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必修4学案


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目录
第一章
1.1.1 1.1.2 1.2.1 1.2.1 1.2.2 1.2.2 1.2.3 1.2.3 1.2.3 1.3.1 1.3.2 1.3.2 1.3.2 1.3.3 1.3.3 1.3.4

三角函数
任意角 ??????????????????????????????1 弧度角 ??????????????????????????????5 任意角的三角函数(1) ????????????????????????8 任意角的三角函数(2) ????????????????????????12 同角三角函数的关系(1) ???????????????????????15 同角三角函数的关系(2) ???????????????????????17 三角函数的诱导公式(1) ???????????????????????19 三角函数的诱导公式(2) ???????????????????????22 三角函数的诱导公式(3) ???????????????????????25 三角函数的周期性 ?????????????????????????27 三角函数的图象和性质(1) ??????????????????????30 三角函数的图象和性质(2) ??????????????????????33 三角函数的图象和性质(3) ??????????????????????36 函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象(1) ??????????????????38 函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象(2) ??????????????????41 三角函数的应用???????????????????????????44 ???????????????????????????46

三角函数复习与小结

第二章
2.1 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.2 2.4.1 2.4.1

平面的向量
向量的概念及表示??????????????????????????49 向量的加法?????????????????????????????52 向量的减法?????????????????????????????55 向量的数乘(1) ???????????????????????????58 向量的数乘(2) ???????????????????????????62 平面向量的基本定理 ????????????????????????65 向量的坐标表示(1) ????????????????????????68 向量的坐标表示(2) ????????????????????????70 向量的数量积(1) ?????????????????????????72 向量的数量积(2) ?????????????????????????75

第三章
3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.2.1 3.2.1

三角恒等变换
两角和与差的余弦公式 两角和与差的正弦公式 两角和与差的正切公式 二倍角的三角函数(1) 二倍角的三角函数(2) ???????????????????????77 ???????????????????????81 ???????????????????????85 ???????????????????????88 ???????????????????????92

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第一章 三角函数 1.1.1 任意角

【学习目标】 1. 了解任意角的概念;正确理解正角、零角、负角的概念 2. 正确理解终边相同的角的概念,并能判断其为第几象限角,熟悉掌握终边相同的角的集 合表示 【学习重点、难点】 用集合与符号语言正确表示终边相同的角 【自主学习】 一、复习引入 问题 1:回忆初中我们是如何定义一个角的? ______________________________________________________ 所学的角的范围是什么? ______________________________________________________ 问题 2:在体操、跳水中,有“转体 720 ”这样的动作名词,这里的“ 720 ” ,怎么刻画? ______________________________________________________ 二、建构数学 1.角的概念 角可以看成平面内一条______绕着它的_____从一个位置_____到另一个位置所形成的图形。 射线的端点称为角的________,射线旋转的开始位置和终止位置称为角的______和______。
0 0

2.角的分类 按__________方向旋转形成的角叫做正角, 按顺时针方向旋转形成的角叫做_________。 如果一条射线没有作任何旋转, 我们称它形成了一个_________, 它的______和_______重合。 这样,我们就把角的概念推广到了_______,包括_______、________和________。

3. 终边相同的角 所有与角α 终边相同的角,连同角α 在内,可构成一个_________,即任一与角α 终边相同 的角,都可以表示成 。

4.象限角、轴线角的概念 我们常在 直角坐标系 内讨论角。为了讨论问题的方便,使角的________与__________ 重合, 角的___________与_______________________重合。 那么, 角的_________(除端点外) 落在第几象限,我们就说这个角是__________________。 如果角的终边落在坐标轴上,则称这个角为____________________。

