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广东省中山一中2013届高三高考模拟数学理试题


2013 年高考模拟考试理科数学试卷
参考公式:锥体的体积公式 V ?
1 3 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高.

如果事件 A 、 B 互斥,那么 P ( A ? B ) ? P ( A ) ? P ( B ) . 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.复数 z 满足 z ? A. 1 ? 3 i
2?i 1? i , 则 z 等于(

) C.
3 2 ? 1 2 i

B. 3 ? i

D.

3 2

?

1 2

i

2.若集合 M ? ? x ? N * | x ? 6? , N ? ? x || x ? 1 |? 2? ,则 M ? ( ?R N ) ? ( A. ( ? ? , ? 1) B. [1, 3) C. (3, 6)



D. {4 , 5} )

2 3.命题“ ? x ? R , x ? ax ? 4 a ? 0 ”为假命题,是“ ? 16 ? a ? 0 ”的(

A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.设 m,n 是两条不同的直线,α,β,γ 是三个不同的平面.有下列四个命题: ①若 m ? ? , ? ? ? ,则 m ? ? ; ②若 ? // ? , m ? ? ,则 m // ? ; ③若 n ? ? , n ? ? , m ? ? ,则 m ? ? ; ④若 ? ? ? , ? ? ? , m ? ? ,则 m ? ? . 其中正确命题的序号是( ) A.①③ B.①② C.③④ D.②③ 5.按照如图的程序框图执行,若输出结果为 31,则 M 处的条件 为( ) A. k ? 3 2 B. k ? 1 6 C. k ? 3 2 D. k ? 1 6 6.△ A B C 外接圆的半径为 1 ,圆心为 O ,且 2O A ? A B ? A C ? 0 ,
??? ??? ? ? ??? ? ??? ? | O A |? | A B | ,则 C A ? C B 等于(
开始

k=1 S=0


M


S=S+k
k ? 2?k

输出 S 结束

??? ?

??? ?

????



A.

3 2

B. 3 D. 2 3

C. 3

7.如右图,某几何体的三视图均为边长为 l 的正方形, 则该几何体的体积是( ) A.
5 6

B.

2

C.1

D.

1

3 2 8.对于定义域和值域均为 [0,1] 的函数 f ( x ) ,定义 f 1 ( x ) ? f ( x ) , f 2 ( x ) ? f ( f 1 ( x )) ,…,

f n ( x ) ? f ( f n ?1 ( x )) ,n=1,2,3,….满足 f n ( x ) ? x 的点 x ? [0,1] 称为 f 的 n 阶周期点.设

? ? 2 x, ? f ( x) ? ? ? 2 ? 2 x, ? ?

0? x? 1 2

1 2

,

则 f 的 n 阶周期点的个数是(



? x ? 1,
n

A. 2 n B. 2(2 n ? 1) C. 2 D. 2 n 二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9.不等式 x ? 4 ? 3 ? x ? 2 的解集为 . 3 0 O 2 2
n 2

2

y O

A P B A x

10.从如图所示的正方形 OABC 区域内任取一个点 M ( x , y ) ,则点 M 取 自阴影部分的概率为 .
?x ? 1 ? 11.实数 x,y 满足 ? y ? a ( a ? 1) ,若函数 z=x+y 取得最大值 4,则实数 ?x ? y ? 0 ?

a 的值为 12.若 ( x 2 ?
1
n



) 的展开式中含 x 的项为第 6 项,设 (1 ? 3 x ) ? a 0 ? a1 x ? a 4x ? ? ? a n x , 2 x
n

则 a1 ? a 2 ? ? ? a n 的值为

.ks5u
1 ? an 1 ? an

4
* 8 (n?N ) ,则 a 3 的值为

13.已知数列 ? a n ? 满足 a1 ? 2 , a n ? 1 ?
a1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a 2013 的值为



.ks5u

9 6 ( ? 为6
y ? x
2

(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题)已知 P 是曲线 M: ? 参数)上的点, Q 是曲线 L : ?
? x ? 4t ? 5 ? y ? 3t ? 1 ? x ? 1 ? 2 co s ? ? y ? 2 ? 2 sin ?

