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2015一轮复习课时精品提升作业之直线与圆、圆与圆的位置关系Word版含答案


课时提升作业(五十二)
一、填空题 1.(2013·宿迁模拟)圆心为(1,1)且与直线 x+y=4 相切的圆的方程为 _____. 2.已知圆 C 的圆心是直线 x-y+1=0 与 x 轴的交点, 且圆 C 与直线 x+y+3=0 相切,则圆 C 的方程为_____. 3.若圆 x2+y2=t2 与圆 x2+y2+6x-8y+24=0 外切,则正数 t 的值是_____

. 4.(2013·常州模拟)圆 x2+y2-2x+4y-4=0 与直线 2tx-y-2-t=0(x∈R)的 位置关系是_____. 5.与直线 l:x+y-2=0 和曲线 x2+y2-12x-12y+54=0 都相切的半径最小的圆 的标准方程是_____. 6.设 O 为坐标原点,C 为圆(x-2)2+y2=3 的圆心,且圆上有一点 M(x,y) 满足 OM CM ? 0, 则 =_____. 7.(2013·南通模拟)已知圆 O:x2+y2=5 和点 A(1,2),则过点 A 且与圆 O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于_____. 8.从原点向圆 x2+y2-12y+27=0 作两条切线,则该圆夹在两条切线间的 劣弧长为_____. 9.(能力挑战题)若圆(x-3)2+(y+5)2=r2 上有且仅有两点到直线 4x-3y-2=0 的距离等于 1,则半径 r 的取值范围是_____. 10.若过定点 M(-1,0)且斜率为 k 的直线与圆 x2+4x+y2-5=0 在第一象限 内的部分有交点,则 k 的取值范围是_____. 二、解答题
y x

-1-

11.已知圆 O1 的方程为 x2+(y+1)2=6,圆 O2 的圆心坐标为(2,1).若两圆 相交于 A,B 两点,且 AB=4,求圆 O2 的方程. 12.已知圆 C:x2+y2-2x+4y-4=0,是否存在斜率为 1 的直线 l,使以 l 被 圆截得的弦 AB 为直径的圆过原点?若存在,求出直线 l 的方程;若不 存在,说明理由. 13.(2013·南京模拟)已知直线 l1:3x+4y-5=0, 圆 O:x2+y2=4. (1)求直线 l1 被圆 O 所截得的弦长. (2)如果过点(-1,2)的直线 l2 与 l1 垂直,l2 与圆心在直线 x-2y=0 上的圆 M 相切,圆 M 被直线 l1 分成两段圆弧,其弧长比为 2∶1,求圆 M 的方 程. 14.(能力挑战题)已知圆 O 的方程为 x2+y2=1,直线 l1 过点 A(3,0),且 与圆 O 相切. (1)求直线 l1 的方程. (2)设圆 O 与 x 轴交于 P,Q 两点,M 是圆 O 上异于 P,Q 的任意一点, 过点 A 且与 x 轴垂直的直线为 l2,直线 PM 交直线 l2 于点 P′,直线 QM 交 直线 l2 于点 Q′. 求证:以 P′Q′为直径的圆 C 总经过定点,并求出定点坐标.

-2-

答案解析
1. 【解析】 设圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=r2(r>0), 且与 x+y=4 相切,
| 1 ? 1 ? 4| ?r ? ? 2, 2

∴圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2. 答案:(x-1)2+(y-1)2=2 2.【解析】直线 x-y+1=0,令 y=0 得 x=-1,所以直线 x-y+1=0 与 x 轴的 交点为(-1,0),因为直线 x+y+3=0 与圆相切,所以圆心到直线的距离等 于半径,即 r ?
?1 ? 0 ? 3 2

所以圆 C 的方程为(x+1) +y =2. ? 2,

2

2

答案:(x+1)2+y2=2 3.【解析】圆 x2+y2+6x-8y+24=0 的方程可化为(x+3)2+(y-4)2=1,圆心坐 标为(-3,4),半径为 1, ∴ ? ?3 ? 0 ? ? ? 4 ? 0 ? =1+t,∴t=4.
2 2

答案:4 4.【解析】圆方程可化为:(x-1)2+(y+2)2=9,圆心到直线的距离为 d= |
2t ? t| 1 ? 4t
2

?

|t|

1 < <3, 2 1 ? 4t
2

∴直线与圆相交. 答案:相交 5.【思路点拨】最小圆的圆心一定在过 x2+y2-12x-12y+54=0 的圆心与直线 x+y-2=0 垂直的垂线段上.

