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《解直角三角形应用举例》1课件例3、例4、例5


新人教版九年级数学(下册)第二十八章

§28.2 解直角三角形(2)

1.解直角三角形
在直角三角形中,除直角外,由已知两元素 (必有一边) 求其余未知元素的过程叫解直角三角形.

2.解直角三角形的依据
(1)三边之间的关系: a2+b2=c2(勾股定理); c



; (2)两锐角之间的关系: ∠ A+ ∠ B= 90? (3)边角之间的关系: a sinA= c b cosA= c a tanA= b


a

b



温故而知新
如图,Rt△ABC中,∠C=90°,
(1)若∠A=30°,BC=3,则AC= 3 3 (2)若∠B=60°,AC=3,则BC=

3

(3)若∠A=α°,AC=3,则BC= 3 tan ?

m (4)若∠A=α°,BC=m,则AC= tan ?

B

A

┌ C

例题
例3: 2012年6月18日“神舟”九号载人航天飞船与“天宫一号”目标飞行 器成功实现交会对接.“神舟”九号与“天宫一号”在离地球表面343km 的圆形轨道上运行.如图,当组合体运行到地球表面上P点的正上方时,从 中能直接看到的地球上表面最远的点在什么位置?最远点与P点的距离是多 少?(地球半径约为6 400km,π取3.142,结果取整数)

分析:从组合体中能直接看

到的地球上的点,应是视线 与地球相切时的切点.
如图,⊙O表示地球,点F是组合 体的位置,FQ是⊙O的切线,切点Q ? PQ 是从组合体中观测地球时的 最远 ? 的长就是地面上P、Q两点 点. PQ ? 间的距离,为计算 的长需 PQ 先求出∠POQ(即a)的度数.

F P

Q

α O·

解:在图中,设∠POQ=a FQ是⊙O的切线,△FOQ是直角 三角形.

OQ 6400 ? cos a ? ? ? 0.9491 OF 6400 ? 343

F P α O· Q

? a ? 18.36?
∴弧PQ的长为

18.36? ? 6400 ? 2051(km) 180
当飞船在P点正上方时,从飞船观测地球时的最远点距离P点约 2009.6km

仰角和俯角
在进行测量时, 从下向上看,视线与水平线的夹角叫做仰角; 从上往下看,视线与水平线的夹角叫做俯角.
视线 铅 直 线 仰角 水平线 俯角

视线

例4: 热气球的探测器显示,从热气球看一栋高楼顶部的仰角为 30°,看这栋高楼底部的俯 角为60°,热气球与高楼的水平距 离为120m,这栋高楼有多高(结果精确到0.1m) 分析:我们知道,在视线与水平线所 成的角中视线在水平线上方的是仰角 ,视线在水平线下方的是俯角,因此 ,在图中,a=30°,β=60°
A 仰角 水平线

B
α β D

Rt△ABC中,a =30°,AD=120,
所以利用解直角三角形的知识求出
俯角 C

BD;类似地可以求出CD,进而求出BC.

解:如图,a = 30°,β= 60°, AD=120.

BD CD ? tan a ? , tan ? ? AD AD

? BD ? AD ? tana ? 120? tan30?

B α A β D

3 ? 120? ? 40 3 3
CD ? AD ? tan? ? 120? tan60?

? 120? 3 ? 120 3
? BC ? BD ? CD ? 40 3 ? 120 3

? 160 3 ? 277.1
答:这栋楼高约为277.1m

C

练习
1. 建筑物BC上有一旗杆AB,由距BC40m的D 处观察旗杆顶部A的仰角54°,观察底部B的 仰角为45°,求旗杆的高度(精确到0.1m)
解:在等腰三角形BCD中∠ACD=90° BC=DC=40m 在Rt△ACD中 45° 54° 40m

A B

? AC ? tan ?ADC ?DC

AC tan ?ADC ? DC
?

D

C

? tan 54 ? 40 ? 1.38 ? 40 ? 55.2
所以AB=AC-BC=55.2-40=15.2 答:棋杆的高度为15.2m.

2. 如图,沿AC方向开山修路.为了加快施工进度,要在小山的另一边同 时施工,从AC上的一点B取∠ABD = 140°,BD = 520m,∠D=50°,那 么开挖点E离D多远正好能使A,C,E成一直线(精确到0.1m)

解:要使A、C、E在同一直线上, 则 ∠ABD是 △BDE 的一个外角
∴∠BED=∠ABD-∠D=90°

A

B 140°

C

E

DE cos ?BDE ? BD

50° D

? DE ? cos ?BDE?BD
? cos50 ? 520 ? 0.64 ? 520 ? 332.8
?

答:开挖点E离点D 332.8m正好能使A,C,E成一直线.

