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指对幂函数测试题(含有答案)


实验中学指对幂函数测试题
一、选择题: 1.函数 y
? a
x

? a ( a ? 0 , a ? 1 ) 的图像可能是(



A.

B.
? { ? 3, ? 2 , ? 1 ?

C.

D.

r />2.设 ?

1 1 a , ,1, 2 , 3} ,则使幂 y=x 为奇函数且在(0,+ ? )上单调递减的α 2 3

值的个数为 ( A. 1

) B. 2 C. 3 D. 4
N
?

3.某种产品今年的产量是 a,如果保持 5%的年增长率,则经过 x 年 ? x ?
的产量 y=( ) A y ? a ?1 ? 5 ? x ? C y ? a ?1 ? 5 ? ?
x ?1

? ,当年该产品

B y ? a ? 5? x D y ? a ?1 ? 5 ? ?
m ?3
2

x

4.若函数
A. ? 1

f ( x ) ? ( 2 m ? 3) x

是幂函数,则 m 的值为 C. 1
x

( D. 2 )



B. 0
f ( x) ? (a
2

5.函数

? 3a ? 3) ? a

是指数函数 ,则 a 的值是( C. a ? 2
,y ? x
? 1 2

A. a ? 1 或 a ? 2

B. a ? 1
1 ?1

D. a ? 0 或 a ? 1 )

6.幂函数 y

? x ,y ? x

2

,y ? x

3

在第一象限内的图象依次是图中的曲线 (

A.

C 2 , C1, C 3 , C 4

B. D.

C 4 ,C1,C 3,C 2

C. C 3 , C 2 , C 1 , C 4

C1,C 4 ,C 2 ,C 3

7.为了得到函数 y

= lo g 2

x - 1 的图象,可将函数

y = lo g 2 x 的图象上所有的点的(



1

A.纵坐标缩短到原来的 B.纵坐标缩短到原来的

1 2 1 2

倍,横坐标不变,再向右平移 1 个单位长度 倍,横坐标不变,再向左平移 1 个单位长度

C.横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再向左平移 1 个单位长度 D.横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再向右平移 1 个单位长度

8.函数 y

?

lg x x

的图象大致是

9.已知函数

f

?x?

?l o g 2 x , x ? 0 ? ? 1 ?? , 则 f ? f ? ? ? 的值是 ? ? x ? 4 ?? ? ?3 , x ? 0
1 9 1 9

A. 9

B.

C. ? 9

D. ?

10.已知函数

? m 1 ? x 2 , x ? ( ? 1, 1] , ? f ( x ) 满足 f ( x ? 2 ) ? f ( x ? 2 ) ,且 f ( x ) ? ? ? 1 ? | x ? 2 |, x ? (1, 3 ] ?

其中

m>o.若方程 3 f ( x ) ? x 恰有 5 个实数解,则 m 的取值范围为
15 3 8 3 15 3




4 3

A. (

,

)

B. (

,

7)

C. ( , )
3 3

4 8

D. ( , 7 )

11.若幂函数 y
( )

? m

?

2

? 3m ? 3 x

?

m ? 2m ?3

2

的图像不过原点,且关于原点对称,则 m 的取值是

A. m ? ? 2 C. m ? ? 2 或 m ? ? 1

B. m ? ? 1 D. ? 3 ? m ? ? 1
x m ? y n ? ? 1 上,且

12.函数 y

? a

x?3

? 2 ( a ? 0 , a ? 1 ) 的图像恒过定点 A,若点 A 在直线

m , n ? 0 ,则 3 m ? n 的最小值为



) C. 11 ? 6 2 . D. 28.

A. 13

B. 16

二、填空题:

2

13.如果幂函数 f ? x ? ? 14.函数 f ( x ) 15.已知函数

x 的图象经过点 ( 2 ,

?

2 2

)

,则

f (4)

的值等于_____________

? lg ( 3x ? 2 ) ? 2
x

恒过定点

f ( x ) ? 1 0 ,且实数 a , b , c 满足 f ( a ) ? f ( b ) ? f ( a ? b ) , f ( a ) ? f ( b ) ?

f ( c ) ? f ( a ? b ? c ) ,则 c 的最大值为



16.函数
三、解答题:

的递增区间是______.

