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【步步高 浙江专用(理)】2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题一 第1讲


第1讲

集合与常用逻辑用语

【高考考情解读】 1.本讲在高考中主要考查集合的运算、充要条件的判定,常与函数、不 等式、三角函数、立体几何、解析几何、数列等知识综合在一起考查.2.试题以选择题、填空 题方式呈现,考查的基础知识和基本技能,题目难度中等偏下.

1. 集合的概念、关系与运算 (1)集合中元素的特性:确定性、互异性、无序性,求解含参数的集合问题时要根据互 异性进行检验. (2)集合与集合之间的关系:A?B,B?C?A?C,空集是任何集合的子集,含有 n 个元 素的集合的子集数为 2n,真子集数为 2n-1,非空真子集数为 2n-2. (3)集合的运算:?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB),?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB),?U(?UA)=A. 2. 四种命题及其关系 四种命题中原命题与逆否命题同真同假, 逆命题与否命题同真同假, 遇到复杂问题正面 解决困难的,采用转化为反面情况处理. 3. 充分条件与必要条件 若 p?q,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件;若 p?q,则 p,q 互为充要条件. 4. 简单的逻辑联结词 (1)命题 p∨q,只要 p,q 有一真,即为真;命题 p∧q,只有 p,q 均为真,才为真;綈 p 和 p 为真假对立的命题. (2)命题 p∨q 的否定是(綈 p)∧(綈 q);命题 p∧q 的否定是(綈 p)∨(綈 q).

考点一 集合间的关系及运算 例1 (1)(2012· 课标全国)已知集合 A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则 ( )

B 中所含元素的个数为

A.3

B.6

C.8

D.10

(2)设函数 f(x)=lg(1-x2),集合 A={x|y=f(x)},B={y|y=f(x)},则图 中阴影部分表示的集合为 A.[-1,0] C.(-∞,-1)∪[0,1) B.(-1,0) D.(-∞,-1]∪(0,1) ( )

弄清“集合的代表元素”是解决集合问题的关键. 答案 解析 (1)D (2)D (1)∵B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},A={1,2,3,4,5},

∴x=2,y=1;x=3,y=1,2;x=4,y=1,2,3;x=5,y=1,2,3,4. ∴B={(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)}, ∴B 中所含元素的个数为 10. (2)因为 A={x|y=f(x)}={x|1-x2>0}={x|-1<x<1},则 u=1-x2∈(0,1], 所以 B={y|y=f(x)}={y|y≤0}, A∪B=(-∞,1),A∩B=(-1,0], 故图中阴影部分表示的集合为(-∞,-1]∪(0,1). (1)对于集合问题,抓住元素的特征是求解的关键,要注意集合中元素的三个 特征的应用,要注意检验结果. (2)对于给出已知集合,进行交集、并集与补集运算时,可以直接根据它们的定义求解, 也可以借助数轴、韦恩(Venn)图等图形工具,运用分类讨论、数形结合等思想方法,直 观求解. (1)(2013· 山东)已知集合 A={0,1,2},则集合 B={x-y|x∈A,y∈A}中元素 的个数是 A.1 B.3 C.5 D.9 ( )

(2)设全集 U=R,集合 P={x|y=ln(1+x)},集合 Q={y|y= x},则 右图中的阴影部分表示的集合为 A.{x|-1<x≤0,x∈R} B.{x|-1<x<0,x∈R} C.{x|x<0,x∈R} D.{x|x>-1,x∈R} 答案 解析 (1)C (2)B (1)x-y∈{-2,-1,0,1,2}. ( )

(2)由 1+x>0 得 x>-1,即 P={x|x>-1};Q={y|y≥0},因此结合题意得,题中的阴影 部分表示的集合是 P∩(?RQ)={x|-1<x<0,x∈R}. 考点二 四种命题与充要条件

