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2.3变量间的相关关系


变量间的相关关系

变量之间的相关关系
? 变量之间也存在很多关系,看下面的例子

? 1、公鸡打鸣与太阳升起 ? 2、数学成绩与物理成绩 ? 3、龙生龙、凤生凤、老鼠儿子打地洞(生物意 义上解释) ? 4、某数列满足an+1=2an+1中,a1与a5的关系 ? 5、三角形三边长与三角形面积的关系 ? 6、父亲和儿子的身高体重

? 7、你是学数学的?那你很聪明哦。 ? 这些变量之间的关系,你能分类说明吗?

变量之间的相关关系
? 确定关系:(3)(4)(5)

? 一个量确定,另一个也确定 ? 特殊确定关系:函数关系 ? 相关关系:(1)(2)(6)(7) ? 两个变量是有关联的,但关系不确定 ? 著名案例:吸烟与肺癌有关? ? 常见的说法:数学好,物理肯定没有问题 ? 客观现象之间存在的互相依存关系叫相关关系,全 称为统计相关关系,两个特点: ? 1.现象之间确实存在着数量上的依存关系 ? 2.现象之间数量上的关系是不确定、不严格的依 存关系

相关关系与函数关系的异同
? 相同点:均是两个变量之间的关系。 ? 不同点:

? (1)函数关系是确定性关系,相关关系是一种非随 机变量与随机变量之间的关系,非确定性关系。 ? (2)函数关系是一种因果关系,而相关关系不一定 是因果关系,也可能是一种伴随关系。如儿童鞋子 的大小与阅读能力之间有很强的相关关系,然而不 会因多记住几个新词汇脚脚变大,而是涉及到第三 个因素-年龄。当儿童长大一些,阅读能力会有所 提高,当然随着身体的长大,脚也变大。

回归分析
? 由于相关关系的不确定性,在寻找变量之间的相关

关系的过程中,统计发挥着重要作用。我们可以通 过收集大量的数据,在对数据分析统计的基础上, 发现其中的规律,对它们之间的关系做出判断。
? 对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫

做回归分析。通俗地讲,回归分析就是寻找相关关 系中非确定关系的某种确定性。

线性相关——最简单的相关关系
? 在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究,获得了

一组样本数据: 年龄 脂肪 年龄 脂肪 23 9.5 53 29.6 27 17.8 54 30.2 39 21.2 56 31.4 41 25.9 57 30.8 45 27.5 58 33.5 49 26.3 60 35.2 50 28.2 61 34.6

其中各年龄对应的脂肪数据是这个年龄人群脂肪含量 的样本平均数. 思考1:年龄与脂肪含量有没有关系?依据是什么? 思考2:有没有更加定量的分析方法,进行定量研究?

脂肪含量

40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄

散点图
? 在平面直角坐标系

中,表示具有相关 关系的两个变量的 一组数据图形,称 为散点图

? 上例中散点图从左下角到右上角,即一个变量从

小到大变化时,另一个变量小大到大变化。这种 关系称为正相关关系。否则称为负相关关系。
思考1:上述散点图能否给我们的思考1提供理论支持? 思考2:上述散点图还有什么样的特点?

回归直线
? 若散点图中各点大致分布在一条直线附近,就称这两

个变量具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线 ? 显然根据不同标准可以画出不同直线来近似表示这种 线性关系。那么在这众多的直线中哪个(或哪些)最 能表示这种线性关系?阅读课本87页的几种想法 ? 考虑两点:合理性和操作性 ? 各点与直线的整体偏差最小,实际值与理论上值得偏 差最小

符号说明及思想
? ? a ? bx, 这里y ? 是为了区别于y的实际取值y . 1.设回归直线方程为y 即当x的取值为xi ( i ? 1,2,? , n)时, y相应的观察值为yi ,而直线上 ? i ? a ? bxi . 对于xi的纵坐标是y 2.a , b叫做回归系数 , 求回归直线方程, 关键是求回归系数a , b.
3.当x的取值为x i ( i ? 1,2, ? , n)时, y的观察值为yi , 对应回归直线 ? i ? a ? bxi , 偏差用yi ? y ? i ? yi ? (a ? bxi )来刻画. 上的y ? i的n个偏差构成的总偏差最 小. 4.希望yi与y ? i 可正可负, 为了避免互相抵消, 用? yi ? y ? i 来表示. 5.由于yi ? y
i ?1 n

? i )2 . 6.为运算方便 , 最终改用? ( yi ? y
i ?1

n

最小二乘法
? i ) 2 ? ? ( yi ? a ? bxi ) 2 , 展开后是关于a , b的 设Q ? ? ( y i ? y
i ?1 i ?1 n n

二次多项式, 应用配方法, 可求得Q取最小值时, a , b取值如下:

b?

? (x
i ?1 n

n

i

? x )( yi ? y )

2 ( x ? x ) ? i i ?1

?

