3cosx+1.若 f(a)=11,则 f(-a)=________.

2.(2011· 江苏)函数 f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是________.

?21 x,x≤1, ? 3.(2011· 辽宁)设函 数 f(x)= ? 则 满 足 f(x)≤2 的 x 的取 值范围 是 ? ?1-log2x,x>1,



________.

4.(2011· 山东)已知函数 f(x)=logax+x-b(a>0 且 a≠1).当 2<a<3<b<4 时,函数 f(x) 的零点 x0∈(n,n+1),n∈N*,则 n=________.

2 5.(2009· 山东)已知函数 f(x)=x- +a(2-lnx)(a>0),讨论 f(x)的单调性. x

6.(2011· 陕西)设 f(x)=lnx,g(x)=f(x)+f′(x). (1) 求 g(x)的单调区间和最小值; 1 (2) 讨论 g(x)与 g?x?的大小关系; ? ?

16

1 (3) 求实数 a 的取值范围,使得 g(a)-g(x)< 对任意 x>0 成立. a

(2011· 常州模考)(本小题满分 16 分)已知 a 为实数,函数 f(x)=(1+ax)ex,函数 g(x)= 1 ,令函数 F(x)=f(x)· g(x). 1-ax (1) 若 a=1,求函数 f(x)的极小值; 1 (2) 当 a=- 时,解不等式 F(x)<1; 2 (3) 当 a<0 时,求函数 F(x)的单调区间. 解:(1) 当 a=1 时,f(x)=(1+x)ex. 则 f′(x)=(x+2)ex.令 f′(x)=0,得 x=-2.(1 分) 列表如下: x f′(x) f(x) (-∞,-2) - ? -2 0 极小值 f(-2)


(-2,+∞) + ?

∴ 当 x=-2 时,函数 f(x)取得极小值,极小值为 f(-2)=-e 2.(3 分) 2-x x 1 (2) 当 a=- 时,F(x)= e ,定义域为{x|x≠-2,x∈R}. 2 2+x ∵ F′(x)=?

?2-x?′ex+2-x(ex)′=- x e <0, ? 2+x ?2+x?2 ?2+x?
2 x

∴ F(x)在(-∞,-2)及(-2,+∞)上均为减函数.(5 分) ∵ 当 x∈(-∞,-2)时,F(x)<0,∴ x∈(-∞,-2)时,F(x)<1. ∵ 当 x∈(-2,+∞)时,F(0)=1,∴ 由 F(x)<1=F(0),得 x>0. 综上所述,不等式 F(x)<1 的解集为(-∞,-2)∪(0,+∞).(7 分) (3) 函数 F(x)= 1+ax x 1 ? ? e ,定义域为?x?x∈R,x≠a??. ? ?? ? 1-ax
2 2

2a+1 -a2?x2- 2 ? a ? x -a x +2a+1 x ? 当 a<0 时,F′(x)= e= e. 2 2 ?1-ax? ?1-ax? 2a+1 令 F′(x)=0,得 x2= 2 .(9 分) a 1 ① 当 2a+1<0,即 a<- 时,F′(x)<0. 2 1 1 1 ∴ 当 a<- 时,函数 F(x)的单调减区间为?-∞,a ?∪?a,+∞?.(11 分) ? ? ? ? 2 2a+1 2a+1 2a+1 1 ② 当- <a<0 时,解 x2= 2 得 x1= ,x2=- . 2 a a a 2a+1 1 ∵ < , a a
17

1 1 ∴ 令 F′(x)<0,得 x∈?-∞,a?,x∈?a,x1?,x∈(x2,+∞); ? ? ? ? 令 F′(x)>0,得 x∈(x1,x2).(13 分) 1 ∴ 当- <a<0 时,函数 F(x)的单调减区间为 2

?-∞,1?∪?1, 2a+1?∪?- 2a+1,+∞?; ? ? ? a? ? a ? a ? ? a ? ?
函数 F(x)单调增区间为? 2a+1? ? 2a+1 ?.(15 分) ,- a ? ? a

1 ③ 当 2a+1=0,即 a=- 时,由(2)知,函数 F(x)的单调减区间为(-∞,-2)∪(-2, 2 +∞).(16 分) 第 3 讲 基本初等函数

1. 已知定义在 R 上的奇函数 f(x),满足 f(x-4)=-f(x)且在区间[0,2]上是增函数,若方 程 f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根 x1, 2, 3, 4, x1+x2+x3+x4=________. x x x 则 【答案】 -8 解析:因为定义在 R 上的奇函数,满足 f(x-4)=-f(x),所以 f(x-4) =f(-x), f(x)是奇函数, 对 函数图象关于直线 x=2 对称且 f(0)=0, f(x-4)=-f(x)知 f(x 由 -8)=f(x),所以函数是以 8 为周期的周期函数,又因为 f(x)在区间[0,2]上是增函数,所以 f(x)在区间[-2,0]上也是增函数.如图所示,那么方程 f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个 不同的根 x1,x2,x3,x4,不妨设 x1<x2<x3<x4 由对称性知 x1+x2=-12,x3+x4=4,所 以 x1+x2+x3+x4=-12+4=-8.

2. 已知函数 f(x)=x3-(k2-k+1)x2+5x-2,g(x)=k2x2+kx+1,其中 k∈R. (1) 设函数 p(x)=f(x)+g(x).若 p(x)在区间(0,3)上不单调,求 k 的取值范围;
? ?g?x?,x≥0, (2) 设函数 q(x)=? 是否存在 k,对任意给定的非零实数 x1,存在唯一的 ?f?x?,x<0. ?

非零实数 x2(x2≠x1),使得 q′(x2)=q′(x1)成立?若存在,求 k 的值;若不存在,请说明理 由. 解: (1)因 p(x)=f(x)+g(x)=x3+(k-1)x2+(k+5)x-1, p′(x)=3x2+2(k-1)x+(k+5),因 p(x)在区间(0,3)上不单调,所以 p′(x)=0 在(0,3) ?3x2-2x+5? 上有实数解, 且无重根, p′(x)=0 得 k(2x+1)=-(3x2-2x+5), k=- 由 ∴ = 2x+1 9 10 3 9 - ??2x+1?+2x+1- 3 ?,令 t=2x+1,有 t∈(1,7),记 h(t)=t+ ,则 h(t)在(1,3]上单调递 4? t ? 9 减,在[3,7)上单调递增,所以有 h(t)∈[6,10],于是(2x+1)+ ∈[6,10),得 k∈(-5,- 2x+1 2],而当 k=-2 时有 p′(x)=0 在(0,3)上有两个相等的实根 x=1,故舍去,所以 k∈(-5,
18

-2). (2) 当 x<0 时,有 q′(x)=f′(x)=3x2-2(k2-k+1)x+5; 当 x>0 时,有 q′(x)=g′(x)=2k2x+k,因为当 k=0 时不合题意,因此 k≠0, 下面讨论 k≠0 的情形,记 A=(k,+∞),B=(5,+∞)①,当 x1>0 时,q′(x)在(0, +∞)上单调递增,所以要使 q′(x2)=q′(x1)成立,只能 x2<0 且 A?B ,因此有 k≥5,② 当 x1<0 时,q′(x)在(-∞,0)上单调递减,所以要使 q′(x2)=q′(x1)成立,只能 x2>0 且 B?A ,因此 k≤5,综合①②k=5; 当 k=5 时 A=B,则?x <0,q′(x1)∈B=A,即?x >0,使得 q′(x2)=q′(x1)成立, 1 2 因为 q′(x)在(0,+∞)上单调递增,所以 x2 的值是唯一的; 同理,?x <0,即存在唯一的非零实数 x2(x2≠x1),使 q′(x2)=q′(x1)成立,所以 k=5 1 满足题意. 基础训练 1. (-1,1) 2. {x|x<0 或 x>2} 3. (-∞,loga3) 解析:由题知 0<a<1,不等式 a2x-2ax-3>0 可化为(ax-3)(ax+1) >0,ax>3,x<loga3. 4. 15 4 1 1 15 解析:由函数 y=|log0.5x|得 x=1,y=0;x=4 或 x= 时 y=2,4- = . 4 4 4

例题选讲 例 1 解:(1)函数 f(x)为奇函数,f(-x)=-f(x)恒成立,∴ c=0,又由 f(1)=2,f(2)<

?a=2b-1, ? 3 得?4a+1 ? 2b <3, ?

x2+1 3 1 0<b< ,b∈Z ∴ b=1,a=1.(2) f(x)= =x+ ,函数在(-∞,- 2 x x

1)上递增,在(-1,0)上递减. -2x+b 变式训练 已知定义域为 R 的函数 f(x)= x+1 是奇函数. 2 +a (1) 求 a,b 的值; (2) 若对任意的 t∈R,不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 恒成立,求实数 k 的取值范围. b-1 解: (1) 因为 f(x)是定义域为 R 的奇函数,所以 f(0)=0,即 =0?b =1, ∴ f(x)= a+2 1 1- 2 1-2x 1-2 =- ?a =2. + ,又由 f(1)= -f(-1)知 a+2x 1 a+4 a+1 经检验符合题意,∴ a=2,b=1. 1-2 1 1 (2) (解法 1)由(1)知 f(x)= , x+1=- + x 2 2 +1 2+2 易知 f(x)在(-∞,+∞)上为减函数.又因 f(x)是奇函数,从而不等式: f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 等价于 f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(k-2t2), 因 f(x)为减函数,由上式推得:t2-2t>k-2t2.即对一切 t∈R 有:3t2-2t-k>0,从而 1 判别式 Δ=4+12k<0?k <- . 3 1-2x 1-2t2-2t 1-22t2-k (解法 2)由(1)知 f(x)= + <0,即: +1.又由题设条件得: 2+2x 2+2t2-2t+1 2+22t2-k+1
x

19

(22t2-k+1+2)(1-2t2-2t)+(2t2-2t+1+2)(1-22t2-k)<0, 整理得 23t2-2t-k>1,因底数 2>1,故: 3t2-2t-k>0 对一切 t∈R 均成立,从而判 1 别式 Δ=4+12k<0?k <- . 3 1 例 2 解:(1)当 x<0 时,f(x)=0;当 x≥0 时,f(x)=2x- x, 2 1 由条件可知 2x- x=2,即 22x-2·x-1=0,解得 2x=1± 2, 2 2 ∵ x>0,∴ x=log2(1+ 2). 1 1 2t t (2) 当 t∈[1,2]时,2t?2 -22t?+m?2 -2t?≥0, ? ? ? ? 即 m(22t-1)≥-(24t-1), ∵ 22t-1>0,∴ m≥-(22t+1). ∵ t∈[1,2],∴ -(22t+1)∈[-17,-5]. 故 m 的取值范围是[-5,+∞). 变式训练 设函数 f(x)=ax 满足条件:当 x∈(-∞,0)时,f(x)>1.当 x∈(0,1]时,不等 式 f(3mx-1)>f(1+mx-x2)>f(m+2)恒成立,求实数 m 的取值范围. 解: 由已知得 0<a<1,由 f(3mx-1)>f(1+mx-x2)>f(m+2),x∈(0,1]恒成立
?3mx-1<1+mx-x2, ? ? ? 在 x∈(0,1]上恒成立. 2 ? ?1+mx-x <m+2,
2 2 ? ? ?2mx<2-x , ?2mx<2-x , ? ? 整理,当 x∈(0,1]时, 2 恒成立.当 x=1 时, 2 恒成 ?m?x-1?<1+x . ?m?x-1?<1+x ? ?

1 立,则 m< . 2

?m<2-x , ? 2x 当 x∈(0,1)时,? 1+x ? ?m> x-1
2

2

恒成立,

2-x2 1 x = - 在(0,1)上单调减, 2x x 2

2-x2 1 1 ∴ > ,∴ m≤ . 2x 2 2 又∵ x2+1 x2+1 2 =(x-1)+ +2,在 x∈(0,1)上是减函数,∴ <-1. x-1 x-1 x-1
2

?m<2-x , ? 2x x +1 ∴ m> 恒成立?m ≥-1,当 x∈(0,1)时,? x-1 1+x ? ?m> x-1 ,
2 2

1 恒成立?m ?-1,2?. ∈? ?

综上,使 x∈(0,1]时,f(3mx-1)>f(1+mx-x2)>f(m+2)恒成立,实数 m 的取值范围 1 是?-1,2?. ? ? 例 3 解:(1) g(x)=a(x-1)2+1+b-a, 当 a>0 时,g(x)在[2,3]上为增函数,
20

? ? ? ?g?3?=4, ?9a-6a+1+b=4, ?a=1, ? ? 故? ? ? ?g?2?=1 ?4a-4a+1+b=1 ?b=0. ? ? ?

当 a<0 时,g(x)在[2,3]上为减函数.
? ? ? ?g?3?=1, ?9a-6a+1+b=1, ?a=-1, ? ? 故? ? ? ? ? ? ?g?2?=4 ?4a-4a+1+b=4 ?b=3.

1 ∵ b<1 ∴ a=1,b=0 即 g(x)=x2-2x+1.f(x)=x+ -2. x 1 (2) 方程 f(2x)-k·x≥0 化为 2x+ x-2≥k·x, 2 2 2 1 1 1 1+?2x?2-2 x≥k,令 x=t,k≤t2-2t+1, ? ? 2 2 1 ∵ x∈[-1,1],∴ t∈?2,2?.记 φ(t)=t2-2t+1, ? ? ∴ φ(t)min=0,∴ k≤0. 2 (3)由 f(|2x-1|)+k?|2x-1|-3?=0

?

?

得|2x-1|+

1+2k -(2+3k)=0, |2x-1|

|2x-1|2-(2+3k)|2x-1|+(1+2k)=0,|2x-1|≠0, 令|2x-1|=t, 则方程化为 t2-(2+3k)t+(1+2k)=0(t≠0), ∵ 方程|2x-1|+ 1+2k -(2+3k)=0 有三个不同的实数解, |2x-1|

∴ 由 t=|2x-1|的图象(如右图)知, t2-(2+3k)t+(1+2k)=0 有两个根 t1、t2,且 0<t1<1<t2 或 0<t1<1,t2=1, 记 φ(t)=t2-(2+3k)t+(1+2k),
? ?φ?0?=1+2k>0, 则? ? ?φ?1?=-k<0

?φ?0?=1+2k>0, ?φ?1?=-k=0, 或? ?0<2+3k<1. ? 2

∴ k>0.

例 4 解:(1) 由函数 f(x)定义域为 R,∴ b>0. 又 f(x)为奇函数,则 f(-x)=-f(x)对 x∈R 恒成立,得 a=0. 因为 y=f(x)= x 的定义域为 R,所以方程 yx2-x+by=0 在 R 上有解. x2+b 1 1 1 1 1 ≤y≤ ,而 f(x)的值域为?-4,4?,所以 = ,解 ? ? 2 b 2 b 2 b 4 1

当 y≠0 时,由 Δ≥0,得-

21

得 b=4;当 y=0 时,得 x=0,可知 b=4 符合题意.所以 b=4. x (2) ① 因为当 x∈[0,3)时,g(x)=f(x)= 2 , x +4 ?x-3?lnm 所以当 x∈[3,6)时,g(x)=g(x-3)lnm= ; ?x-3?2+4 当 x∈[6,9)时,g(x)=g(x-6)(lnm)2= ?x-3?lnm ??x-3? +4,x∈[3,6?, ? 故 g(x)=? ?x-6??lnm? ? ?x-6? +4 ,x∈[6,9?. ?
2 2 2

?x-6??lnm?2 , ?x-6?2+4

x 1 ② 因为当 x∈[0,3)时,g(x)= 2 在 x=2 处取得最大值为 ,在 x=0 处取得最小值为 4 x +4 ?x-3n??lnm?n 0,所以当 3n≤x<3n+3(n≥0,n∈Z)时,g(x)= 分别在 x=3n+2 和 x=3n 处 ?x-3n?2+4 ?lnm?n 取得最值 与 0. 4 ?lnm?2n (ⅰ) 当|lnm|>1 时,g(6n+2)= 的值趋向无穷大,从而 g(x)的值域不为闭区间; 4 (ⅱ) 当 lnm=1 时,由 g(x+3)=g(x)得 g(x)是以 3 为周期的函数,从而 g(x)的值域为闭 1 区间?0,4?; ? ? (ⅲ) 当 lnm=-1 时, g(x+3)=-g(x)得 g(x+6)=g(x), g(x)是以 6 为周期的函数, 由 得 -?x-3? 1 1 1 且当 x∈[3,6)时 g(x)= 值域为?-4,0?,从而 g(x)的值域为闭区间?-4,4?; 2 ? ? ? ? ?x-3? +4 1 ?lnm?n 1 (ⅳ) 当 0<lnm<1 时,由 g(3n+2)= < ,得 g(x)的值域为闭区间?0,4?; ? ? 4 4 (ⅴ) 当-1<lnm<0 时,由 lnm ?lnm?n 1 ≤g(3n+2)= ≤ ,从而 g(x)的值域为闭区间 4 4 4

?lnm,1?; ? 4 4?
1 综上知, m∈?e,1?∪(1, 即 0<lnm≤1 或-1≤lnm<0 时, 当 e], g(x)的值域为闭区间. ? ? 高考回顾 1. -9 1 2. ?-2,+∞? ? ?
?x≤1, ?x>1, ? ? 3. [0,+∞) 解析:? 1-x ?0 ≤x≤1 或? ?x >1,综上 x≥0. ? ? ?2 ≤2 ?1-log2x≤2

4. 2 解析:(解法 1) 方程 logax+x-b=0(a>0,a≠1)的根为 x0,即函数 y=logax(2<a <3)的图象与函数 y=b-x(3<b<4)的交点横坐标为 x0,且 x0∈(n,n+1),n∈N*,结合图 象,因为当 x=a(2<a<3)时,y=logax(2<a<3)图象上点的纵坐标为 1,对应直线上点的纵
22

坐标为 y=b-a∈(0,2),∴ x0∈(2,3),n=2. (解法 2) f(2)=loga2+2-b<0,f(3)=loga3+3-b>0,而 f(x)在(0,+∞)上单调增,∴ x0∈(2,3),n=2.
2 2 a x -ax+2 5. 解:f(x)的定义域是(0,+∞),f′(x)=1+ 2- = . x x x2

设 g(x)=x2-ax+2,二次方程 g(x)=0 的根判别式 Δ=a2-8. ① 当 Δ=a2-8<0,即 0<a<2 2时,对一切 x>0 都有 f′(x)>0,此时 f(x)在(0,+ ∞)上是增函数. ② 当 Δ=a2-8=0,即 a=2 2时,仅对 x= 2有 f′(x)=0,对其余的 x>0 都有 f′(x) >0,此时 f(x)在(0,+∞)上也是增函数. ③ 当 Δ=a2-8>0,即 a>2 2时, a- a2-8 a+ a2-8 方程 g(x)=0 有两个不同的实根 x1= ,x2= ,0<x1<x2. 2 2 x f′(x) f(x) (0,x1) + 单调递增 x1 0 极大 (x1,x2) - 单调递减 x2 0 极小 (x2,+∞) + 单调递增

? a- a2-8?上单调递增,在?a- a2-8 a+ a2-8?上是单调递减,在 此时 f(x)在?0, ? ? ? , 2 2 2 ? ? ? ? ?a+ a2-8 ? ? ,+∞?上单调递增. 2 ? ?
x-1 1 6. 解:(1) 由题设知 f(x)=lnx,g(x)=lnx+ , ∴ g′(x)= 2 ,令 g′(x)=0 得 x=1, x x 当 x∈(0,1)时,g′(x)<0,g(x)是减函数,故(0,1)是 g(x)的单调减区间.当 x∈(1,+∞)时, g′(x)>0,g(x)是增函数,故(1,+∞)是 g(x)的单调递增区间,因此 x=1 是 g(x)的唯一极 值点,且为极小值点,从而是最小值点,所以 g(x)的最小值为 g(1)=1. 1 1 ?x-1? 1 (2) g?x?=-lnx+x,设 h(x)=g(x)-g?x?=2lnx-x+ ,则 h′(x)=- ,当 x=1 ? ? ? ? x x2
2

1 时,h(1)=0,即 g(x)=g?x?,当 x∈(0,1)∪(1,+∞)时,h′(x)<0,因此 h(x)在(0,+∞) ? ? 1 1 内单调递减,当 0<x<1 时,h(x)>h(1)=0,即 g(x)>g?x?.x>1 时,h(x)<h(1)=0,g(0)<g?x?. ? ? ? ? 1 1 (3) 由(1)知 g(x)的最小值为 1,所以 g(a)-g(x)< ,对任意 x>0 恒成立?g(a) 1< , - a a 即 lna<1 从而得 0<a<e.

23

第4讲 函数的实际应用

1. 零点问题,在掌握二分法的解题步骤基础上,学会分析转化,能够把与之有关的问 题化归为方程零点问题. 2. 函数模型的实际应用问题,主要抓住常见函数模型的训练,如幂指对模型,二次函 数模型,数列模型,分段函数模型等,解答的重点是在信息整理和建模上. 3. 掌握解函数应用题的方法与步骤: 正确地将实际问题转化为函数模型(建模); (1) (2) 用相关的函数知识进行合理的设计,确定最佳的解题方案,进行计算与推理(解模);(3) 把 计算或推理得到的结果代回到实际问题中去解释实际问题,即对实际问题进行总结作答(检 验、作答).

1. 函数 f(x)=ex+x-2 的零点为 x0,则不小于 x0 的最小整数为________.

3 3a+2 2.关于 x 的方程?4?x= ? ? 5-a 有负实根,则实数 a 的取值范围是________.

3.某工厂的产值月平均增长率为 p,则年平均增长率为________.

4.某人在 2009 年初贷款 m 万元,年利率为 x,从次年初开始偿还,每年偿还的金额都 是 n 万元,到 2012 年初恰好还清,则 n 的值是________.

?2-?2? ,x≤0, ? ? 【例 1】 已知直线 y=mx(m∈R)与函数 f(x)=? 1 ?2x +1,x>0
1
x 2

的图象恰有 3 个不

同的公共点,求实数 m 的取值范围.

【例 2】 某村计划建造一个室内面积为 800 m2 的矩形蔬菜温室.在温室内,沿左、 右两侧与后侧内墙各保留 1 m 宽的通道,沿前侧内墙保留 3 m 宽的空地.当矩形温室的边 长各为多少时,蔬菜的种植面积最大?最大种植面积是多少?

24

【例 3】 2014 年青奥会水上运动项目将在 J 地举行.截至 2010 年底,投资集团 B 在 J 地共投资 100 百万元用于房地产和水上运动两个项目的开发.经调研,从 2011 年初到 2014 年底的四年间,B 集团预期可从三个方面获得利润:一是房地产项目,四年获得的利 润的值为该项目投资额(单位:百万元)的 20%;二是水上运动项目,四年获得的利润的值为 该项目投资额(单位:百万元)的算术平方根;三是旅游业,四年可获得利润 10 百万元. (1) B 集团的投资应如何分配,才能使这四年总的预期利润最大? (2) 假设从 2012 年起,J 地政府每年都要向 B 集团征收资源占用费,2012 年征收 2 百 万元, 以后每年征收的金额比上一年增加 10%.若 B 集团投资成功的标准是: 2011 年初到 从 2014 年底, 这四年总的预期利润中值(预期最大利润与最小利润的平均数)不低于总投资额的 18%,问 B 集团投资是否成功?

【例 4】 已知函数 f(x)=-x2+8x,g(x)=6lnx+m. (1) 求 f(x)在区间[t,t+1]上的最大值 h(t); (2) 是否存在实数 m,使得 y=f(x)的图象与 y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点? 若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,说明理由.

1 1. (2010· 浙江)已知 x0 是函数 f(x)=2x+ 的一个零点.若 x1∈(1,x0),x2∈(x0,+ 1-x ∞),则 f(x1)f(x2)________0.(填“>”或“<”). 2.(2011· 北京)根据统计,一名工人组装第 x 件某产品所用的时间(单位:分钟)为 f(x)=

? x,x<A, ?c ? A,x≥A,
c

(A,c 为常数).已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟,组装第 A 件产品

时用时 15 分钟,那么 c 和 A 的值分别是________.

3.(2010· 浙江)某商家一月份至五月份累计销售额达 3 860 万元, 预测六月份销售额为 500 万元,七月份销售额比六月份递增 x%,八月份销售额比七月份递增 x%,九、十月份销售 总额与七、八月份销售总额相等,若一月至十月份销售总额至少达 7 000 万元,则 x 的最小 值为________.

4.(2011· 重庆)设 m,k 为整数,方程 mx2-kx+2=0 在区间(0,1)内有两个不同的实根, 则 m+k 的最小值为________.

25

5.(2011· 山东)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中 间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的体积为 80π 立方米,且 l≥2r.假设 3

该容器的建造费用仅与其表面积有关. 已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元, 半球形 部分每平方米建造费用为 c(c>3)千元.设该容器的建造费用为 y 千元. (1) 写出 y 关于 r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (2) 求该容器的建造费用最小时的 r.