例2

(1)已知 a,b,c∈R,命题“若 a+b+c=3,则 a2+b2+c2≥3”的否命题是( A.若 a+b+c≠3,则 a2+b2+c2<3 B.若 a+b+c=3,则 a2+b2+c2<3 C.若 a+b+c≠3,则 a2+b2+c2≥3 D.若 a2+b2+c2≥3,则 a+b+c=3 (2)设 x,y∈R,则“x2+y2≥9”是“x>3 且 y≥3”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 (

)

)

(1)从“否命题”的形式入手, 但要注意“否命题”与“命题的否定”的区别. (2)结合图形与性质,从充要条件的判定方法入手. 答案 解析 (1)A (2)B (1)命题的否命题是原命题的条件与结论分别否定后组成的命题,所以 A 正确.

(2)如图:x2+y2≥9 表示以原点为圆心,3 为半径的圆上及圆外的点, 当 x2+y2≥9 时, x>3 且 y≥3 并不一定成立, 当 x=2, y=3 时, x2+y2≥9, 但 x>3 且 y≥3 不成立;而 x>3 且 y≥3 时,x2+y2≥9 一定成立,故选 B. 一个命题的否命题、逆命题、逆否命题是根据原命题适当变更条件和结论后 得到的形式上的命题, 解这类试题时要注意对于一些关键词的否定, 如本题中等于的否 定是不等于,而不是单纯的大于、也不是单纯的小于.进行充要条件判断实际上就是判 断两个命题的真假, 这里要注意断定一个命题为真需要进行证明, 断定一个命题为假只 要举一个反例即可. 1 (1)(2012· 天津)设 x∈R,则“x> ”是“2x2+x-1>0”的 2 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 (2)给出以下三个命题: ①若 ab≤0,则 a≤0 或 b≤0; ②在△ABC 中,若 sin A=sin B,则 A=B; ③在一元二次方程 ax2+bx+c=0 中,若 b2-4ac<0,则方程有实数根. 其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是 A.① 答案 解析 (1)A (2)B
? ? 1 1 x> 或x<-1 ?,故由 x> ?2x2+x-1>0,但 (1)不等式 2x2+x-1>0 的解集为?x? 2 ? 2 ? ?

(

)

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

(

)

B.②

C.③

D.②③

1 2x2+x-1>0D?/x> ,故选 A. 2 (2)在△ABC 中,由正弦定理得 sin A=sin B?a=b?A=B.故选 B. 考点三 逻辑联结词 例3 1 已知命题 p:抛物线 y=2x2 的准线方程为 y=- ;命题 q:若函数 f(x+1)为偶函数, 2 则 f(x)关于 x=1 对称.则下列命题是真命题的是 A.p∧q C.(綈 p)∧(綈 q) 答案 D 1 解析 命题 p:抛物线 y=2x2 的准线方程为 y=- ,所以命题 p 是假命题. 8 命题 q:将函数 f(x+1)的图象向右平移 1 个单位得到 f(x)的图象,所以函数 f(x)的图象 关于 x=1 对称,故命题 q 是真命题.所以 p∨q 为真. 若利用某些条件直接判定或探求有困难时,往往可以将条件进行等价转化.若 是由命题的真假求某个参数的取值范围, 还可以考虑从集合的角度来思考, 将问题转化 为集合间的运算. (1)(2013· 课标全国Ⅰ)已知命题 p:任意 x∈R,2x<3x;命题 q:存在 x∈R,x3 =1-x2,则下列命题中为真命题的是 A.p∧q C.p∧綈 q B.綈 p∧q D.綈 p∧綈 q ( ) B.p∨(綈 q) D.p∨q ( )

(2)已知命题 p:“任意 x∈[1,2],x2-a≥0”,命题 q:“存在 x0∈R,x2 0+2ax0+2-a =0”.若命题“(綈 p)∧q”是真命题,则实数 a 的取值范围是 A.a≤-2 或 a=1 C.a>1 答案 解析 (1)B (2)C (1)当 x=0 时,有 2x=3x,不满足 2x<3x,∴p:任意 x∈R,2x<3x B.a≤2 或 1≤a≤2 D.-2≤a≤1 ( )

是假命题. 如图,函数 y=x3 与 y=1-x2 有交点,即方程 x3=1-x2 有解, ∴q:存在 x∈R,x3=1-x2 是真命题. ∴p∧q 为假命题,排除 A. ∵綈 p 为真命题, ∴綈 p∧q 是真命题.选 B.

