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2.2.1条件概率 (经典)公开课


2.2.1 条件概率

一、引入
“玛丽莲问题”
玛丽莲(Marilyn vos Savant),美国专栏作家。她在 《Parade》杂志上主持一个叫做“Ask Marilyn”的专栏, 回答读者的各种问题。1991年,她提出了这个著名的玛丽 莲问题(Behind Monty Hall’s Doors)。 “你参加电视台的一个抽奖节目。

台上有三个门,一个后边有汽车,其余 后边是山羊。主持人让你任意选择其一 。然后他打开其余两个门中的一个,你 看到是山羊。这时,他给你机会让你可 以重选,也就是你可以换选另一个剩下 的门。那么,你换不换?”

一、引入
“玛丽莲问题”
玛丽莲的答案是应该换,但是很多读者不同意,玛丽莲在 该杂志的下一期还给出了一个表格说明她的道理,但是反 对声更大了。在几千封的读者来信中,反对者达九成。其 中美国健康机构的统计学家、国防情报中心副主任,甚至 著名的美籍匈牙利数学家保罗·埃尔迪希(Paul Erodos)也 是反对者之一。 “那么到底该不该换呢?” 有兴趣的同学可以看一看课本第72 页的解释。

据说智商很高

三张奖券中只有一张能中奖,现分 别由3名同学无放回地抽取,问最后 一名同学抽到中奖奖券的概率是否比 前两位小?
记“最后一名同学抽到中奖奖券”为事 件B

一般地,n(B)表示 事件B包含的基本 事件的个数

由古典概型可知,最后一名同学抽到中奖奖券的 n( B ) 1 概率为:P ( B ) ? ? n(? ) 3
一般地,我们用?来 表示所有基本事件 的集合,叫做基本 事件空间(或样本 空间)

如果已经知道第一名同学没有抽到中奖 奖券,那么最后一名同学抽到中奖奖券 的概率又是多少?

分析:
?? ? ? X1YX2 , X2YX1 , X1 X2Y , X2 X1Y ,YX1 X2 ,YX2 X1? B ? ? X1 X 2Y , X 2 X1Y ?
? 可设”第一名同学没有中奖”为事件A X1YX 2 , X 2YX1 , X1 X 2Y , X 2 X1Y
由古典概型概率公式,所求概率为

?

?

“第一名同学没有抽到中奖奖券”为事件A “最后一名同学抽到中奖奖券”为事件B 第一名同学没有抽到中奖奖券的条件下,最后一名 同学抽到中奖奖券的概率记为P(B|A)
1 2

2 1 1 ? ? 4 2 3

(通常适用古典概率模型)

(适用于一般的概率模型)

条件概率 :
1、定义 一般地,设A,B为两个事件, 且P(A)>0, 称

P ( AB ) P ( B A) ? P ( A)
为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率.

一般把 P(B︱A)读作 A 发生的条件下 B 的概率。

2.条件概率计算公式:
注:⑴ 0 ≤ P( B | A) ≤1 ; ⑵几何解释:

P ( AB ) P( A | B ) ? P( A )
?

P(B |A)相当于把A看作新的 基本事件空间求A∩B发生的 概率

B

A

(3)条件概率的加法公式 若B和C是两个互斥事件, 则 P( B ? C A) ? P( B A) ? P(C A)

概率 P(B|A)与P(AB)的区别与联系

联系:事件A,B都发生了 区别:
(1)在P(B|A)中,事件A,B发生有时间上的差异,

A先B后;在P(AB)中,事件A,B同时发生。
(2)样本空间不同,在P(B|A)中,事件A成为样本

空间;在P(AB)中,样本空间仍为
因而有

?。

P(B A) ? P( AB)

例1 在5道题中有3道理科题和2道文科题。 如果不放回地依次抽取2道题,求:
? (1)第1次抽到理科题的概率; ? (2)第1次和第2次都抽到理科题的概率; ? (3)在第1次抽到理科题的条件下,第2次抽到理科题的概率。

解:设“第1次抽到理科题”为事件A,“第2次抽到理科题
为事件B,则“第1次和第2次都抽到理科题”就是事件AB. Ω为“从5道题中不放回地依次抽取2道题的样本空间。” n( A) 12 3 2 1 1 (1) ? n(?) ? A5 ? 20, n( A) ? A3 ? A4 ? 12,? P( A) ? ? ? . n(?) 20 5 n(AB) 6 3 2 (2)?n(AB ) ? A3 ? 6,? P( AB) ? ? ? . n(?) 20 10 3
(3)法1 P( B | A) ? P( AB) 10 1 n( AB) 6 1 ? ? . 法2 P( B | A) ? ? ? 3 2 P( A) n( A) 12 2 5

求解条件概率的一般步骤:
求解条件概率的一般步骤: (1)用字母表示有关事件

(2)求P(AB),P(A)或n(AB),n(A)

P ( AB) n( AB) ? ( 3 )利用条件概率公式求 P ? B A? ? P ( A) n( A)

例2、一张储蓄卡的密码共有6位数字,每位数字都可 从0~9中任选一个,某人在银行自动提款机上取钱时, 忘记了密码的最后一位数字,求 (1)任意按最后一位数字,不超过2次就按对的概率; (2)如果他记得密码的最后一位是偶数,不超过2次 就按对的概率。

解:设第i次按对密码为事件Ai ( i ? 1, 2) 则A ? A1 ? ( A1 A2 )表示不超过 2次就按对密码。

(1)因为事件Ai 与事件 A1 A2互斥,由概率的加法公式得

1 9?1 1 P ( A) ? P ( A1 ) ? P ( A1 A2 ) ? ? ? 10 10 ? 9 5

例4、一张储蓄卡的密码共有6位数字,每位数字都可 从0~9中任选一个,某人在银行自动提款机上取钱时, 忘记了密码的最后一位数字,求 (1)任意按最后一位数字,不超过2次就按对的概率; (2)如果他记得密码的最后一位是偶数,不超过2次 就按对的概率。

解:设第i次按对密码为事件Ai ( i ? 1, 2) 则A ? A1 ? ( A1 A2 )表示不超过 2次就按对密码。

(2)用B表示最后一位按偶数的事件,则

1 4?1 2 P ( A B) ? P ( A1 B) ? P ( A1 A2 B) ? ? ? 5 5? 4 5

课堂小结

1. 条件概率的定义. 2. 条件概率的性质.

P ( AB ) P ( B A) ? P ( A)

3. 条件概率的计算方法.
(1)减缩样本空间法 (2)条件概率定义法

P( AB) P( B A) ? P( A)


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