1 (t 为参数)上的点,则 | P Q | 的

D N
y ? x

5 M 最小值为 . B 15. (几何证明选讲选做题)如图所示,过⊙O 外一点 A 作一条直线与⊙O C 交于 C,D 两点,AB 切⊙O 于 B,弦 MN 过 CD 的中点 P.已知 AC=4,AB=6, 1 则 MP· NP= . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤 7 或证明过程. 16. (本小题满分 12 分) 2 2 2 在△ABC 中, a , b , c 分别为内角 A , B , C 的对边,且 b ? c ? a ? bc 8 . (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)设函数 f ( x ) ? 的形状.
3 sin x 2 cos x 2 ? cos
2

B

( 1 , 1 )

x 2

,当 f ( B ) 取最大值

38 2

时,判断△ABC

2 3 0

17. (本小题满分 12 分) 空气质量指数 PM 2.5 (单位: ? g / m3 )表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量, 这个值越高,就代表空气污染越严重: PM2.5 日均浓度 空气质量类别 空气质量类别 0~35 一级 优 35~75 二级 良 75~115 三级 轻度污染 115~150 四级 中度污染 150~250 五级 重度污染
? 250

六级 严重污染

甲、 乙两城市 2013 年 2 月份中的 15 天对空气质量指数 PM 2.5 进行监测, 获得 PM 2.5 日均浓度指数数据如茎叶图所示: (Ⅰ)根据你所学的统计知识估计甲、乙两城市 15 天内哪个城市空气质量总体较好? (注:不需说明理由) (Ⅱ)在 15 天内任取 1 天,估计甲、乙两城市空气质量类 别均为优或良的概率; (III) 在乙城市 15 个监测数据中任取 2 个,设 X 为空气 质量类别为优或良的天数,求 X 的分布列及数学期望. 甲城市 C 乙城市 3 5 6 7 8 9 P 204 5 4 697 807 1809

18. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? A B C D 中,底面 A B C D 为直角梯 形,A D / / B C ,? A D C ? 90 , 平面 P A D ⊥底面 A B C D , Q 为 A D 的中点, M 是棱 P C 上的点, P A ? P D ? 2 ,
BC ? 1 2 AD ? 1 , C D ?
3.
?

M D Q A C B

(I) 若点 M 是棱 P C 的中点, 求证:P A //平面 B M Q ; (Ⅱ)求证:平面 P Q B ⊥平面 P A D ; (III)若二面角 M ? B Q ? C 为 30°,设 P M ? tM C , 试确定 t 的值.

19. (本小题满分 14 分) 设 F1 , F2 分别是椭圆 C:
x a
2 2

?
3 2

y b

2 2

?1

( a ? b ? 0) 的左右焦点.

(1) 设椭圆 C 上的点 ( 3 ,

求椭圆 C 的方程和焦点坐 ) 到 F1 , F2 两点距离之和等于 4,

标; (2)设 K 是(1)中所得椭圆上的动点,求线段 K F1 的中点 B 的轨迹方程; (3)设点 P 是椭圆 C 上的任意一点,过原点的直线 L 与椭圆相交于 M,N 两点,当直 线 PM ,PN 的斜率都存在,并记为 k P M , K P N 试探究 k P M ? K P N 的值是否与点 P 及直线 L 有关,并证明你的结论.

ks5u

20. (本小题满分 14 分) 设数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,且满足 S 1 = 2 , S n +1 = 3 S n + 2 ? n ? 1, 2, 3 ? ? . (I)求证:数列 {S n + 1} 为等比数列; (Ⅱ)设 b n ?
an Sn
2

,求证: b1 ? b 2 ? ... ? b n ? 1 .

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? ln x ?
1 2 ax ? 2 x ( a ? 0).
2

(1)若函数 f ( x ) 在定义域内单调递增,求 a 的取值范围; (2) a ? ? 若
1 2

且关于 x 的方程 f ( x ) ? ?

