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3.1直线的倾斜角与斜率课件


3 .1
3 .1 .1

直线的倾斜角与斜率
倾斜角与斜率

问题提出

? 1 ? 5730 p?? ? ?2?

t

1.在平面直角坐标系中,一次函数 y=kx+b的图象是什么?其中k,b的几 何意义如何? 2.在平面直角坐标系中,经过一点P 可以作无

数条直线,如何区别这些 直线的不同位置?

知识探究(一):直线的倾斜角

思考1:在直角坐标系中,下图中的四 条直线在位置上有什么联系和区别?
y P
o

x

思考2:在直角坐标系中,任何一条 直线与x轴都有一个相对倾斜度,可 以用一个什么几何量来反映一条直 线与x轴的相对倾斜程度呢?
y

o

x

思考3:当直线l与x轴相交时,取x轴 作为基准,x轴正向与直线l向上方 向之间所成的角α 叫做直线l的倾斜 角.
y

o

x

下列各图中标出的角α 是直线的倾 斜角吗?
y o y y α x oα x y o α x

α x
o

思考4:下图中直线l1,l2,l3的倾斜角 大致是一个什么范围内的角?
y l3

l1

l2

o

x

思考5:特别地,当直线l与x轴平行或 重合时,规定它的倾斜角为0°,那么 直线的倾斜角的取值范围是什么? 0°≤α <180°

思考6:任何一条直线都有倾斜角吗? 不同的直线其倾斜角一定不相同吗?

知识探究(二):直线的斜率

思考1:函数 y ? x, y ? 3x 的图象是 直线,这两条直线的倾斜角分别是 多少?
y

y=x

y

y ? 3x

o

x

o

x

思考2:上述两条直线的倾斜角分别 与x的系数有什么关系?

思考3:初中学过的“坡度(比)”是 什么含义?它能否表示直线的倾斜程 度?它与这条直线的倾斜角之间有什 么关系?

升高量 坡度(比)= 前进量
α 前进量

升 高 量

思考4:我们把一条直线的倾斜角α 的 正切值叫做这条直线的斜率.常用小 写字母k表示,即k=tanα ,那么任何 一条直线都有斜率吗?
0 倾斜角是90 的直线(垂直与x轴的

直线)没有斜率.

思考5:当倾斜角α 600时,这条直线的斜率分别等于多 少?
0 0 0 =0 ,30 ,45 ,

思考6:当α 是锐角时,有 tan(1800-α )=-tanα . 那么当 倾斜角α =1200,1350,1500时,这 条直线的斜率分别等于多少?

思考7:倾斜角为锐角、钝角的直线的 斜率的取值范围分别是什么?一般地, 直线的斜率的取值范围是什么?

倾斜角为锐角时,k>0; 倾斜角为钝角时,k<0; 倾斜角为00时,k=0.
思考8:斜率相等的直线其倾斜角相 等吗?斜率大的直线其倾斜角也大 吗?

知识探究(三):直线的斜率公式

思考1:在直角坐标系中,经过两点 A(2,4)、B(-1,3)的直线有 几条?直线AB的斜率是多少?
y B α α C o

A

x

思考2:一般地,已知直线上的两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),且直 线P1P2与x轴不垂直,即x1≠x2,直 线P1P2的斜率是什么?
y P2 y P2

P1 α α o

Q
x
y 2 ? y1 k? (x1 ? x 2 ) x 2 ? x1

θ Q o

P1

α

x

思考3:当直线P1P2平行于x轴或与x轴 重合时,上述公式还适用吗?为什 么?

思考4:当直线P1P2平行于y轴或与y轴 重合时,上述公式还适用吗?为什 么?

思考5:经过点A(a,b)、B(m,n) (a≠m)的直线的斜率是什么?

kAB ? kAC

b?n n?b k? ? a?m m?a

思考6:对于三个不同的点A,B,C, 若 k AB ? k AC,则这三点的位置关系如 何?

理论迁移

例1 已知点A(3,2),B(-4, 1),C(0,-l),求直线AB,BC, CA的斜率,并判断这些直线的倾斜 角是锐角还是钝角.

例2 在平面直角坐标系中,画出 经过原点且斜率分别为l,-1,2 及-3的直线l1,l2,l3及l4.
l4
l2 y

l3

l1

o

x

作业: P86练习:2,3,4. P89习题3.1A组:3,4,5. P90习题3.1B组:5,6.

3.1

直线的倾斜角与斜率

3.1.2

两条直线平行与垂直的判定

问题提出

? 1 ? 5730 p?? ? ?2?

t

1.直线的倾斜角和斜率的含义分别 是什么?经过两点的直线的斜率公 式是什么? x轴正向与直线l向上方向之间所成的 角α叫做直线l的倾斜角. 直线的倾斜角α的正切值叫做这条直 线的斜率. y 2 ? y1
k? x 2 ? x1 (x1 ? x 2 )

? 1 ? 5730 p?? ? ?2?

t

2.在平面直角坐标系中,平行与垂 直是两条不同直线的两种特殊位置 关系,我们设想通过直线的斜率来 判定这两种位置关系.

知识探究(一):两条直线平行的判定

思考1:在平面直角坐标系中,已知 0 一条直线的倾斜角为40 ,那么这条 直线的位置是否确定?

思考2:若两条不同直线的倾斜角相 等,这两条直线的位置关系如何? 反之成立吗?
y l1 α O
1

l2 α
2

x

思考3:如果α 1=α 2,那么tanα 1= tanα 2成立吗?反之成立吗?

思考4:若两条不同直线的斜率相等, 这两条直线的位置关系如何?反之 成立吗?

思考5:对于两条不重合的直线l1和l2, 其斜率分别为k1,k2,根据上述分析 可得什么结论?

l1 // l2 ? k1 ? k2
思考6:对任意两条直线,如果它们 的斜率相等,这两条直线一定平行 吗?

知识探究(二):两条直线垂直的判定

思考1:如果两直线垂直,这两条直线 的倾斜角可能相等吗?
y

思考2:如图,设直线 l1与l2的倾斜角分别为 α 1与α 2,且α 1<α 2, O 若l1⊥l2,则α 1与α 2 之间有什么关系?

l2 α
1

l1

α

2

x

思考3:已知 tan(900+α)= -

1 , tan ?

据此,你能得出直线l1与l2的斜率k1、 k2之间的关系吗?

思考4:反过来,当k1·k2 =-1时,直 线l1与l2一定垂直吗?

思考5:对于直线l1和l2,其斜率分别 为k1,k2,根据上述分析可得什么结 论?
kAB ? kAC

l1 ? l2 ? k1 ? k2 ? ?1

思考6:对任意两条直线,如果l1⊥l2, 一定有k1·k2 =-1吗?

理论迁移

例1 已知A、B、C、D四点的坐标, 试判断直线AB与CD的位置关系. (1)A(2,3), B(-4,0), C(-3,l), D(-l,2); (2)A(-6,0),B(3,6), C(0,3), D(6,-6)

例2 已知四边形ABCD的四个顶点 分别为A(0,0),B(2,-1), C(4,2),D(2,3),试判断四 边形ABCD的形状,并给出证明.
y D C

A o

B

x

例3 已知A(5,-1),B(1,1), C(2,3),试判断△ABC的形状.
y C

B
o A x

例4 已知点A(m,1),B(-3,4), C(1,m),D(-1,m+1),分别 在下列条件下求实数m的值: (1)直线AB与CD平行; (2)直线AB与CD垂直.

作业: P89练习:1,2. P90习题3.1 A组:8. B组:3,4.


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