6.(2011· 福建)某商场销售某种商品的经验表明, 该商品每日的销售量 y(单位: 千克)与销 售价格 x(单位:元/千克)满足关系式 y= a +10(x-6)2,其中 3<x<6,a 为常数,已知销售 x-3

价格为 5 元/千克时,每日可售出该商品 11 千克. (1) 求 a 的值; (2) 若该商品的成本为 3 元/千克, 试确定销售价格 x 的值,使商场每日销售该商品所 获得的利润最大.

(2011· 湖南)(本小题满分 12 分)如图,长方形物体 E 在雨中沿面 P(面积为 S)的垂直方向 作匀速移动,速度为 v(v>0),雨速沿 E 移动方向的分速度为 c(c∈R).E 移动时单位时间内 的淋雨量包括两部分:(1) P 或 P 的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量,假设其值与|v-c|×S 1 1 成正比,比例系数为 ;(2) 其他面的淋雨量之和,其值为 ,记 y 为 E 移动过程中的总淋 10 2 3 雨量,当移动距离 d=100,面积 S= 时. 2 (1) 写出 y 的表达式; (2) 设 0<v≤10,0<c≤5,试根据 c 的不同取值范围,确定移动速度 v,使总淋雨量 y 最少. 3 1 解析:(1) 由题意知,E 移动时单位时间内的淋雨量为 |v-c|+ ,(2 分) 20 2 故 y= 1 5 100? 3 |v-c|+ ?= (3|v-c|+10). 2? v v ?20 (6 分)

5?3c+10? 5 (2) 由(1)知,当 0<v≤c 时,y= (3c-3v+10)= -15 v v

26

5?10-3c? 5 当 c<v≤10 时,y= (3v-3c+10)= +15. v v

?5?3c+10?-15,0<v≤c, v 故 y=? 5?10-3c? ? v +15,c<v≤10.

( 8 分)

10 3c ① 当 0<c≤ 时,y 是关于 v 的减函数.故当 v=10 时,ymin=20- . (10 分) 3 2 10 ② 当 <c≤5 时,在(0,c]上,y 是关于 v 的减函数;在(c,10]上,y 是关于 v 的增函数; 3 故当 v=c 时,ymin= 50 . (12 分) c 第 4 讲 函数的实际应用

1. 下列命题正确的是________(填所有正确命题的序号). ① 若 f(-x)=-f(2+x),则 f(x)的图象关于点(1,0)对称; ② 若 f(-x)=f(2+x),则 f(x)的图象关于直线 x=1 对称; ③ 若 y=f(x+1)是奇函数,则 y=f(x)关于点(1,0)对称; ④ 若 y=f(x+1)是偶函数,则 y=f(x)关于直线 x=1 对称. 【答案】 ①②③④ 2. 已知二次函数 y=g(x)的导函数的图象与直线 y=2x 平行,且 y=g(x)在 x=-1 处取 g?x? 得最小值 m-1(m≠0).设函数 f(x)= . x (1) 若曲线 y=f(x)上的点 P 到点 Q(0,2)的距离的最小值为 2,求 m 的值; (2) k(k∈R)取何值时,函数 y=f(x)-kx 存在零点,并求出零点. 解: (1) 设 g(x)=ax2+bx+c,a≠0 则 g′(x)=2ax+b; 又 g′(x)的图象与直线 y=2x 平行,∴ 2a=2,∴ a=1. b 又 g(x)在 x=-1 时取最小值,∴ - =-1,∴ b=2. 2 ∴ g(-1)=a-b+c=1-2+c=m-1,∴ c=m. g?x? m ∴ f(x)= =x+ +2.设 P(x0,y0), x x m m2 则|PQ|2=x2+(y0-2)2=x2+?x0+x ?2=2x2+ 2 +2m≥2 2m2+2m. 0 0 0 ? x0 0? ∴ 2 2m2+2m=2,∴ m= 2-1 或 m=- 2-1. m (2) 由 y=f(x)-kx=(1-k)x+ +2=0, x 得(1-k)x2+2x+m=0. (*)

27

m m 当 k=1 时,方程(*)有一解 x=- ,函数 y=f(x)-kx 有一零点 x=- ; 2 2 当 k≠1 时,方程(*)有两解?Δ =4-4m(1-k)>0. 若 m>0,k>1- -2± 4-4m?1-k? 1 , 函 数 y = f(x) - kx 有 两 个 零 点 x = = m 2?1-k?

1± 1-m?1-k? -2± 4-4m?1-k? 1 ;若 m<0,k<1- ,函数 y=f(x)-kx 有两个零点 x= m k-1 2?1-k? 1± 1-m?1-k? = ; k-1 1 当 k≠1 时,方程(*)有一解?Δ =4-4m(1-k)=0,k=1- , 函数 y=f(x)-kx 有一零 m 点 x= 1 . k-1

基础训练 1. 1 解析:f(0)<0,f(1)>0,x0∈(0,1). 3 2. ?4,5? ? ? 3a+2 3 解析:由 >1,得 <a<5. 4 5-a

3. (1+p)12-1 m?1+x?3 m?1+x?3 3 2 4. 2 解析:m(1+x) =n(1+x) +n(1+x)+n.n= 2 . x +3x+3 x +3x+3 例题选讲 例 1 解:作出函数 f(x)的图象,可见要使直线 y=mx(m∈R)与函数 f(x)的图象恰有三 1 1 个不同的公共点,只要 y= x2+1(x>0)与直线 y=mx(m∈R)有两个交点,即 x2+1=mx 有 2 2 两个不等的正根,x2-2mx+2=0 有两个不等的正根,∴ 得 m> 2. 变式训练

{Δ=4m2-8>0,?m>0, 解

?2 ?x-1?3,x<2, 若关于 x 的方程 (2011· 北京)已知函数 f(x)=?x,x≥2,? ?

f(x)=k 有两个不同的实根,则实数 k 的取值范围是________. 2 【答案】 (0,1) 解析:f(x)= (x≥2)单调递减且值域为(0,1],f(x)=(x-1)3(x<2)单调 x 递增且值域为(-∞,1),f(x)=k 有两个不同的实根,则实数 k 的取值范围是(0,1). 800 例 2 解:设温室的长为 x m,则宽为 m.由已知得蔬菜的种植面积为 S m2: x 800 1 600 S=(x-2)? x -4?=800-4x- +8 ? ? x 400 400 =808-4?x+ x ?≤648(当且仅当 x= 即 x=20 时,取“=”). ? ? x 答:当矩形温室的边长分别为 20 m,40 m 时,蔬菜的种植面积最大,最大种植面积是 648 m2. 变式训练 某学校拟建一块周长为 400 m 的操场如图所示, 操场的两头是半圆形, 中间 区域是矩形,学生做操一般安排在矩形区域,为了能让学生的做操区域尽可能大,试问如何 设计矩形的长和宽?

28

解:设中间区域矩形的长、宽分别为 x m、y m,中间的矩形区域面积为 S m2. πy πy 则半圆的周长为 m, 因为操场周长为 400 m, 所以 2x+2× =400, 2x+πy=400. 即 2 2 ∴ S=xy= 1 1 ?2x+πy?2 20 000 ·(2x)·(πy)≤ · = , 2π 2π ? 2 ? π

200 200 ? ? ?x=100,?y +πy=400, 解得 ?x=100,?y = . = 由 {2x=πy,?2x π 当? π 时等号 ? 成立. 200 答:设计矩形的长为 100 m,宽约为 (≈63.7)m 时,面积最大. π 例 3 解:(1) 设 B 集团用于水上运动项目的投资为 x 百万元,四年的总利润为 y 百万 元,由题意,y=0.2(100-x)+ x+10=-0.2x+ x+30,x∈[0,100]. 即 y=-0.2( x-2.5)2+31.25, x∈[0,10]. 所以当 x=2.5,即 x=6.25 时,ymax=31.25. 答:B 集团在水上运动项目投资 6.25 百万元,所获得的利润最大,为 31.25 百万元. (2) 由(1)知,在上缴资源占用费前,ymax=31.25,ymin=20. 由题意,从 2012 年到 2014 年,B 集团需上缴 J 地政府资源占用费共为 2(1+1.11+1.12)=6.62 百万元. 31.25+20 所以 B 集团这四年的预期利润中值为 -6.62=19.005. 2 19.005 由于 =19.005%>18%,所以 B 集团投资能成功. 100 答:B 集团在 J 地投资能成功. 注:若水上运动项目的利润改为该项目投资额的算术平方根的 k(k>0)倍,如何讨论? 例 4 解:(1) f(x)=-x2+8x=-(x-4)2+16. 当 t+1<4,即 t<3 时,f(x)在[t,t+1]上单调递增. h(t)=f(t+1)=-(t+1)2+8(t+1)=-t2+6t+7; 当 t≤4≤t+1,即 3≤t≤4 时,h(t)=f(4)=16; 当 t>4 时,f(x)在[t,t+1]上单调递减,h(t)=f(t)=-t2+8t. 2 ,3≤t≤4,? 2+8t, t>4. -t 综上,h(t)={-t +6t+7,t<3,?16 (2) 函数 y=f(x)的图象与 y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点,即函数 φ(x)=g(x) -f(x)的图象与 x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点. ∵ φ(x)=x2-8x+6lnx+m,
2 6 2x -8x+6 2?x-1??x-3? ∴ φ′(x)=2x-8+ = = (x>0), x x x

当 x∈(0,1)时,φ′(x)>0,φ(x)是增函数;当 x∈(1,3)时,φ′(x)<0,φ(x)是减函数; 当 x∈(3,+∞)时,φ′(x)>0,φ(x)是增函数;当 x=1 或 x=3 时,φ′(x)=0. ∴ φ(x)极大值=φ(1)=m-7,φ(x)极小值=φ(3)=m+6ln3-15. ∵ 当 x 充分接近 0 时,φ(x)<0,当 x 充分大时,φ(x)>0. ∴ 要使 φ(x)的图象与 x 轴正半轴有三个不同的交点,必须且只须
29

{φ?x?极大值=m-7>0,?φ?x?极小值=m+6ln3-15<0, 即 7<m<15-6ln3.
所以存在实数 m,使得函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点,m 的取 值范围为(7,15-6ln3). 高考回顾 1. < 解析:f(x)在(1,+∞)单调递增,f(x0)=0,f(x1)<0,f(x2)>0. 2. 60,16 解析:由条件可知,x≥A 时所用时间为常数,所以组装第 4 件产品用时必然 c 60 满足第一个分段函数,即 f(4)= =30?c =60,f(A)= =15?A =16. 4 A 3. 20 解析:3 860+500+2[500(1+x%)+500(1+x%)2]≥7 000,x≥20. 4. 13 解析: 设 f(x)=mx2-kx+2,则方程 mx2-kx+2=0 在区间(0,1)内有两个不同 k ? 2 < 的根等价于?f?0?f?1?>0,?0 2m<1,?k -8m>0, 因为 f(0)=2,所以 f(1)=m-k+2>
?

0,故抛物线开口向上,于是 m>0,0<k<2m,令 m=1,则由 k2-8m>0,得 k≥3,则 m k 3 k 5 > ≥ ,所以 m 至少为 2,但 k2-8m>0,故 k 至少为 5,又 m> ≥ ,所以 m 至少为 3, 2 2 2 2 又由 m>k-2=5-2,所以 m 至少为 4,?,依次类推,发现当 m=6,k=7 时,m,k 首 次满足所有条件,故 m+k 的最小值为 13. 80 4 80 5. 解:(1) 因为容器的体积为 π 立方米,所以 πr3+πr2l= π, 3 3 3 解得 l= 80 4 4?20 ? - r= 2 -r?, 3r2 3 3? r

由于 l≥2r,因此 0<r≤2, 4 20 所以建造费用 y=2πrl×3+4πr2c=2πr× ? r2 -r?×3+4πr2c, ? 3? 因此 y= 160π -8r2+4πcr2,定义域为(0,2]. r

8π[?c-2?r3-20] 160π (2) y′=- 2 -16r+8πcr= , r r2 3 20 20 由于 c>3,所以 c-2>0,当 r3= 时 r= , c-2 c-2 3 20 =m,则 m>0, c-2 8π?c-2? (r-m)(r2+mr+m2). r2



所以 y′=

9 ①当 0<m<2 即 c> 时, 2 当 r=m 时,y′=0; 当 r∈(0,m)时,y′<0; 当 r∈(m,2)时,y′>0, 所以 r=m 是函数 y 的极小值点,也是最小值点, 9 ②当 m≥2,即 3<c≤ 时, 2

30

当 r∈(0,2)时,y′<0,函数单调递减, 所以 r=2 是函数 y 的最小值点. 9 综上,当 3<c≤ 时,建造范围最小时 r=2; 2 3 20 9 当 c> 时,建造费用最小时 r= . 2 c-2 a 6. 解:(1) 因为 x=5 时 y=11,所以 +10=11?a =2. 2 (2) 由(1)知该商品每日的销售量为 y= 获得的利润: 2 2 f(x)=(x-3)?x-3+10?x-6? ?=2+10(x-3)(x-6)2,3<x<6; 2 +10(x-6)2,所以商场每日销售该商品所 x-3

?

?

f′(x)=10[(x-6) +2(x-3)(x-6)]=30(x-4)(x-6),令 f′(x)=0 得 x=4. 函数 f(x)在(3,4)上递增,在(4,6)上递减,所以当 x=4 时函数 f(x)取得最大值 f(4)=42. 答:当销售价格 x=4 元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大,最大值为 42 元.

2

31

第5讲 不等式及其应用

1. 理解并掌握不等式的基本性质及解法. 2. 掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理, 并能灵 活运用其解决问题.

? x+1 ? >0?,集合 B={x|y=lg(x2+x-2)},则 A∩B=________. 1. 已知集合 A=?x ? 2-x ?

1 2.设 0<a<b,a+b=1,则 ,b,2ab,a2+b2 中的最大的是________. 2

3.点 P(x,y)是直线 x+3y-2=0 上的动点,则代数式 3x+27y 有最小值是________.

4.已知函数 f(x)=|lgx|.若 a≠b 且 f(a)=f(b),则 a+b 的取值范围是________.

【例 1】 设函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R). a (1) 已知 f(1)=- , 2 ①若 f(x)<1 的解集为(0,3),求 f(x)的表达式; ②若 a>0,求证:函数 f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点. (2) 已知 a=1,若 x1,x2 是方程 f(x)=0 的两个根,且 x1,x2∈(m,m+1),其中 m∈R, 求 f(m)f(m+1)的最大值.

【例 2】 若关于 x 的不等式(2x-1)2<ax2 的解集中整数恰好有 2 个,求实数 a 的取值 范围.

【例 3】 某建筑的金属支架如图所示,根据要求 AB 至少长 2.8 m,C 为 AB 的中点,
32

B 到 D 的距离比 CD 的长小 0.5 m,∠BCD=60° ,已知建筑支架的材料每米的价格一定,问 怎样设计 AB,CD 的长,可使建造这个支架的成本最低?

【例 4】 (1) 已知函数 f(x)=lnx-x+1,x∈(0,+∞),求函数 f(x)的最大值; (2) 设 ak,bk(k=1,2?,n)均为正数,证明: ①若 a1b1+a2b2+?+anbn≤b1+b2+?+bn,则 ab11ab22?abnn≤1; 1 ②若 b1+b2+?+bn=1,则 ≤bb11bb22?bbnn≤b2+b2+?+b2. 1 2 n n

1 1 2 2 1. (2011· 湖南)设 x,y∈R 且 xy≠0,则?x +y2??x2+4y ?的最小值为________. ? ?? ?

?x+y≥2, ? 2.(2011· 福建)已知 O 是坐标原点,点 A(-1,1),若点 M(x,y)为平面区域?x≤1, ?y≤2 ?
→ → 上的一个动点,则OA· 的取值范围是________. OM

3.(2010· 江苏)将边长为 1 m 的正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中 ?梯形的周长?2 一块是梯形,记 S= ,则 S 的最小值是________. 梯形的面积

4.(2011· 重庆)若实数 a,b,c 满足 2a+2b=2a ________.

+b,

2a+2b+2c=2a

+b+c

,则 c 的最大值是

5.(2011· 四川)某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工人,有 8 辆载重量为 10 吨的甲型卡 车和 7 辆载重量为 6 吨的乙型卡车.某天需运往 A 地至少 72 吨的货物,派用的每辆车需满 载且只运送一次.派用的每辆甲型卡车需配 2 名工人,运送一次可得利润 450 元;派用的每 辆乙型卡车需配 1 名工人, 运送一次可得利润 350 元, 该公司合理计划当天派用两类卡车的
33

车辆数,可得最大利润为多少元?

6.(2010· 江苏)设各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn, 已知 2a2=a1+a3, 数列{ Sn} 是公差为 d 的等差数列. (1) 求数列{an}的通项公式(用 n,d 表示); (2) 设 c 为实数,对满足 m+n=3k 且 m≠n 的任意正整数 m,n,k,不等式 Sm+Sn>cSk 9 都成立.求证:c 的最大值为 . 2

(2010· 江苏)(本小题满分 14 分)某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位:m),如图所 示,垂直放置的标杆 BC 的高度 h=4 m,仰角∠ABE=α,∠ADE=β.

(1) 该小组已经测得一组 α、β 的值,tanα=1.24,tanβ=1.20,请据此算出 H 的值; (2) 该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离 d(单位:m),使 α 与 β 之差较大,可以提高测量精确度.若电视塔的实际高度为 125 m,试问 d 为多少时, α-β 最大? 解:(1) H H H h =tanβ?AD = ,同理,AB= ,BD= .(2 分) AD tanβ tanα tanβ 4×1.24 H H h htanα - = ,解得 H= = =124.因此, tanβ tanα tanβ tanα-tanβ 1.24-1.20

AD-AB=DB,故得

算出电视塔的高度 H 是 124 m.(5 分) H H h H-h (2) 由题设知 d=AB,得 tanα= ,tanβ= = = ,(7 分) d AD DB d H H-h - d d tanα-tanβ hd h tan(α-β)= = = 2 = ,(9 分) 1+tanα·tanβ H?H-h? H H-h d +H?H-h? 1+ · d+ d d d π π π 函数 y=tanx 在?0,2?上单调增,0<β<α< ,则 0<α-β< , (11 分) ? ? 2 2 H?H-h? 因为 d+ ≥2 H?H-h?,(当且仅当 d= H?H-h?= 125×121=55 5时,取等 d 号),故当 d=55 5时,tan(α-β)最大,(13 分) 所以当 d=55 5时,α-β 最大.故所求的 d 是 55 5 m.(14 分)

34

第 5 讲 不等式及其应用

?1 1 ?1 1. 若函数 f(x)=?x,x<0,? 3?x,x≥0, 则不等式|f(x)|≥ 的解集为________. ? ? 3 ?

【答案】 [-3,1] 解析:本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法. 属于基 础知识、基本运算的考查. 1 ? ?1 1 -3≤x<0. ? ① 由|f(x)|≥ ? x<0,? x?≥3 ? ? ? 3 ? 1 ? 1 1 ? ?1 ?1 ? ? ② 由|f(x)|≥ ? x≥0,? ?3?x?≥3 ? x≥0,? 3?x≥3 ?0 ≤x≤1. ?? ? ? ? ? 3 ? ? 1 ∴ 不等式|f(x)|≥ 的解集为{x|-3≤x≤1}. 3

2. 设函数 f(x)=x3+3bx2+3cx 有两个极值点 x1、x2,且 x1∈[-1,0],x2∈[1,2]. (1) 求 b、c 满足的约束条件,并在下面的坐标平面内,画出满足这些条件的点(b,c) 的区域; 1 (2) 证明:-10≤f(x2)≤- . 2 (1) 解:f′(x)=3x2+6bx+3c 由题意知方程 f′(x)=0 有两个根 x1、x2. 且 x1∈[-1,0],x2∈[1,2].则有 f′(-1)≥0,f′(0)≤0,f′(1)≤0,f′(2)≥0 ≤0,?2b +c+1≤0,?4b +c+4≥0. 故有{2b-c-1≤0,?c 图中阴影部分即是满足这些条件的点(b,c)的区域. (2) 证明: 由题意有 f′(x2)=3x2+6bx2+3c=0, ① 2 3 2 又 f(x2)=x2+3bx2+3cx2, ② 1 3c 消去 b 可得 f(x2)=- x3+ x2. 2 2 2 1 又∵ x2∈[1,2],且 c∈[-2,0],∴ -10≤f(x2)≤- . 2 基础训练 1. (1,2) 解析:A=(-1,2),B=(-∞,-2)∪(1,+∞),∴ A∩B=(1,2).

35

1 1 2. b 解析:0<a<b,a+b=1,得 0<a< , <b<1,b-(a2+b2)=b-b2-(1-b)2= 2 2 (2b-1)(1-b)>0. 3. 6 解析:3x+27y≥2 3x· y=2 3x 27
+3y

=2 32=6.

1 4. (2,+∞) 解析:(解法 1)因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以 a=b(舍去)或 b= , a 1 1 所以 a+b=a+ , 0<a<b, 又 所以 0<a<1<b, f(a)=a+ 由“对数”函数的性质知函数 f(a) 令 a a 在 a∈(0,1)上为减函数,所以 f(a)>f(1)=1+1=2,即 a+b 的取值范围是(2,+∞). <b,?ab =1, 利用线性规划得: (解法 2)由 0<a<b,且 f(a)=f(b)得:{0<a<1,?1 0<x<1,?1 <y,?xy =1. { 1 1 化为求 z=x+y 的取值范围问题, z=x+y?y =-x+z, ?y y= ′=- 2<-1? 过点(1,1) x x 时,z 取最小值为 2. 例题选讲 例 1 a b 2 ? ? =1,? =3 ??a= ,?b - =-2,?c =1, 解:(1)①?a+b+c=-2,?c a 3
? ?



2 f(x)= x2-2x+1. 3 a a ② 证明:a+b+c=- ,f(0)=c,f(1)=- <0,f(2)=4a+2b+c=a-c,若 c>0,则 2 2 f(0)>0,f(1)<0,函数 f(x)在(0,1)上连续,则 f(x)在(0,1)内必有一实根;若 c≤0,a>0, 则 f(2)=a-c>0,f(1)<0,函数 f(x)在(1,2)上连续,∴ f(x)在(1,2)内必有一实根,综上,函数 f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点. (2) f(x)=(x-x1)(x-x2),x1,x2∈(m,m+1),m-x1<0,m-x2<0,m+1-x1>0,m +1-x2 >0, ∴ f(m)· f(m+1)=(m-x1)(m-x2)(m+1-x1)(m+1-x2)=[(x1 -m)(m+1- x1)][(x2-m)(m+1-x2)]≤?

?

x1-m+m+1-x1?2 ?x2-m+m+1-x2?2 1 2 2 ?· ? ? =16,当且仅当 x1=x2

2m+1 1 = 时取等号,∴ f(m)f(m+1)的最大值为 . 2 16 3 变式训练 已知 f(x)=x2-x+k,k∈Z,若方程 f(x)=2 在?-1,2?上有两个不相等的 ? ? 实数根. (1) 确定 k 的值; [f?x?]2+4 (2) 求 的最小值及对应的 x 值. f?x? 解: (1) 设 g(x)=f(x)-2=x2-x+k-2, 由题设有
? -1 ? 3 5 9 5 ?3 ?g?-1?=k>0,?g ?=k- >0,?Δ =9-4k>0,? - ∈ -1,2? ? <k<4,又 ? 2? ? 4 4 2 ? ?

k∈Z,∴ k=2. 1 7 (2) ∵k=2,∴ f(x)=x2-x+2=?x-2?2+ >0, ? ? 4

36

[f?x?]2+4 4 ∴ =f(x)+ ≥2 f?x? f?x? 当且仅当 f(x)=

4 f?x?· =4, f?x?

4 ,即[f(x)]2=4 时取等号. f?x?