2 (2)命题 p 为真时 a≤1;“存在 x0∈R,x2 0+2ax0+2-a=0”为真,即方程 x +2ax+2

-a=0 有实根,故 Δ=4a2-4(2-a)≥0,解得 a≥1 或 a≤-2.(綈 p)∧q 为真命题,即 綈 p 真且 q 真,即 a>1.

1. 解答有关集合问题,首先正确理解集合的意义,准确地化简集合是关键;其次关注元素 的互异性,空集是任何集合的子集等问题,关于不等式的解集、抽象集合问题,要借助 数轴和韦恩图加以解决. 2. 判断充要条件的方法,一是结合充要条件的定义;二是根据充要条件与集合之间的对应 关系,把命题对应的元素用集合表示出来,根据集合之间的包含关系进行判断,在以否 定形式给出的充要条件判断中可以使用命题的等价转化方法. 3. 含有逻辑联结词的命题的真假是由其中的基本命题决定的, 这类试题首先把其中的基本 命题的真假判断准确,再根据逻辑联结词的含义进行判断. 4. 一个命题的真假与它的否命题的真假没有必然的联系, 但一个命题与这个命题的否定是 互相对立的、一真一假的.

1. 已知集合 A={z∈C|z=1-2ai,a∈R},B={z∈C||z|=2},则 A∩B 等于 A.{1+ 3i,1- 3i} C.{1+2 3i,1-2 3i} 答案 A B.{ 3-i} D.{1- 3i}

(

)

解析 A∩B 中的元素同时具有 A,B 的特征,问题等价于|1-2ai|=2,a∈R,解得 a 3 =± .故选 A. 2 2. 下列命题中正确的是 A.若命题 p 为真命题,命题 q 为假命题,则命题“p∧q”为真命题 1 π B.“sin α= ”是“α= ”的充分不必要条件 2 6 C.l 为直线,α,β 为两个不同的平面,若 l⊥β,α⊥β,则 l∥α D.若 ac2<bc2,则 a>b 答案 D 1 π 解析 对 A,只有当 p,q 全是真命题时,p∧q 为真;对 B,sin α= ?α=2kπ+ 或 2kπ 2 6 ( )



5π 1 π ,k∈Z,故“sin α= ”是“α= ”的必要不充分条件;对 C,l⊥β,α⊥β?l∥α 6 2 6

或 l?α;对 D,ac2>bc2,c2>0,∴a>b 正确;故选 D. 3. 若集合 A={x|x2-x-2<0},B={x|-2<x<a},则“A∩B≠?”的充要条件是 A.a>-2 C.a>-1 答案 C 解析 A={x|-1<x<2}, B={x|-2<x<a}, 如图所示: B.a≤-2 D.a≥-1 ( )

∵A∩B≠?,∴a>-1.

(推荐时间:40 分钟) 一、选择题 1. (2013· 课标全国Ⅰ)已知集合 A={1,2,3,4},B={x|x=n2,n∈A},则 A∩B 等于 ( A.{1,4} 答案 A 解析 ∵x=n2,n∈A,∴x=1,4,9,16. ∴B={1,4,9,16}. ∴A∩B={1,4},故选 A. 1 2. “x>1”是“ <1”的 x A.充分不必要条件 C.充要条件 答案 A 1 1 解析 当 x>1 时,能得出 <1;由 <1 得 x>1 或 x<0.故选 A. x x 3. (2013· 福建)已知集合 A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A?B”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( ) B.{2,3} C.{9,16} D.{1,2} )

答案 A 解析 a=3 时 A={1,3},显然 A?B. 但 A?B 时,a=2 或 3.所以 A 正确.
? 1x ? 2 4. (2013· 湖北)已知全集为 R,集合 A=?x|?2? ≤1?,B={x|x -6x+8≤0},则 A∩?RB 等 ? ?