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象限角的集合 (1)第一象限角的集合:_______________________________________ (2)第二象限角的集合:_______________________________________ (3)第三象限角的集合:_______________________________________ (4)第四象限角的集合:_______________________________________ 轴线角的集合 (1)终边在 x 轴正半轴的角的集合:_______________________________________ (2)终边在 x 轴负半轴的角的集合:_______________________________________ (3)终边在 y 轴正半轴的角的集合:_______________________________________ (4)终边在 y 轴负半轴的角的集合:_______________________________________ (5)终边在 x 轴上的角的集合:_______________________________________ (6)终边在 y 轴上的角的集合:_______________________________________ (7)终边在坐标轴上的角的集合:_______________________________________ 三、课前练习 在直角坐标系中画出下列各角,并说出这个角是第几象限角。

300 ,1500 , ?600 ,3900 , ?3900 , ?1200

【典型例题】 例 1 (1)钟表经过 10 分钟,时针和分针分别转了多少度? (2)若将钟表拨慢了 10 分钟,则时针和分针分别转了多少度?

例 2 在 0 到360 的范围内, 找出与下列各角终边相同的角, 并分别判断它们是第几象限角。 (1) 650
0

0

0

(2) ? 150

0

(3) ? 240

0

(4) ? 990 15
0

'

例 3 已知 ?与240 角的终边相同,判断
0

? 是第几象限角。 2

例 4 写出终边落在第一、三象限的角的集合。

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例 5 写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合(包括边界)

(1)

(2)

(3)

【拓展延伸】 已知角 ? 是第二象限角,试判断

? 为第几象限角? 2

【巩固练习】 1、设 ? ? ?60 ,则与角 ? 终边相同的角的集合可以表示为___________________.
0

2、把下列各角化成 ? ? k ? 360 (0 ? ? ? 360 , k ? Z ) 的形式,并指出它们是第几象限的
0 0 0

角。 (1) 1200
0

(2) ? 55

0

(3) 1563

0

(4) ? 1590

0

3 、 终 边 在 y 轴 上 的 角 的 集 合 _______________; 终 边 在 直 线 y ? x 上 的 角 的 集 合 ________________;终边在四个象限角平分线上的角的集合_________________________. 4、 终边在 30 角终边的反向延长线上的角的集合___________________________.
0 5、 若角 ? 的终边与 45 角的终边关于原点对称,则 ? ? __________ _ ;若角 ? , ? 的终边 0

__ 。 关于直线 x ? y ? 0 对称,且 ? ? ?60 ,则 ? ? __________
0

6、 集合 A ? {? | ? ? k ? 90 ? 36 , k ? Z} ,
0 0

. B ? {? | ?1800 ? ? ? 1800 } ,则 A ? B ? _________

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7、若

? 是第一象限角,则 ? 的终边在_______________________________ 2

【课后训练】 1、 分针走 10 分钟所转过的角度为___________;时针转过的角度为____________. 2、若 900 ? ? ? ? ? 1350 ,则 ? ? ? 的范围是_________, ? ? ? 的范围是________. 3、 (1)与 ? 35 30' 终边相同的最小正角是________;
0

(2)与 715 终边相同的最大负角是_______________; (3)与 1000 终边相同且绝对值最小的角是__________; (4)与 ? 1778 终边相同且绝对值最小的角是___________.
0 0

0

4、与 ? 15 终边相同的在 ? 10800 ? ? ? ?3600 之间的角 ? 为_______________________.
0

5、已知角 ? , ? 的终边相同,则 ? ? ? 的终边在___________________________. 6、若 ? 是第四象限角,则 1800 ? ? 是第_____象限角; 1800 ? ? 是第____象限角。 7、若集合 A ? {? | k ? 1800 ? 300 ? ? ? k ? 1800 ? 900 , k ? Z} , 集合 B ? {? | k ? 360 ? 45 ? ? ? k ? 360 ? 45 , k ? Z} ,
0 0 0 0

___. 则 A ? B ? __________
8、已知集合 M ? {锐角 (1) } , N ? {小于90 的角 } ,下列说法: } , P ? {第一象限的角
0

P? N, ( M ? N ) ? P 其中正确的是____________. (2)N ? P ? M , (3)M ? P , (4)
9、角 ? 小于 180 而大于 ? 180 ,它的 7 倍角的终边又与自身终边重合,求角 ? 。
0 0