∵ f(x)>0,∴ f(x)=2 时取等号. [f?x?]2+4 即 x2-x+2=2,解得 x=0 或 1.当 x=0 或 1 时, 取最小值 4. f?x? 例 2 解: (解法 1)显然 a≤0 时, 不等式解集为? 故 a>0.因此不等式等价于(-a+4)x2 , -4x+1<0,易知 a=4 不合题意,所以二次方程(-a+4)x2-4x+1=0 中的 Δ=4a>0,且 1 1 1 1 1 有 4-a>0,故 0<a<4,不等式的解集为 <x< , < < 则一定有{1,2} 2+ a 2- a 4 2+ a 2 为所求的整数解集,所以 2< 9 25 1 ≤3 时,解得实数 a 的取值范围为?4, 9 ?. ? ? 2- a

(解法 2)在同一个坐标系中分别作出函数 f(x)=(2x-1)2,g(x)=ax2 的图象,显然 a≤0 9 25 ?3?≤f?3? 即可,求得 <a≤ . 不合要求,从图象可知{g?2?>f?2?,?g 4 9

例 3 解:设 BC=a m(a≥1.4),CD=b m,连结 BD. 1 则在△CDB 中,?b-2?2=b2+a2-2abcos60° . ? ? 1 1 a2- a2- 4 4 ∴ b= . ∴ b+2a= +2a. a-1 a-1 2.8 设 t=a-1,t≥ -1=0.4, 2 1 ?t+1?2- 4 3 则 b+2a= +2(t+1)=3t+ +4≥7, t 4t 等号成立时 t=0.5>0.4,a=1.5,b=4. 答:当 AB=3 m,CD=4 m 时,建造这个支架的成本最低. 变式训练 如图, 为处理含有某种杂质的污水, 要制造一底宽为 2 m 的无盖长方体沉淀

箱.污水从 A 孔流入,经沉淀后从 B 孔流出.设箱体的长度为 a m,高度为 b m.已知 流出的水中该杂质的质量分数与 a,b 的乘积成反比.现有制箱材料 60 平方米.问当 a,b 各为多少米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.(A、B 孔的面积忽略不计) 解:(解法 1)设 y 为流出的水中杂质的质量分数,则 y=k/ab,其中 k 为比例系数且 k>
37

0,依题意,即所求的 a,b 值使 y 值最小. 根据题设,有 4b+2ab+2a=60(a>0,b>0),得 b =(30-a)/(2+a) (0<a<30), ① 于是 y=k/ab=k/[(30a-a2)/(2+a)] =k/[-a+32-64/(a+2)]=k/[34-(a+2+64/(a+2)] ≥ 34-2 k = . 18 64 ?a+2?· a+2 k

当且仅当 a+2=64/(a+2)时取等号,y 取最小值. 此时 a=6,a=-10(舍). 将 a=6 代入①式 得 b=3. 故当 a 为 6 米,b 为 3 米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小. (解法 2)依题意,即所求的 a,b 的值使 ab 最大. 由题设知 4a+2ab+2a=60 (a>0,b>0), 即 a+2b+ab=30(a>0,b>0). ∵ a+2b≥2 2ab, ∴ 2 2ab+ab≤30, 当且仅当 a=2b 时,上式取等号. 由 a>0,b>0,解得 0<ab≤18.即 当 a=2b 时,ab 取得最大值,其最大值为 18. ∴ 2b2=18.解得 b=3,a=6. 故当 a 为 6 米,b 为 3 米时,经沉淀后流出的水中该杂质 的质量分数最小. 例4 1 (1) 解:f(x)的定义域为(0,+∞),令 f′(x)= -1=0?x =1, x

f(x)在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减,故函数 f(x)在 x=1 处取得最大值 f(1)=0. (2) 证明:①由(1)知当 x∈(0,+∞)时有 f(x)≤f(1)=0 即 lnx≤x-1,
n k 1 n k 1

∵ ak,bk 均为正数, ∴ bk· k≤bk(ak-1),(k=1,2,?,n)?∑ lnabkk≤∑ bk(ak-1), lna = =
n k 1 n k 1 n k 1

b ∵ ∑ akbk≤∑ bk,∴ ∑ lnabkk≤0 即 ln(ab11ab22?abnn)≤0?a 11ab22?abnn≤1, = = = 1 1 1 n ② (ⅰ) 先证 bb11bbnn≥ ,令 ak= ,(k=1,2,?,n),则 akbk= ?∑ akbk=1, n nbk n k=1 1 1 1 1 由(ⅰ)知?nb ?b1?nb ?b2??nb ?bn≤1? ≤nb1+b2+?+bn=n, ? 1? ? 2? ? n? bb11bb22?bbnn 1 ∴ bb11bb21?bbn1≥ ; n
n bk (ⅱ) 再证 bb11bb22?bbnn≤b2+b2?+b2,记 S=∑ b2,ak= (k=1,2,?n), 1 2 n k =1 S k n n 1 n 则∑ akbk= ∑ b2=1=∑ bk 于是由(1) 得 k Sk=1 k=1 k=1

?b1?b1?b2?b2??bn?bn≤1?bb11bb22?bbnn≤Sb1+b2+?bn=S, ?S? ?S? ?S?
2 所以 bb11bb22?bbnn≤b2+b2?+bn.综上可得证. 1 2 高考回顾

1 1 1 2 2 1. 9 解析:?x +y2??x2+4y ?=5+ 2 2+4x2y2≥5+2· 2=9. ? ?? ? xy → → 2. [0,2] 解析:区域为三角形区域,三个顶点坐标分别为(0,2),(1,1),(1,2),OA· = OM

38

-x+y∈[0,2]. 3. 32 3 3 解析:设梯形的上底边长为 x,则 0<x<1,梯形面积为 3 (1-x2),梯形的 4

2 4 3?x -6x+9? 1 32 3 周长为 3-x,S= ? 1-x2 ?(0<x<1),用导数求得 x=3时,S 取最小值 3 . 3 ? ?

4. 2-log23 解析: ∵ 2a b=2a+2b≥2 2a b,∴ 2a b≥4, 2c 2c + + + + + 又∵ 2a+2b+2c=2a b c,∴ 2a b+2c=2a b·c,∴ c 2 =2a b≥4,即 c ≥4,即 2 -1 2 -1 4-3×2c 4 4 ≥0,∴ 2c≤ ,∴ c≤log2 =2-log23,∴ c 的最大值为 2-log23. 3 3 2c-1 5. 解:设派用甲型卡车 x(辆),乙型卡车 y(辆),获得的利润为 u(元),u=450x+350y, 由题意,x、y 满足关系式 {x+y≤12,?2x+y≤19,?10x+6y≥72,?0≤x≤8,?0≤y≤7, 作出相应的平面 区域,u=450x+350y=50(9x+7y). +y≤19 确定的交点(7,5)处取得最大值 4 900 元, 在由{x+y≤12,?2x 答:派甲型卡车 7 辆,乙型卡车 5 辆,可得最大利润为 4 900 元. 6. (1)解:由题意知:d>0, Sn= S1+(n-1)d= a1+(n-1)d, 2a2=a1+a3?3a =S3?3(S -S1)=S3,3[( a1+d)2-a1]2=( a1+2d)2,化简得:a1-2 a1· d 2 2 2 2 +d =0, a1=d,a1=d , Sn=d+(n-1)d=nd,Sn=n2d2, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n2d2-(n-1)2d2=(2n-1)d2,适合 n=1 情形. 故所求 an=(2n-1)d2(n∈N*). m2+n2 2 2 (2) 证明:Sm+Sn>cSk?m d2+n2d2>c·2d2?m +n2>c·2,c< k k 恒成立.又 m+n k2 m2+n2 9 =3k 且 m≠n,2(m2+n2)>(m+n)2=9k2? 2 > , k 2 9 9 故 c≤ ,即 c 的最大值为 . 2 2







39

第6讲 导数及其应用

1. 了解导数的实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等),掌握函数在一 点处的导数定义和导数几何意义,理解导函数的概念. 2. 熟记导数的基本公式,掌握两个函数和、差、积、商的求导法则,了解复合函数的 求导法则,会求某些简单函数的导数. 3. 理解可导函数的单调性与其导数的关系,了解可导函数在某点取得极值时的必要条 件和充分条件(导数在极值点两侧异号),能用导数解决一些实际问题(一般指单峰函数)的最 大值和最小值等.

1. 已知函数 f(x)=x3+ax2+3x-9 在 R 上存在极值,则实数 a 的取值范围是________.

2.已知某生产厂家的年利润 y(单位:万元)与年产量 x(单位:万件)的函数关系式为 y= 1 - x3+81x-234,则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为________万件. 3

1 3.直线 y= x+b 是曲线 y=lnx(x>0)的一条切线,则实数 b=________. 2

4.若曲线 f(x)=ax2+lnx 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是________.

【例 1】 已知曲线 f(x)=x3-3x. (1) 求曲线在点 P(1,-2)处的切线方程; (2) 求过点 Q(2,-6)的曲线 y=f(x)的切线方程.

【例 2】 已知函数 f(x)=(x-k)ex. (1) 求 f(x)的单调区间; (2) 求 f(x)在区间[0,1]上的最小值.

40

【例 3】 (2009· 山东)两县城 A 和 B 相距 20 km,现计划在两县城外以 AB 为直径的半 圆弧 AB 上选择一点 C 建造垃圾处理厂, 其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关, 对城 A 和城 B 的总影响度为城 A 与城 B 的影响度之和,记 C 点到城 A 的距离为 x km,建 在 C 处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度为 y,统计调查表明:垃圾处理厂对城 A 的 影响度与所选地点到城 A 的距离的平方成反比,比例系数为 4;对城 B 的影响度与所选地 点到城 B 的距离的平方成反比,比例系数为 k ,当垃圾处理厂建在 AB 的中点时,对城 A 和城 B 的总影响度为 0.065. (1) 将 y 表示成 x 的函数; (2) 讨论(1)中函数的单调性, 并判断弧 AB 上是否存在一点, 使建在此处的垃圾处理厂 对城 A 和城 B 的总影响度最小?若存在,求出该点到城 A 的距离,若不存在,说明理由.

1 4 5 【例 4】 (2011· 苏北四市三模)已知函数 f(x)=ax2+lnx,f1(x)= x2+ x+ lnx,f2(x)= 6 3 9 1 2 x +2ax,a∈R. 2 (1) 求证:函数 f(x)在点(e,f(e))处的切线恒过定点,并求出定点坐标; (2) 若 f(x)<f2(x)在区间(1,+∞)上恒成立,求 a 的取值范围; 2 (3) 当 a= 时,求证:在区间(1,+∞)上,满足 f1(x)<g(x)<f2(x)恒成立的函数 g(x)有 3 无穷多个.

1. (2011· 湖南)曲线 y=

π sinx 1 - 在点 M?4,0?处的切线的斜率为________. ? ? sinx+cosx 2

2.(2009· 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 在曲线 C:y=x3-10x+3 上,且在第二 象限内,已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2,则点 P 的坐标为________.

3.(2010· 辽宁)已知点 P 在曲线 y= 取值范围是________.

4 上,α 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 α 的 ex+1

4.(2011· 福建)若 a>0,b>0,且函数 f(x)=4x3-ax2-2bx+2 在 x=1 处有极值,则 ab 的最大值等于________.

41

1 1 5.(2011· 江西)设 f(x)=- x3+ x2+2ax. 3 2 2 (1) 若 f(x)在?3,+∞?上存在单调递增区间,求实数 a 的取值范围; ? ? 16 (2) 当 0<a<2 时,f(x)在[1,4]上的最小值为- ,求 f(x)在该区间上的最大值. 3 6.(2010· 辽宁)已知函数 f(x)=(a+1)lnx+ax2+1. (1) 讨论函数 f(x)的单调性; (2) 设 a<-1.如果对任意 x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|,求 a 的取值范围.

(2011· 南京三模)(本题满分 16 分)已知函数 f(x)=x3+x2-ax(a∈R) (1) 当 a=0 时,求与直线 x-y-10=0 平行,且与曲线 y=f(x)相切的直线方程; f?x? (2) 求函数 g(x)= -alnx(x>1)的单调递增区间; x (3) 如果存在 a∈[3,9], 使函数 h(x)=f(x)+f′(x)(x∈[-3, b])在 x=-3 处取得最大值, 试求 b 的最大值. 解:(1) 设切点为 T(x0,x03+x02),由 f′(x)=3x2+2x 及题意得 3x02+2x0=1(2 分) 1 4 1 解得 x0=-1 或 x0= ,所以 T(-1,0)或 T?3,27?, ? ? 3 所以切线方程为 x-y+1=0 或 27x-27y-5=0,(4 分) a (2) 因为 g(x)=x2+x-a-alnx(x>1),所以由 g′(x)=2x+1- >0 得 2x2+x-a>0(6 分) x 令 φ(x)=2x2+x-a(x>1), 因为 φ(x)在(1, +∞)递增, 所以 φ(x)>φ(1)=3-a.当 3-a≥0, 即 a≤3 时,g(x)的增区间为(1,+∞);(8 分) 当 3-a<0 即 a>3 时,因为 φ(1)=3-a<0,所以 φ(x)的一个零点小于 1,另一个零点大 -1- 1+8a -1+ 1+8a 于 1,由 φ(x)=0 得 x1= <1,x2= >1,从而 φ(x)>0(x>1)的解集为 4 4

?-1+ 1+8a ? ? ,+∞? 4 ? ?
即 g(x)的增区间为?

?-1+ 1+8a ? ,+∞?.(10 分) 4 ? ?

(3) h(x)=x3+4x2+(2-a)x-a,h′(x)=3x2+8x+(2-a).因为存在 a∈(3,9],令 h′(x) -4- 3a+10 -4+ 3a+10 =0,得 x1= ,x2= ,所以要使 h(x)(x∈[-3,b])在 x=-3 处 3 3
?x1≤-3, ? 取得最大值,必有? 解得 a≥5,即 a∈[5,9](13 分) ? ?x2>-3,

所以存在 a∈[5,9]使 h(x)(x∈[-3, b])在 x=-3 处取得最大值的充要条件为 h(-3)≥h(b) 3 2 即存在 a∈[5,9]使(b+3)a-(b +4b +2b-3)≥0 成立.因为 b+3>0 所以 9(b+3)-(b3+4b2

42

-1- 41 -1+ 41 +2b-3)≥0,即(b+3)(b2+b-10)≤0,解得 ≤b≤ ,所以 b 的最大值为 2 2 -1+ 41 (16 分) 2 第 6 讲 导数及其应用

1. 函数 f(x)=x3-15x2-33x+6 的单调减区间为________. 【答案】 (-1,11) 解析: f′(x)=3x2-30x-33=3(x-11)(x+1), 由(x-11)(x+1)<0 得单调减区间为(-1,11).亦可填写闭区间或半开半闭区间. 1 2. 已知函数 f(x)= ax3+bx2+x+3,其中 a,b∈R,a≠0. 3 (1) 当 a,b 满足什么条件时,f(x)取得极值? (2) 已知 a>0,且 f(x)在区间(0,1]上单调递增,试用 a 表示出 b 的取值范围. 解: (1)由已知得 f′(x)=ax2+2bx+1,令 f′(x)=0,得 ax2+2bx+1=0, f(x)要取得极值,方程 ax2+2bx+1=0 必须有两个不同解, 所以 Δ=4b2-4a>0,即 b2>a, 此时方程 ax2+2bx+1=0 的根为 -2b- 4b2-4a -b- b2-a x1= = , 2a a -2b+ 4b2-4a -b+ b2-a x2= = , 2a a 所以 f′(x)=a(x-x1)(x-x2). 当 a>0 时, x f′(x) f(x) (-∞,x1) + ? x1 0 极大值 (x1,x2) - ? x2 0 极小值 (x2,+∞) + ?

所以 f(x)在 x1,x2 处分别取得极大值和极小值. 当 a<0 时, x f′(x) f (x) (-∞,x2) - ? x2 0 极小值 (x2,x1) + ? x1 0 极大值 (x1,+∞) - ?

所以 f(x)在 x1,x2 处分别取得极大值和极小值. 综上,当 a,b 满足 b2>a 时,f(x)取得极值. (2) 要使 f(x)在区间(0,1]上单调递增,需使 f′(x)=ax2+2bx+1≥0 在(0,1]上恒成立. ax 1 ax 1 即 b≥- - ,x∈(0,1]恒成立, 所以 b≥?- 2 -2x?max. ? ? 2 2x 1 2 -a?x -a? ? ? ax 1 a 1 设 g(x)=- - ,g′(x)=- + 2= , 2 2x 2 2x 2x2

43

令 g′(x)=0 得 x=

1 1 或 x=- (舍去), a a

1 1 ax 1 当 a>1 时,0< <1,当 x∈?0, ?时,g′(x)>0,g(x)=- - 单调增函数; a 2 2x a? ? 当 x∈? 1 ax 1 ,1?时,g′(x)<0,g(x)=- - 单调递减, 2 2x ? a ? 1 1 时,g(x)取得极大值,极大值为 g? ?=- a. ? a? a

所以当 x=

所以 b≥- a. 1 ax 1 当 0<a≤1 时, ≥1,此时 g′(x)≥0 在区间(0,1]上恒成立,所以 g(x)=- - 在区 2 2x a a+1 a+1 间(0,1]上单调递增,当 x=1 时,g(x)最大,最大值为 g(1)=- ,所以 b≥- . 2 2 a+1 综上,当 a>1 时,b≥- a;当 0<a≤1 时,b≥- . 2 点评:本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值,函数 在区间上为单调函数,则导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立,再转为函 数研究最值.运用函数与方程的思想,化归思想和分类讨论的思想解答问题. 基础训练 1. (-∞,-3)∪(3,+∞) 解析:f′(x)=3x2+2ax+3,Δ=4a2-36>0,解得 a>3 或 a<-3. 2. 9 解析:y′=-x2+81>0,解得 0<x<9;令导数 y′=-x2+81<0,解得 x>9, 1 所以函数 y=- x3+81x-234 在区间(0,9)上是增函数,在区间(9,+∞)上是减函数,所以 3 在 x=9 处取极大值,也是最大值. 1 1 1 3. ln2-1 解析:y′= ,令 = 得 x=2,故切点为(2,ln2),代入直线方程得,b=ln2 x x 2 -1. 4. {a|a<0} 1 解析:由题意知该函数的定义域为(0,+∞),由 f′(x)=2ax+ .因为存在 x

1 垂直于 y 轴的切线,故此时斜率为 0,问题转化为在 x>0 范围内,导函数 f′(x)=2ax+ 存 x 1 1 在零点.等价于方程 2ax+ =0 在(0,+∞)内有解,显然可得 a=- 2∈(-∞,0). x 2x 例题选讲 例 1 解:(1) 设切线的斜率为 k,因为 f′(x)=3x2-3,点 P(1,-2)在曲线上,∴ k =3-3=0,所以所求的切线的方程为 y=-2. y0+6 x3-3x0+6 0 (2) f′(x)=3x2-3,设切点 Q(x0,y0),则: =3x2-3,即: =3x2-3, 0 0 x0-2 x0-2 解得 x0=0 或 3,由 k=f′(x0)得 k=-3 或 24,得 y=-3x 或 y=24x-54. 1 变式训练 已知函数 f(x)= x3-2x2+3x(x∈R)的图象为曲线 C. 3 (1) 求过曲线 C 上任意一点的切线斜率的取值范围; (2) 若在曲线 C 上存在两条相互垂直的切线, 求其中一条切线与曲线 C 的切点的横坐标
44

的取值范围. 解: (1) f′(x)=x2-4x+3,则 f′(x)=(x-2)2-1≥-1, 即过曲线 C 上任意一点的切线斜率的取值范围是[-1,+∞).

?k≥-1, ? (2) 由(1)可知? 1 ?-k≥-1, ?
解得-1≤k<0 或 k≥1,由-1≤x2-4x+3<0 或 x2-4x+3≥1, 得:x∈(-∞,2- 2]∪(1,3)∪[2+ 2,+∞),即所求取值范围. 例 2 解:(1)f′(x)=(x-k+1)ex,令 f′(x)=0?x =k-1;所以 f(x)在(-∞,k-1)上 递减,在(k-1,+∞)上递增. (2) 当 k-1≤0,即 k≤1 时,函数 f(x)在区间[0,1]上递增,所以 f(x)min=f(0)=-k;当 0<k-1<1 即 1<k<2 时,由(1)知,函数 f(x)在区间[0,k-1]上递减,(k-1,1]上递增,所以 - f(x)min=f(k-1)=-ek 1;当 k-1≥1,即 k≥2 时,函数 f(x)在区间[0,1]上递减,所以 f(x)min =f(1)=(1-k)e. 1 变式训练 已知函数 f(x)=- x3+x2+3x+a. 3 (1) 求 f(x)的单调减区间; 7 (2) 若 f(x)在区间[-3,4]上的最小值为 ,求实数 a 的值. 3 解:(1) ∵ f′(x)=-x2+2x+3,令 f′(x)<0,则-x2+2x+3<0. 解得 x<-1 或 x>3.∴ 函数 f(x)的单调减区间为(-∞,-1)∪(3,+∞). (2) 列表如下: x f′(x) f(x) -3 (-3,-1) - ? -1 0 (-1,3) + ? 3 0 (3,4) - ? 4

∴ f(x)在(-3,-1)和(3,4)上是减函数,在(-1,3)上是增函数. 5 20 又∵ f(-1)=a- ,f(4)=a+ , ∴ f(-1)<f(4). 3 3 ∴ f(-1)是 f(x)在[-3,4]上的最小值.

5 7 ∴ a- = ,解得 a=4. 3 3 例 3 解: (1)如右图,由题意知: 4 k AC⊥BC,BC2=400-x2,y= 2+ (0<x<20), x 400-x2 当垃圾处理厂建在弧 AB 的中点时,垃圾处理厂到 A、B 的距离都相等,且为 10 2km, 4 k 所以有 0.065= + ,解得,k=9, ?10 2?2 ?10 2?2

45

4 9 ∴ y= 2+ (0<x<20). x 400-x2 4 9 10x4+6 400x2-1 280 000 8 18x (2) ∵ y′=?x2+400-x2?′=- 3+ = , x ?400-x2?2 ? ? x3?400-x2?2 令 y′>0,得 x4+640x2-1 280 000>0,解得 x2≥160,即 x≥4 10, 4 9 又因为 0<x<20,所以函数 y= 2+ 在 x∈(0,4 10)上是减函数, x 400-x2 在 x∈(4 10,20)上是增函数,∴ 当 x=4 10时,y 取得最小值, 所以在弧 AB 上存在一点,且此点到城市 A 的距离为 4 10 km,使建在此处的垃圾处 理厂对城市 A、B 的总影响度最小. 例4 1 + , e 1 所以 f(x)在点(e,f(e))处的切线方程为 y=?2ae+e?(x-e)+ae2+1, ? ? 1 e 1 整理得 y- =?2ae+e ??x-2?, ?? ? 2 ? e 1 所以切线恒过定点?2,2?. ? ? 1 (2) 解:令 p(x)=f(x)-f2(x)=?a-2?x2-2ax+lnx<0,对 x∈(1,+∞)恒成立, ? ?
2 1 ?2a-1?x -2ax+1 ?x-1?[?2a-1?x-1] 因为 p′(x)=(2a-1)x-2a+ = = (*), x x x

1 (1) 证明:因为 f′(x)=2ax+ ,所以 f(x)在点(e,f(e))处的切线的斜率为 k=2ae x

1 ? 1? a≠ . 令 p′(x)=0,得极值点 x1=1,x2= 2a-1? 2? 1 1 ① 当 <a<1 时,有 x2>x1=1,即 <a<1 时,在(x2,+∞)上有 p′(x)>0,此时 p(x) 2 2 在区间(x2,+∞)上是增函数,并且在该区间上有 p(x)∈(p(x2),+∞),不合题意; ② 当 a≥1 时,有 x2<x1=1,同理可知,p(x)在区间(1,+∞)上,有 p(x)∈(p(1),+ ∞),也不合题意; 1 ③ 当 a≤ 时,有 2a-1≤0,此时在区间(1,+∞)上恒有 p′(x)<0, 2 从而 p(x)在区间(1,+∞)上是减函数; 1 1 要使 p(x)<0 在此区间上恒成立,只须满足 p(1)=-a- ≤0?a ≥- , 2 2 1 1 所以- ≤a≤ . 2 2 1 1 综上可知 a 的范围是?-2,2?. ? ? 2 1 4 5 1 4 (3) 证明:当 a= 时,f1(x)= x2+ x+ lnx,f2(x)= x2+ x. 3 6 3 9 2 3 1 5 记 y=f2(x)-f1(x)= x2- lnx,x∈(1,+∞). 3 9

46

2 2x 5 6x -5 因为 y′= - = >0, 3 9x 9x

所以 y=f2(x)-f1(x)在(1,+∞)上为增函数, 1 所以 f2(x)-f1(x)>f2(1)-f1(1)= . 3 1 设 R(x)=f1(x)+ λ(0<λ<1),则 f1(x)<R(x)<f2(x), 3 所以在区间(1,+∞)上,满足 f1(x)<g(x)<f2(x)恒成立的函数 g(x)有无穷多个. 高考回顾 1. 1 2 解析:y= sinx 1 1 π 1 - 的导函数为 y′= ,x= ,y′= . 4 2 sinx+cosx 2 ?sinx+cosx?2

2. (-2,15) 解析:由 C:y=x3-10x+3 得,y′=3x2-10=2,x2=4,切点在第二象 限,x=-2,y=15. 3π 3. α∈? 4 ,π? ? ? 4ex 解析:y′=- 2x =- e +2ex+1 4 1 e +2+ x e
x

1 ,∵ ex+ x≥2, e

3π ∴ -1≤y′<0,即-1≤tanα<0,∴ α∈? 4 ,π?. ? ? 4. 9 解析:f′(x)=12x2-2ax-2b,f′(1)=0,a+b=6,a>0,b>0,6=a+b≥2 ab, ab≤9,当且仅当 a=b 时取等号. 2 ?2 5. 解:(1) f(x)在?3,+∞?上存在单调递增区间,即存在某个子区间(m,n)? 3,+∞? ? ? ? ? 2 1 1 使得 f′(x)>0.由 f′(x)=-x2+x+2a=-(x- )2+ +2a, f′(x)在区间?3,+∞?上单调递 ? ? 2 4 2 2 2 1 1 减,则只需 f′?3?>0 即可.由 f′?3?= +2a>0 解得 a>- ,所以当 a>- 时,f(x)在 ? ? ? ? 9 9 9

?2,+∞?上存在单调递增区间. ?3 ?
1- 1+8a 1+ 1+8a (2) 令 f′(x)=0,得两根 x1= ,x2= . 2 2 所以 f(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)上单调递减,在(x1,x2)上单调递增. 当 0<a<2 时,有 x1<1<x2<4,所以 f(x)在[1,4]上的最大值为 f(x2). 27 又 f(4)-f(1)=- +6a<0,即 f(4)<f(1), 2 40 16 所以 f(x)在[1,4]上的最小值为 f(4)=8a- =- ,得 a=1,x2=2, 3 3 10 从而 f(x)在[1,4]上的最大值为 f(2)= . 3 a+1 2ax2+a+1 6. 解:(1) f(x)的定义域为(0,+∞).f′(x)= +2ax= . x x 当 a≥0 时,f′(x)>0,故 f(x)在(0,+∞)上单调增加; 当 a≤-1 时,f′(x)<0,故 f(x)在(0,+∞)上单调减少; 当-1<a<0 时,令 f′(x)=0,解得 x= a+1 - . 2a

47

则当 x∈?0, 故 f(x)在?0,

? ? ? ?

a+1? ? ?时,f′(x)>0;x∈? - 2a ? ? a+1? ? ?单调增,在? - 2a ? ?

a+1 ? - ,+∞?时,f′(x)<0. 2a ?

a+1 ? - ,+∞?单调减. 2a ?