1 2

求实 x ? b 在 ?1, 4 ? 上恰有两个不相等的实数根,
*

数 b 的取值范围; (3)设各项为正的数列 { a n } 满足: a1 ? 1, a n ? 1 ? ln a n ? a n ? 2, n ? N . 求证: a n ? 2 ? 1
n

2013 年高考模拟考试理科数学试卷参考答案
一、选择题: 题号 答案 二、填空题: (一)必做题(9~13 题) 9. { x |
5 2 ? x? 9 2 };

1 C

2 D

3 A

4 D

5 A

6 C

7 A

8 C

10.

1 3



11.2;

12.255;

13. ?

1 2

,2

(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题)

14.

6 5



15.

25 4



三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 16. (本小题满分 12 分)
2 2 2 在△ABC 中, a , b , c 分别为内角 A , B , C 的对边,且 b ? c ? a ? bc .

(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)设函数 f ( x ) ? 的形状.
2 2 2 2 2 2 解: (Ⅰ)在 ? A B C 中,因为 b ? c ? a ? bc ,由余弦定理 a ? b ? c ? 2 b c co s A 可得

3 sin

x 2

cos

x 2

? cos

2

x 2

,当 f ( B ) 取最大值

3 2

时,判断△ABC

cos A ?

1 2

. (余弦定理或公式必须有一个,否则扣 1 分)

………………… 3 分 ……………………4 分 ……………………5 分

∵ 0 ? A ? ? , (或写成 A 是三角形内角) ∴A?
?
3


x 2 x 2 )? 1 2 x 2
3 2 1 2

(Ⅱ) f ( x ) ?

3 sin

cos

? cos

2

?

sin x ?

co s x ?

1 2

………………7 分

? sin( x ? ? 3

? 6


? 6 ? 6 5? 6 3 2

……………………9 分
? B? ?

∵A?

∴ B ? (0,
? 6 ? ? 2

2? 3

) ? 3



(没讨论,扣 1 分) ………10 分 …………………11 分 ………………12 分

∴当 B ? 又∵ A ?

,即 B ?

时, f ( B ) 有最大值是
? 3

? 3



∴C ?

∴ ? A B C 为等边三角形.

17. (本小题满分 12 分) 空气质量指数 PM 2.5 (单位: ? g / m )表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量,
3

这个值越高,就代表空气污染越严重: PM2.5 日均浓度 空气质量类别 空气质量类别 0~35 一级 优 35~75 二级 良 75~115 三级 轻度污染 115~150 四级 中度污染 150~250 五级 重度污染
? 250

六级 严重污染

甲、 乙两城市 2013 年 2 月份中的 15 天对空气质量指数 PM 2.5 进行监测, 获得 PM 2.5 日均浓度指数数据如茎叶图所示:

(Ⅰ)根据你所学的统计知识估计甲、乙两城市 15 天内哪个城市空气质量总体较好? (注:不需说明理由) (Ⅱ)在 15 天内任取 1 天,估计甲、乙两城市空气质量类 别均为优或良的概率; (III) 在乙城市 15 个监测数据中任取 2 个,设 X 为空气 质量类别为优或良的天数,求 X 的分布列及数学期望. 解: (Ⅰ)甲城市空气质量总体较好.…………………2 分 (Ⅱ)甲城市在 15 天内空气质量类别为优或良的共有 10 天,任取 1 天,空气质量类别为优或良的概率为
10 15 ? 2 3

甲城市 3 4 6 7 8 9 0224 896 151 8 230 8

乙城市 3 204 5 5 6 4 7 697 8 807 9 1809



…………………3 分

乙城市在 15 天内空气质量类别为优或良的共有 5 天,任取 1 天,空气质量类别为优或 良的概率为
5 15 ? 1 3



…………………4 分

在 15 天内任取 1 天,估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率为
2 3 ? 1 3 ? 2 9



……………………6 分 (III) X 的取值为 0,1,2 ,
C5 C10 C
2 15 0 2

……………………7 分
C5C10 C
2 15 1 1

P ( X ? 0) ?

?

3 7

, P ( X ? 1) ?

?

10 21

, P ( X ? 0) ?

C5 C10 C
2 15

2

0

?

