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2015年4月2015届高三第三次全国大联考(新课标2卷)理数卷(正式考试版)


… …… …○ …… …… 外… …… …○ …… …… 装… …… …○ …… …… 订… …… …○ …… …… 线… …… …○…………

… …… …○ …… …… 内… …… …○ …… …… 装… …… …○ …… …… 订… …… …○ …… …… 线… …… …○…………

绝密★启用前

图,则最长的一

条侧棱的长度(单位: cm )是( A. 29 B. 5 C. 13

) D. 2 2

【学科网学易大联考】2015 年第三次全国大联考【新课标Ⅱ 】 理科数学试卷
考试范围:高考全部内容;考试时间:120 分钟;命题人:学科网大联考命题中心 注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。满分 150 分,考试时间 120 分钟. 2.答题前考生务必用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写好自己的姓名、班级、考号等信息. 3.考试作答时,请将答案正确填写在答题卡上。第一卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答 题卡上对应题目的答案标号涂黑; 第Ⅱ卷请用直径 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上 各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上作答无效 . ...........................

正视图

侧视图

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

俯视图

第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
2 1.已知集合 A ? x x( x ? 1) ? 0 , B ? {x | ( x ? 3)(2 x ? 1) ? 0} ,则 A ? B ? (

6.若执行右边的程序框图,输出 S 的值为 3 ,则判断框中应填入的条件是(



?

?



A. ??1,0? 2.设 z ? 1 ? i ,则 A. 1

B. ??1,0,1?

C. ?0,1?

D. ?

2 ? z 2 的模为( ) z
C. 3 D. 2

B. 2

3. 设函数 f ( x ) 和 g ( x) 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数, 且 f ( x) ? g ( x) ? sin x ? cos x ? 2 ,

3? 则 f ( ) 的值为( 4
A.

A. k ? 6 ?

B. k ? 7 ?

C. k ? 8?

D. k ? 9 ?



7.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 ,且 an ? an?1 ? 2n ,则数列 ?an ? 的前 20 项的和为(
C.



1 2

B. 2

2 3

D.

2 2


A. 210

B. 200
? ?

C. 190

D. 158

4.二项式 ( mx ? A. 2

n 6 ) 的展开式中,若常数项为 60,则 m 4 n 2 的值为( 2 x
C. 4 D. 6

8.已知函数 f ( x) ? sin(?x ? ? )? ? ? 0, ? ? 取得最大值,则 f ( A. ? 1


??

2? 时, f ( x ) ? 的最小正周期是 ? ,当 x ? 3 2?


B. 3

5? 5? ? x) ? f ( ? x) ? ( 24 24
C. 1 D. 2

5.如图,正方形网格纸上正方形小格的边长为 1(单位: cm ) ,图中粗线表示一个几何体的三视
第1页 共6页

B. 0

第2页 共6页

9.已知抛物线的方程为 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,准线为 l ,过点 F 的直线交抛物线于 A ,

15.设 ?ABC 内角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c ,且满足

c b 3 cos B ? cos C ? ,则 a a 5

B 两点,过点 A 作 l 的垂线,垂足为 E ,当 A 点坐标为 (3, y0 ) 时, ?AEF 为正三角形,则 p
的值为( A. 4 ) B.

t a nB ? t an C
16.设 F1 , F2 分别是椭圆



1 2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点,过 F1 的直线与椭圆交于 A, B 两点,且 a 2 b2

C. 2

D. 3

以 AB 为直径的圆过 F2 ,且 ?ABF2 ? 300 ,则椭圆的离心率为______.

骤.)
17. (本题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 满足 a1 ?

p1 : ?x, y ? D, ? 3x ? 2 y ? 4
y?2 p3 : ?x, y ? D, ?0 x?3
其中真命题是 ( A. p1 , p2 ) B. p1 , p3

p2 : ? x, y? , D ? 3 x? 2 y? 4
y?2 p4 : ?x, y ? D, ?0 x?3

an 1 , an ?1 ? . 2an ? 1 3

(Ⅰ )求证: ? C. p2 , p4 D. p3 , p4

?1 ? ? n ? 是等差数列; ? an ?
1 . 4

11.已知 O 半径为 1, PA、PB 分别为其两条切线,切点分别为 A、B ,则 PA ? PB 的最小值 为( ) B. 2 2 ? 3 C. 2 2 D. 2

(Ⅱ )证明: a12 ? a2 2 ? ??? ? an 2 ? 18. (本题满分 12 分)

A. 2 2 ? 1

如 图 , 已 知 四 边 形 ABCD 为 正 方 形 , EA ? 平 面 A B C D , CF ∥ EA , 且

x 12.设函数 y ? e ? 1 的图象与直线 y ?