10、已知 ? 与 60 角的终边相同,分别判断
0

?
2

,2? 是第几象限角。

【课堂小结】

【布置作业】

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1.1.2 弧度制
【学习目标】 3. 理解弧度制的意义,能正确地进行弧度与角度的换算,熟记特殊角的弧度数 4. 掌握弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式,会利用弧度制解决某些简单的实际问题 5. 了解角的集合与实数集之间可以建立起一一对应的关系 【学习重点、难点】 弧度的概念,弧度与角度换算 【自主学习】 一、复习引入 请同学们回忆一下初中所学的 1 的角是如何定义的?
0

二、建构数学 1.弧度制 角还可以用__________为单位进行度量, ___________________________________叫做 1 弧度的角, 用符号_____表示, 读作________。 2.弧度数:正角的弧度数为_________,负角的弧度数为_________,零角的弧度数为_____ 如果半径为 r 的圆心角所对的弧的长为 1,那么,角α 的弧度数的绝对值是_________。 这里,α 的正负由____________________________________决定。 3.角度制与弧度制相互换算 360°=_________rad 180°=_________rad 1°=_________rad 1 rad=_________°≈ _________°

4. 角的概念推广后,在弧度制下, ________________与______________之间建立起一一对应 的关系:每个角都有唯一的一个实数(即_______________)与它对应;反过来,每一个实数 也都有________________(即_______________)与它对应。 5.弧度制下的弧长公式和扇形面积公式: 角 ? 的弧度数的绝对值 | ? |? ______________ ( l 为弧长, r 为半径) 弧长公式:____________________________ 扇形面积公式:____________________________ 【典型例题】 例 1.把下列各角从弧度化为度。 (1)

3? 5

(2)

? 12

(3) ?

5? 6

(4) 2

(5) 3.5

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例 2.把下列各角从度化为弧度。 (1) ? 750
0

(2) ? 1440

0

(3) 67 30

0

'

(4) 252

0

(5) 11 15'

0

例 3. (1)已知扇形的周长为 8cm ,圆心角为 2 rad ,求该扇形的面积。 (2)已知扇形周长为 4cm ,求扇形面积的最大值,并求此时圆心角的弧度数。

例 4.已知一扇形周长为 C ( C ? 0 ) ,当扇形圆心角为何值时,它的面积最大?并求出最 大面积。

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【巩固练习】 1、特殊角的度数与弧度数的对应。 度数 弧度数 2、若角 ? ? 3 ,则角 ? 的终边在第____象限;若 ? ? ?6 ,则角 ? 的终边在第___象限。 3、将下列各角化成 ? ? 2k? , (0 ? ? ? 2? ) , k ? Z 的形式,并指出第几象限角。 (1) ? ?

19? 3

(2) ? ? ?315

0

(3) ? ?

22? 3

(4) ? ?

23? 2

4、圆的半径为 10 ,则 2 的圆心角所对的弧长为______;扇形的面积为________。 5、用弧度制表示下列角终边的集合。 (1)轴线角 (2)角平分线上的角 (3)直线 y ? 3x 上的角

6、若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长,那么该圆弧的圆心角等于_____。

【课堂小结】

【布置作业】

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2.2.2 任意角的三角函数(1)
【学习目标】 6. 掌握任意角三角函数的定义,并能借助单位圆理解任意角三角函数的定义 7. 会用三角函数线表示任意角三角函数的值 8. 掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号 【学习重点、难点】 任意角的正弦、余弦、正切的定义 【自主学习】 一、复习旧知,导入新课 在初中,我们已经学过锐角三角函数:

角的范围已经推广,那么对任意角 ? 是否也能定义其三角函数呢?