2 21

X 的分布列为: X P

0
3 7

1
10 21

2

2 21

…………………10 分 数学期望 EX ? 0 ?
3 7 ? 1? 10 21 ? 2? 2 21 ? 2 3

…………………12 分

18. (本小题满分 14 分)
? 如图,在四棱锥 P ? A B C D 中,底面 A B C D 为直角梯形, A D / / B C ,? A D C ? 90 ,

平面 P A D ⊥底面 A B C D , Q 为 A D 的中点, M 是棱 P C 上的点,
P A ? P D ? 2 , BC ?

P

1 2

AD ? 1 , C D ?

3.

(I)若点 M 是棱 P C 的中点,求证: P A //平面 B M Q ; D Q A

M

C B

(Ⅱ)求证:平面 P Q B ⊥平面 P A D ; (III)若二面角 M ? B Q ? C 为 30°,设 P M ? tM C ,试确定 t 的值. (I)证明:连接 A C ,交 B Q 于 N ,连接 M N . ……………1 分 ∵ AD / / BC 且 BC ?
1 2 A D ,即 B C / / A Q .

∴四边形 B C Q A 为平行四边形,且 N 为 A C 中点, 又∵点 M 是棱 P C 的中点, ∴ M N / / PA ……………………2 分

∵ M N ? 平面 B M Q , P A ? 平面 B M Q , …………3 分 ∴ P A / / 平面 B M Q . (II)证明:∵ A D / / B C , B C ?
1 2

……………………4 分
A D , Q 为 A D 的中点,

∴四边形 B C D Q 为平行四边形,∴ C D / / B Q . ∵ ? A D C ? 9 0 ? ,∴ ? A Q B ? 9 0 ? ,即 B Q ? A D .

……………………5 分

又∵平面 P A D ⊥底面 A B C D 且平面 P A D ? 平面 A B C D ? A D ,…………6 分 ∴ B Q ? 平面 P A D . ∵ B Q ? 平面 P Q B , ∴平面 P Q B ? 平面 P A D . 另证: A D / / B C , B C ?
1 2 A D , Q 为 A D 的中点,

……………………7 分

…………………8 分 ∴ BC / / DQ 且 BC ? DQ ,

∴ 四边形 B C D Q 为平行四边形,∴ C D / / B Q . ∵ ? A D C ? 9 0 ? , ∴ ? A Q B ? 9 0 ? ,即 Q B ? A D . ∵ P A ? P D ,∴ P Q ? A D . ∵ P Q ? B Q ? Q ,∴ A D ? 平面 P B Q . ∵ A D ? 平面 P A D , ∴平面 P Q B ? 平面 P A D . (III)解:∵ P A ? P D , Q 为 A D 的中点,∴ P Q ? A D . ∵平面 P A D ⊥平面 A B C D ,且平面 P A D ? 平面 A B C D ? A D , ∴ P Q ? 平面 A B C D . (不证明 P Q ? 平面 A B C D 直接建系扣 1 分) 如图,以 Q 为原点,直线 Q A 、 Q B 、 Q P 分别为 x 、 y 、 z 轴建立 D Q A x N B y C ……………9 分 P M z ……………………8 分 …………………5 分 …………………6 分 …………………7 分

空间直角坐标系,则 Q (0, 0, 0 ) , P (0, 0, 3 ) , B (0, 3 , 0) , C ( ? 1, 3 , 0) .……10 分 于是平面 B Q C 的法向量为 n ? (0, 0,1) ; 设 M ( x , y , z ) ,则 P M ? ( x , y , z ? ∵ PM ? t M C ,
? x ? t (?1 ? x) ? ∴ ? y ? t( 3 ? y) , ? ? z ? 3 ? t ( ? z)
???? ? ???? ?

?

???? ?

???? ? 3 ) , M C ? (?1 ? x, 3 ? y, ? z ) ,

t ? ?x ? ?1? t ? 3t ? ∴ ?y ? 1? t ? ? 3 ?z ? 1? t ?
??? ?

……………………11 分

在平面 M B Q 中, Q B ? (0, 3 , 0) , Q M ? ( ? 设平面 M B Q 法向量为 m ? ( x , y , z ) , 由 m ? QB ?
?? ??? ? 3y ? 0 ? y ? 0 ,
t 1? t x? 3t 1? t y? 3 1? t

???? ?

t

1? t 1? t 1? t

,

3t

,

3

),

??