-3-

【解析】∵圆 A:(x-6)2+(y-6)2=18, ∴A(6,6),半径 r1=3 2 ,且 OA⊥l,A 到 l 的距离为 5 2 ,显然所求圆 B 的直径 2r2=2 2 ,即 r2= 2 ,又 OB=OA-r1-r2=2 2 ,由 OA 与 x 轴正半 轴成 45°角, ∴B(2,2),∴方程为(x-2)2+(y-2)2=2. 答案:(x-2)2+(y-2)2=2 6.【解析】∵ OM CM =0,∴OM⊥CM, ∴OM 是圆的切线,设 OM 的方程为 y=kx, 由
y ? 3, 得 k=〒 3 ,即 =〒 3 . x k ?1
2

2k

答案:〒 3 7.【解析】∵点 A(1,2)在圆 x2+y2=5 上, ∴过点 A 与圆 O 相切的切线方程为 x+2y=5,易知切线在坐标轴上的截 距分别为 5, ,所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为 答案:
25 4 5 2 25 . 4

8.【思路点拨】作出图形,利用几何法求解. 【解析】如图,圆 x2+y2-12y+27=0 可化为 x2+(y-6)2=9,圆 心坐标为(0,6),半径为 3. 在 Rt△OBC 中可得: ∠OCB= ,∴∠ACB= 2π. 答案:2π 9.【解析】由圆的方程得圆心(3,-5),圆心到直线 4x-3y-2=0 的距离
? 3 2? ,∴所求劣弧长为 3

-4-

| 4 ? 3 ? 3 ? ? ?5 ? ? 2| d? ? 5, ∵圆上有且仅有两个点到直线 4x-3y-2=0 的距 2 2 4 ? ? ?3?

离等于 1, ∴?
?r ? 1>5, ∴4<r<6. ?r ? 1<5,

答案:(4,6) 【变式备选】在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x2+y2=4 上有且只有四 个点到直线 12x-5y+c=0 的距离为 1,则实数 c 的取值范围是_____. 【解析】画图可知,圆上有且只有四个点到直线 12x-5y+c=0 的距离为 1,该圆的半径为 2,即圆心 O(0,0)到直线 12x-5y+c=0 的距离 d<1, 即 0≤
c <1, 13

∴-13<c<13. 答案:(-13,13) 10.【思路点拨】把圆的方程化为标准形式,求出圆心和半径,并令圆 方程中 x=0,求出对应的 y 值,根据 y 值设出 A(0, 5 ),由题意知 0< k<kMA,从而解出 k 的取值范围. 【解析】把圆的方程化为标准方程得:(x+2)2+y2=9, ∴圆心坐标为(-2,0),半径 r=3.令 x=0,则 y=〒 5 .设 A(0,
5 ).

又 M(-1,0), ∴kMA= 5 .又∵直线过第一象限且过(-1,0) 点,∴k>0.又直线与圆在第一象限内有交点,∴k<kMA= 5 , 则 k 的取值范围是(0, 5 ). 答案:(0, 5 )
-5-

11.【解析】设圆 O2 的方程为 (x-2)2+(y-1)2=r2(r>0). ∵圆 O1 的方程为 x2+(y+1)2=6, ∴直线 AB 的方程为 4x+4y+r2-10=0. 圆心 O1 到直线 AB 的距离 d=
r 2 ? 14 4 2 ,

?r 由 d +2 =6,得
2 2

2

? 14 ? 32

2

=2,

∴r2-14=〒8,r2=6 或 22. 故圆 O2 的方程为(x-2)2+(y-1)2=6 或(x-2)2+(y-1)2=22. 【方法技巧】求解相交弦问题的技巧 把两个圆的方程进行相减得:x2+y2+D1x+E1y+F1-(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0,即 (D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0 ①

我们把直线方程①称为两圆 C1,C2 的根轴, 当两圆 C1,C2 相交时,方程①表示两圆公共弦所在的直线方程; 当两圆 C1,C2 相切时,方程①表示过圆 C1,C2 切点的公切线方程. 12.【解析】假设存在斜率为 1 的直线 l 满足题意,则 OA⊥OB. 设直线 l 的方程是 y=x+b,其与圆 C 的交点 A,B 的坐标分别为 A(x1,y1),B(x2,y2), 则
y1 y 2 =-1,即 x1x2+y1y2=0 x1 x 2

①,

由?