17.已知函数 f ( x ) = 3x , f ( a + 2 ) = 18 , g ( x ) = ? ·3ax – 4x 的定义域为[0,
1]。 (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)若函数 g ( x )在区间[0,1]上是单调递减函数,求实数 ? 的取值范围。

18.将函数

f ( x ) ? log

2

( x ? 1 ) 的图像向左平移 1 个单位,再将图像上的所有点的纵坐标伸

长到原来的 2 倍(横坐标不变) ,得到函数 y ? g ( x ) 的图像. (1)求函数 y ? g ( x ) 的解析式和定义域; (2)求函数 y ? F ( x ) ? f ( x ? 1 ) ? g ( x ) 的最大值.

19.已知函数

f ( x ) ? lo g 2 ( a x ? 2 x ? 3 a )
2



(Ⅰ)当 a ? ? 1 时,求该函数的定义域和值域; (Ⅱ)如果 f ( x ) ? 1 在区间 [ 2 , 3 ] 上恒成立,求实数 a 的取值范围.

20.函数 y=lg(3-4x+x2)的定义域为 M,当 x∈M 时,求 f(x)=2x+2-3×4x 的最值. 21.已知幂函数 y=xm2-2m-3(m∈Z)的图象与 x、 轴都无公共点, y 且关于 y 轴对称, m 的值, 求
并画出它的图象.

22.设函数

f ( x ) ? lo g 2 ( 4 x ) ? lo g 2 ( 2 x ) ,

1 4

? x ? 4,

(1)若 t ? log

2

x ,求 t 取值范围;

(2)求 f ( x ) 的最值,并给出最值时对应的 x 的值。

试卷答案
1.C 2.B3.D4.A5.C6.D7.A

3

y = lo g 2

x- 1=

1 2

lo g 2 ( x - 1)

,所以可将
1 2 lo g 2 x

y = lo g 2 x 的图象上所有的点纵坐标缩短到原

来的

1 2

倍,横坐标不变,得到

y =

,然后

横坐标不变,再向右平移 1 个单位长度,

得到

y =

1 2

lo g 2 ( x - 1)

,选 A.
? 1 时, y ? 0 ,排除 C,选 D.

8.D 函数为奇函数,图象关于原点对称,排除 A,B。当 x

9.B 10.B11.A12.B 13.
1 2



14.
y ? lo g
1 2

15. lg
t

4 3

16. ( ? ? , ? 3 )

令 t ? x 2 ? 2 x ? 3 ,则函数

在定义域上单调递减,由 t ? x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 得, x ? 1

或 x ? ? 3 ,当 x ? ? 3 时, t ? x 2 ? 2 x ? 3 单调递减,根据复合函数的单调性可知,此时函 数 单调递增,所以函数的递增区间为 ( ? ? , ? 3 ) 。 3
a+2

17.解法一: (Ⅰ)由已知得

= 18 ? 3 = 2 ? a = log32
x x

a

(Ⅱ)此时 g ( x ) = ? · 2 – 4

设 0 ? x1<x2 ? 1,因为 g ( x )在区间[0,1]上是单调减函数 所以 即 所以

g ( x1 ) = g ( x2 ) = ?2
? ? 2
x2

x2

? 2
x2

x1

? ??
x1

? 2
0

x2

? 2
0

x1

? ? 0 成立

… 10 分

+2

x1

恒成立

由于 2

+2

>2 + 2 = 2

实数 ? 的取值范围是 ? ? 2 3
a+2

解法二: (Ⅰ)由已知得

= 18 ? 3 = 2 ? a = log32
x x

a

(Ⅱ)此时 g ( x ) = ? · 2 – 4

因为 g ( x )在区间[0,1]上是单调减函数 所以有 g ( x )′= ? ln2 · 2 – ln 4 · 4 = ln 2[2 · (2 ) + ? · 2 ]
? 0 成立…10 分
x x x 2 x

设 2 = u∈[ 1 , 2 ] 因为 u∈[ 1 , 2 ]

x

## 式成立等价于 – 2u + ? u ? 0 恒成立。 只须
? ? 2u 恒成立,

2

所以实数 ? 的取值范围是 ? ? 2
4

18.解析: (1) y

? g ( x ) ? 2 log

2

( x ? 2 ), x ? ? 2
x

(2) y ? F ( x ) ? log

2

(x ? 2)