?? ???? ? m ? QM ? ?

z ? 0 ,不妨令 x ?

3 ,则得: z ? t

∴平面 M B Q 法向量为 m ? ( 3 , 0, t ) .
?

??

……………………12 分
t 3?0?t
2

? ?? n?m ∵二面角 M ? B Q ? C 为 30°, ? cos 30 ? ? ?? ? n m

?

3 2

, ……13 分

解得 t ? ? 3 .又 t ? 0 ,故 t ? 3

…………………………14 分

19. (本小题满分 14 分) 设 F1 , F2 分别是椭圆 C:
x a
2 2

?
3 2

y b

2 2

?1

( a ? b ? 0) 的左右焦点.

(1) 设椭圆 C 上的点 ( 3 , 标;

求椭圆 C 的方程和焦点坐 ) 到 F1 , F2 两点距离之和等于 4,

(2)设 K 是(1)中所得椭圆上的动点,求线段 K F1 的中点 B 的轨迹方程; (3)设点 P 是椭圆 C 上的任意一点,过原点的直线 L 与椭圆相交于 M,N 两点,当直

线 PM ,PN 的斜率都存在,并记为 k P M , K P N 试探究 k P M ? K P N 的值是否与点 P 及直线 L 有关,并证明你的结论.
2

解: (1)由于点 ( 3 ,

3 2

) 在椭圆上,

( 3) a
2

( ?

3 2 2 b

)

2

?1

…………………1 分 …………………2 分 …………………3 分 …………………4 分 …………………6 分
(2 y ) 3
2

又 2 a =4,
? 椭圆 C 的方程为:
x
2

?

y

2

? 1,

4

3

焦点坐标分别为 F1 ( ? 1, 0), F2 (1, 0) ; (2)设 K F1 的中点为 B ( x , y ) ,则点 K (2 x ? 1, 2 y ) 把 K 的坐标代入椭圆
x
2

?

y

2

? 1 中,得

(2 x ? 1) 4

2

?

? 1 …………………7 分

4

3
1 2
2

? 线段 K F1 的中点 B 的轨迹方程为 ( x ?

) ?

y

2

3 4

?1;

…………………8 分

(3)过原点的直线 L 与椭圆相交的两点 M,N 关于坐标原点对称, 设 M ( x 0 , y 0 ), N ( ? x 0 , ? y 0 ), p ( x , y ) ,且 x ? ? x 0
M , N , P 在 椭 圆 上 , 应 满 足 椭 圆 方 程 ,得

…………………9 分
y0 b
2

x0 a

2

2

?

2

x y ? 1, 2 ? 2 ? 1 …………………10 分 a b

2

2

k PM ?

y ? y0 x ? x0

K PN ?

y ? y0 x ? x0
2 2

…………………11 分

k PM ? K PN =

y ? y0 x ? x0

?

y ? y0 x ? x0

?

y ? y0
2 2

x ? x0

=?

b a

2 2

…………………13 分 …………………14 分

故: k P M ? K P N 的值与点 P 的位置无关,同时与直线 L 无关.

20. (本小题满分 14 分) 设数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,且满足 S 1 = 2 , S n +1 = 3 S n + 2 ? n ? 1, 2, 3 ? ? . (I)求证:数列 {S n + 1} 为等比数列; (Ⅱ)设 b n ?
an Sn
2

,求证: b1 ? b 2 ? ... ? b n ? 1 . ……………2 分

证明: (Ⅰ)? S n +1 = 3 S n + 2 ,∴ S n +1 + 1 = 3 ( S n + 1) ,

又? S 1 + 1 = 3 ,
n *

……………3 分

∴ {S n + 1} 是首项为 3 ,公比为 3 的等比数列,且 S n ? 3 ? 1, n ? N .……………4 分

(Ⅱ)当 n = 1 时, a 1 = S 1 = 2 ,

……………5 分

n ?1 n ?1 n n ?1 当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ? ( 3 ? 1) ? ( 3 ? 1) ? 3 ( 3 ? 1) ? 2 ? 3 .