1 的两交点横坐标分别为 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,与直线 m +1 1 y ? m 的两交点横坐标分别为 x3 , x4 ( x3 ? x4 ) ,若 m ? (0, ) ,则 ( x4 ? x1 ) ? ( x3 ? x2 ) 的取 2
) B. ( ??, ln )

EA ? 2 AB ? 2CF ? 2 .

值范围为( A. (??, 0)

3 5

C. (ln , 0)

3 5

D. (??, ?1) (Ⅰ )求证: BD ? EF ; (Ⅱ )求二面角 E ? BD ? F 的余弦值.

第Ⅱ 卷(共 90 分)

[来源:Z,xx,k.Co m]

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸 上)

(本题满分 12 分) 13. 已知等比数列 ?an ? 各项均为正数, 前 n 项和为 Sn , 则 S5 的值为_________. 19. a1 ? 1 , a2a4 ? 16 , 14.已知 f ( x) ? ax ? b ? 1 ,若 a , b 都是从区间 [0, 2] 任取的一个数,则 f (1) ? 0 成立的概率为 ______.
第3页 共6页 ◎

国务院总理李克强在 2015 年 4 月 14 日的经济形势座谈会上就“手机流量资费和网速”问题做 出重要指示,工信部回应,将加大今年宽带专项行动中“加快 4G 建设”、“大幅提升网速”等重 点工作的推进力度,为此某移动部门对部分 4G 手机用户每日使用流量(单位:M)进行统计,
第4页 共6页

※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 10.已知实数 x , y 满足平面区域 D : ? x ? 2 y ? 2 ? 0 ,给出下面 4 个命题: ?x ? y ? 2 ? 0 ?

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步

… …… …○ …… …… 外… …… …○ …… …… 装… …… …○ …… …… 订… …… …○ …… …… 线… …… …○…………

… …… …○ …… …… 内… …… …○ …… …… 装… …… …○ …… …… 订… …… …○ …… …… 线… …… …○…………

… …… …○ …… …… 外… …… …○ …… …… 装… …… …○ …… …… 订… …… …○ …… …… 线… …… …○…………

… …… …○ …… …… 内… …… …○ …… …… 装… …… …○ …… …… 订… …… …○ …… …… 线… …… …○…………

得到如下记录: 流 量

0? x?5

5 ? x ? 10

10 ? x ? 15 15 ? x ? 20 20 ? x ? 25 x ? 25

(x) 频率 0.05 0.25 0.30 0.25 0.15 0 (Ⅰ )求证: AC ? 2 AB ; (Ⅱ )求 AD ? DE 的值. 23. (本题满分 10 分) 已知曲线 C1 :

将手机日使用流量统计到各组的频率视为概率,并假设每天手机日使用流量相互独立. (Ⅰ )求某人在未来连续 4 天里,有连续 3 天的手机日使用流量都不低于 15M,且另 1 天的手机 日使用流量低于 5M 的概率; (Ⅱ )用 X 表示某人在未来 3 天时间里手机日使用流量不低于 15M 的天数,求 X 的分布列和 期望. 20. (本题满分 12 分)

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

1 1 x2 y 2 ? ? 1 ,将曲线 C1 每一点的横坐标缩短为 倍,纵坐标缩短为原来的 2 3 4 9

3 ?1 3 3 x2 y 2 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 经过点 P(1, ) ,且 P 与右焦点 F2 关于点 ( , ) 对称. 2 a b 2 4
(Ⅰ )求椭圆 C 的方程; (Ⅱ ) A 是椭圆 C 与 y 轴正半轴的交点, 椭圆 C 上是否存在两点 M 、 N ,使得 AM ? AN ,

倍,得曲线 C .以坐标原点 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方 程是 ? ?

6 . 2 cos ? ? sin ?

(I)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的直角坐标方程; (II)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30 ? 的直线,交 l 于点 A , PA 的最大值与最小值. 24. (本题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ?| x ? 2 | ? | 2 x ? a |, a ? R . (Ⅰ )当 a ? 3 时,解不等式 f ( x) ? 0 ; (Ⅱ )若不等式 f ( x) ? 0 的解集包含 (??, 2) ,求 a 的取值范围.

AM ? AN ? 0 ?若存在,请说明有几个;若不存在,请说明理由.
21. (本题满分 12 分) 已知实数 a ? 0 ,函数 f ( x) ? a( x ? 2)2 ? ln x . (Ⅰ )当 a ? 1 时,讨论函数 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ ) ? x ?[2, ??) 时, f ( x) ? x ? 4a ?

1 恒成立,求实数 a 的取值范围. 4a

请考生在第(22),(23),(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑 22. (本题满分 10 分)

?ABC 内接于直径为 BC 的圆 O , ?BAC 如图, 过点 A 作圆 O 的切线交 CB 的延长线于点 P ,
的平分线分别交 BC 和圆 O 于点 D、E ,若 PA ? 2 PB ? 10 .

第5页 共6页



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