当堂反馈
3.如图3,从地面上的C,D两点测得树顶A仰角分别是 45°和30°,已知CD=200m,点C在BD上,则树高 AB等于 100( 3 ?1)m (根号保留).

图3

图4

4.如图4,将宽为1cm的纸条沿BC折叠,使∠CAB=45°
,则折叠后重叠部分的面积为
2 2 cm (根号保留). 2

当堂反馈
5.如图1,已知楼房AB高为50m,铁塔塔基距楼房地 100 3 基间的水平距离BD为100m,塔高CD为 ( ? 50) m 3 ,则下面结论中正确的是( C ) A.由楼顶望塔顶仰角为60° B.由楼顶望塔基俯角为60° C.由楼顶望塔顶仰角为30° D.由楼顶望塔基俯角为30°
图1

6.如图2,在离铁塔BE 120m的A处, 用测角仪测量塔顶的仰角为30°, 已知测角仪高AD=1.5m,则塔高 3 ? 1.5)m(根号保留). BE= (40 _________

图2

新人教版九年级数学(下册)第二十八章

§28.2 解直角三角形(3)

方位角
指南或指北的方向线与目标方向线构成小于 900的角,叫做方位角. ? 如图:点A在O的北偏东30° ? 点B在点O的南偏西45°(西南方向)
?
北 30° A

西

O 45°



B



问题如图:一艘轮船由海平面上A地出发 向南偏西400的方向行驶40海里到达B地, 再由B地向北偏西200的方向行驶40海里 到达C地,则A,C两地的距离为 ____ 40海里 北
C 北 A
D

有一个角是600的三 角形是等边三角形

B

例、如图,海岛A四周20海里周围内为暗礁区,一艘货

二、探究

轮由东向西航行,,航行24海里到C,在B处见岛A在北 偏西60?.在c见岛A在北偏西30?,货轮继续向西航行, 有无触礁的危险?
解:过点A作AD⊥BC于D,
设CD=x,则BD=X+24

在Rt△ADC中, AD ∵ tan∠DCA=-----DC ∴AD= tan600x= 3 x 在Rt△ADB中, AD √ 3 x ∵ tan30?= ---- = -------BD X+24 X=12 AD≈12×1.732 =20.784 > 20

A

N1

N

D X

C

24海里

B

答:货轮无触礁危险。

例5 如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向,距离灯塔80海里 的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东 34°方向上的B处,这时,海轮所在的B处距离灯塔P有多远(结果 取整数)?
解:如图 ,在Rt△APC中, PC=PA· cos(90°-65°) =80×cos25° ≈80×0.91 =72.8 在Rt△BPC中,∠B=34° 34° P C 65° A

PC ? sin B ? PB PC 72.8 72.8 ? PB ? ? ? ? 130 ? sin B sin 34 0.559

B

当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时,它距离灯塔P大约130.23海里.

利用解直角三角形的知识解决实际问题的 一般过程是:
1.将实际问题抽象为数学问题; (画出平面图形,转化为解直角三角形的问题) 2.根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三角形; 3.得到数学问题的答案; 4.得到实际问题的答案.

巩固练习:海中有一个小岛A,它的周围8海里范围内 有暗礁,渔船跟踪鱼群由西向东航行,在B点测得小岛 A在北偏东60°方向上,航行12海里到达D点,这时测 得小岛A在北偏东30°方向上,如果渔船不改变航线继 续向东航行,有没有触礁的危险?

A
30°

60°

B

12

D

F

解:由点A作BD的垂线
交BD的延长线于点F,垂足为F, ∠AFD=90° 由题意图示可知∠DAF=30°
设DF= x , AD=2x 则在Rt△ADF中,根据勾股定理
60°
B D F 30°

A

AF ? AD ? DF ?
2 2

? 2x ?

2

? x 2 ? 3x

在Rt△ABF中,

3x AF ? tan 30 ? tan ?ABF ? BF 12 ? x

解得x=6

AF ? 6 x ? 6 3 ? 10.4

10.4 > 8没有触礁危险

相信你能行

1.如图所示,轮船以32海里每小时的速 度向正北方向航行,在A处看灯塔Q在轮 船的北偏东30 °处,半小时航行到B处, 发现此时灯塔Q与轮船的距离最短,求 灯塔Q到B处的距离(画出图像后再计算)
B Q

30°

A

2.如图所示,一渔船上的渔民在A处看见灯 塔M在北偏东60°方向,这艘渔船以28海里/ 时的速度向正东航行,半小时至B处,在B处 看见灯塔M在北偏东15°方向,此时灯塔M与 渔船的距离是( A )
D

