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数学人教A版必修5第三章3.4基本不等式:(第1课时) (2)


第 1 课时 基本不等式 1.理解并掌握基本不等式及其推导过程,明确基本不等式成立的条件. 2.能利用基本不等式求代数式的最值. 1.重要不等式 当 a,b 是任意实数时,有 a2+b2≥____,当且仅当______时,等号成立. (1)公式中 a,b 的取值是任意的,a 和 b 代表的是实数,它们既可以是具体的数字,也 可以是比较复杂的代数式, 因此其应用范围比较广泛. 今后有不少不等式的证明就是根据条 件进行转化,使之可以利用该公式来证明. a2+b2 (2)公式中 a2+b2≥2ab 常变形为 ab≤ 或 a2+b2+2ab≥4ab 或 2( a2+b2)≥(a+b)2 等形 2 式,要注意灵活掌握. 【做一做 1】 x2+y2=4,则 xy 的最大值是( ) 1 A. B.1 C.2 D.4 2 2.基本不等式 (1)有关概念:当 a,b 均为正数时,把____叫做正数 a,b 的算术平均数,把____叫做 正数 a,b 的几何平均数. (2)不等式:当 a,b 是任意正实数时,a,b 的几何平均数不大于它们的算术平均数,即 ab≤____,当且仅当______时,等号成立. [来源:Zxxk.Com] (3)几何意义:半弦不大于半径.如图所示,AC=a,CB=b,则 OD=_______,DC= ab = 1 DE,则 DC≤OD. 2 (4)变形:ab ≤ ? ? a?b? ? ,a+b≥ 2 ab (其中 a>0,b>0,当且仅当 a=b 时等号成立). ? 2 ? 2 从数列的角度看,a,b 的算术平均数是 a,b 的等差中项,几何平均数是 a,b 的正的 等比中项,则基本不等式可表示为:a 与 b 的正的等比中项不大于它们的等差中项. 【做一做 2】 已知 ab=16,a>0,b>0,则 a+b 的最小值为__________. 答案:1.2ab a=b 【做一做 1】 C a+b a+b a+b 2.(1) ab (2) a=b (3) 2 2 2 【做一做 2】 8 a+b 1.应用基本不等式 ab≤ 求最值的条件 2 a+b 剖析:应用基本不等式 ab≤ 求最值的条件是一正二定三相等,具体如下: 2 一正:a,b 都是正实数,即所求最值的代数式中的各项必须都是正数,否则就会得出 1 1 错误的答案.例如,当 x<0 时,函数 f(x)=x+ ≥2 x× =2,所以函数 f(x)的最小值是 2. x x 1 5 由于 f(-2)=-2+ =- <2,那么显然这是一个错误的答案.其原因是当 x<0 时,不 2 -2 1 能直接用基本不等式求 f(x)=x+ 的最值.因此,利用基本不等式求最值时,首先确定所求 x 1 最值的代数式中的各项是否都是正数.其实,当 x<0 时,-x>0,则 f(-x)=-x+?-x? ? ? ? 1 ?=2,此时有 f(x)≤-2.由此看,所求最值的代数式中的各项不都是正数时, ≥2 (-x)× ?-x? 要利用变形,先转化为各项都是正数的代数式,再求最值. 二定:ab 与 a+b 有一个是定值.即当 ab 是定值时,可以求 a+b 的最值;当 a+b 是 定值时,可以求 ab 的最值.如果 ab 和 a+b 都不是定值,那么就会得出错误的答案,陷入 1 x x 困境.例如,当 x>1 时,函数 f(x)=x+ ≥2 ,所以函数 f(x)的最小值是 2 . x-1 x-1 x-1 x 由于 2 是一个与 x 有关的代数式,显然这是一个错误的答案.其原因是没有掌握基 x-1 本

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