(2) 不妨假设 x1≥x2,而 a<-1,由(1)知 f(x)在(0,+∞)上单调减,从而 ?x ,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|等价于, 1 ?x ,x2∈(0,+∞),f(x2)+4x2≥f(x1)+4x1,① 1 a+1 令 g(x)=f(x)+4x,则 g′(x)= +2ax+4, x a+1 ①等价于 g(x)在(0,+∞)上单调减,即 +2ax+4≤0. x -4x-1 ?2x-1?2-4x2-2 ?2x-1?2 从而 a≤ 2 = = 2 -2, 2x +1 2x2+1 2x +1 故 a 的取值范围为(-∞,-2].

48

专题二 三角函数与平面向量 第7讲 三角函数的图象与性质

1. 掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质;会用“五点法”作出正弦函数 及余弦函数的图象;掌握函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及性质. 2. 高考试题中,三角函数题相对比较传统,位置靠前,通常是以简单题形式出现.因 此在本讲复习中要注重三角知识的基础性, 特别是要熟练掌握三角函数的定义、 三角函数图 象的识别及其简单的性质(周期、单调、奇偶、最值、对称、图象平移及变换等). 3. 三角函数是每年高考的必考内容,多数为基础题,难度属中档偏易.这几年的高考 中加强了对三角函数定义、 图象和性质的考查. 在这一讲复习中要重视解三角函数题的一些 特殊方法,如函数法、待定系数法、数形结合法等的训练.

π 1. 函数 y=2sin2?x-4?-1 是最小正周期为________的________(填“奇”或“偶”)函 ? ? 数.

2.函数 f(x)= x-cosx 在[0,+∞)内的零点个数为________.

3.函数 f(x)=2cos2x+sin2x 的最小值是________.

4.定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数,若 f(x)的最小正周期是 π,且当 π 7π x∈?-2,0?时,f(x)=sinx,则 f? 6 ?的值为________. ? ? ? ?

【例 1】 设函数 f(θ)= 3sinθ+cosθ,其中角 θ 的顶点与坐标原点重合,始边与 x 轴 非负半轴重合,终边经过点 P(x,y),且 0≤θ≤π. 1 3 (1) 若点 P 的坐标是? , ?,求 f(θ)的值; ?2 2 ?

?x+y≥1, ? (2) 若点 P(x,y)为平面区域?x≤1, ?y≤1 ?

上的一个动点,试确定角 θ 的取值范围,并

49

求函数 f(θ)的最小值和最大值.

【例 2】 函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 是常数,A>0,ω>0)的部分图象如图所示.

(1) 求 f(0)的值; π (2) 若 0<φ<π,求函数 f(x)在区间?0,3?上的取值范围. ? ?

【例 3】 已知函数 f(x)= 3sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)(0<φ<π,ω>0)为偶函数,且函数 y π =f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为 . 2 π (1) 求 f?8?的值; ? ? π (2) 将函数 y=f(x)的图象向右平移 个单位后,得到函数 y=g(x)的图象,求函数 g(x) 6 的单调递减区间.

π 【例 4】 已知函数 f(x)=2sin2?4+x?- 3cos2x-1,x∈R. ? ? (1) 求 f(x)的最小正周期; π (2) 若 h(x)=f(x+t)的图象关于点?-6,0?对称,且 t∈(0,π),求 t 的值; ? ? π π (3) 当 x∈?4,2?时,不等式|f(x)-m|<3 恒成立,求实数 m 的取值范围. ? ?

1. (2011· 江西)已知角 θ 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的正半轴.若 P(4,y)是角 θ 终 2 5 边上一点,且 sinθ=- ,则 y=________. 5 π 2.(2010· 全国)函数 f(x)=sin?2x-4?-2 2sin2x 的最小正周期是________. ? ?

50

π π 3.(2009· 全国)函数 y=sin?2+x?cos?6-x?的最大值为________. ? ? ? ? 4.(2010· 广东)已知函数 f(x)= 3sinωx+cosωx(ω>0),y=f(x)的图象与直线 y=2 的两个 相邻交点的距离等于 π,则 f(x)的单调递增区间是________. (2011· 四川)已知函数 f(x)=2 3sinxcosx+2cos2x-1(x∈R). π (1) 求函数 f(x)的最小正周期及在区间?0,2?上的最大值和最小值; ? ? π π 6 (2) 若 f(x0)= ,x0∈?4,2?,求 cos2x0 的值. ? ? 5

π 5.(2009· 福建)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ),其中 ω>0,|φ|< . 2 π 3 (1) 若 cos cosφ-sin πsinφ=0,求 φ 的值; 4 4 π (2) 在(1)的条件下,若函数 f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 ,求函数 f(x) 3 的解析式;并求最小正实数 m,使得函数 f(x)的图象向左平移 m 个单位后所对应的函数是 偶函数.

πx π πx (2009· 重庆)(本小题满分 13 分)设函数 f(x)=sin? 4 -6?-2cos2 +1. ? ? 8 (1) 求 f(x)的最小正周期; 4 (2) 若函数 y=g(x)与 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称,求当 x∈?0,3?时,y=g(x)的 ? ? 最大值. π π π π π 解:(1) f(x)=sin xcos -cos xsin -cos x 4 6 4 6 4 = 3 π 3 π sin x- cos x(3 分) 2 4 2 4

π π = 3sin?4x-3?,(5 分) ? ? 故 f(x)的最小正周期为 T = 2π =8.(7 分) π 4

(2) (解法 1)在 y=g(x)的图象上任取一点(x, g(x)), 它关于 x=1 的对称点为(2-x, g(x)). 由题设条件,点(2-x,g(x))在 y=f(x)的图象上,从而 π π π π π π π g(x)=f(2-x)= 3sin?4?2-x?-3?= 3sin?2-4x-3?= 3cos?4x+3?.(10 分) ? ? ? ? ? ?

51

4 4 π π π 2π π 当 0≤x≤ 时, ≤ x+ ≤ , 因此 y=g(x)在区间?0,3?上的最大值为 g(x)max= 3cos ? ? 3 3 4 3 3 3 = 3 .(13 分) 2 4 2 (解法 2)因区间?0,3?关于 x=1 的对称区间为?3,2?,且 y=g(x)与 y=f(x)的图象关于 ? ? ? ? 4 2 x=1 对称,故 y=g(x)在?0,3?上的最大值为 y=f(x)在?3,2?上的最大值, ? ? ? ? π π 由(1)知 f(x)= 3sin?4x-3?, ? ? 2 π π π π 当 ≤x≤2 时,- ≤ x- ≤ , 3 6 4 3 6 4 π 3 因此 y=g(x)在?0,3?上的最大值为 g(x)max= 3sin = .(13 分) ? ? 6 2 第 7 讲 三角函数的图象与性质

π π 1. 若 <x< ,则函数 y=tan2xtan3x 的最大值为________. 4 2 -4t3?t+ 2??t- 2? 2t4 【答案】 -8 解析:令 tanx=t∈(1,+∞),y= ,y′(t)= 1-t2 ?1-t2?2 得 t= 2时 y 取最大值-8. 2. 已知函数 f(x)=2cos2x+sin2x. π (1) 求 f?3?的值; ? ? (2) 求 f(x)的最大值和最小值. π 2π π 3 1 解:(1) f?3?=2cos +sin2 =-1+ =- . ? ? 3 3 4 4 (2) f(x)=2(2cos2x-1)+(1-cos2x)=3cos2x-1,x∈R. 因为 cosx∈[-1,1],所以当 cosx=± 时,f(x)取最大值 2;当 cosx=0 时,f(x)取最小值 1 -1. 基础训练 π 1. π 奇 解析:y=-cos?2x-2?=-sin2x. ? ? 2. 1 解析:在[0,+∞)内作出函数 y= x,y=cosx 的图象,可得到答案. π 3. - 2+1 解析:f(x)=2cos2x+sin2x= 2sin?2x+4?+1. ? ? 1 4. - 2 7π π π π 1 解析:f? 6 ?=f?6?=f?-6?=sin?-6?=- . ? ? ? ? ? ? ? ? 2 3 1 ,cosθ= ,∴ f(θ)=2.(本题也可以根据定 2 2

例题选讲 例 1 解:(1) 根据三角函数定义得 sinθ=

52

π 义及角的范围得角 θ= ,从而求出 f(θ)=2). 3 π π (2) 在直角坐标系中画出可行域知 0≤θ≤ ,f(θ)= 3sinθ+cosθ=2sin?θ+6?,∴ θ=0, ? ? 2 π f(θ)min=1;θ= ,f(θ)max=2. 3 (注: 注意条件,使用三角函数的定义; 一般情况下,研究三角函数的周期、最值、 单调性及有关计算等问题时,常可以先将函数化简变形为 y=Asin(ωx+φ)的形式) T 7 π π 例 2 解:(1)由题图可知:A= 2, = π- = ,ω=2, 4 12 3 4 7π 3π π 2× +φ=2kπ+ ,φ=2kπ+ ,k∈Z, 12 2 3 π 6 f(0)= 2sin?2kπ+3?= . ? ? 2 π π (2) φ= ,f(x)= 2sin?2x+3?. ? ? 3 π π π π 因为 0≤x≤ ,所以 ≤2x+ ≤π,所以 0≤sin?2x+3?≤1. ? ? 3 3 3 即 f(x)的取值范围为[0, 2]. (注:本题主要考查正弦、余弦、正切函数及 y=Asin(ωx+φ)的图像与性质以及诱导公 式,运用数形结合思想,属于中档题) 2π 变式训练 已知 A 为△ABC 的内角,求 y=cos2A+cos2? 3 +A?的取值范围. ? ? 2π 1+cos2? 3 +A? ? ? 2π 1+cos2A 解: y=cos2A+cos2? 3 +A?= + ? ? 2 2 4π cos2A 1? 4π =1+ + ?cos 3 cos2A-sin 3 sin2A? ? 2 2 π 1 1 1 3 =1+ ? cos2A+ sin2A?=1+ cos?2A-3?. ? 2?2 2 ? 2 ? π ∵ A 为三角形内角,∴ 0<A<π,∴ -1≤cos?2A-3?≤1, ? ? 2π 1 3 ∴ y=cos2A+cos2? 3 +A?的取值范围是?2,2?. ? ? ? ? 例 3 解:(1) f(x)= 3sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ) =2? 3 1 ? sin?ωx+φ?- cos?ωx+φ? 2 ?2 ?

π =2sin?ωx+φ-6?. ? ? 因为 f(x)为偶函数, 所以对 x∈R,f(-x)=f(x)恒成立, π π 因此 sin?-ωx+φ-6?=sin?ωx+φ-6?. ? ? ? ?

53

π π 即-sinωxcos?φ-6?+cosωxsin?φ-6? ? ? ? ? π π =sinωxcos?φ-6?+cosωxsin?φ-6?, ? ? ? ? π 整理得 sinωxcos?φ-6?=0. ? ? π 因为 ω>0,且 x∈R,所以 cos?φ-6?=0. ? ? π π 又因为 0<φ<π,故 φ- = . 6 2 π 所以 f(x)=2sin?ωx+2?=2cosωx. ? ? 2π π 由题意得 =2× ,所以 ω=2. ω 2 故 f(x)=2cos2x. π π 因此 f?8?=2cos = 2. ? ? 4 π π (2) 将 f(x)的图象向右平移 个单位后,得到 f?x-6?的图象, ? ? 6 π π π 所以 g(x)=f?x-6?=2cos?2?x-6??=2cos?2x-3?. ? ? ? ? ?? ? ? π 当 2kπ≤2x- ≤2kπ+π(k∈Z), 3 π 2π 即 kπ+ ≤x≤kπ+ (k∈Z)时,g(x)单调递减, 6 3 π 2π 因此 g(x)的单调递减区间为?kπ+6,kπ+ 3 ?(k∈Z). ? ? π π 例 4 解:(1)函数可化为 f(x)=-cos?2+2x?- 3cos2x=2sin?2x-3?,故 f(x)的最小正 ? ? ? ? 周期为 π. π π π (2) h(x)=2sin?2x+2t-3?.令 2×?-6?+2t- =kπ,k∈Z. ? ? ? ? 3 π 5π 又 t∈(0,π),故 t= 或 . 3 6 π π π π 2π (3) 当 x∈?4,2?时,2x- ∈?6, 3 ?, ∴ f(x)∈[1,2]. ? ? ? 3 ? |f(x)-m|<3,即 f(x)-3<m<f(x)+3,∴ 2-3<m<1+3,即-1<m<4. x x 变式训练 设函数 f(x)=-cos2x-4tsin cos +4t3+t2-3t+4, x∈R, 其中|t|≤1, f(x) 将 2 2 的最小值记为 g(t). (1) 求 g(t)的表达式; (2) 讨论 g(t)在区间(-1,1)内的单调性并求极值. x x 解:(1) f(x)=-cos2x-4tsin cos +4t3+t2-3t+4 2 2

54

=sin2x-2tsinx+4t3+t2-3t+3 =(sinx-t)2+4t3-3t+3. 由于(sinx-t)2≥0,|t|≤1,故当 sinx=t 时,f(x)达到其最小值 g(t),即 g(t)=4t3-3t+3. (2) g′(t)=12t2-3=3(2t+1)(2t-1),-1<t<1. 列表如下: t g′(t) g(t)

?-1,-1? 2? ?
+ ?

- 0

1 2

?-1,1? ? 2 2?
- ?

1 2 0 极小值

?1,1? ?2 ?
+ ?

极大值

1 1 1 1 由此可见,g(t)在区间?-1,-2?和?2,1?上单调增,在区间?-2,2?上单调减,极小 ? ? ? ? ? ? 1 1 值为 g?2?=2,极大值为 g?-2?=4. ? ? ? ? 高考回顾 1. —8 解析:sinθ= y 2 5 2 =- 5 ,解得 y=-8 或 8(舍). 16+y

π π 2. π 解析:f(x)=sin?2x-4?-2 2sin2x=sin?2x+4?- 2. ? ? ? ? 3. 2+ 3 π 1 3 3 1 解析: y=cosx? cosx+ sinx?= sin?2x+3?+ . ? ? 4 4 2 ?2 ? 2

π π π 4. ?kπ-3,kπ+6?,k∈Z 解析: f(x)= 3sinωx+cosωx(ω>0)=2sin?ωx+6?. ? ? ? ? π ∵ 周期为 π,∴ ω=2,∴ f(x)=2sin?2x+6?. ? ? π π π π π 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ,即 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 2 6 2 3 6 5. 解: (1) 由 f(x)=2 3sinxcosx+2cos2x-1,得 π f(x)= 3(2sinxcosx)+(2cos2x-1)= 3sin2x+cos2x=2sin?2x+6?. ? ? 2π 所以函数的最小正周期为 T= =π. 2 π π π 7π 因为 x∈?0,2?,所以 2x+ ∈?6, 6 ?. ? ? ? 6 ? π π π π π π 所以 2x+ ∈?6,2?, x∈?0,6?时, 函数 f(x)为增函数, 而在 x∈?6,2?时, 函数 f(x) ? 即 ? ? ? ? 6 ? π π π 7π 为减函数,所以 f?6?=2sin =2 为最大值,f?2?=2sin =-1 为最小值. ? ? ? ? 2 6 π (2) 由(1)知,f(x0)=2sin?2x0+6?. ? ? π 3 6 又由已知 f(x0)= ,则 sin?2x0+6?= . ? ? 5 5

55

π π π π 2π 7π 因为 x0∈?4,2?,则 2x0+ ∈? 3 , 6 ?.因此 cos?2x0+6?<0, ? ? ? ? ? 6 ? π π π 4 所以 cos?2x0+6?=- ,于是 cos2x0=cos??2x0+6?-6?, ? ? ? ? 5 ?? π π π π =cos?2x0+6?cos +sin?2x0+6?sin ? ? 6 ? ? 6 4 3 3 1 3-4 3 =- × + × = . 5 2 5 2 10 π 3 π π 6. 解:(1) 由 cos cosφ-sin πsinφ=0 得 cos cosφ-sin sinφ=0 4 4 4 4 π π π 即 cos?4+φ?=0,又|φ|< ,∴ φ= . ? ? 2 4 π T π 2π (2) 由(1)得 f(x)=sin?ωx+4?,依题意, = ,又 T= ,故 ω=3, ? ? 2 3 ω π ∴ f(x) = sin ?3x+4? , 函 数 的 图 像 向 左 平 移 m 个 单 位 后 对 应 的 函 数 为 g(x) = ? ? π π π kπ π sin?3?x+m?+4?,g(x)是偶函数,当且仅当 3m+ =kπ+ (k∈Z),即 m= + (k∈Z),从 ? ? 4 2 3 12 π 而最小正实数 m= . 12

第8讲 三角变换与解三角形

1. 掌握三角函数的公式(同角三角函数关系式、 诱导公式、 差角及倍角公式)及应用; 和、 能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、 求值和条件等式及恒等式的证明; 掌握正 弦定理、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形. 2. 在复习过程中,要熟练掌握三角变换的所有公式,理解每个公式的意义,应用特点 及常规使用方法等; 熟悉三角变换常用的方法(化弦法、 降幂法、 角的变换法、 “1”的变换等); 掌握化简、求值和解三角形的常规题型;要注意掌握公式之间的内在联系. 3. 近年来高考对三角函数与向量联系问题的考查有所增加,三角函数知识在几何及实 际问题中的应用也是考查重点, 应给予充分的重视. 新教材降低了对三角函数恒等变形的要 求,但对两角和的正切考查一直是重点.

sin2α 1. 若 tanα=3,则 2 的值等于________. cos α π 7π 4 2.已知 cos?α-6?+sinα= 3,则 sin?α+ 6 ?的值是________. ? ? ? ? 5

56

1 1 3.在△ABC 中,tanA= ,tanC= ,则角 B 的值为________. 2 3 AC 的值等于________. cosA

4.在锐角△ABC 中,BC=1,B=2A,则

1 13 π 【例 1】 已知 cosα= ,cos(α-β)= 且 0<β<α< . 7 14 2 (1) 求 tan2α 的值; (2) 求 β.

【例 2】 在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 a2-c2=2b,且 sinAcosC=3cosAsinC,求 b.

C 【例 3】 在△ABC 中, A、 C 的对边分别是 a,b,c, 角 B、 已知 sinC+cosC=1-sin . 2 (1) 求 sinC 的值; (2) 若 a2+b2=4(a+b)-8,求边 c 的值.

【例 4】 已知 sin(2α+β)=3sinβ,设 tanα=x,tanβ=y,记 y=f(x). (1) 求 f(x)的解析式; (2) 若角 α 是一个三角形的最小内角,试求函数 f(x)的值域.

3π 1. (2011· 全国)已知 α∈?π, 2 ?,tanα=2,则 cosα=________. ? ? π tanx 2.(2011· 江苏)已知 tan?x+4?=2,则 的值为________. ? ? tan2x π 1 cos2α 3.(2011· 重庆)已知 sinα= +cosα,且 α∈?0,2?,则 的值为________. ? ? 2 π sin?α-4? ? ? 4.(2010· 广东)已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,若 a=1,b = 3, A+C=2B,则 sinC=________.
57

1 π 5.(2011· 广东)已知函数 f(x)=2sin?3x-6?,x∈R. ? ? 5π (1) 求 f? 4 ?的值; ? ? π π 10 6 (2) 设 α,β∈?0,2?,f?3α+2?= ,f(3β+2π)= ,求 cos(α+β)的值. ? ? ? ? 13 5

6.(2011· 全国)△ABC 的内角 A、 C 的对边分别为 a、 c; B、 b、 已知 asinA+csinC- 2asinC =bsinB. (1) 求 B; (2) 若 A=75° ,b=2,求 a,c.

x x x (本小题满分 14 分)已知函数 f(x)=2cos ? 3cos2-sin2?. ? 2? π π (1) 设 θ∈?-2,2?,且 f(θ)= 3+1,求 θ 的值; ? ? (2) 在△ABC 中,AB=1,f(C)= 3+1,且△ABC 的面积为 3 ,求 sinA+sinB 的值. 2

π x x x 解:(1) f(x)=2 3cos2 -2sin cos = 3(1+cosx)-sinx=2cos?x+6?+ 3.(3 分) ? ? 2 2 2 π π 1 由 2cos?x+6?+ 3= 3+1, 得 cos?x+6?= .(5 分) ? ? ? ? 2 π π π π π π 于是 x+ =2kπ± (k∈Z),因为 x∈?-2,2?,所以 x=- 或 .(7 分) ? ? 6 3 2 6 π (2) 因为 C∈(0,π),由(1)知 C= .(9 分) 6 因为△ABC 的面积为 3 3 1 π ,所以 = absin ,于是 ab=2 3, 2 2 2 6 ①

在△ABC 中,设内角 A、B 的对边分别是 a、b, π 由余弦定理得 1=a2+b2-2abcos =a2+b2-6,所以 a2+b2=7,② 6

?a=2, ?a= 3, 由①②可得? 或? 于是 a+b=2+ 3. ?b= 3 ?b=2.
sinA sinB sinC 1 由正弦定理得, = = = , a b 1 2 1 3 所以 sinA+sinB= (a+b)=1+ . (14 分) 2 2

(12 分)

58

第 8 讲 三角变换与解三角形

1. 在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若(a2+c2-b2)tanB= 3ac,则角 B 的值为________. 【答案】 3 π 2π ,B 为 或 . 2 3 3 a+c b-a 2. 在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 = , c a+b (1) 求角 B 的大小; (2) 若△ABC 最大边的边长为 7,且 sinC=2sinA,求最小边边长. a+c b-a 解: (1)由 = 整理得(a+c)c=(b-a)(a+b),即 ac+c2=b2-a2, c a+b a2+c2-b2 ac 1 2π ∴ cosB= =- =- ,∵ 0<B<π,∴ B= . 2ac 2ac 2 3 2π (2) ∵ B= , ∴ 最长边为 b,∵ sinC=2sinA,∴ c=2a,∴ a 为最小边,由余弦定 3 1 理得( 7)2=a2+4a2-2a· ?-2?,解得 a2=1,∴ a=1,即最小边边长为 1. 2a· ? ? 基础训练 sin2α 1. 6 解析: 2 =2tanα. cos α 2. - 4 5 π π 4 3 1 4 3 解析:cos?α-6?+sinα= 3化为 cosα+ sinα+sinα= , 3sin?α+6?= ? ? ? ? 5 2 2 5 a2+c2-b2 π 2π 3 或 解析: 由余弦定理得 =cosB, ∴ tanB· cosB= ,sinB= 3 3 2ac 2

π 4 4 3 ,sin?α+6?= . ? ? 5 5 3. tanA+tanC 3π 解析:tanB=tan(π-A-C)=-tan(A+C)=- =-1. 4 1-tanAtanC

BC AC 1 AC 1 AC AC 4. 2 解析:由正弦定理得 = , = , = , =2. sinA sinB sinA sin2A sinA 2sinAcosA cosA 例题选讲 π 1 4 3 8 3 例 1 解:(1)cosα= ,α∈?0,2?,∴ sinα= ,tanα=4 3,tan2α=- . ? ? 7 7 47 π 1 π (2) cosβ=cos(α-(α-β))=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)= ,β∈?0,2?,∴ β= . ? ? 2 3 例 2 解:(解法 1)在△ABC 中,∵ sinAcosC=3cosAsinC,则由正弦定理及余弦定理有 a +b2-c2 b2+c2-a2 a· =3× · c,化简并整理得:2(a2-c2)=b2,又由已知 a2-c2=2b,∴ 4b 2ab 2bc =b2,解得 b=4 或 0(舍). (解法 2)由余弦定理得: a2-c2=b2-2bccosA.又 a2-c2=2b,b≠0. 所以 b=2ccosA+2, ① 又 sinAcosC=3cosAsinC,∴ sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinC,
59
2

sin(A+C)=4cosAsinC,即 sinB=4cosAsinC, b 由正弦定理得 sinB= sinC,故 b=4ccosA, ② c 由①②,解得 b=4. 变式训练 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c. π (1) 若 c=2,C= ,且△ABC 的面积 S= 3,求 a,b 的值; 3 (2) 若 sinC+sin(B-A)=sin2A,试判断△ABC 的形状. 解: (1) 由余弦定理及已知条件得,a2+b2-ab=4, 1 又因为△ABC 的面积等于 3,所以 absinC= 3,得 ab=4. 2
2 ? 2 ?a +b -ab=4, 联立方程组? 解得 a=2,b=2. ?ab=4, ?