2

,x ? 0

令u ( x ) ?

x (x ? 2)
2

,x ? 0

(过程略)

当 x ? 2 时, y ? F ( x ) 的最大值-3 ? g ( x ) ? f ( x ? 1)

19.(1) 当 a

? ? 1 时, f ( x ) ? lo g 2 ( ? x ? 2 x ? 3 )
2

令 ? x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ,解得 ? 1 ? x ? 3 所以函数 f ( x ) 的定义域为 ( ? 1, 3 ) . 令 t ? ? x ? 2 x ? 3 ? ? ( x ? 1) ? 4 ,则 0 ? t ? 4
2 2

所以 f ( x ) ? lo g 2 t ? lo g 2 4 ? 2 因此函数 f ( x ) 的值域为 ( ? ? , 2 ] (2) 解法一: f ( x ) ? 1 在区间 [ 2 , 3 ] 上恒成立等价于 a x 2 ? 2 x ? 3 a ? 2 ? 0 在区间 [ 2 , 3 ] 上恒 成立 令 g ( x) ? ax ? 2 x ? 3a ? 2
2

当 a ? 0 时, g ( x ) ? 2 x ? 2 ? 0 ,所以 a ? 0 满足题意. 当 a ? 0 时, g ( x ) 是二次函数,对称轴为 x ? ? 当 a ? 0 时,? 解得 a ? ? 2 ; 当?
2 5 ? a ? 0 时, ?
2 5 1 a



1 a

函数 g ( x ) 在区间 [ 2 , 3 ] 上是增函数,g ( x ) m in ? g ( 2 ) ? a ? 2 ? 0 , ? 0 ? 2 ,

1 a

?

5 2

, g ( x ) m in ? g ( 2 ) ? a ? 2 ? 0 ,解得 a ? ? 2 , g ( x ) m in ? g ( 3 ) ? 6 a ? 4 ? 0 ,解得 a ? ?
2 3

当a ? ?

时, 0 ? ?

1 a

? 2 3

5 2

综上, a 的取值范围是 [ ?

, ? ?)

解法二: f ( x ) ? 1 在区间 [ 2 , 3 ] 上恒成立等价于 a x ? 2 x ? 3 a ? 2 ? 0 在区间 [ 2 , 3 ] 上恒成立
2

5

由 a x 2 ? 2 x ? 3 a ? 2 ? 0 且 x ? [ 2 , 3 ] 时, x 2 ? 3 ? 0 ,得 a ?
2 ? 2x x ?3
2

2 ? 2x x ?3
2

令h(x) ?

,则 h ? ( x ) ?

2x ? 4x ? 6
2

( x ? 3)
2

2

? 0

所以 h ( x ) 在区间 [ 2 , 3 ] 上是增函数,所以 h ( x ) m a x ? h (3 ) ? ? 因此 a 的取值范围是 [ ?
2 3 , ? ?) .

2 3

20.解:由 3-4x+x2>0 得 x>3 或 x<1,
∴M={x|x>3 或 x<1},

f(x)=-3×22x+2x+2=-3?2 - ?2+ . 6
x

? ?

1?

?

25 12

∵x>3 或 x<1,∴2 >8 或 0<2 <2, 1 1 25 x ∴当 2 = ,即 x=log2 时,f(x)最大,最大值为 ,f(x)没有最小值. 6 6 12

x

x

21.由已知,得 m2-2m-3≤0,∴-1≤m≤3.
又∵m∈Z,∴m=-1,0,1,2,3. -3 当 m=0 或 m=2 时,y=x 为奇函数,其图象不关于 y 轴对称,不适合题意. 0 ∴m=±1 或 m=3.当 m=-1 或 m=3 时,有 y=x ,其图象如图(1). -4 当 m=1 时,y=x ,其图象如图(2).

22.解: (1)?
? log 1
2

t ? log

2

x,

1 4

? x ? 4

? t ? log

4

2

4

即? 2 ? t ? 2

当 t ? 2 即 x ? 4 时 , f ? x ? max ? 12

6


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