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高三数学正弦定理和余弦定理的应用


1.2.1 应用举例
解决有关测量距离的问题

一、定理内容:
1、正弦定理:

a b c ? ? ? 2 R (其中R为外接圆的半径) sin A sin B sin C

2 2 2 a ? b ? c ? 2bc cos A 2、余弦定理:

b 2 ? a 2 ? c

2 ? 2ac cos B c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C

二、应 用:

求三角形中的某些元素

解三角形

实例讲解 例1、如下图,设A、B两点在河的两岸,要测量两点之间的距 离。测量者在A的同侧, ?BAC ? 51? , ?ACB ? 75? , 在所在的河岸 边选定一点C,测出AC的距离是55 m,求点A、B两点间的 B 距离(精确到0.1 m). 想一想

A C 分 析:在本题中直接给出了数学模型(三角形),要求A、 B间距离,相当于在三角形中求某一边长? 用正弦定理或余弦定理解决

实例讲解 分析:用正弦定理解决,只须求出 ?ABC进而求出边AB的长。 解:由正弦定理可得:

AC ? , sin ?ACB sin ?ABC AC ? sin ?ACB 55? sin 75? ? AB ? ? sin ?ABC sin(180? ? 51? ? 75?) 55? sin 75? ? ? 65.7 ? sin 54
答:A、B两点的距离为65.7米. 想一想

AB

有其他解法?

实例讲解 想一想

如果对例1的题目进行修改:点A、B都在河的对岸

且不可到达,那又如何求A、B两点间的距离?请同
学们设计一种方法求A、B两点间的距离。(如图)
A 分析:象例1一样构造三角形,利 用解三角形求解。 B

?
D

?

? ?

C

实例讲解 解:测量者可以在河岸边选定两点C、D,测的CD=a 并且在C、D两点分别测得

?ABC ? ? , ?ACD ? ? , ?CDB ? ? , ?BDA ? ?
在三角形ADC和BDC中,应用正弦定理得
AC ?
BC ?

a sin(? ? ? ) a sin(? ? ? ) ? sin[180? ? ( ? ? ? ? ? )] sin(? ? ? ? ? )
a sin ? a sin ? ? sin[180? ? (? ? ? ? ? )] sin(? ? ? ? ? )

计算出AC和BC后,再在三角形ABC中,应用余弦定 理计算出AB两点间的距离:

想一想

AB ? AC2 ? BC2 ? 2 AC ? BC ? COS?

有其他解法?

思考题:
? 50 我舰在敌岛A南偏西 相距12 海里的B处,发现敌舰正由

岛北偏西 10?的方向以10海里的速度航行。问我舰需以多 大速度,沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰?
C

10?

A

50?
B

课堂小结 1、本节课通过举例说明了解斜三角形在实际中的一些应用。 掌握利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法。 2、利用解三角形知识解应用题的一般步骤:

分析

建摸
画图形

求解

检验
数学模型
解 三 角 形

实际问题

实际问题的解

检验

数学模型的解

课后作业

课本第14页练习1、2

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