于 A.{x|x≤0} B.{x|2≤x≤4} C.{x|0≤x<2 或 x>4} D.{x|0<x≤2 或 x≥4} 答案 C 解析 A={x|x≥0},B={x|2≤x≤4} ∴A∩?RB={x|x≥0}∩{x|x>4 或 x<2} ={x|0≤x<2 或 x>4}. 5. 已知集合 P={0,m},Q={x|2x2-5x<0,x∈Z},若 P∩Q≠?,则 m 等于 A.1 5 C.1 或 2 答案 D B.2 D.1 或 2

(

)

(

)

5 解析 由于 Q={x|2x2-5x<0, x∈Z}={x|0<x< , x∈Z}={1,2}, 而 P={0, m}且 P∩Q≠ 2 ?,故 m=1 或 2.故选 D. 6. (2013· 陕西)设 a,b 为向量,则“|a· b|=|a||b|”是“a∥b”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 C 解析 由|a||b||cos〈a,b〉|=|a||b|,则有 cos〈a,b〉=± 1. 即〈a,b〉=0 或 π,所以 a∥b.由 a∥b,得向量 a 与 b 同向或反向,所以〈a,b〉=0 或 π,所以|a· b|=|a||b|. 7. 已知集合 A={1,2,3,4}, B={2,4,6,8}, 定义集合 A×B={(x, y)|x∈A, y∈B}, 则集合 A×B 中属于集合{(x,y)|logxy∈N}的元素个数是 A.3 答案 B B.4 C.8 D.9 ( ) ( )

解析 由给出的定义得 A×B={(1,2),(1,4),(1,6),(1,8),(2,2),(2,4),(2,6),(2,8), (3,2),(3,4),(3,6),(3,8),(4,2),(4,4),(4,6),(4,8)}.其中 log22=1,log24=2,log28 =3,log44=1,因此一共有 4 个元素,故选 B. 8. (2012· 上海)对于常数 m、n,“mn>0”是“方程 mx2+ny2=1 的曲线是椭圆”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 答案 B
? ? ?m<0, ?m>0, 解析 ∵mn>0,∴? 或? ?n>0 ? ? ?n<0,

)

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

当 m>0,n>0 且 m≠n 时,方程 mx2+ny2=1 的曲线是椭圆, 当 m<0,n<0 时,方程 mx2+ny2=1 不表示任何图形, 所以条件不充分;反之, 当方程 mx2+ny2=1 表示的曲线是椭圆时有 mn>0, 所以“mn>0”是“方程 mx2+ny2=1 的曲线是椭圆”的必要不充分条件.
? ? 2 2 ? 1? ? 9. 设平面点集 A=??x,y?? ??y-x??y-x? ≥0?,B={(x,y)|(x-1) +(y-1) ≤1},则 A∩B ?