(2) 由题意得 sinBcosA=sinAcosA, π 当 cosA=0 时,A= ,△ABC 为直角三角形; 2 当 cosA≠0 时,得 sinB=sinA,由正弦定理得 a=b, △ABC 为等腰三角形. 所以,△ABC 为直角三角形或等腰三角形. C C C C 例 3 解:(1) 由已知得 2sin cos +1-2sin2 =1-sin , 2 2 2 2 C C C 即 sin ?2cos 2 -2sin 2 +1?=0, ? 2? C C C 由 sin ≠0 得 2cos -2sin +1=0, 2 2 2 C C 1 3 即 sin -cos = ,两边平方得:sinC= . 2 2 2 4 C C 1 C C π C π π 3 (2) 由 sin -cos = >0 知 sin >cos , < < , <C<π, 则 即 则由 sinC= 得 cosC 2 2 2 2 2 4 2 2 2 4 =- 7 ,又 a2+b2=4(a+b)-8,即(a-2)2+(b-2)2=0,故 a=b=2,所以由余弦定理得 c2 4

=a2+b2-2abcosC=8+2 7,c= 7+1. 变式训练 已知△ABC 中, b、 是三个内角 A、 C 的对边, a、 c B、 关于 x 的不等式 x2cosC +4xsinC+6<0 的解集是空集. (1) 求角 C 的最大值; 7 3 (2) 若 c= ,△ABC 的面积 S= 3,求当角 C 取最大值时 a+b 的值. 2 2 解: (1) ∵ 不等式 x2cosC+4xsinC+6<0 的解集是空集.

? ?cosC>0, ?cosC>0, ? ? ? ? ? ∴ 即 得? 1 2 ? ? ?Δ≤0, ?16sin C-24cosC≤0, ?cosC≤-2或cosC≥ ,
cosC>0,

?

2

60

1 故 cosC≥ ,而 cosC=0 时解集不是空集.∴ 角 C 的最大值为 60° . 2 1 3 3 (2) 当 C=60° 时,S△ABC= absinC= ab= 3, ∴ ab=6,由余弦定理得 c2=a2+b2 2 4 2 -2abcosC=(a+b)2-2ab-2abcosC, 121 11 ∴ (a+b)2=c2+3ab= , ∴ a+b= . 4 2 例 4 解:(1)(解法 1)注意角的变换 2α+β=(α+β)+α,β=(α+β)-α. (1) 由 sin(2α+β)=3sinβ 得,sin[(α+β)+α]=3sin[(α+β)-α], 则 sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα=3sin(α+β)cosα-3cos(α+β)sinα, ∴ sin(α+β)cosα=2cos(α+β)sinα,∴ tan(α+β)=2tanα, tanα+tanβ x+y 于是 =2tanα,即 =2x, 1-tanαtanβ 1-xy ∴ y= x x . 2,即 f(x)= 1+2x 1+2x2

(解法 2) 直接展开,利用“1”的变换. sin2αcosβ+cos2αsinβ=3sinβ, 2sinαcosαcosβ+(cos2α-sin2α)sinβ=3sinβ, cos2α-sin2α 1-tan2α 2sinαcosα 2tanα + tanβ=3tanβ, + tanβ=3tanβ, sin2α+cos2α sin2α+cos2α 1+tan2α 1+tan2α ∴ y= x x ,即 f(x)= . 1+2x2 1+2x2

π (2) ∵ α 角是一个三角形的最小内角,∴ 0<α≤ ,0<x≤ 3, 3 f(x)= 1 1 2 ,设 g(x)=2x+ ,则 g(x)=2x+ ≥2 2(当且仅当 x= 时取等号),故函 1 x x 2 2x+ x 1

数 f(x)的值域为?0,

?

2? . 4?

高考回顾 5 1. - 5 cosα=- 2. 4 9 5 . 5 π 1+tanx ?1-tan2x? 1 tanx tanx 解析:∵ tan?x+4?= =2, ∴ tanx= , ∴ = = = ? ? 1-tanx 3 tan2x 2tanx 2 1-tan2x 3π cos2α 1 1 解析:由 cos α= 2 = = ,又 α∈?π, 2 ?,cosα<0,所以 ? ? sin α+cos2α tan2α+1 5
2

4 . 9 3. - 14 2 π 1 1 2 cos2α 解析:sinα= +cosα 得 sinα-cosα= ,sin ?α-4? = , = ? ? 4 2 2 π sin?α-4? ? ?

61

π sin?2-2α? ? ?

π π 2sin?α-4?cos?α-4? ? ? ? ? π π 1 π π =- =-2cos?α-4?, sinα-cosα= , <α< , ∴ cos?α-4? ? ? ? ? π π 2 4 2 sin?α-4? sin?α-4? ? ? ? ? 14 cos2α 14 14 , =-2× =- . 4 π? 4 2 sin?α-4? ? π 1 3 1 4. 1 解析:由三角形内角和定理得 B= ,根据正弦定理得 = ,即 sinA= ,1 3 sinA π 2 sin 3



π π < 3,∴ A<B,∴ A= ,C= ,sinC=1. 6 2 5π 5π π π 5. 解:(1) f? 4 ?=2sin?12-6?=2sin = 2. ? ? ? ? 4 π π 10 5 12 (2) f?3α+2?=2sinα= , ∴ sinα= , ∵ α∈?0,2?, ∴ cosα= . ? ? ? ? 13 13 13 π π 6 3 f(3β+2π)=2sin?β+2?=2cosβ= , ∴ cosβ= , ∵ β∈?0,2?, ? ? ? ? 5 5 4 12 3 5 4 16 ∴ sinβ= .∴ cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ= ·- ·= . 5 13 5 13 5 65 6. 解:(1) 由正弦定理 asinA+csinC- 2asinC=bsinB,可变形为 a2+c2-b2 2ac 2 a +c - 2ac=b ,即 a +c -b = 2ac,由余弦定理 cosB= = = , 2ac 2ac 2
2 2 2 2 2 2

π 又 B∈(0,π),所以 B= . 4 (2) 由 sinA=sin(45° +30° )= 2× bsinA 由正弦定理 a= = sinB 2+ 6 3 · sinC=sin60° = . 4 2

2+ 6 3 2× 4 2 bsinC = 3+1,同理 c= = = 6.第 9 讲 平面 sinB 2 2 2 2

第9讲 平面向量及其应用

1. 掌握平面向量的加减运算、平面向量的坐标表示、平面向量数量积等基本概念、运 算及其简单应用.复习时应强化向量的数量积运算,向量的平行、垂直及求有关向量的夹角 问题要引起足够重视. 2. 在复习中要注意数学思想方法的渗透,如数形结合思想、转化与化归思想等.会用 向量解决某些简单的几何问题.

62

→ → → → → 1. 在?ABCD中,AB=a,AD=b,AN=3NC,M 为 BC 的中点,则MN=________.(用 a、b 表示)

2.设 a 与 b 是两个不共线向量,且向量 a+λb 与-(b-2a)共线,则 λ=________.

π 3.若向量 a,b 满足|a|=1,|b|=2 且 a 与 b 的夹角为 ,则|a-b|=________. 3

a b 4.已知向量 P= + ,其中 a、b 均为非零向量,则|P|的取值范围是________. |a| |b|

【例 1】 已知向量 a=?

-1 ? 1 ?sinx,sinx?,b=(2,cos2x).

π (1) 若 x∈?0,2?,试判断 a 与 b 能否平行? ? ? π (2) 若 x∈?0,3?,求函数 f(x)=a· 的最小值. b ? ?

【例 2】 设向量 a=(4cosα,sinα),b=(sinβ,4cosβ),c=(cosβ,-4sinβ). (1) 若 a 与 b-2c 垂直,求 tan(α+β)的值; (2) 求|b+c|的最大值; (3) 若 tanαtanβ=16,求证:a∥b.

→ → → → 【例 3】 在△ABC 中,已知 2AB· = 3|AB|· |=3BC2,求角 A,B,C 的大小. AC |AC

【例 4】 已知△ABC 的角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,设向量 m=(a,b),n =(sinB,sinA),p=(b-2,a-2) . (1) 若 m∥n,求证:△ABC 为等腰三角形; π (2) 若 m⊥p,边长 c=2,角 C= ,求△ABC 的面积 . 3

63

→ → 1. (2008· 安徽)在平行四边形 ABCD 中,AC 为一条对角线,若AB=(2,4),AC=(1,3), → 则BD=________.

→ → 2.(2011· 上海)在正三角形 ABC 中, 是 BC 上的点, D AB=3, BD=1, 则AB· =________. AD

2π 3.(2011· 江苏)已知 e1,e2 是夹角为 的两个单位向量,a=e1-2e2,b=ke1+e2,若 a· b 3 =0,则实数 k 的值为________.

4.(2011· 浙江)若平面向量 α,β 满足|α|=1,|β|≤1,且以向量 α,β 为邻边的平行四边形 1 的面积为 ,则 α 与 β 的夹角 θ 的取值范围是________. 2

5.(2010· 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(-1,-2)、B(2,3)、C(-2,-1). (1) 求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长; → → → (2) 设实数 t 满足(AB-tOC)· =0,求 t 的值. OC

6.(2011· 陕西)叙述并证明余弦定理.

(2010· 江苏泰州一模)(本小题满分 14 分)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、 c. (1) 设向量 x=(sinB,sinC),向量 y=(cosB,cosC),向量 z=(cosB,-cosC),若 z∥(x +y),求 tanB+tanC 的值; (2) 已知 a2-c2=8b,且 sinAcosC+3cosAsinC=0,求 b. 解:(1) 由题意:x+y=(sinB+cosB,sinC+cosC),(1 分) ∵ z∥(x+y), ∴ cosB(sinC+cosC)=-cosC(sinB+cosB), ∴ cosBsinC+cosCsinB=-2cosBcosC,(3 分) ∴ cosBsinC+cosCsinB =-2, cosBcosC

即:tanB+tanC=-2. (6 分) (2) ∵ sinAcosC+3cosAsinC=0,
64

∴ sinAcosC+cosAsinC=-2cosAsinC,(8 分) ∴ sin(A+C)=-2cosAsinC, 即:sinB=-2cosAsinC.(10 分) b2+c2-a2 ∴ b=-2c· ,(12 分) 2bc ∴ -b2=b2+c2-a2, 即:a2-c2=2b2,又 a2-c2=8b, ∴ 2b2=8b, ∴ b=0(舍去)或 4.(14 分) 向量及其应用

→ → → → → → 1. 已知△ABC 外接圆的圆心为 O,BC>CA>AB,则OA· ,OA· ,OB· 的大小关 OB OC OC 系为________. → → → → → → 【答案】 OA· >OA· >OB· OB OC OC 解析: 0<∠AOB<∠AOC<∠BOC<π,y=

cosx 在(0,π)上单调减,∴ cos∠AOB>cos∠AOC>cos∠BOC, → → → → → → ∴ OA· >OA· >OB· . OB OC OC tanA 2c 2. 在△ABC 中,角 A,B,C 所对边分别为 a,b,c,且 1+ = . tanB b (1) 求角 A;
2C (2) 若 m=(0,-1),n=?cosB,2cos 2 ?,试求|m+n|的最小值. ? ?

tanA 2c sinAcosB 2sinC 解: (1) 1+ = ?1 + = , tanB b sinBcosA sinB 即 ∴ sinBcosA+sinBcosB 2sinC = , sinBcosA sinB sin?A+B? 2sinC 1 = ,∴ cosA= . sinBcosA sinB 2

π ∵ 0<A<π, ∴ A= . 3 C (2) m+n=(cosB,2cos2 -1)=(cosB,cosC), 2 2π π 1 ∴ |m+n|2=cos2B+cos2C=cos2B+cos2? 3 -B?=1- sin?2B-6?. ? ? ? 2 ? 2π π 2π ∵ A= ,∴ B+C= ,∴ B∈?0, 3 ?. ? ? 3 3 π π 7π 从而- <2B- < . 6 6 6 π π 1 ∴ 当 sin?2B-6?=1,即 B= 时,|m+n|2 取得最小值 . ? ? 3 2

65

所以,|m+n|min= 基础训练 1 1 1. - a+ b 4 4

2 . 2

1 1 1 → 3 解析:MN= (a+b)-(a+ b)=- a+ b. 4 2 4 4

?2m=1, ? 1 2. -0.5 解析:a+λb=m[-(b-2a)],则? ?λ =- . 2 ? ?λ=-m

3.

3

解析: |a-b|= a2+b2-2a· b=

π 1+4-2×1×2×cos = 3. 3

4. [0,2] 解析:设 a 与 b 的夹角为 θ,则|P|= 1+1+2cosθ= 2+2cosθ(θ∈[0,π]). 例题选讲 -1 π 1 例 1 解:(1) 若 a 与 b 平行,则有 · cos2x= · 2,因为 x∈?0,2?,sinx≠0,所以 ? ? sinx sinx 得 cos2x=-2,这与|cos2x|≤1 相矛盾,故 a 与 b 不能平行. (2) 由 于 f(x) = a· = b -cos2x 2-cos2x 1+2sin2x 2 1 + = = = 2sinx + ,又因为 sinx sinx sinx sinx sinx 1 1 2sinx· =2 2,当 2sinx= , sinx sinx

π 1 3 x∈?0,3?,所以 sinx∈?0, ?, 于是 2sinx+ ≥2 ? ? sinx 2? ? 即 sinx=

2 π ,x= 时取等号,故函数 f(x)的最小值等于 2 2. 2 4

变式训练 已知向量 m=(sinA,cosA),n=(1,-2),且 m· n=0. (1) 求 tanA 的值; (2) 求函数 f(x)=cos2x+tanAsinx(x∈R)的值域. 点拨: 平面向量与三角结合是高考中的一个热点,本题主要考查平面向量数量积的坐 标运算. 解: (1) m· n=sinA-2cosA=0?tanA =2. 1 3 (2) f(x)=cos2x+2sinx=-2?sinx-2?2+ , ? ? 2 ∵ x∈R, ∴ sinx∈[-1,1], 1 3 当 sinx= 时,f(x)取最大值 ;当 sinx=-1 时,f(x)取最小值-3.所以函数 f(x)的值域 2 2 3 为?-3,2?. ? ? 例 2 (1)解:b-2c=(sinβ-2cosβ,4cosβ+8sinβ),a 与 b-2c 垂直, ∴ 4cosα(sinβ-2cosβ)+sinα(4cosβ+8sinβ)=0,sin(α+β)=2cos(α+β),即 tan(α+β)= 2. (2) 解:b+c=(sinβ+cosβ,4cosβ-4sinβ), |b+c|= ?sinβ+cosβ?2+16?cosβ-sinβ?2= 17-15sin2β≤ 17+15=4 2, |b+c|的最大值为 4 2. (3) 证明:由 tanαtanβ=16 得 sinαsinβ=16cosαcosβ, 即 4cosα4cosβ-sinαsinβ=0,所以 a∥b. 变式训练 已知向量 a=(sinθ,cosθ-2sinθ),b=(1,2). (1) 若 a∥b,求 tanθ 的值;
66

(2) 若|a|=|b|,0<θ<π,求 θ 的值. 解: (1) 因为 a∥b,所以 2sinθ=cosθ-2sinθ, 1 于是 4sinθ=cosθ,故 tanθ= . 4 (2) 由|a|=|b|知,sin2θ+(cosθ-2sinθ)2=5, 所以 1-2sin2θ+4sin2θ=5. 从而-2sin2θ+2(1-cos2θ)=4,即 sin2θ+cos2θ=-1, π 2 于是 sin?2θ+4?=- . ? ? 2 π π 9π 又由 0<θ<π 知, <2θ+ < , 4 4 4 π 5π π 7π 所以 2θ+ = 或 2θ+ = . 4 4 4 4 π 3π 因此 θ= 或 . 2 4 例 3 解:设 BC=a,AC=b,AB=c, 3 → → → → 由 2AB· = 3|AB|· |得 2bccosA= 3bc,所以 cosA= , AC |AC 2 π 又 A∈(0,π),因此 A= . 6 由 → → 3|AB|· |=3BC2 得 bc= 3a2,于是 sinC· |AC sinB= 3sin2A,

5π 3 3 3 ?1 所以 sinC· ? 6 -C?= ,sinC· cosC+ sinC?= , sin? ? 4 2 ?2 ? 4 因此 2sinC· cosC+2 3sin2C= 3,sin2C- 3cos2C=0, π 即 sin?2C-3?=0. ? ? π 5π π π 4π 由 A= 知 0<C< ,所以- <2C- < , 6 6 3 3 3 π π π 2π 从而 2C- =0 或 2C- =π,即 C= 或 , 3 3 6 3 π 2π π π π 2π 故 A= ,B= ,C= 或 A= ,B= ,C= . 6 3 6 6 6 3 例4 (1) 证明:∵ m∥n,∴ asinA=bsinB. a b 即 a· =b· ,其中 R 是三角形 ABC 外接圆半径,a=b, 2R 2R ∴ △ABC 为等腰三角形. (2) 解:由题意可知 m· p=0,即 a(b-2)+b(a-2)=0,∴ a+b=ab, 由余弦定理可知,4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab,即(ab)2-3ab-4=0. 1 1 π ∴ ab=4 或-1(舍去),∴ S= absinC= ×4×sin = 3. 2 2 3 高考回顾 → → → 1. (-3,-5) 解析:取 A(0,0)则 B(2,4),C(1,3).由BC=AD得 D(-1,-1).即BD=

67

(-3,-5). 2. 3. 15 2 5 4 2π 15 → → → → → → → → → 解析:AB· =AB· +BD)=AB· +AB· =32+3×1×cos = . AD (AB AB BD 3 2 5 5 解析:a· b=0,(e1-2e2)· 1+e2)=0,k- +k=0,k= . (ke 2 4

π 5π 1 1 1 4. ?6, 6 ? 解析:|α||β|sinθ= ,sinθ= ≥ ,又 θ∈(0,π), ? ? 2 2|β| 2 π 5π ∴ θ∈?6, 6 ?. ? ? → → 5. 解:(1)(解法 1)由题设知AB=(3,5),AC=(-1,1), → → → → 则AB+AC=(2,6),AB-AC=(4,4). → → → → 所以|AB+AC|=2 10,|AB-AC|=4 2. 故所求的两条对角线的长分别为 4 2、2 10. (解法 2)设该平行四边形的第四个顶点为 D,两条对角线的交点为 E, 则:E 为 B、C 的中点,E(0,1), 又 E(0,1)为 A、D 的中点,所以 D(1,4), 故所求的两条对角线的长分别为 BC=4 2、AD=2 10; → → → (2) 由题设知:OC=(-2,-1),AB-tOC=(3+2t,5+t). → → → 由(AB-tOC)· =0,得:(3+2t,5+t)· OC (-2,-1)=0, 11 从而 5t=-11,所以 t=- . 5 → → AB· OC 11 → → → → 或者:AB· =tOC2,AB=(3,5),t= OC =- . 5 →2 |OC| 6. 解: 余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们 夹角的余弦之积的两倍.或:在△ABC 中,a,b,c 为角 A,B,C 的对边,则有 a2=b2+c2-2bccosA; b2=a2+c2-2accosB; c2=a2+b2-2abcosC.

证明: 如图 → → a2=BC· BC → → → → =(AC-AB)· -AB) (AC → → → → =AC2-2AC· +AB2 AB

68

→ → → → =AC2-2|AC||AB|cosA+AB2 =b2-2bccosA+c2, 即 a2=b2+c2-2bccosA.同理可证 b2=a2+c2-2accosB, c2=a2+b2-2abcosC.

专题三 数



第10讲 等差数列与等比数列

1. 理解等差、等比数列的概念,掌握等差、等比数列的通项公式及前 n 项和公式. 2. 数列是高中的重要内容,考试说明中,等差、等比数列都是 C 级要求,因而考试题 多为中等及以上难度,试题综合考查了函数与方程,分类讨论等数学思想.填空题常常考查 等差、等比数列的通项公式、前 n 项和公式及等差、等比数列的性质,考查运算求解能力; 解答题综合性很强,不仅考查数列本身的知识而且还涉及到函数、不等式、解析几何等方面 的知识,基本上都是压轴题.

5 1. 在数列{an}中,an=4n- ,a1+a2+?+an=an2+bn,n∈N*,其中 a,b 为常数,则 2 ab=________. 2.已知等差数列{an}中, 2=6, 5=15.若 bn=a2n, a a 则数列{bn}的前 5 项和等于________.

3. 设{an}是公比为正数的等比数列,若 a1=1,a5=16,则数列{an}前 7 项和为________. 4.已知等比数列{an}满足 a1>0,a1 ________.
006 =2,则

log2a1+log2a2+log2a3+?+log2a2

011 =

【例 1】 等差数列{an}的各项均为正数,且 a1=1,前 n 项和为 Sn,{bn}为等比数列, b1=1 ,前 n 项和为 Tn,且 b2S2=12,b3S3=81. (1) 求 an 与 bn; (2) 求 Sn 与 Tn; (3) 设 cn=anbn,{cn}的前 n 项和为 Mn,求 Mn.

69

【例 2】 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1+ 2,S3=9+3 2. (1) 求数列{an}的通项 an 与前 n 项和 Sn; Sn (2) 设 bn= (n∈N*),求证:数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列. n

【例 3】 设{an}是公差不为零的等差数列,Sn 为其前 n 项和,满足 a2+a2=a2+a2,S7 2 3 4 5 =7. (1) 求数列{an}的通项公式及前 n 项和 Sn; amam+1 (2) 试求所有的正整数 m,使得 为数列{an}中的项. am+2

【例 4】 已知数列{an}中,a1=1,an+an+1=2n(n∈N*),bn=3an. 1 n? ? (1) 试证数列?an-3×2 ?是等比数列,并求数列{bn}的通项公式.
? ?

(2) 在数列{bn}中,是否存在连续三项成等差数列?若存在,求出所有符合条件的项; 若不存在,说明理由. (3) 试证在数列{bn}中,一定存在满足条件 1<r<s 的正整数 r,s,使得 b1,br,bs 成等 差数列;并求出正整数 r,s 之间的关系.

1. (2011· 广东)等差数列{an}前 9 项的和等于前 4 项的和.若 a1=1,ak+a4=0,则 k= ________.

2.(2011· 辽宁)若等比数列{an}满足 anan+1=16n,则公比为________.

3.(2011· 湖北)《九章算术》“竹九节”问题:现有一根 9 节的竹子,自上而下各节的容 积成等差数列, 上面 4 节的容积共 3 升, 下面 3 节的容积共 4 升, 则第 5 节的容积为________ 升.

17Sn-S2n 4.(2010· 天津)设{an}是等比数列,公比 q= 2,Sn 为{an}的前 n 项和.记 Tn= , an+1 n∈N+,设 Tn0 为数列{Tn}的最大项,则 n0=________.

5.(2011· 湖北)成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这三个数分别加上 2、5、13 后 成为等比数列{bn}中的 b3、b4、b5. (1) 求数列{bn}的通项公式;
70

5? ? (2) 数列{bn}的前 n 项和为 Sn,求证:数列?Sn+4?是等比数列.
? ?

1 6.(2009· 广东)已知点?1,3?是函数 f(x)=ax(a>0,a≠1)的图象上一点,等比数列{an}的前 ? ? n 项和为 f(n)-c,数列{bn}(bn>0)的首项为 c,且前 n 项和 Sn 满足 Sn-Sn-1= Sn+ Sn+1 (n≥2). (1) 求数列{an}和{bn}的通项公式;
? 1 ? 1 000 (2) 若数列?b b ?前 n 项和为 Tn,问 Tn> 的最小正整数 n 是多少? 2 009 ? n n+1?

(2011· 辽宁)(本小题满分 12 分)已知等差数列{an}满足 a2=0,a6+a8=-10. (1) 求数列{an}的通项公式;
? an ? (2) 求数列?2n-1?的前 n 项和. ? ? ?a1+d=0, ? 解:(1) 设等差数列{an}的公差为 d,由已知条件可得? (2 分) ? ?2a1+12d=-10, ? ?a1=1, 解得? (4 分) ?d=-1. ?

故数列{an}的通项公式为 an=2-n(n∈N*).(5 分) ? an ? a2 an (2) 设数列?2n-1?的前 n 项和为 Sn,即 Sn=a1+ +?+ n-1, ① 2 2 ? ? 故 S1=1. (7 分) Sn a1 a2 an = + +?+ n.② 2 2 4 2 a2-a1 an-an-1 an Sn 所以,当 n>1 时,①-②得 =a1+ +?+ n-1 - n 2 2 2 2 1 1 1 1 2-n 2-n =1-?2+4+?+2n-1?- n =1-?1-2n-1?- n ,(9 分) ? ? 2 ? ? 2
? an ? n n 所以 Sn= n-1,n=1 适合,综上数列?2n-1?的前 n 项和 Sn= n-1. (12 分) 2 2 ? ?

