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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版选修2-3第三章精要课件 回归分析(二)


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§3.2(二)

【学习要求】 1.进一步体会回归分析的基本思想. 2.通过非线性回归分析,判断几种不同模型的拟合程度.
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【学法指导】 两个具有相关关系的变量不一定都呈现线性相关关系,我们 可以通过散点图确定回归模型,并从变换后数据的散点图、 相关系

数等方面比较模型的拟合效果.

填一填·知识要点、记下疑难点

§3.2(二)

本 1.两个变量间的关系,很多情况呈现一种“曲线关系”,我们 课 可以挑选一种跟散点拟合最好的函数,采用适当的变量置 时 栏 换,将问题化为线性回归 问题. 目 开 2.非线性回归问题可以将散点图与学过的各种函数(幂函数、指 关

数函数、对数函数、logistic 模型的“S”形曲线函数等)图象 作比较,选择合适的函数作为回归关系.

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§3.2(二)

探究点一
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非线性回归模型 有些变量间的关系并不是线性相关,怎样确定回归

问题 1 模型? 答

首先要作出散点图,如果散点图中的样本点并没有分布

在某个带状区域内,则两个变量不呈现线性相关关系,不能 直接利用回归直线方程来建立两个变量之间的关系,这时可 以根据已有函数知识,观察样本点是否呈指数函数关系或二 次函数关系,选定适当的回归模型.

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§3.2(二)

问题 2 方程?
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如果两个变量呈现非线性相关关系,怎样求出回归

答 可以通过对解释变量进行变换,如对数变换或平方变换, 先得到另外两个变量间的回归方程,再得到所求两个变量的 回归方程.

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§3.2(二)

例 1 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表: 身高 x/cm 体重 y/kg
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60 6.13 120

70 7.90 130

80

90

100

110 17.50 170

9.99 12.15 15.02 140 150 160

身高 x/cm 体重 y/kg


20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05

试建立 y 与 x 之间的回归方程.
根据上表中数据画出散点图如图所示.

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§3.2(二)

由图看出,样本点分布在某条指数型函数曲线 y=c1ec2x 的周围,于 是令 z=ln y.
x z 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170

1.81 2.07 2.30 2.50 2.71 2.86 3.04 3.29 3.44 3.66 3.86 4.01

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画出散点图如图所示.

由表中数据可得 z 与 x 之间的回归直线方程:
z =0.693+0.020x, 则有y =e0.693+0.020x.
^ ^

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§3.2(二)

小结
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根据已有的函数知识,可以发现样本分布在某一条指数

型函数曲线 y=c1e c2x 的周围,其中 c1 和 c2 是待定参数;可以通 过对 x 进行对数变换,转化为线性相关关系.

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跟踪训练 1

§3.2(二)

某种书每册的成本费 Y(元)与印刷册数 x(千册)有

关,经统计得到数据如下:
x 1 2 3 5 10 20 30 50 100 1.21 200 1.15

Y 10.15 5.52 4.08 2.85 2.11 1.62 1.41 1.30

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1 检验每册书的成本费 Y 与印刷册数的倒数x之间是否具有线性相 关关系?若有,求出 Y 对 x 的回归方程;若无,说明理由. 1 解 设 μ=x ,则 Y 与 μ 的数据关系如下表所示:

μ

1

0.5 0.33 0.2 0.1 0.05 0.033 0.02 0.01 0.005

Y 10.15 5.52 4.08 2.85 2.11 1.62 1.41 1.30 1.21 1.15
经过计算 r=0.999 8>r0.05=0.632.

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§3.2(二)

从而有 95%的把握认为这两个变量具有线性相关关系,从而求 Y 与 μ 的回归直线方程有意义.
10

?μiyi-10 μ y
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又b=

^

i=1

?μi2-10 μ 2
i=1

10

15.208 78-10×0.224 8×3.14 = ≈8.98, 1.413 014-10×0.224 82
a= y -b μ =3.14-8.98×0.224 8=1.12,
所以 y 关于 μ 的回归直线方程为y=1.12+8.98μ, ^ 8.98 Y 与 x 的回归方程为y=1.12+ . x
^

^

^

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§3.2(二)

探究点二 问题
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非线性回归分析

对于两个变量间的相关关系,是否只有唯一一种回归模 不一定.我们可以根据已知数据的散点图,把它与幂函

型来拟合它们间的相关关系? 答 数、指数函数、对数函数、二次函数图象进行比较,挑选一 种拟合比较好的函数,作为回归模型.

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例2 甲 乙
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§3.2(二)

对两个变量 x,y 取得 4 组数据(1,1),(2,1.2),(3,1.3), y=0.1x+1, y=-0.05x2+0.35x+0.7, y=-0.8· x+1.4,试判断三人谁的数学模型更接近于 (0.5)

(4,1.37),甲、乙、丙三人分别求得数学模型如下:



客观实际.

解 甲模型,当 x=1 时,y=1.1; 当 x=2 时,y=1.2; 当 x=3 时,y=1.3;当 x=4 时,y=1.4. 乙模型,当 x=1 时,y=1;当 x=2 时,y=1.2; 当 x=3 时,y=1.3;当 x=4 时,y=1.3. 丙模型,当 x=1 时,y=1;当 x=2 时,y=1.2; 当 x=3 时,y=1.3;当 x=4 时,y=1.35.
观察 4 组数据并对照知,丙的数学模型更接近于客观实际.

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跟踪训练 2 数据: 年份
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§3.2(二)

根据统计资料,我国能源生产自 1986 年以来发展

很快.下面是我国能源生产总量(单位:亿吨标准煤)的几个统计

1986 8.6

1991 10.4

1996 12.9

2001 16.1

产量

根据有关专家预测, 2010 年我国能源生产总量将达到 21.7 亿 到 吨左右,则专家所选择的回归模型是下列四种模型中的哪一种

① ________.(填序号)
①y=ax+b(a≠0) ②y=ax2+bx+c(a≠0) ③y=ax(a>0 且 a≠1) ④y=logax(a>0 且 a≠1)

练一练·当堂检测、目标达成落实处

§3.2(二)

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1 1 1 1.在一次试验中,当变量 x 的取值分别为 1, , , 时,变 2 3 4 1 量 y 的值分别为 2,3,4,5,则 y 与x的回归曲线方程为( A ) ^ ^ 1 2 A.y =x+1 B.y =x+3 C.y =2x+1
^

D.y =x-1
^

^

1 解析 由数据可得,四个点都在曲线y =x +1 上.

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§3.2(二)

2.某种产品的广告费支出与销售额(单位:百万元)之间有如下 对应数据:
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广告费 销售额

2 30

4 40

5 60

6 50

8 70 ( B )

则广告费与销售额间的相关系数为 A.0.819 C.0.923 B.0.919 D.0.95

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§3.2(二)

3.某矿山采煤的单位成本 Y 与采煤量 x 有关,其数据如下: 采煤量(千吨) 89 98 16 22 27 29 29 31 50
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单位成本(元) 3.5 2.9 2.1 9.6 9.1 8.5 8.0 8.0 7.0

-0.559 3 则 Y 对 x 的相关系数为___________.
4.对于回归直线方程y =4.75x+257,当 x=28 时,y 的估计值 为________. 390
^

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§3.2(二)

1.对于可确定具有非线性相关关系的两个变量,可以通过对变 量进行变换,转化为线性回归问题去解决.
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2.可以通过计算相关系数 r 判断模型拟合的好坏程度.


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