………………7 分 故 an ? 2 ? 3
? bn ?
n ?1

,n? N .
*

………………8 分
n ?1 n

2?3
n

n ?1 2

(3 ? 1)

? (3

2?3
n ?1

? 1)(3 ? 1)

? 3

1
n ?1

?1

?

1 3 ?1
n

,?n ? 2?

………………11 分
1 3
n ?1

? b1 ? b 2 ? ... ? b n ?

1 2

?(

1 3 ?1
1

?

1 3 ?1
2

)?(

1 3 ?1
2

?

1 3 ?1
3

) ? ??? ? (

?1

?

1 3 ?1
n

)

………………12 分
? 1 2 ? 1 2 ? 1 3 ?1
n

? 1.

………………14 分

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? ln x ?
1 2 ax ? 2 x ( a ? 0).
2

(1)若函数 f ( x ) 在定义域内单调递增,求 a 的取值范围; (2) a ? ? 若
1 2

且关于 x 的方程 f ( x ) ? ?

1 2

求实 x ? b 在 ?1, 4 ? 上恰有两个不相等的实数根,

数 b 的取值范围; (3)设各项为正的数列 { a n } 满足: a1 ? 1, a n ? 1 ? ln a n ? a n ? 2, n ? N . 求证: a n ? 2 ? 1
*

n

解: (1) f ? ( x ) ? ?

ax ? 2 x ? 1
2

( x ? 0 ).

x

………………1 分

2 依题意 f ? ( x ) ? 0 在 x ? 0 时恒成立,即 ax ? 2 x ? 1 ? 0 在 x ? 0 恒成立.

则a ?

1? 2x x
2

?(

1 x

2 ? 1) ? 1 在 x ? 0 恒成立,

即 a ? ((

1 x

? 1) ? 1) min ( x ? 0 )
2

………………2 分 ………………3 分

当 x ? 1 时, (

1 x

? 1) ? 1 取最小值 ? 1
2

∴ a 的取值范围是 ( ? ? , ? 1] (2) a ? ? 设 g ( x) ? 列表:
x

………………4 分
1 4 x ?
2

1 2 1 4

, f ( x) ? ? 3 2

1 2

x?b ?

3 2

x ? ln x ? b ? 0. ( x ? 2)( x ? 1) 2x

x ?
2

x ? ln x ? b ( x ? 0). 则 g ?( x ) ?

. ………………5 分

(0,1)

1
0

(1, 2 )

2

(2, 4)
0

g ?( x ) g (x)

?

?

?

?

极大值

?

极小值

?
5 4

∴ g ( x ) 极小值 ? g (2) ? ln 2 ? b ? 2 , g ( x ) 极大值 ? g (1) ? ? b ? 又 g ( 4 ) ? 2 ln 2 ? b ? 2
? 方程 g ( x ) ? 0 在[1,4]上恰有两个不相等的实数根.
? g (1) ? 0 ? 则 ? g (2) ? 0 , ? g (4) ? 0 ?

, ………………6 分

………………7 分

得 ln 2 ? 2 ? b ? ?

5 4

………………8 分
1 x ?1 ? 0

(3)设 h ( x ) ? ln x ? x ? 1, x ? ?1, ?? ? ,则 h ?( x ) ?
? h ( x ) 在 ?1, ? ? ? 为减函数,且

h ( x ) m ax ? h (1) ? 0, 故当 x ? 1 时有 ln x ? x ? 1 .

………………10 分

①当 n ? 1 时, a1 ? 1 ? 1 成立; ②假设 a k ? 1 ,对任意 n ? N * 均成立, 则当 n ? k ? 1 时, a k ? 1 ? ln a k ? a k ? 2 ? 1 , 所以当 n ? k ? 1 时也成立, 由①②得 a n ? 1 , ? n ? N * 成立, 从而 a n ? 1 ? ln a n ? a n ? 2 ? 2 a n ? 1.
? 1 ? a n ? 1 ? 2(1 ? a n ) ? ? ? ? 2 (1 ? a1 ).
n

………………12 分

………………13 分 ………………14 分

即 1 ? a n ? 2 ,∴ a n ? 2 ? 1
n n


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