专题三 数 列 第 10 讲 等差数列与等比数列

71

1. 若数列{an},{bn}的通项公式分别是 an=(-1)

n+2007

?-1?n · n=2+ a,b n

+2008

,且 an<bn

对任意 n∈N*恒成立,则常数 a 的取值范围是____________. 【答案】 [-2,1] 解析: a>0 时,an 的最大值为 a(n 取奇数),bn 的最小值为 1,a =0,bn>0,an<bn 恒成立,a<0 时,an 的最大值为-a(n 取偶数),bn>2,-a≤2,综上, a∈[-2,1). 2. 已知无穷数列{an}中,a1,a2,?,am 是首项为 10,公差为-2 的等差数列;am+1, 1 1 am+2,?,a2m 是首项为 ,公比为 的等比数列(其中 m≥3,m∈N*),并对任意的 n∈N*, 2 2 均有 an+2m=an 成立. (1) 当 m=12 时,求 a2 010; 1 (2) 若 a52= ,试求 m 的值; 128 (3) 判断是否存在 m(m≥3,m∈N*),使得 S128m+3≥2 010 成立?若存在,试求出 m 的 值;若不存在,请说明理由. 解: (1) m=12 时,数列的周期为 24. ∵ 2 010=24×83+18,而 a18 是等比数列中的项, 1 1 ∴ a2 010=a18=a12+6=?2?6= . ? ? 64 1 (2) 设 am+k 是第一个周期中等比数列中的第 k 项,则 am+k=?2?k. ? ? ∵ 1 ?1?7 = , 128 ?2?

∴ 等比数列中至少有 7 项,即 m≥7,则一个周期中至少有 14 项. ∴ a52 最多是第三个周期中的项. 若 a52 是第一个周期中的项,则 a52=am+7= 1 . ∴ m=52-7=45; 128 1 .∴ 3m=45,m=15; 128 1 .∴ 5m=45,m=9; 128

若 a52 是第二个周期中的项,则 a52=a3m+7= 若 a52 是第三个周期中的项,则 a52=a5m+7=

综上,m=45,或 15,或 9. (3) 2m 是此数列的周期,∴ S128m+3 表示 64 个周期及等差数列的前 3 项之和. ∴ S2m 最大时,S128m+3 最大. 1 1? 1-?2?m? ? ? ? 2? m?m-1? 11 1 125 ∵ S2m=10m+ ×(-2)+ =-m2+11m+1- m=-?m- 2 ?2+ ? ? 2 1 2 4 1- 2 - 1 , 2m 1 63 当 m=6 时,S2m=31- =30 ; 64 64 当 m≤5 时,S2m<30 63 ; 64

72

11 125 63 当 m≥7 时,S2m<-(7- )2+ =29<30 . 2 4 64 63 ∴ 当 m=6 时,S2m 取得最大值,则 S128m+3 取得最大值为 64×30 +24=2 007. 64 由此可知,不存在 m(m≥3,m∈N*),使得 S128m+3≥2 010 成立. 基础训练 1 1 1. -1 解析:{an}为等差数列,则 Sn=2n2- n,∴ a=2,b=- . 2 2 2. 90 解析:an=3n,bn=6n. 3. 127 4. 2 011 解析:log2a1+log2a2+log2a3+?+log2a2 011=log2(a1a2a3?a2 2 1 005 ×2]=log222 011=2 011. 011)(a2a2 010)?(a1 005a1 007)a1 006]=log2[(2 ) 例题选讲 例 1 解:(1) 设{an}的公差为 d,{bn}的公比为 q,则 d 为正数, - an=1+(n-1)d,bn=qn 1.
?S3b3=?3+3d?q2=81, ? 依题意有? ? ?S2b2=?2+d?q=12,

011)=log2[(a1a2

?d=- , ?d=2, ? ? 3 解得? 或? ? ?q=3 ?
2

?q=9.

(舍去)

故 an=1+2(n-1),an=2n-1,bn=3n 1. 1-3n 3n-1 (2) Sn=1+3+5+?+(2n-1)=n2,Tn= = . 2 1-3 (3) cn=(2n-1)×3n 1,Mn=1+3×3+5×32+?+(2n-1)×3n 1,① 3Mn=1×3+3×32+5×33+?+(2n-1)×3n,② - ①-②得-2Mn=1+2×3+2×32+?+2×3n 1-(2n-1)×3n, Mn=(n-1)×3n+1. 变式训练 等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S1,S3,S2 成等差数列. (1) 求{an}的公比 q; (2) 若 a1-a3=3,求 Sn. 解: (1) 依题意有 a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2), 由于 a1≠0,故 2q2+q=0, 1 又 q≠0,从而 q=- . 2 1 (2) 由已知可得 a1-a1?-2?2=3,故 a1=4. ? ? 1 4?1-?-2?n? ? ? ? ? 8? ? 1?n? 从而 Sn= = ?1-?-2? ?. 1 3 1-?-2? ? ?
- -



?a1= 2+1, 例 2 解:(1) 由已知得? ∴ d=2,故 an=2n-1+ 2,Sn=n(n+ ?3a1+3d=9+3 2,
2).

73

Sn (2) 由(1)得 bn= =n+ 2.假设数列{bn}中存在三项 bp,bq,br(p,q,r 互不相等)成等 n 比数列,则 b2=bpbr,即(q+ 2)2=(p+ 2)(r+ 2). q
? 2 ?q -pr=0, ∴ (q2-pr)+(2q-p-r) 2=0, ∵ p,q,r∈N*,∴ ? ? ?2q-p-r=0,

p+r?2 2 ∴ ? ? 2 ? =pr, (p-r) =0, ∴ p=r.这与 p≠r 矛盾. 故数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列. 变式训练 设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,Sn=kn2+n,n∈N*,其中 k 是常数. (1) 求 a1 及 an; (2) 若对于任意的 m∈N*,am,a2m,a4m 成等比数列,求 k 的值. 解: (1) 当 n=1,a1=S1=k+1, n≥2,an=Sn-Sn-1=kn2+n-[k(n-1)2+(n-1)]=2kn-k+1,(*) 经检验,n=1,(*)式成立,∴ an=2kn-k+1(n∈N*). (2) ∵ am,a2m,a4m 成等比数列, ∴ a2 =am·4m, a 2m 2 即(4km-k+1) =(2km-k+1)(8km-k+1),整理得:mk(k-1)=0, 对任意的 m∈N*成立,∴ k=0 或 k=1. 例 3 解:(1) 设公差为 d,则 a2-a2=a2-a2,由性质得-3d(a4+a3)=d(a4+a3),因为 2 5 4 3 7×6 d≠0,所以 a4+a3=0,即 2a1+5d=0,又由 S7=7 得 7a1+ d=7, 2 解得 a1=-5,d=2,所以{an}的通项公式为 an=2n-7,前 n 项和 Sn=n2-6n. amam+1 ?2m-7??2m-5? (2) (解法 1) = ,设 2m-3=t, am+2 2m-3 则 amam+1 ?t-4??t-2? 8 = =t+ -6, t t am+2 所以 t 为 8 的约数.

因为 t 是奇数,所以 t 可取的值为± 1, 8 当 t=1,m=2 时,t+ -6=3,2×5-7=3,是数列{an}中的项; t 8 当 t=-1,m=1 时,t+ -6=-15,数列{an}中的最小项是-5,不符合. t 所以满足条件的正整数 m=2. amam+1 ?am+2-4??am+2-2? 8 8 (解法 2) 因为 = =am+2-6+ 为数列{an}中的项,故 为 am+2 am+2 am+2 am+2 整数,又由(1)知:am+2 为奇数,所以 am+2=2m-3=± 1,即 m=1,2,经检验,符合题意的 正整数只有 m=2. 例 4 解: (1) 证明:由 an+an+1=2n,得 an+1=2n-an, 1 1 1 + + an+1- ×2n 1 2n-an- ×2n 1 -?an- ×2n? 3 3 3 所以 = = =-1. 1 1 1 n an- ×2n an- ×2n an- ×2 3 3 3 2 1 1 1 又因为 a1- = ,所以数列{an- ×2n}是首项为 ,公比为-1 的等比数列. 3 3 3 3

74

1 1 1 - 所以 an- ×2n= ×(-1)n 1,即 an= [2n-(-1)n],所以 bn=2n-(-1)n. 3 3 3 (2) 假设在数列{bn}中,存在连续三项 bk-1,bk,bk+1(k∈N*, k≥2)成等差数列,则 bk-1 - - + + - - +bk+1=2bk,即[2k 1-(-1)k 1]+[2k 1-(-1)k 1]=2[2k-(-1)k],即 2k 1=4(-1)k 1. - - ① 若 k 为偶数,则 2k 1>0,4(-1)k 1=-4<0,所以,不存在偶数 k,使得 bk-1,bk, bk+1 成等差数列. - - ② 若 k 为奇数,则当 k≥3 时,2k 1≥4,而 4(-1)k 1=4,所以,当且仅当 k=3 时, bk-1,bk,bk+1 成等差数列. 综上所述,在数列{bn}中,有且仅有连续三项 b2,b3,b4 成等差数列. (3) 要使 b1,br,bs 成等差数列,只需 b1+bs=2br, + 即 3+2s-(-1)s=2[2r-(-1)r],即 2s-2r 1=(-1)s-2(-1)r-3,(﹡) + ① 若 s=r+1,在(﹡)式中,左端 2s-2r 1=0, 右端(-1)s-2(-1)r-3=(-1)s+2(-1)s-3=3(-1)s-3, 要使(﹡)式成立,当且仅当 s 为偶数时.又 s>r>1,且 s,r 为正整数, 所以当 s 为不小于 4 的正偶数,且 s=r+1 时,b1,br,bs 成等差数列. + + + + ② 若 s≥r+2 时,在(﹡)式中,左端 2s-2r 1≥2r 2-2r 1=2r 1, +1 由(2)可知,r≥3,所以 r+1≥4,所以左端 2s-2r ≥16(当且仅当 s 为偶数、r 为奇数时 取“=”);右端(-1)s-2(-1)s-3≤0.所以当 s≥r+2 时,b1,br,bs 不成等差数列. 综上所述,存在不小于 4 的正偶数 s,且 s=r+1,使得 b1,br,bs 成等差数列. 高考回顾 1. 10 2. 4 3. 67 66 解析:设该数列为{an},首项为 a1,公差为 d,依题意

? ? ?a1+a2+a3+a4=3, ?4a1+6d=3, ? 即? 解得 ? ? ?a7+a8+a9=4, ?3a1+21d=4,

?a +7d=3, ? 7 ?d=66.
4
1

4 21 67 则 a5=a1+4d=a1+7d-3d= - = . 3 66 66 4. 4 解析:不妨设 a1=1,则 an=( 2) ? 2?2n-1 a2+1-1 n = = , 2-1 2-1
2 an+1-1 an+1-1 17· - 2-1 2-1 16 17Sn-S2n 1 ? a++ -17?, Tn= = =- ? n 1 an+1 ? an+1 an+1 2-1 n-1

? 2?n-1 an+1-1 ,an+1=( 2) ,Sn= = ,S2n 2-1 2-1
n

16 因为函数 g(x)=x+ (x>0)在 x=4 时,取得最小值, x 所以 Tn=- 16 1 ? an+1+ -17?在 an+1=4 时取得最大值. an+1 ? 2-1?

此时 an+1=( 2)n=4,解得 n=4.即 T4 为数列{Tn}的最大项,则 n0=4. 5. 解:(1) 设成等差数列的三个正数分别为 a-d,a,a+d;则 a-d+a+a+d=15?a =5; 数列{bn}中的 b3、b4、b5 依次为 7-d,10,18+d,则(7-d)(18+d)=100;
75

得 d=2 或 d=-13(舍),于是 b3=5,b4=10?b =5·n 3. 2 n 5 Sn+1+ 4 5·n-1 2 5 5 - - (2) 证明:数列{bn}的前 n 项和 Sn=5·n 2- ,即 Sn+ =5·n 2? 2 2 = n-2=2, 4 4 5 5· 2 Sn+ 4 5? ? 因此数列?Sn+4?是公比为 2 的等比数列.
? ?



1 1 6. 解:(1) ∵ f(1)=a= , ∴ f(x)=?3?x, ? ? 3 1 2 a1=f(1)-c= -c,a2=[f(2)-c]-[f(1)-c]=- , 3 9 2 a3=[f(3)-c]-[f(2)-c]=- . 27 4 81 a2 2 1 2 又数列{an}成等比数列,a1= = =- = -c,所以 c=1; a3 2 3 3 - 27 1 a2 1 2 1 - 又公比 q= = ,所以 an=- ?3?n 1=-2?3?n(n∈N*); ? ? a1 3 3? ? 又 Sn-Sn-1=( Sn- Sn-1)( Sn+ Sn-1)= Sn+ Sn-1(n≥2), 又 bn>0, Sn>0,∴ Sn- Sn-1=1; 数列{ Sn}构成一个首项为 1,公差为 1 的等差数列, Sn=1+(n-1)×1=n,Sn=n2. 当 n≥2,bn=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1;又 b1=1, ∴ bn=2n-1(n∈N*). (2) Tn= 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + +?+ = + + +?+ = b1b2 b2b3 b3b4 bnbn+1 1×3 3×5 5×7 ?2n-1?×?2n+1? 2

?1-1?+1?1-1?+1?1-1?+?+1? 1 - 1 ?=1?1- 1 ?= n , ? 3? 2?3 5? 2?5 7? 2?2n-1 2n+1? 2? 2n+1? 2n+1
由 Tn= n 1 000 1 000 1 000 > ,得 n> ,满足 Tn> 的最小正整数为 112. 9 2 009 2n+1 2 009

第11讲 数列求和及其综合应用

1. 掌握数列的求和方法(1) 直接利用等差、 等比数列求和公式; 通过适当变形(构造) (2) 将未知数列转化为等差、等比数列,再用公式求和;(3) 根据数列特征,采用累加、累乘、 错位相减、逆序相加等方法求和;(4) 通过分组、拆项、裂项等手段分别求和;(5) 在证明 有关数列和的不等式时要能用放缩的思想来解题(如 n(n-1)<n2<n(n+1), 能用函数的单调性 (定义法)来求数列和的最值问题及恒成立问题. 2. 数列是特殊的函数,这部分内容中蕴含的数学思想方法有:函数与方程思想、分类
76

讨论思想、化归转化思想、数形结合思想等,高考题中所涉及的知识综合性很强,既有较繁 的运算又有一定的技巧,在解题时要注意从整体去把握.

1. 若数列{an}的通项公式是 an=(-1)n 1· (3n-2),则 a1+a2+?+a10=________. An 7n+5 a7 = ,则 = Bn n+3 b7



2.已知两个等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 An 和 Bn,且 ________.

a2+1 n 3.若数列{an}满足 2 =p(p 为正常数,n∈N*),则称{an}为“等方比数列”.则“数列 an {an}是等方比数列”是“数列{an}是等比数列”的________条件. (填“充分不必要”“必要 不充分”“充要”或“既不充分又不必要”) 4.已知函数 f(x)=x2+bx 的图象在点(1,f(1))处的切线与直线 6x-2y+1=0 平行,若数
? 1 ? 列?f?n??的前 n 项和为 Sn,则 S2 012=________. ? ?

【例 1】 已知公差不为零的等差数列{an}中 a1=2,设 a1、a3、a7 是公比为 q 的等比数 列{bn}的前三项. (1) 求数列{anbn}的前 n 项和 Tn; (2) 将数列{an}与{bn}中相同的项去掉,剩下的项依次构成新的数列{cn},设其前 n 项和 - - 为 Sn,求 S2n-n-1-22n 1+3·n 1 的值. 2

【例 2】 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 ban-2n=(b-1)Sn. - (1) 证明:当 b=2 时,{an-n·n 1}是等比数列; 2 (2) 求{an}的通项公式.

【例 3】 已知数列{an}和{bn}满足:a1=1,a2=2,an>0,bn= anan+1(n∈N*),且{bn} 是以 q 为公比的等比数列. (1) 证明:an+2=anq2; (2) 若 cn=a2n-1+2a2n,证明:数列{cn}是等比数列; 1 1 1 1 1 1 (3) 求和: + + + +?+ + . a1 a2 a3 a4 a2n-1 a2n

【例 4】 将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表: a1 a2 a3
77

a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 ? 记表中的第一列数 a1,a2,a4,a7,?构成的数列为{bn},b1=a1=1. Sn 为数列{bn}的前 n 项和,且满足 2bn =1(n≥2). bnSn-S2 n

?1? (1) 证明数列?S ?成等差数列,并求数列{bn}的通项公式; ? n?

(2) 上表中,若从第三行起,每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,且公比 4 为同一个正数,当 a81=- 时,求上表中第 k(k≥3)行所有项的和. 91

1. (2011· 江西)已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:Sn+Sm=Sn+m,且 a1=1,那么 a10= ________.

2.(2011· 山东)设函数 f(x)= f1(x)=f(x)=

x (x>0),观察: x+2

x x x ,f2(x)=f(f1(x))= ,f3(x)=f(f2(x))= , x+2 3x+4 7x+8

x f4(x)=f(f3(x))= ,? 15x+16 根据以上事实,由归纳推理可得: + 当 n∈N 且 n≥2 时,fn(x)=f(fn-1(x))=________.

3.(2010· 江苏)函数 y=x2(x>0)的图象在点(ak,ak2)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 ak+ * 1,其中 k∈N .若 a1=16,则 a1+a3+a5 的值是________.

?an,当an为偶数时, ? 4.(2009· 湖北)已知数列{an}满足:a1=m(m 为正整数),an+1=? 2 ?3an+1,当an为奇数时. ?
若 a6=1,则 m 所有可能的取值为________.

5.(2010· 上海)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=n-5an-85,n∈N*. (1) 证明:{an-1}是等比数列; 5 1 5 1 (2) 求数列{Sn}的通项公式,并求出使得 Sn+1>Sn 成立的最小正整数 n. 15< , 14> 6 15 6 15

78

6.(2011· 重庆)设实数数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn+1=an+1Sn(n∈N*). (1) 若 a1,S2,-2a2 成等比数列,求 S2 和 a3; 4 (2) 求证:对 k≥3 且 k∈N*有 0≤ak+1≤ak≤ . 3

bn (本小题满分 12 分)数列{an}、{bn}是各项均为正数的等比数列,设 cn= (n∈N*). an (1) 数列{cn}是否为等比数列?证明你的结论; Sn n (2) 设数列{lnan}、{lnbn}的前 n 项和分别为 Sn,Tn.若 a1=2, = ,求数列{cn} Tn 2n+1 的前 n 项和. 解:(1) {cn}是等比数列.(2 分) 证明:设{an}的公比为 q1(q1>0),{bn}的公比为 q2(q2>0),则 cn+1 bn+1 an bn+1 an q2 = ·= · = ≠0,故{cn}为等比数列.(5 分) cn an+1 bn bn an+1 q1 (2) 数列{lnan}和{lnbn}分别是公差为 lnq1 和 lnq2 的等差数列. n?n-1? nlna1+ lnq1 2 2lna1+?n-1?lnq1 n n 由条件得 = ,即 = . n?n-1? 2n+1 2lnb1+?n-1?lnq2 2n+1 nlnb1+ lnq2 2 即(2lnq1-lnq2)n2+(4lna1-lnq1-2lnb1+lnq2)n+(2lna1-lnq1)=0.

(7 分)

?2lnq1-lnq2=0, ? 上式对 n∈N*恒成立.于是?4lna1-lnq1-2lnb1+lnq2=0, ?2lna -lnq =0. ? 1 1
将 a1=2 代入得 q1=4,q2=16,b1=8.(10 分) 从而有 cn= 8· n 1 16 n - =4 . 2·n 1 4


4 所以数列|cn|的前 n 项和为 4+42+?+4n= (4n-1).(12 分) 3 第 11 讲 数列求和及其综合应用

5 x2 y2 1. 两个正数 a、b 的等差中项是 ,一个等比中项是 6,且 a>b,则双曲线 2 - 2=1 2 a b 的离心率 e 等于________. 【答案】 13 3
? ?a+b=5, 解析: 由题有? ?ab=6 ? ? ? ?a=3, ?a=2, 32+22 c ? ? 或? (舍), = e= a 3 ?b=2 ?b=3 ? ?

79



13 . 3

2. 在等比数列{an}中,前 n 项和为 Sn,若 Sm,Sm+2,Sm+1 成等差数列,则 am,am+2, am+1 成等差数列. (1) 写出这个命题的逆命题; (2) 判断逆命题是否为真?并给出证明. 解: (1)在等比数列{an}中,前 n 项和为 Sn,若 am,am+2,am+1 成等差数列,则 Sm,Sm +2,Sm+1 成等差数列. (2) 数列{an}的首项为 a1,公比为 q.由题意知:2am+2=am+am+1, + - 即 2a1qm 1=a1qm 1+a1qm, 1 ∵ a1≠0,q≠0, ∴ 2q2-q-1=0, ∴ q=1 或 q=- , 2 当 q=1 时,有 Sm=ma1,Sm+2=(m+2)a1,Sm+1=(m+1)a1, 显然:2Sm+2≠Sm+Sm+1.此时逆命题为假. 1 当 q=- 时,有 2Sm+2= 2 1 + 2a1?1-?-2?m 2? ? ? ? ? 4 ? ? 1?m+2? = a1?1-?-2? ?, 1 3 1+ 2

1 1 + a1?1-?-2?m? 2a1?1-?-2?m 1? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 ? ? 1?m+2? Sm+Sm+1= + = a1?1-?-2? ?, 1 1 3 1+ 1+ 2 2 ∴ 2Sm+2=Sm+Sm+1,此时逆命题为真. 基础训练 1. -15 解析:a1+a2=a3+a4=?=a9+a10=-3,a1+a2+?+a10=5×(-3)=-15. a7 a1+a13 A13 7×13+5 2. 6 解析: = = = =6. b7 b1+b13 B13 13+3 3. 必要不充分 4. 2 012 2 013 1 解析:f′(x)=2x+b,2+b=3,b=1,f(n)=n2+n=n(n+1),Sn=?1-2?+ ? ?

?1-1?+?+?1- 1 ?= n . ?2 3? ?n n+1? n+1
例题选讲 例 1 解:(1) 设等差数列{an}的公差为 d,则(2+2d)2=2×(2+6d),又 d≠0,∴ d=1, + an=n+1,bn=2n,anbn=(n+1)·n,用错位相减法可求得 Tn=n·n 1. 2 2 (2) ∵ 新的数列{cn}的前 2n-n-1 项和为数列{an}的前 2n-1 项的和减去数列{bn}前 n 项的和, ∴ S2n-n-1= ?2n-1??2+2n? 2?2n-1? - - =(2n-1)(2n 1-1). 2 2-1
- -

∴ S2n-n-1-22n 1+3·n 1=1. 2 1 4 变式训练 已知等差数列{an}满足 a3+a6=- ,a1·8=- ,a1>a8, a 3 3 (1) 求数列{an}的通项公式; (2) 把数列{an}的第 1 项、第 4 项、第 7 项、?、第 3n-2 项、?分别作为数列{bn}的
80

第 1 项、第 2 项、第 3 项、?、第 n 项、?,求数列{2bn}的前 n 项之和; (3) 设数列{cn}的通项为 cn=n· n,试比较(n+1)(n+2)cn+n(n+1)cn+2 与 2n(n+2)cn+1 2b 的大小. 1 4 解: (1) {an}为等差数列,a3+a6=a1+a8=- ,又 a1·8=- ,且 a1>a8,求得 a1=1, a 3 3 a8-a1 4 1 a8=- ,公差 d= =- , 3 3 8-1 1 1 4 ∴ an=1- (n-1)=- n+ (n∈N*). 3 3 3 1 4 (2) b1=a1=1,b2=a4=0, ∴ bn=a3n-2=- (3n-2)+ =-n+2, 3 3 ∴ 2bn+1 2 ?n 1? 2 1 1 = -n+2 = , ∴ {2bn}是首项为 2,公比为 的等比数列, 2bn 2 2 2
- + +

1 2?1-?2?n? ? ? ?? 1 - ∴ {2bn}的前 n 项之和为 =4-?2?n 2. ? ? 1 1- 2 (3) cn=n·bn, 2 ∴ (n+1)(n+2)cn+n(n+1)cn+2-2n(n+2)cn+1 =n(n+1)(n+2)2bn+n(n+1)(n+2)· n+2-2n(n+1)(n+2)· n+1 2b 2b =n(n+1)(n+2)(2bn+2bn+2-2×2bn+1) =n(n+1)(n+2)2bn(1+2bn+2-bn-2×2bn+1-bn) - - =n(n+1)(n+2)· n(1+2 2-2×2 1) 2b 1 =n(n+1)(n+2)2bn(1+ -1)>0, 4 其中 bn+2-bn=-(n+2)+2-(-n+2)=-2,bn+1-bn=-(n+1)+2-(-n+2)=-1, ∴ (n+1)(n+2)cn+n(n+1)cn+2>2n(n+2)cn+1. + 例 2 解:由题意知 a1=2,且 ban-2n=(b-1)Sn,ban+1-2n 1=(b-1)Sn+1, 两式相减得 b(an+1-an)-2n=(b-1)an+1,即 an+1=ban+2n.① (1) 当 b=2 时,由①知 an+1=2an+2n - 于是 an+1-(n+1)·n=2an+2n-(n+1)·n=2(an-n·n 1), 2 2 2 又 a1-1·1 1=1≠0, ∴ an-n·n 1≠0, ∴ 2 2
- - -

an+1-?n+1?·n 2 =2, n-1 an-n· 2

∴ {an-n·n 1}是首项为 1,公比为 2 的等比数列. 2 - - - (2) 当 b=2 时,由(1)知 an-n·n 1=2n 1,即 an=(n+1)2n 1, 2 1 1 1 b n ? + + 2n 当 b≠2 时, 由①得 an+1- ·n 1=ban+2n- 2 ·n 1=ban- 2 · =b an-2-b· ?. 2 ? ? 2-b 2-b 2-b 1 2?1-b? 1 1 + 2n 因此 an+1- ·n 1=b?an-2-b· ?,又 a1- 2 ×2= , ? ? 2-b 2-b 2-b

?2,n=1, ? 故 an=? 1 - [2n+2?1-b?bn 1],n≥2,n∈N*. ? ?2-b

81

??n+1?2 ,b=2, ? ∴ an=? 1 n n-1 ?2-b[2 +2?1-b?b ],b≠2. ?
n-1

变式训练 已知数列{an}满足 an=2an-1+2n-1(n≥2),且 a4=81, (1) 求数列{an}的前三项 a1,a2,a3;
?an-1? (2) 求证:数列? n ?为等差数列,并求 an. ? 2 ?