二、建构数学 1.在平面直角坐标系中,设点 P 是角 ? 终边上任意一点,坐标为 P( x, y) ,它与原点的距离

| OP |? x 2 ? y 2 ? r ,一般地,我们规定:
⑴比值___________叫做 ? 的正弦,记作___________,即___________=___________; ⑵比值___________叫做 ? 的余弦,记作___________,即___________=___________; ⑶比值___________叫做 ? 的正切,记作___________,即___________=___________. 2. 当

? =___________________ 时 , ? 的 终 边 在 y 轴 上 , 这 时 点 P 的 横 坐 标 等 于

____________, 所以 _____________ 无意义 . 除此之外 , 对于确定的角 ? , 上面三个值都是 ______________.所以, 正弦、 余弦、 正切都是以_________为自变量,以__________为函数 值的函数,我们将它们统称为___________________. 3. 由于________________________ 与 ________________________之间可以建立一一对应关 系,三角函数可以看成是自变量为_________________的函数. 4.其中, y ? sin x 和 y ? cos x 的定义域分别是________________; 而 y ? tan x 的定义域是__________________.
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5.根据任意角的三角函数定义将这三种函数的值在各象限的符号填入括号。

y ? sin ?

y ? cos ?

y ? tan ?

【典型例题】 例 1.已知角 ? 的终边经过点 P ? 4, ?3? ,求 ? 的正弦、余弦、正切的值。

变题 1 已知角 ? 的终边经过点 P ? 4a, ?3a ?? a ? 0? ,求 ? 的正弦、余弦、正切的值。

变题 2 已知角 ? 的终边经过点 P?? x,?6? ,且 cos ? ? ?

5 ,求 x 的值 13

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例 2.已知角 ? 的终边在直线 y ? ?3x 上,求 ? 的正弦、余弦、正切的值

例 3.确定下列三角函数值的符号: (1) cos

7 11 ? (2) sin ? 465? (3) tan ? (4) sin 3 ? cos 4 ? tan 5 12 3

?

?

cos B ? 0 ,判断三角的形状。 例 4.若 ?ABC 两内角 A 、 B 满足 sin A?

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【巩固练习】 1、已知角α 的终边过点 P(-1,2),cos ? 的值为 2、α 是第四象限角,则下列数值中一定是正值的是 A.sin ? 3、填表: ? 弧度
sin ?

B.cos ? C.tan ?

D.

1 tan ?

0?

30?

45?

60?

90?

120?

135?

150?

180?

270?

360?

cos?

tan ?

4、已知角 ? 的终边过点 P(4a,-3a) (a<0),则 2sin ? +cos

? 的值是

5、若点 P(-3,y)是角 ? 终边上一点,且 sin ? ? ?

2 ,则y的值是 3

6、 P (x, ? 是第二象限角,

5 ) 为其终边上一点, 且 cos ? =

2 x, 则 sin ? 的值为_______ 4

【课堂小结】

【布置作业】

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1.2.1 任意角的三角函数(2)
【学习目标】 1、掌握任意角三角函数的定义,并能借助单位圆理解任意角三角函数的定义 2、会用三角函数线表示任意角三角函数的值 3、掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号 【学习重点、难点】 会用三角函数线表示任意角三角函数的值 【自主学习】 一、复习回顾 1.单位圆的概念:在平面直角坐标系中,以________为圆心,以_______为半径的圆。 2.有向线段的概念:把规定了正方向的直线称为___________________; 规定了___________(即规定了起点和终点)的线段称为有向线段。 3.有向线段的数量:若有向线段 AB 在有向直线 l 上或与有向直线 l _____________,根据 有向线段 AB 与有向直线 l 的方向_____________或_____________,分别把它的长度添 上______或_______,这样所得的__________叫做有向线段的数量。 4.三角函数线的定义: 设任意角 ? 的顶点在原点 O ,始边与 x 轴非负半轴重合,终边与单位圆相交于点 P( x, y) ,

过点 P 作 x 轴的垂线,垂足为 M ;过点 A(1, 0) 作单位圆的切线,设它与 ? 的终边 (当 ? 为第_______象限角时)或其反向延长线(当 ? 为第______象限角时)相 交于点 T 。根据三角函数的定义: sin? ? y ? ________ ; cos? ? x ? _______ ;

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tan ? ?

y ? __________。 x

【典型例题】 例 1.作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线:

?1? ?