所表示的平面图形的面积为 3 A. π 4 答案 D 解析 借助图形,数形结合求解. 1 由题意知 A∩B 所表示的平面图形为图中阴影部分,曲线 y= x 与直线 y=x 将圆(x-1)2+(y-1)2=1 分成 S1,S2,S3,S4 四部 分. 1 ∵圆(x-1)2+(y-1)2=1 与 y= 的图象都关于直线 y=x 对称, x 从而 S1=S2,S3=S4,而 S1+S2+S3+S4=π, π ∴S 阴影=S2+S4= . 2 10.给出下列命题: ①任意 x∈R,不等式 x2+2x>4x-3 均成立; ②若 log2x+logx2≥2,则 x>1; c c ③“若 a>b>0 且 c<0,则 > ”的逆否命题; a b ④若 p 且 q 为假命题,则 p,q 均为假命题. 其中真命题是 3 B. π 5 4 C. π 7 π D. 2

(

)

(

)

A.①②③ C.①③④ 答案 A

B.①②④ D.②③④

解析 ①中不等式可表示为(x-1)2+2>0,恒成立;②中不等式可变为 log2x+

1 ≥2, log2x

1 1 得 x>1;③中由 a>b>0,得 < ,而 c<0,所以原命题是真命题,则它的逆否命题也为真; a b ④由 p 且 q 为假只能得出 p,q 中至少有一个为假,④不正确. 二、填空题 11.(2012· 天津)已知集合 A={x∈R||x+2|<3},集合 B={x∈R|(x-m)(x-2)<0},且 A∩B= (-1,n),则 m=________,n=________. 答案 -1 1 解析 A={x|-5<x<1},因为 A∩B={x|-1<x<n}, B={x|(x-m)(x-2)<0},所以 m=-1,n=1. 2 12.已知 R 是实数集,M={x| <1},N={y|y= x-1+1},则 N∩(?RM)=________. x 答案 [1,2] 2 解析 M={x| <1}={x|x<0 或 x>2}, x N={y|y= x-1+1}={y|y≥1}, ?RM={x|0≤x≤2}, ∴N∩(?RM)={x|1≤x≤2}=[1,2]. x 13. 设 p: <0, q: 0<x<m, 若 p 是 q 成立的充分不必要条件, 则 m 的取值范围是__________. x-2 答案 (2,+∞)

解析 p:0<x<2,若 p 是 q 成立的充分不必要条件,则 m>2. 14.设 A 是整数集的一个非空子集,对于 k∈A,如果 k-1D∈/A,且 k+1D∈/A,那么称 k 是 A 的一个“孤立元”,给定 S={1,2,3,4,5,6,7,8},由 S 的 3 个元素构成的所有集合 中,不含“孤立元”的集合共有________个. 答案 6 解析 所求不含“孤立元”的集合中的元素必是连续三个整数,故有{1,2,3},{2,3,4}, {3,4,5},{4,5,6},{5,6,7},{6,7,8}共 6 个. 15.给出下列四个命题: ①命题“若 α=β,则 cos α=cos β”的逆否命题;
2 ②“存在 x0∈R,使得 x2 0-x0>0”的否定是:“任意 x∈R,均有 x -x<0”;

③命题“x2=4”是“x=-2”的充分不必要条件;

④p:a∈{a,b,c},q:{a}?{a,b,c},p 且 q 为真命题. 其中真命题的序号是________.(填写所有真命题的序号) 答案 ①④ 解析 对①,因命题“若 α=β,则 cos α=cos β”为真命题, 所以其逆否命题亦为真命题,①正确; 对②,命题“存在 x0∈R,使得 x2 0-x0>0”的否定应是: “任意 x∈R,均有 x2-x≤0”,故②错; 对③,因由“x2=4”得 x=± 2, 所以“x2=4”是“x=-2”的必要不充分条件,故③错; 对④,p,q 均为真命题,由真值表判定 p 且 q 为真命题,故④正确. 16.对于集合 M、N,定义:M-N={x|x∈M 且 x N},M?N=(M-N)∪(N-M).设 A B=________.

={y|y=x2-3x,x∈R},B={x|y=log2(-x)},则 A 答案 9 (-∞,- )∪[0,+∞) 4

9 9 解析 A={y|y≥- },B={x|x<0},A-B={x|x≥0},B-A={x|x<- }, 4 4 则A 9 ?B=(A-B)∪(B-A)=(-∞,- )∪[0,+∞). 4


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