解: (1) 由 an=2an-1+2n-1(n≥2), 得 a4=2a3+24-1=81, ∴ a3=33. 同理 a2=13,a1=5. (2) 由 an=2an-1+2n-1(n≥2), 得 ∴ an-1 2an-1+2n-2 an-1-1 = = n-1 +1, 2n 2n 2 an-1 an-1-1 - n-1 =1, 2n 2

?an-1? ∴ ? n ?是等差数列. ? 2 ? ?an-1? ∵ ? n ?的公差 d=1, ? 2 ?



an-1 a1-1 = 1 +(n-1)×1=n+1, 2n 2

∴ an=(n+1)×2n+1. 例3 bn+1 an+1an+2 (解法 1)(1) 证明:由 =q,有 = bn anan+1 an+2 =q, ∴ an+2=anq2(n∈N*) . an
- -

(2) 证明:∵ an=an-2q2,∴ a2n-1=a2n-3q2=?=a1q2n 2,a2n=a2n-2q2=?=a2q2n 2, - - - - ∴ cn=a2n-1+2a2n=a1q2n 2+2a2q2n 2=(a1+2a2)q2n 2=5q2n 2. ∴ {cn}是首项为 5,以 q2 为公比的等比数列. 1 1 - 1 1 - (3) 解:由(2)得 = q2 2n, = q2 2n,于是 a2n a2 a2n-1 a1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + +?+ =?a +a +?+a ?+?a +a +?+a ? ?2 4 a1 a2 a2n ? 1 3 2n? 2n-1? 1 1 1 1 1 1 1 1 = ?1+q2+q4+?+q2n-2?+ ?1+q2+q4+?+q2n-2? a1? ? a2? ? 1 1 1 3 = ?1+q2+q4+?+q2n-2?. 2? ? 由题知 q>0, 1 1 1 1 1 1 3 3 当 q=1 时, + +?+ = ?1+q2+q4+?+q2n-2?= n. a1 a2 a2n 2? ? 2 1 1 1 1 1 1 3 当 q≠1 时, + +?+ = ?1+q2+q4+?+q2n-2? a1 a2 a2n 2? ?

82

2n 2n 3?1-q ? 3? q -1 ? = ? = . 2? 1-q-2 ? 2?q2n-2?q2-1?? ? ? ?



?2n,q=1, 1 1 1 故 + +?+ =? a a a 3? q -1 ? ?2?q ?q -1??,q≠1. ? ?
3
1 2 2n 2n 2n-2 2

(解法 2) (1) 同解法 1(1). cn+1 a2n+1+2a2n+2 q2a2n-1+2q2a2n 2 (2) 证明: = = =q (n∈N*),又 c1=a1+2a2=5,∴ {cn} cn a2n-1+2a2n a2n-1+2a2n 是首项为 5,以 q2 为公比的等比数列. - - (3) 解:由(2)的类似方法得 a2n-1+a2n=(a1+a2)q2n 2=3q2n 2, a2n-1+a2n a2k-1+a2k 3q2k 2 3 -2k+2 1 1 1 a1+a2 a3+a4 + +?+ = + +?+ ,∵ = 4k-4= q ,k= a1 a2 a2n a1a2 a3a4 2 a2n-1a2n a2k-1a2k 2q 1,2,?,n. ∴ 例4 1 1 1 3 - - - + + +?+ = (1+q 2+q 4?+q 2n 2)(下面同上). a1 a2 a2k 2 2bn =1, bnSn-S2 n


(1) 证明:由已知,

又 Sn=b1+b2+b3+?+bn,n≥2,bn=Sn-Sn-1, ∴ 2bn =1 即 2(Sn-Sn-1)=Sn(Sn-Sn-1)-S2,2Sn-1-2Sn=SnSn-1, n bnSn-S2 n 1 1 1 - = , Sn Sn-1 2

又 S1=1≠0,∴ SnSn-1≠0,∴

?1? 1 1 2 ∴ 数列?S ?成等差数列,且 =1+(n-1)·,Sn= , Sn 2 ? n? n+1

?1,n=1, ? ∴ bn=? 2 * ?-n?n+1?,n≥2,n∈N . ?
(2) 解:设上表中从第三行起,每行的公比都为 q,且 q>0. 12×13 因为 1+2+?+12= =78, 2 所以表中第 1 行至第 12 行共含有数列{an}的前 78 项,故 a81 在表中第 13 行第三列,因 4 2 此 a81=b13·2=- .又 b13=- q ,所以 q=2.记表中第 k(k≥3)行所有项的和为 S, 91 13×14 bk?1-qk? -2 ?1-2k? 2 则 S= = · = (1-2k)(k≥3). 1-q k?k+1? 1-2 k?k+1? 变式训练 已知二次函数 y=f(x)的图象经过坐标原点,其导函数为 f′(x)=6x-2,数 列{an}的前 n 项和为 Sn,点(n,Sn)(n∈N*)均在函数 y=f(x)的图象上. (1) 求数列{an}的通项公式; (2) 设 bn= 3 m ,Tn 是数列{bn}的前 n 项和,求使得 Tn< 对所有 n∈N*都成立的最 20 anan+1

小正整数 m. 解: (1) 设这二次函数 f(x)=ax2+bx (a≠0) , f′(x)=2ax+b , 则 由于 f′(x)=6x-2,
83

得 a=3 , b=-2, 所以 f(x)=3x2-2x. 又因为点(n,Sn)(n∈N*)均在函数 y=f(x)的图象上,所以 Sn=3n2-2n. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5. 当 n=1 时,a1=S1=3×12-2=6×1-5,所以,an=6n-5 (n∈N*). (2) 由(1)得知 bn= 3 3 = anan+1 ?6n-5?[6?n+1?-5]

1 1 1 = ?6n-5-6n+1?, 2? ?
n

故 Tn=∑bi =
i 1

1 1 1 1 1 1 = ??1-7?+?7-13?+?+?6n-5-6n+1?? ? ? ? 2?? ? ?? 1 1 = ?1-6n+1?. 2? ? 1 1 m 1 m 因此,要使 (1- )< (n∈N*)成立的 m,必须且仅须满足 ≤ ,即 m≥10,所以 2 2 20 6n+1 20 满足要求的最小正整数 m 为 10. 高考回顾 1. 1 解析:Sn+S1=Sn+1,an+1=a1. 2. x ?2n-1?x+2n

3.21 4. 4,5,32 解析:显然,an 为正整数,a6=1,故 a5=2,a4=4,若 a3 为奇数,则 4=3a3 +1,a3=1,若 a3 为偶数,则 a3=8,若 a3=1,则 a2=2,a1=4,若 a3=8,则 a2=16,a1 =5 或 32. 5. (1) 证明:当 n=1 时,a1=-14;当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=-5an+5an-1+1,所以 an-1 5 5 an-1= (an-1-1),又 a1-1=-15≠0, = , 6 an-1-1 6 所以数列{an-1}是等比数列; 5 ?5 - ?5 - (2) 解:由(1)知:an-1=-15·6?n 1,得 an=1-15·6?n 1,从而 Sn=n-90+90×?6?n ? ? ? ? ? ? (n∈N*); 5 5 5 1 1 1 由 Sn+1>Sn,得?6?n< ,∵ ?6?15< ,?6?14> ,∴ 使 sn+1>sn 成立的最小正整数 n= ? ? 15 ? ? 15 ? ? 15 15.
2 ?S2=-2a1a2, ? 6. (1) 解:由题意? 得 S2=-2S2, 2 ? ?S2=a2S1=a1a2,

由 S2 是等比中项知 S2≠0,因此 S2=-2, S2 2 由 S2+a3=S3=a3S2,解得 a3= = . S2-1 3 (2) 证明:由题设条件有 an+1Sn=an+1+Sn, 故 Sn≠1,an+1≠1,且 an+1= an+1 Sn ,Sn= , Sn-1 an+1-1

84

ak-1 ak-1+ ak-1-1 Sk-1 ak-1+Sk-2 从而对 k≥3 有 ak= = = ,① Sk-1-1 ak-1+Sk-2-1 ak-1 ak-1+ -1 ak-1-1 1 3 因 a2-1-ak-1+1=?ak-1-2?2+ >0,且 a2-1≥0, k k ? ? 4
2 ak-1 4 4 要证 ak≤ ,由①知只要证 2 ≤ , 3 ak-1-ak-1+1 3 2 即证 3ak-1≤4(a2-1-ak-1+1),即(ak-1-2)2≥0,此式明显成立, k

4 因此 ak≤ (k≥3). 3 最后证 ak+1≤ak,若不然,ak+1= a2 k >a ,又 2 ak-ak+1 k ak ak≥0,故 2 >1, ak-ak+1

即(ak-1)2<0,矛盾,所以 ak+1≤ak(k≥3,k∈N).

专题四 平面解析几何 第12讲 直线与圆的方程及应用

解析几何是江苏高考必考题之一,它包含两个 C 级考点,正常情况下,考一小(填空) 一大(解答).小题常涉及直线方程及应用,圆锥曲线方程及其性质,有一定的计算量;大题 往往与圆有关,涉及到方程,位置关系、定点、定值、定线等.圆与圆锥曲线的综合考查, 对数学思想方法要求比较高,能灵活使用待定系数法、定义法等求方程,能用配方法、换元 法等,结合图形将问题进行转化,通过函数、方程、不等式等思想来解决问题. 1. 理解直线的斜率和倾斜角的概念;掌握过两点的直线斜率的计算公式;了解直线的 倾斜角的范围; 理解直线的斜率和倾斜角之间的关系, 能根据直线的倾斜角求出直线的斜率. 2. 掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式)的特点与适用 范围; 能根据问题的具体条件选择恰当的形式求直线的方程; 了解直线方程的斜截式与一次 函数的关系. 3. 能根据斜率判定两条直线平行或垂直. 4. 了解二元一次方程组的解与两直线的交点坐标之间的关系,体会数形结合思想;能 用解方程组的方法求两直线的交点坐标. 5. 掌握两点间的距离公式和点到直线的距离公式及其简单应用;会求两条平行直线间 的距离. 6. 掌握圆的标准方程与一般方程,能根据问题的条件选择恰当的形式求圆的方程;理 解圆的标准方程与一般方程之间的关系,会进行互化. 7. 能根据直线与圆的方程判断其位置关系(相交、相切、相离);能根据圆的方程判断圆 与圆的位置关系(外离、外切、相交、内切、内含).能用直线和圆的方程解决一些简单的问 题.

85

1. 与直线 x+ 3y-1=0 垂直的直线的倾斜角为________.

2.过点(2,1)且在两坐标轴截距相等的直线方程是________________.

3.直线 3x-y+m=0 与圆 x2+y2-2x-2=0 相切,则实数 m=________.

4.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x2+y2=4 上有且仅有四个点到直线 12x-5y+c =0 的距离为 1,则实数 c 的取值范围是________.

【例 1】 已知圆 C 过点(1,0),且圆心在 x 轴的正半轴上,直线 l:y=x-1 被圆 C 所 截得的弦长为 2 2,求过圆心且与直线 l 垂直的直线的方程.

【例 2】 如图, 平面直角坐标系 xOy 中, △AOB 和△COD 为两等腰直角三角形, A(- 2,0),C(a,0)(a>0).△AOB 和△COD 的外接圆圆心分别为 M,N.

(1) 若⊙M 与直线 CD 相切,求直线 CD 的方程; (2) 若直线 AB 截⊙N 所得弦长为 4,求⊙N 的标准方程; (3) 是否存在这样的⊙N, 使得⊙N 上有且只有三个点到直线 AB 的距离为 2, 若存在, 求此时⊙N 的标准方程;若不存在,说明理由.

【例 3】 已知圆 C:x2+(y-3)2=4,一动直线 l 过点 A(-1,0)与圆 C 相交于 P、Q 两 点,M 是 PQ 的中点,l 与直线 m:x+3y+6=0 相交于点 N. (1) 求证:当 l 与 m 垂直时,l 必过圆心 C; (2) 当 PQ=2 3时,求直线 l 的方程; → → (3) 探索AM· 的值是否与直线 l 的倾斜角有关,若无关,请求出其值;若有关,请说 AN 明理由.

86

x2 y2 2 【例 4】 已知椭圆 E: 2 + 2=1(a>b>0)的离心率为 ,且过点 P(2, 2),设椭圆 E a b 2 的右准线 l 与 x 轴的交点为 A,椭圆的上顶点为 B,直线 AB 被以原点为圆心的圆 O 所截得 4 5 的弦长为 . 5 (1) 求椭圆 E 的方程及圆 O 的方程; (2) 若 M 是准线 l 上纵坐标为 t 的点,求证:存在一个异于 M 的点 Q,对于圆 O 上的 MN 任意一点 N,有 为定值;且当 M 在直线 l 上运动时,点 Q 在一个定圆上. NQ

1. (2011· 安徽)若直线 3x+y+a=0 过圆 x2 +y2 +2x-4y=0 的圆心,则 a 的值为 ________. 2.(2011· 重庆)在圆 x2+y2-2x-6y=0 内,过点 E(0,1)的最长弦和最短弦分别是 AC 和 BD,则四边形 ABCD 的面积为________. 3.(2011· 湖北)过点(-1,-2)的直线 l 被圆 x2+y2-2x-2y+1=0 截得的弦长为 2,则 直线 l 的斜率为________. 4.(2010· 江西)直线 y=kx+3 与圆(x-2)2+(y-3)2=4 相交于 M, 两点, N 若|MN|≥2 3, 则实数 k 的取值范围是________. 5.(2011· 福建理) 已知直线 l:y=x+m,m∈R. (1) 若以点 M(2,0)为圆心的圆与直线 l 相切于点 P,且点 P 在 y 轴上,求该圆的方程; (2) 若直线 l 关于 x 轴对称的直线为 l′,问直线 l′与抛物线 C:x2=4y 是否相切?说 明理由.

6.(2011· 陕西)如图,设 P 是圆 x2+y2=25 上的动点,点 D 是 P 在 x 轴上投影,M 为 PD 4 上一点,且|MD|= |PD|. 5 (1) 当 P 在圆上运动时,求点 M 的轨迹 C 的方程;

87

4 (2) 求过点(3,0)且斜率为 的直线被 C 所截线段的长度. 5

(2011· 南京三模)(本小题满分 16 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知定点 A(-4,0)、 1 B(4,0),动点 P 与 A、B 两点连线的斜率之积为- . 4 (1) 求点 P 的轨迹方程; (2) 设点 P 的轨迹与 y 轴负半轴交于点 C.半径为 r 的圆 M 的圆心 M 在线段 AC 的垂直 平分线上,且在 y 轴右侧,圆 M 被 y 轴截得的弦长为 3r. ① 求⊙M 的方程; ② 当 r 变化时,是否存在定直线 l 与动圆 M 均相切?如果存在,求出定直线 l 的方程; 如果不存在,说明理由. 解:(1) 设 P(x,y),则直线 PA、PB 的斜率分别为 k1= y y 1 x2 y2 由题意知 · =- ,即 + =1(x≠± 4). 4 16 4 x+4 x-4 x2 y2 所以动点 P 的轨迹方程是 + =1(x≠± 4).(4 分) 16 4 (说明:没有范围扣 1 分) (2) ①由题意知 C(0,-2),A(-4,0), 所以线段 AC 的垂直平分线方程为 y=2x+3.(6 分) 设 M(a,2a+3)(a>0),则⊙M 的方程为(x-a)2+(y-2a-3)2=r2. 圆心 M 到 y 轴的距离 d=a,由 r2=d2+? r 3r?2 ,得 a= . 2 ? 2 ? y y 、k2= .(2 分) x+4 x-4

r 所以⊙M 的方程为?x-2?2+(y-r-3)2=r2.(10 分) ? ? ② 假设存在定直线 l 与动圆 M 均相切. 当定直线的斜率不存在时,不合题意. 当斜率存在时,设直线 l:y=kx+b, 则

?k× r -r-3+b? ? 2 ?
1+k2

=r 对任意 r>0 恒成立.(12 分)

k 由??2-1?r+?b-3??=r 1+k2, ?? ? ?

88

k 得?2-1?2r2+(k-2)(b-3)r+(b-3)2=(1+k2)r2. ? ?

??2-1? =1+k , ?? ? 所以??k-2??b-3?=0, ??b-3? =0. ?
k
2 2 2

?k=- , ?k=0, ? ? 3 ? 解得 或? ? ?b=3 ?
4

?b=3.

所以存在两条直线 y=3 和 4x+3y-9=0 与动圆 M 均相切.(16 分) 第 12 讲 直线与圆的方程及应用

1. 已知实数 x,y 满足 2x+y+5=0,那么 x2+y2的最小值为________. 【答案】 5 2 2 2. 圆 x +y =1 与直线 kx+y-k=0(k∈R 为常数)的位置关系是________. 【答案】 相交 3. 若直线 y=x+b 与曲线 y=3- 4x-x2有公共点,则 b 的取值范围是________. 【答案】 [1-2 2,3] 解析:本题考查数形结合思想. 曲线方程可化简为(x-2)2+(y -3)2=4(1≤y≤3),即表示圆心为(2,3)半径为 2 的半圆,依据数形结合,当直线 y=x+b 与 此半圆相切时须满足圆心(2,3)到直线 y=x+b 距离等于 2,解得 b=1+2 2或 1-2 2,因 为是下半圆故可得 b≠1+2 2,当直线过(0,3)时,解得 b=3,故 1-2 2≤b≤3. 4. 已知圆 M:x2+(y-2)2=1,Q 是 x 轴上的动点,QA,QB 分别切圆 M 于 A,B 两 点. (1) 如果|AB|= 4 2 ,求直线 MQ 的方程; 3

(2) 求动弦|AB|的最小值. 解: (1)设 Q(q,0), 因为 M(0,2),所以|MQ|= q2+22= q2+4,而|MA|=r=1, 从而在 Rt△AMQ 中,|AQ|= |MQ|2-|MA|2= q2+4-1= q2+3. 1 2 2 又由题意和对称性可得,Rt△AMQ 斜边 MQ 边上的高为 h= |AB|= . 2 3 2 2 由等面积法得 · q2+4= q2+3,解得 q=± 5,所以 Q(± 5,0), 3 将 M,Q 的坐标代入直线的两点式方程整理得到直线 MQ 的方程为 2x± 5y?2 5=0. 1 1 (2) 由(1)知,利用等面积法得 |AB|· q2+4= q2+3? |AB|= 2 2 从而当 q=0 时,动弦|AB|取到最小值 3. q2+3 = q2+4 1 1- 2 , q +4

89

5. (2011· 盐城二模)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C 由圆弧 C1 和圆弧 C2 相接而成,两相接点 M、N 均在直线 x=5 上.圆弧 C1 的圆心是坐标原点 O,半径为 13; 圆弧 C2 过点 A(29,0). (1) 求圆弧 C2 的方程; (2) 曲线 C 上是否存在点 P,满足 PA= 30PO?若存在,指出有几个这样的点;若不 存在,请说明理由; (3) 已知直线 l:x-my-14=0 与曲线 C 交于 E、F 两点,当 EF=33 时,求坐标原点 O 到直线 l 的距离. 解:(1) 圆弧 C1 所在圆的方程为 x2+y2=169,令 x=5,解得 M(5,12),N(5,-12). 则线段 AM 中垂线的方程为 y-6=2(x-17), 令 y=0,得圆弧 C2 所在圆的圆心为 O2(14,0). 又圆弧 C2 所在圆的半径为 r2=29-14=15, 所以圆弧 C2 的方程为(x-14)2+y2=225(x≥5). (2) 假设存在这样的点 P(x,y),则由 PA= 30PO,得 x2+y2+2x-29=0.
?x2+y2+2x-29=0, ? 由? 2 2 ? ?x +y =169?-13≤x≤5?,

解得 x=-70(舍),

2 ? 2 ?x +y +2x-29=0, 由? 解得 x=0(舍), 2 2 ??x-14? +y =225?5≤x≤29?, ?

综上知,这样的点 P 不存在. (3) 因为 EF>r2,EF>r1,所以 E、F 两点分别在两个圆弧上.设点 O 到直线 l 的距离 为 d, 因为直线 l 恒过圆弧 C2 所在圆的圆心(14,0),所以 EF=15+ 132-d2+ 142-d2, 1 615 1 615 即 132-d2+ 142-d2=18,解得 d2= ,所以点 O 到直线 l 的距离为 . 16 4 基础训练 1. π 2. x-2y=0 或 x+y-3=0 3. 3 3或-3 3

|c| 4. (-13,13) 解析: 圆的半径为 2, 圆心(0,0)到直线 12x-5y+c=0 的距离小于 1, 即 13 <1,c 的取值范围是(-13,13). 例题选讲 例 1 解:由题意可设所求的直线方程为 x+y+m=0,设圆心坐标为(a,0),则由题意 ?|a-1|?2+2=(a-1)2,解得 a=3 或-1,又因为圆心在 x 轴的正半轴上,所以 a=3, 知:? ? ? 2 ? 故圆心坐标为(3,0),因为圆心(3,0)在所求的直线上,所以有 3+0+m=0,即 m=-3,故所 求的直线方程为 x+y-3=0. 例 2 点拨:直线与圆相交的问题,要利用图形转化为圆心到直线的距离问题.
90

解: (1) 圆心 M(-1.1).∴ 圆 M 方程为(x+1)2+(y-1)2=2, ∴ 直线 CD 方程为 x+y-a=0. ∵ ⊙M 与直线 CD 相切, |-a| ∴ 圆心 M 到直线 CD 的距离 d= = 2,化简得:a=± 2(舍去负值). 2 ∴ 直线 CD 的方程为 x+y-2=0. a a (2) 直线 AB 方程为:x-y+2=0,圆心 N?2,2?. ? ?