? y ? x ? b,
2 2 ? x ? y ? 2x ? 4y ? 4 ? 0,

消去 y 得:2x2+2(b+1)x+b2+4b-4=0,

-6-

∴x1+x2=-(b+1),x1x2= (b2+4b-4) y1y1=(x1+b)(x2+b)=x1x2+b(x1+x2)+b2 = (b2+4b-4)-b2-b+b2= (b2+2b-4)
1 2 1 2

1 2

②,

③,

把②③式代入①式,得 b2+3b-4=0,解得 b=1 或 b=-4,且 b=1 或 b=-4 都使得 Δ=4(b+1)2-8(b2+4b-4)>0 成立.故存在直线 l 满足题意, 其方程为 y=x+1 或 y=x-4. 13.【解析】(1)圆心 O 到直线 l1 的距离
| 3 ? 0 ? 4 ? 0 ? 5| d? ? 1, 32 ? 42

圆 O 的半径 r=2,所以半弦长为 22 ?12 ? 3. 故直线 l1 被圆 O 所截得的弦长为 2 3 . (2)因为过点(-1,2)的直线 l2 与 l1 垂直,直线 l1 的方程为 3x+4y-5=0, 所以直线 l2 的方程为 4x-3y+10=0.设圆心 M 的坐标为(a,b),圆 M 的半 径为 R,则 a-2b=0①, 因为圆 M 与直线 l2 相切, 并且圆 M 被直线 l1 分成两段圆弧, 其弧长比为 2∶1,所以 所以
4a ? 3b ? 10 | 3a ? 4b ? 5| 1 ? R. ? R, 5 2 5

4a ? 3b ? 10 | 3a ? 4b ? 5| ? 2? . 5 5

可得 4a-3b+10=2〓(3a+4b-5)或 4a-3b+10= -2〓(3a+4b-5). 即 2a+11b-20=0 或 2a+b=0 ②, ③.
-7-

由①②联立,可解得 a= ,b= . 所以 R=
10 8 4 100 ,故所求圆 M 的方程为(x- )2+(y- )2= . 3 3 3 9

8 3

4 3

由①③联立,可解得 a=0,b=0. 所以 R=2,故所求圆 M 的方程为 x2+y2=4. 综上,所求圆 M 的方程为:(x- )2+(y- )2=
8 3 4 3 100 或 x2+y2=4. 9

14.【解析】(1)∵直线 l1 过点 A(3,0),且与圆 C:x2+y2=1 相切,设直 线 l1 的方程为 y=k(x-3)(斜率不存在时,明显不符合要求),即 kx-y-3k=0,则圆心 O(0, 0)到直线 l1 的距离为 d ? ∴直线 l1 的方程为 y= ? (2)对于圆方程 x2+y2=1, 令 y=0,得 x=〒1,故可令 P(-1,0),Q(1,0). 又直线 l2 过点 A 且与 x 轴垂直, ∴直线 l2 的方程为 x=3, 设 M(s,t),则直线 PM 的方程为 y ?
t (x+1). s ?1

?3k k ?1
2

? 1, 解得 k= ?

2 , 4

2 (x-3). 4

? x ? 3, 4t 解方程组 ? 得 P′(3, ). t ? s ?1 y? ? x ? 1? , ? s ?1 ?

同理可得,Q′(3,

2t ), s ?1

∴以 P′Q′为直径的圆 C 的方程为 (x-3)(x-3)+(y又 s2+t2=1, ∴整理得(x2+y2-6x+1)+
6s ? 2 y=0, t 4t 2t )(y)=0, s ?1 s ?1

-8-

若圆 C 经过定点,只需令 y=0, 从而有 x2-6x+1=0,解得 x=3〒2 2 , ∴圆 C 总经过定点,坐标为(3〒2 2 ,0).

-9-


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