?x y
i ?1 n i i ?1

n

i

? nx y , a ? y ? bx

2 2 x ? nx ? i

? 上述方法称为最小二乘法 ? 回归直线方程是否过定点?你知道是哪个点吗?

? ? bx ? a , a ? y ? bx , 代入得y ? ? bx ? y ? bx ? b( x ? x ) ? y , y 所以回归直线方程过点( x , y ).

线性回归方程计算步骤 ? 第一步,计算平均数 x y 高考不允许使用
? 第二步,求和

? xi yi
i ?1
n i ?1 i n

n

2 x ? i i ?1
n

n

? 第三步,计算 b ?

? ( x ? x )( y ? y ) ? x y ? nx y
i 2 ( x ? x ) ? i i ?1

计算器,为了减 少计算错误,建 议采用列表的方 式分步计算

?

i ?1 n

i i

2 2 x ? nx ?i i ?1

, a ? y ? bx

? 第四步,写出回归方程 y ? ? a ? bx

i xi

1 x1

2 x2

…… ……

n xn

yi

y1

y2

……

yn

x y
n

xiyi x1y1 x2y2 …… xnyn ? xi yi i ?1 n xi2 x12 x22 …… xn2 ? xi 2
i ?1

关于回归方程的几点思考
? ? 0.577x ? 0.448,当某人37岁时, ? 如果给出了 y

代表

什么? ? 能不能说,当我到了37岁时,体内脂肪含量一定是 20.90%? ? 如果随便给出任意关系的两个变量的一组数据,能 否也用上述方法求出回归直线方程?有没有意义?

课本例题:有一个同学家开了一个小卖部,他为了研究 气温对热饮销售的影响。经过统计,得到一个卖出的饮 料杯数与当天气温对比表: 温度(℃) 杯数 15 116 -5 156 19 104 0 150 23 89 4 132 27 93 7 128 31 76 12 130 36 54

(1)画出散点图; (2)从散点图中发现气温与热饮杯数之间关系的一 般规律; (3)求回归方程; (4)如果某天的气温是2℃,预测这天卖出的热饮杯数.

练习
? 1.已知关于某设备的使用年限x和所支出的维修费y(万

元)有如下统计资料: (1)画出散点图并判断两变量是否成线性关系? (2)求回归直线方程并预测使用年限为10年时维修费用。

解:(1)做出散点图如下:

由图中可以看出两变量成线 性关系。
(2)根据公式可求得

? ? 1.23, a ? 0.08 b
故所求回归直线方程为

y ? 0.08 ? 1.23x
当x=10时,y=12.38

(万元)

变量间的相关关系
习题部分

知识点回顾
? 两个变量的线性相关(对具有相关关系的两个变量进

行统计分析的方法叫回归分析,回归分析是寻找相关 关系中非确定性关系的某种确定性)
? 散点图(将样本中n个数据点描在平面直角坐标系中,

以表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形)
? 最小二乘法 ? 线性回归方程
n ? xi yi ? n x ? y ? ? i ?1 ^ ? b ? ? n 2 2 y ? a ? bx, ? xi ? n x ? ? i ?1 ? ? ?a ? y ? b x

线性回归方程
? 1.线性回归方程表示的直线必定过

( ) A.点(0,0) B.点( x,0) C.点(0, y ) D.点( x, y ) ? 2、为了考查两个变量x、y之间的线性相关性,A、B 两位同学各自独立作了10次和15次试验,并且利用线 性回归方法,求得回归直线分别是l1、l2,已知两人所 得的试验数据中,变量x、y的数据的平均值都相等, 且分别都是s、t,那么下列说法正确的是( ) A. 直线l1和l2一定有公共点(s、t)

B. 直线l1和l2相交,但交点不一定是(s、t)
C. 必有l1∥l2

D. l1与l2必定重合

最小二乘法
? 下列说法正确的有(

) 1)最小二乘法指的是把各个离差加起来作总离差,并使 之达到最小值的方法; 2)最小二乘法是指把各离差的平方和作为总离差,并使 之达到最小值的方法; 3)线性回归就是由样本点去寻找一条直线,贴近这些样 本点的数学方法; 4)因为由任何一组观测值都可以求得一个回归直线方程, 所以没必要进行相关性检验;

07广东高考的一道出人意料的题

解:(1)做出散点图如下: (2)根据散点图可知变量x和y 成线性关系,根据表格数据可 求得
x ? 4.5, y ? 3.5, ? xi yi ? 66.5, ? xi2 ? 86
i ?1 i ?1 4 4

?? b

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

2 i

? nx

2

? ? y ? bx ? ? 0.35 ? 0.7, a

故所求回归直线方程为

y ? 0.7 x ? 0.35

(3)当x=100时,y=0.7×100+0.35=70.35,故可降低90 -70.35=19.65(吨)煤。


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