∴ 圆心 N 到直线 AB 距离为

?a-a +2? ?2 2 ?
2

= 2.

a2 ∵ 直线 AB 截⊙N 所得弦长为 4,∴ 22+( 2)2= .∴ a=± 3(舍去负值). 2 2 ∴ ⊙N 的标准方程为(x- 3)2+(y- 3)2=6. (3) 存在.由(2)知,圆心 N 到直线 AB 距离为 2(定值),且 AB⊥CD 始终成立, a ∴ 当且仅当圆 N 半径 =2 2, a=4 时, 即 ⊙N 上有且只有三个点到直线 AB 的距离 2 为 2. 此时,⊙N 的标准方程为(x-2)2+(y-2)2=8. 变式训练 已知 m∈R,直线 l:mx-(m2+1)y=4m 和圆 C:x2+y2-8x+4y+16=0. (1) 求直线 l 斜率的取值范围; 1 (2) 直线 l 能否将圆 C 分割成弧长的比值为 的两段圆弧?为什么? 2 点拨:直线与圆相交,用圆心到直线距离. 已知直线将圆分割弧长的比值,转化为所对 的圆心角的比值,过圆心作弦的垂线,则垂线段长可求,用圆心到直线的距离即可. 解: (1) 直线 l 的方程可化为 y= m 直线 l 的斜率 k= 2 , m +1 1 ∵ |m|≤ (m2+1), 2 ∴ |k|= |m| 1 ≤ ,当且仅当|m|=1 时等号成立. 2 m +1 2 m 4m x- , m2+1 m2+1

1 1 ∴ 斜率 k 的取值范围是?-2,2?. ? ? 1 (2) 不能.由(1)知 l 的方程为 y=k(x-4),其中|k|≤ . 2 圆 C 的圆心 C(4,-2),半径 r=2.圆心 C 到直线 l 的距离 d= 2 . 1+k2

1 4 r 由|k|≤ ,得 d≥ >1,即 d> .从而若 l 与圆 C 相交,则圆 C 截直线 l 所得的弦所对 2 2 5 2π 的圆心角小于 . 3

91

1 所以 l 不能将圆 C 分割成弧长的比值为 的两段弧. 2 例3 1 (1) 证明:因为 l 与 m 垂直,且 km=- ,则 kl=3,故直线 l:y=3(x+1),即 3

3x-y+3=0.显然圆心(0,3)在直线 l 上,即当 l 与 m 垂直时,l 必过圆心 C. (2) 解:①当直线 l 与 x 轴垂直时,易知 x=-1 符合题意. ② 当直线 l 与 x 轴不垂直时, 设直线 l 的方程为 y=k(x+1), kx-y+k=0, 即 因为 PQ |-3+k| 4 =2 3,所以 CM= 4-3=1,则由 CM= 2 =1,得 k= .所以直线 l 的方程为 4x- 3 k +1 3y+4=0. 从而所求直线 l 的方程为 x=-1 或 4x-3y+4=0. → → → → → → → → → → → (3) 解:∵ CM⊥MN, ∴ AM· =(AC+CM)· =AC· +CM· =AC· . AN AN AN AN AN 5 5 → ① 当 l 与 x 轴垂直时有 N?-1,-3?,∴ AN=?0,-3?, ? ? ? ? → → → → → 又AC=(1,3), ∴ AM· =AC· =-5. AN AN ② 当 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=k(x+1),
?y=k?x+1?, ? → ? 3k+6, -5k ?,则AN=?- 5 ,- 5k ?. 则由? 得 N?- ? 1+3k? ? 1+3k ? 1+3k 1+3k? ? ?x+3y+6=0,

→ → → → 所以AM· =AC· =-5. AN AN → → → → 综上,可知AM· 的值与直线 l 的斜率无关,因此与倾斜角也无关,且AM· =-5. AN AN 变式训练 已知直线 m 的方程为 x+y-1=0,⊙C 的方程为 x2-2x+y2-2y-3=0, → → ⊙C 关于直线 m 的对称的⊙D 与直线 l 相交于 A、 两点, B 若在⊙D 上存在点 P 使得OP=OA → +OB=λa,又知 a=(-1,2). (1) 求⊙D 的方程; (2) 求点 P 的坐标; (3)求直线 l 的方程. 解: (1) ⊙C 方程为(x-1)2+(y-1)2=5,设 D(a,b),

?a+1+b+1-1=0, ? 2 2 则? b-1 ? ?a-1=1,

∴ a=0,b=0,

∴ ⊙D 方程为 x2+y2=5. (2) 由题意可知 P(-λ,2λ),∵ P 在圆 D 上, ∴ λ2+4λ2=5,∴ λ=± 1. ∴ P(-1,2)或 P(1,-2). → → → (3) ∵ OP=OA+OB,P、A、B 均在圆上,∴ OP⊥AB,∠AOB=120° ,

92

∴ 圆心 D 到直线 AB 的距离是

5 . 2

1 |c| 5 当 P 的坐标为(-1,2)时,kl= ,设直线 l 的方程是 x-2y+c=0,d= = , 2 5 2 5 5 ∴ c=± ,由图形位置可知 c= ,此时直线 l 的方程是 2x-4y+5=0. 2 2 同理可知,当 P 坐标为(1,-2)时,直线 l 的方程是 2x-4y-5=0.

例4

? (1) 解:? 4 2 + =1, a b ?a =b +c
c 2 = , a 2
2 2 2 2 2

?a2=8, ? x2 y2 ? ? 2 故椭圆 E 的方程为 + =1, 8 4 ? ?b =4,

∵ A(4,0),B(0,2),∴直线 AB 方程为 x+2y-4=0,则 O 到 AB 距离为 ∴ 圆 O 的半径 r=

4 , 5

? 4 ?2+?1× 2 ?2=2, 5? ? 5? ?2

故圆 O 的方程为 x2+y2=4. (2) 证明:l 的方程为 x=4,∴ M 点坐标为 M(4,t). 在圆 O 上任取一点 N(x0,y0),定点 Q(x,y). ∵ NM 与 NQ 的比值为常数且 Q 不同于 M, ∴ NQ2=λNM2,λ>0 且 λ≠1,λ 为常数, 即(x0-x)2+(y0-y)2=λ[(x0-4)2+(y0-t)2], ∴ x02+y02-2xx0-2yy0+x2+y2=λ(x02+y02-8x0-2y0t+16+t2), 将 x02+y02=4 代入上式,则 -2xx0-2yy0+x2+y2+4=-8λx0-2λy0t+(20+t2)λ,

?x-4λ,① ? 由于 N 是圆 O 上任意一点,所以?y=4λ,② ?x2+y2+4=?20+t2?λ,③ ?
将①②代入③得(16+t2)λ2-(20+t2)λ+4=0 ∴ (λ-1)[(16+t2)λ-4]=0,∵ λ≠1,∴ λ= 4 , 16+t2

即存在一个定点 Q(不同于点 M),使得对于圆 O 上的任意一点 N, MN 4 均有 为定值,又 16+t2= 代入③得 x2+y2=4λ, NQ λ 1 1 1 1 于是有 x2+y2=x,即?x-2?2+y2= ,故点 Q 在圆心为?2,0?,半径为 的定圆上. ? ? ? ? 4 2 高考回顾 1. 1 解析:本题考查直线与圆的位置关系,属容易题. 2. 10 2 解析:由题意 AC 为径,设圆心为 F,则 FE⊥BD,圆的标准方程为(x-1)2 1 +(y-3)2=10,故 F(1,3),由此易得:AC=2 10,又 kEF=2,所以 BD 的方程为 y=- x 2

93

1 |- +1-3| 2 1 +1,F 到 BD 的距离为 = 5,由此得 BD=2 5,所以四边形 ABCD 的面积为 2 5 2 1 AC· BD= ×2 5×2 10=10 2. 2 17 3. 1 或 7 3 3 4. ?- , ? ? 3 3? 解析:因为直线过定点(0,3)且该点在圆上,设此点为 M,圆心(2,3)到 |2k-3+3|
2

此直线距离为 d,所以由 4-d2≥( 3)2?d ≤1,又 d= ≤k≤ 3 . 3

1 3 ≤1,∴ k2≤ ,∴ - 3 3 1+k

5. 点拨:本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识,考查运算求解能力,函数与 方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想. 解:(解法 1)(1) 依题意,点 P 的坐标为(0,m), 0-m 因为 MP⊥l,所以 ×1=-1, 2-0 解得 m=2,即点 P 的坐标为(0,2), 从而圆的半径 r=|MP|= ?2-0?2+?0-2?2=2 2, 故所求圆的方程为(x-2)2+y2=8. (2) 因为直线 l 的方程为 y=x+m 所以直线 l′的方程为 y=-x-m.
?y=-x-m, ? 由? 2 得 x2+4x+4m=0,Δ=42-4×4m=16(1-m). ? ?x =4y,

① 当 m=1,即 Δ=0 时,直线 l′与抛物线 C 相切. ② 当 m≠1,即 Δ≠0 时,直线 l′与抛物线 C 不相切. 综上, m=1 时, 当 直线 l′与抛物线 C 相切; m≠1 时, 当 直线 l′与抛物线 C 不相切. 2 (解法 2)(1) 设所求圆的半径为 r,则圆的方程可设为(x-2) +y2=r2, 依题意,所求圆与直线 l:x-y+m=0 相切于点 P(0,m),

?4+m =r , ? ?m=2, 则?|2-0+m| 解得? 所以所求圆的方程为(x-2)2+y2=8. =r, ?r=2 2. ? 2 ?
(2) 同解法 1. 6. 点拨: (1)动点 M 通过点 P 与已知圆相联系,所以把点 P 的坐标用点 M 的坐标表 示,然后代入已知圆的方程即可;(2)直线方程和椭圆方程组成方程组,可以求解,也可以

2

2

94

利用根与系数关系;结合两点的距离公式计算. 解: (1) 设点 M 的坐标是(x,y),P 的坐标是(xp,xp), 4 ∵ 点 D 是 P 在 x 轴上投影,M 为 PD 上一点,且|MD|= |PD|, 5 5 ∴ xp=x,且 yp= y, 4 5 x2 y2 ∵ P 在圆 x2+y2=25 上,∴ x2+?4y?2=25,整理得 + =1, ? ? 25 16 x2 y2 即 C 的方程是 + =1. 25 16 4 4 (2) 过点(3,0)且斜率为 的直线方程是 y= (x-3),设此直线与 C 的交点为 A(x1,y1), 5 5 B(x2,y2),
2 4 x2 y2 x2 ?x-3? 将直线方程 y= (x-3)代入 C 的方程 + =1 得: + =1,化简得 x2-3x-8 5 25 16 25 25

3- 41 3+ 41 =0,∴ x1= ,x2= , 2 2 ∴ |AB|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2= 41 度是 . 5

?1+16??x1-x2?2= ? 25?

41 41 ×41= , 即所截线段的长 25 5

第13讲 圆锥曲线(含轨迹问题)

本节知识在江苏高考试题中要求比较低,椭圆的标准方程和几何性质是 B 级考点,其 余都是 A 级考点,但高考必考.在理解定义的基础上,只需对标准方程及其性质熟悉,特 别是圆锥曲线中的离心率计算(含范围).要能准确建模(方程或不等式). 1. 掌握椭圆的标准方程,会求椭圆的标准方程;掌握椭圆的简单几何性质,能运用椭 圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题; 了解运用曲线的方程研究曲线的几何性 质的思想方法. 2. 了解双曲线的标准方程,会求双曲线的标准方程;了解双曲线的简单几何性质. 3. 了解抛物线的标准方程,会求抛物线的标准方程;了解抛物线的简单几何性质.

x2 y2 10 1. 若椭圆 + =1 的离心率 e= ,则 m 的值是________. 5 m 5 2.若抛物线 y2=2x 上的一点 M 到坐标原点 O 的距离为 3,则 M 到该抛物线焦点的距 离为________.

95

3.双曲线 2x2-y2+6=0 上一个点 P 到一个焦点的距离为 4,则它到另一个焦点的距离 为________. x2 y2 4.已知椭圆 2 + 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,离心率为 e,若椭圆上存在 a b PF1 点 P,使得 =e,则该椭圆离心率 e 的取值范围是________. PF2

x2 y2 6 【例 1】 已知椭圆 G: 2 + 2=1(a>b>0)的离心率为 ,右焦点为(2 2,0),斜率为 1 a b 3 的直线 l 与椭圆 G 交于 A、B 两点,以 AB 为底边作等腰三角形,顶点为 P(-3,2). (1) 求椭圆 G 的方程; (2) 求△PAB 的面积.

【例 2】 直角坐标系 xOy 中,中心在原点 O,焦点在 x 轴上的椭圆 C 上的点(2 2, 1)到两焦点的距离之和为 4 3. (1) 求椭圆 C 的方程; (2) 过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l 与椭圆 C 分别交于 A、 两点, B 其中点 A 在 x 轴下方, → → 且AF=3FB.求过 O、A、B 三点的圆的方程.

x2 【例 3】 已知椭圆 +y2=1 的左顶点为 A,过 A 作两条互相垂直的弦 AM、AN 交椭 4 圆于 M、N 两点. (1) 当直线 AM 的斜率为 1 时,求点 M 的坐标; (2) 当直线 AM 的斜率变化时,直线 MN 是否过 x 轴上的一定点?若过定点,请给出证 明,并求出该定点;若不过定点,请说明理由.

96

【例 4】 (2011· 徐州模拟)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 B:(x-1)2+y2= 16 与点 A(-1,0),P 为圆 B 上的动点,线段 PA 的垂直平分线交直线 PB 于点 R,点 R 的轨 迹记为曲线 C. (1) 求曲线 C 的方程; (2) 曲线 C 与 x 轴正半轴交点记为 Q,过原点 O 且不与 x 轴重合的直线与曲线 C 的交 点记为 M、N,连结 QM、QN,分别交直线 x=t(t 为常数,且 t≠2)于点 E、F,设 E、F 的 纵坐标分别为 y1、y2,求 y1·2 的值(用 t 表示). y

x2 y2 1. (2011· 天津)已知双曲线 2 - 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是 y= 3x,它的一个 a b 焦点在抛物线 y2=24x 的准线上,则双曲线的方程为__________.

2.(2010· 全国)已知 F 是椭圆 C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段 BF 的延长线交 → → C 于 D 点,且BF=2FD,则 C 的离心率为________.

1 x2 y2 3.(2011· 江西)若椭圆 2 + 2=1 的焦点在 x 轴上,过点?1,2?作圆 x2+y2=1 的切线,切 ? ? a b 点分别为 A,B,直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是__________.

4.(2011· 重庆)设双曲线的左准线与两条渐近线交于 A,B 两点,左焦点在以 AB 为直径 的圆内,则该双曲线的离心率的取值范围为________.

x2 y2 5.(2011· 江苏)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,M、N 分别是椭圆 + =1 的顶点, 4 2 过坐标原点的直线交椭圆于 P、 两点,其中 P 在第一象限, P 作 x 轴的垂线,垂足为 C, A 过 连结 AC,并延长交椭圆于点 B,设直线 PA 的斜率为 k.

97

(1) 当直线 PA 平分线段 MN 时,求 k 的值; (2) 当 k=2 时,求点 P 到直线 AB 的距离 d; (3) 对任意 k>0,求证:PA⊥PB.

6.(2011· 重庆)如图,椭圆的中心为原点 O,离心率 e= (1) 求该椭圆的标准方程;

2 ,一条准线的方程为 x=2 2. 2

→ → → (2) 设动点 P 满足:OP=OM+2ON,其中 M,N 是椭圆上的点,直线 OM 与 ON 的 1 斜率之积为- ,问:是否存在两个定点 F1,F2,使得|PF1|+|PF2|为定值?若存在,求出 F1, 2 F2 的坐标;若不存在,说明理由.

(2011· 苏锡常镇二模)(本小题满分 16 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆的中心 在原点 O,右焦点 F 在 x 轴上,椭圆与 y 轴交于 A、B 两点,其右准线 l 与 x 轴交于 T 点, 直线 BF 交椭圆于 C 点,P 为椭圆上弧 AC 上的一点.

(1) 求证:A、C、T 三点共线; 6+2 → → (2) 如果BF=3FC,四边形 APCB 的面积最大值为 ,求此时椭圆的方程和 P 点坐 3 标. a x2 y2 (1) 证明:设椭圆方程为 2 + 2=1(a>b>0)①,则 A(0,b),B(0,-b),T? c ,0?.(1 ? ? a b 分)
2

98

x y x y AT: 2+ =1 ②,BF: + =1 ③,(3 分) a b c -b c 2a2c b3 联立①②③解得:交点 C?a2+c2,a2+c2?,代入①得(4 分) ? ?

? 2a c 2?2 ? 2 b 2?2 ?a2+c ? ?a +c ? 4a2c2+?a2-c2?2
a2 + b2 = ?a2+c2?2

2

3

=1,(5 分)

满足①式,则 C 点在椭圆上,A、C、T 三点共线.(6 分) (2) 解:过 C 作 CE⊥x 轴,垂足为 E,△OBF∽△ECF.

?4c?2 ?b?2 ?3 ? ?3? 4c b? 1 1 → → ∵BF=3FC,CE= b,EF= c,则 C? 3 ,3?,代入①得 2 + 2 =1,∴ a2=2c2, ? 3 3 a b
b2=c2.(7 分) 2 设 P(x0,y0),则 x0+2y0=2c2.(8 分) 4c c 2 1 4c 4 2 此时 C? 3 ,3?,AC= 5c,S△ABC= · 2c· = c ,(9 分) ? ? 3 2 3 3 直线 AC 的方程为 x+2y-2c=0, |x0+2y0-2c| x0+2y0-2c P 到直线 AC 的距离为 d= = , 5 5 x0+2y0-2c 1 1 x0+2y0-2c 2 S△APC= d· AC= · · 5c= · c.(10 分) 2 2 3 3 5 只需求 x0+2y0 的最大值. 2 (解法 1)∵ (x0+2y0)2=x2+4y2+2· 0y0≤x0+4y2+2(x2+y2)(11 分) 2x 0 0 0 0 0 =3(x2+2y2)=6c2,∴ x0+2y0≤ 6c.(12 分) 0 0 当且仅当 x0=y0= 6 c 时,(x0+2y0)max= 6c.(13 分) 3

2 (解法 2)令 x0+2y0=t,代入 x2+2y0=2c2 得 (t-2y0)2+2y2-2c2=0,即 6y2-4ty0+t2-2c2=0.(11 分) 0 0

Δ=(-4t)2-24(t2-2c2)≥0,得 t≤ 6c.(12 分) 当 t= 6c,代入原方程解得:x0=y0= ∴ 四边形的面积最大值为 6 c.(13 分) 3

6-2 2 4 2 6+2 2 6+2 c+ c= c= ,(14 分) 3 3 3 3

∴ c2=1,a2=2,b2=1,(15 分) x2 6 6 此时椭圆方程为 +y2=1,P 点坐标为? , ?.(16 分) 2 3? ?3

第 13 讲 圆锥曲线(含轨迹问题)

x2 y2 1. 已知方程 + =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m 的取值范围是________, m-1 2-m

99

若该方程表示双曲线,则 m 的取值范围是________. 3 【答案】 ?1,2? ? ? (-∞,1)∪(2,+∞)

x2 y2 2. 点 P 为椭圆 2 + 2=1(a>b>0)上一点,F1 ,F2 为椭圆的焦点,如果∠PF1F2=75° , a b ∠PF2F1=15° ,则椭圆的离心率为________. 【答案】 6 3

3. 已知抛物线 y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A、B 两点,若线 段 AB 的中点的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方程为________. 【答案】 x=-1 x2 4. 设 P 点在圆 x2+(y-2)2=1 上移动,点 Q 在椭圆 +y2=1 上移动,则|PQ|的最大值 9 是________. 【答案】 的最大值. 设 Q(x,y),∴ |CQ|= x2+?y-2?2= 9?1-y2?+?y-2?2= -8y2-4y+13, 1 ∵ -1≤y≤1,∴ 当 y=- 时,|CQ|max= 4 27 3 6 3 6 = ,∴ |PQ|max=1+ . 2 2 2 3 6 1+ 2 解析:圆心 C(0,2),|PQ|≤|PC|+|CQ|=1+|CQ|,于是只要求|CQ|

x2 y2 5. (2011· 南京二模)如图,椭圆 C: + =1 的右顶点是 A,上、下两个顶点分别为 B、 16 4 D,四边形 OAMB 是矩形(O 为坐标原点),点 E、P 分别是线段 OA、AM 的中点. (1) 求证:直线 DE 与直线 BP 的交点在椭圆 C 上; (2) 过点 B 的直线 l1、l2 与椭圆 C 分别交于点 R、S(不同于 B),且它们的斜率 k1、k2 满 1 足 k1k2=- ,求证:直线 RS 过定点,并求出此定点的坐标. 4 (1) 证明:由题意得 A(4,0),B(0,2),D(0,-2),E(2,0),P(4,1). 所以直线 DE 的方程为 y=x-2, 1 直线 BP 的方程为 y=- x+2. 4

?y=x-2, ?x= 5 , ? 解方程组? 得? 1 6 ? ?y=-4x+2, ?y=5,
16 16 6 所以直线 DE 与直线 BP 的交点坐标为? 5 ,5?. ? ?

因为

?16?2 ?6?2 ? 5 ? ?5?
16 +

16 6 x2 y2 =1,所以点? 5 ,5?在椭圆 + =1 上. ? ? 4 16 4
100

即直线 DE 与直线 BP 的交点在椭圆 C 上. (2) 解:直线 BR 的方程为 y=k1x+2.

?x=-1+4k21, ?y=k1x+2, ? ? ? 2 2 ?x=0, 解方程组? x y 得? 或? 2-8k2 ? ?y=2 1 ?16+ 4 =1, ? y= 2, ? ?
16k1 1+4k1
2 ? 16k1 ,2-8k1?. 所以点 R 的坐标为?- ? 2 ? 1+4k1 1+4k2? 1

1 1 因为 k1k2=- ,所以直线 BS 的斜率 k2=- , 4 4k1 1 直线 BS 的方程为 y=- x+2. 4k1

?y=-4k x+2, 解方程组? x y ?16+ 4 =1,
1
1 2 2

? ?x=0, 得? ? ?y=2

?x=1+4k , ? 或? 8k -2 ? ?y=1+4k .
16k1
2 1 2 1 2 1 2

? 16k1 ,8k1-2?. 所以点 S 的坐标为? ? ?1+4k2 1+4k2? 1 1 ? 16k1 ,8k1-2?”也可以) (若写成“同理可得点 S 的坐标为? ? ?1+4k2 1+4k2? 1 1
所以 R、S 关于坐标原点 O 对称, 故 R、O、S 三点共线,即直线 RS 过定点 O. x2 y2 6. (2011· 扬州三模)如图,已知椭圆 C: 2 + 2=1(a>b>0),点 A、B 分别是椭圆 C 的左 a b c2 顶点和上顶点,直线 AB 与圆 G:x2+y2= (c 是椭圆的半焦距)相离,P 是直线 AB 上一动 4 点,过点 P 作圆 G 的两切线,切点分别为 M、N.

2

4 2? ?3 3 ? (1) 若椭圆 C 经过两点?1, 、 ,1 , 3 ? ? 2 ? ? 求椭圆 C 的方程; → → (2) 当 c 为定值时,求证:直线 MN 经过一定点 E,并求OP· 的值(O 是坐标原点); OE (3) 若存在点 P 使得△PMN 为正三角形,试求椭圆离心率的取值范围. 1 1 解:(1) 令椭圆 mx2+ny2=1,其中 m= 2,n= 2, a b

101

?m+ 9 n=1, 得? 27 ? 4 m+n=1,
32 1 1 所以 m= ,n= , 9 4 x2 y2 即椭圆为 + =1. 9 4 x y (2) 直线 AB: + =1, -a b x0 y0 设点 P(x0,y0),则 OP 的中点为? 2 , 2 ?, ? ? x0 y0 x2+y2 0 0 所以点 O、M、P、N 所在的圆的方程为?x- 2 ?2+?y- 2 ?2= , ? ? ? ? 4 化简为 x2-x0x+y2-y0y=0, c2 c2 与圆 x2+y2= 作差,即有直线 MN:x0x+y0y= . 4 4 x0 y0 因为点 P(x0,y0)在直线 AB 上,所以 + =1

更多相关文档:

2012届高考数学复习教案专题资料

2012届高考数学复习教案专题资料_高考_高中教育_教育专区。专题一 集合、简单逻辑...2 23 第4讲 函数的实际应用 1. 零点问题,在掌握二分法的解题步骤基础上,学会...

高考数学二轮专题复习教案共23讲精品专题

高考数学二轮专题复习教案23讲精品专题_高考_高中教育_教育专区。2012 届高考数学二轮专题复习教案 专题一 集合、简单逻辑用语、函数、 不等式、导数及应用 第1讲...

高考数学二轮专题复习教案:立体几何

2010届高考数学复习专题教... 23页 2财富值 2012高考数学(理)二轮复习... ...第13 讲 立体几何 高考立体几何试题一般共有 4 道(选择、填空题 3 道, 解答...

2012届江苏高考数学二轮复习:教案+学案+课后训练--课时...

2012届江苏高考数学二轮复习:教案+学案+课后训练--课时练习_高三数学_数学_高中...滚动练习(二)21 专题三 数列第 10 讲 等差数列与等比数列 23 第 11 讲 ...

昆明市第一中学2012届高考数学第二轮考点专题复习教案1

昆明市第一中学2012届高考数学第二轮考点专题复习教案1。第 1-4 课时 课题:函数问题的题型与方法 一.复习目标: 复习目标: 1.了解映射的概念,理解函数的概念。 ...

昆明市第一中学2012届高考数学第二轮考点专题复习教案6

昆明市第一中学2012届高考数学第二轮考点专题复习教案6 隐藏>> 第21-24 课时: 立体几何问题的题型与方法 一.复习目标: 复习目标: 1.在掌握直线与平面的位置关系...

昆明市第一中学2012届高考数学第二轮考点专题复习教案...

昆明市第一中学2012届高考数学第二轮考点专题复习教案第21-24课时 立体几何问题的...b 2 2 ; 2 ; 20.4 个; 3 3 21. ( 16 , 24 ) ; 23.7 ; 24....

2013届高考数学专题复习教案(32讲)

小—江贡献于2012-08-30 0.0分 (0人评价)暂无...2013届高考数学专题复习教案(32讲)2013届高考数学专题...? 23 7 第 , 时, a 250 ? 1999 ,数下来在...

2012届高考数学第一轮复习教案23

2012届高考数学第一轮复习教案23_从业资格考试_资格考试/认证_教育专区。数学...1 4 例 16. 种蔬菜 20 亩,棉花 30 亩,水稻不种,总产值最高 27 万元. ...

2012届江苏高考数学二轮复习:教案+学案+课后训练--课堂...

2012届江苏高考数学二轮复习:教案+学案+课后训练--课堂正文 2012届江苏高考数学二轮...讲第 21 讲第 22 讲第 23 讲 专题一 集合、简单逻辑用语、函数、不等式、...
更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com