A. 7 2 海里 14 2 海里 B.. C.7海里 D.14海里

气象台发布的卫星云图显示,代号为W的台风 在某海岛(设为点O)的南偏东45°方向的B点 生成,测得 OB ? 100 6km. 台风中心从点B以 40km/h的速度向正北方向移动,经5h后到达海 面上的点C处.因受气旋影响,台风中心从点C 开始以30km/h的速度向北偏西60°方向继续移 动.以O为原点建立如图12所示的直角坐标系.
y/km


A



C
O

x/km

B
图12

(1)台风中心生成点B的坐标为 ,台风 中心转折点C的坐标为 ;(结果保留根号) ? (2)已知距台风中心20km的范围内均会受到台 风的侵袭.如果某城市(设为A点)位于点O的 正北方向且处于台风中心的移动路线上,那么台 风从生成到最初侵袭该城要经过多长时间?
?
y/km


A



C
O

x/km

B
图12

C(100 3, 200 ?100 3) B(100 3, ?100 3) (2)过点C作 CD ? OA 于点D,如图2,则 CD ? 100 3
解:(1)

在 Rt△ ACD 中
?

?ACD ? 30?

CD ? 100 3
y/km

CD 3 ? cos 30? ? CA 2

? CA ? 200

A

200 ? 20 ? ?6 30

5 ? 6 ? 11

D
O

60?

C

x/km

台风从生成到最初侵袭该城要经过 11小时.

B
图2

练习
王英同学从A地沿北偏西60? 方向走100m到B地 ,再从B地向正南方向走200m到C地,此时王英 同学离A地多少距离?
北 E B 西 D
100m 600

东 A

200m

南 C

新人教版九年级数学(下册)第二十八章

§28.2 解直角三角形(4)

修路、挖河、开渠和筑坝时,设计图纸上都要 注明斜坡的倾斜程度.

坡面的铅垂高度( h )和水平长度( l )的比 h 叫做坡面坡度(或坡比). 记作i , 即 i = . l 坡度通常写成1∶m的形式,如 i=1∶6.坡面与 水平面的夹角叫做坡角,记作a,有
i= h = tan a. 显然,坡度越大,坡角a就越大,坡面就越陡.
l

例5. 如图,拦水坝的横断面为梯形ABCD(图中i=1:3是指坡面的铅直 高度DE与水平宽度CE的比),根据图中数据求:
(1)坡角a和β; (2)坝顶宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m) 解:(1)在Rt△AFB中,∠AFB=90° A D i=1:3 E β C

AF tan ? ? ? i ? 11.5 : BF

i=1:1.5 B

6m
F

α

? ? 33.7?
在Rt△CDE中,∠CED=90°
DE tan ? ? ? i ? 1: 3 CE

? ? 18.4?

如图一段路基的横断面是梯形,高为4.2 米,上底的宽是12.51米,路基的坡面与地面 的倾角分别是32°和28°.求路基下底的 宽.(精确到0.1米)
1. 认清图形中的有关线段; 2. 分析辅助线的作法;

想一想

3. 坡角在解题中的作用;
4. 探索解题过程.

19.4.6

作DE⊥AB,CF⊥AB,垂足分别为E、 F.由题意可知 DE=CF=4.2(米),CD=EF=12.51(米). DE 4.2 ? ? tan 32? 在Rt△ADE中,因为 i ? AE AE 所以 AE ? 4.2 ? 6.72 (米)

在Rt△BCF中,同理可得
4.2 BF ? ? 7.90 (米) tan 28 ?

tan 32 ?

因此

AB=AE+EF+BF ≈6.72+12.51+7.90 ≈27.13(米). 答: 路基下底的宽约为27.13米.
图 19.4.6

A B ?咋 办

D C

?4 如图,水库大坝的截面是梯形 ABCD,坝顶AD=6m,坡长CD=8m.坡底 BC=30m,∠ADC=1350. ?(1)求坡角∠ABC的大小; ?(2)如果坝长100m,那么修建这个 大坝共需多少土石方(结果精确到 0.01m3 ).

?先构造直 角三角形!

如图,沿水库拦水坝的背水坡将坝面加宽 两米,坡度由原来的1:2改成1:2.5,已知原 背水坡长BD=13.4米, 求: (1)原背水坡的 坡角 ? 和加宽后的背水坡的坡角 ? ;
(2)加宽后水坝的横截面面积增加了 多少?(精确到0.01) 2.0

C 1:2.5
?

D

1:2

?
B E F

A

1.在解直角三角形及应用时经常接触到 的一些概念(方位角;坡度、坡角等)

2.实际问题向数学模型的转化
(解直角三角形)

利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是:
(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为解直角 三角形的问题); (2)根据条件的特点,适当选用锐角三角形函数等去解直角三角 形; (3)得到数学问题的答案; (4)得到实际问题的答案.


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