3

?2 ? 5 ?
6

?3? ? 2 ?
3

?4? ? ?

6

例 2.利用三角函数线比较大小

?1?sin 30? ______ sin 150? :
?3? cos 2 ? ______ cos 4 ? ;
3 5

?2?sin 25? ______ sin 150? :
?4? tan 2 ? ______ tan 2 ?
3 3

例 3.解下列三角方程

?1?sin x ?

3 2

?2 ? c o sx ? 1

2

?3? t a n x ?1

变题 1.解下列三角不等式 ?1?sin x ?

3 2

?2 ? c o sx ? 1

2

?3? t a n x ?1

变题 2.求函数 y ? lg?2 sin x ? 1? ? 1 ? 2 cos x 的定义域.

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【巩固练习】 1.作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线

?1? ? 11 ?
6

?2 ? 2 ?
3

2.利用余弦线比较 cos 64? ,cos 285? 的大小;

3.若

?
4

?? ?

?
2

,则比较 sin ? 、 cos ? 、 tan ? 的大小;

4.分别根据下列条件,写出角 ? 的取值范围: (1) cos? ?

3 ; 2

(2) tan ? ? ?1 ;

(3) sin ? ? ?

3 2

5.当角 ? , ? 满足什么条件时,有 sin ? ? sin ?

6.若 cos? ?

3 3 , sin ? ? ? ,写出角 ? 的取值范围。 2 2

【课堂小结】

【布置作业】

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1.2.2 同角三角函数的关系(1)
【学习目标】 1、 掌握同角三角函数的两个基本关系式 2、 能准确应用同角三角函数关系进行化简、求值 3、 对于同角三角函数来说,认清什么叫“同角” ,学会运用整体观点看待角 4、 结合三角函数值的符号问题,求三角函数值 【重点难点】同角三角函数的两个基本关系式和应用 【自主学习】 一、数学建构: 同角三角函数的两个基本关系式:_______________________________________; _______________________________________. 二、课前预习: 1、 cos ? ?

4 , ? ? (0, ? ) ,则 tan ? 的值等于 5

2、化简: cos ? tan ? ? 【典型例题】 例1、 已知 sin ? ?

1 ,并且 ? 是第二象限角,求 cos ? , tan ? 的值 2

变:已知 sin ? ?

1 ,求 cos ? , tan ? 的值 2

例 2、已知 tan ? ?

12 ,求 sin ? , cos? 的值. 5

解题回顾与反思:通过以上两个例题,你能简单归纳一下对于 sin ? , cos? 和 tan ? 的“知 一求二”问题的解题方法吗?

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例 2、化简 (1) 1 ? sin 2 440? .

(2) 1 ? 2sin 40? cos 40? .

(3) tan?

1 ? 1 ( ? 是第二象限角) sin 2 ?

(4)

1 ? sin ? 1 ? sin ? ? 1 ? sin ? 1 ? sin ?

【课堂练习】 1、已知 cos ? ? ?

4 ,求 sin ? 和 tan ? 的值 5

2、化简 sin2 ? +sin2β -sin2 ? sin2β +cos2 ? cos2β =



3、若 ? 为二象限角,且 cos

?
2

? sin

?

? ? ? ? 1 ? 2 sin cos ,那么 是第几象限角。 2 2 2 2

【课堂小结】

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1.2.2 同角三角函数的关系(2)
【学习目标】 1、 能用同角三角函数关系解决简单的计算、化简与证明 2、 掌握“知一求二”的问题 【重点难点】 奇次式的处理方法和“知一求二”的问题 【自主学习】 一、 复习回顾: 1、 同角三角函数的两个基本关系式: 2、 sin ? ? cos? , sin ? ? cos? , sin ? cos? 有何关系?(用等式表示)

二、

课前练习

1、已知 sin ? ? cos ? ?

1 , 则 sin ? cos ? ? _________________________ 3
; sin ? ? .

2、若 tan? ? 15 ,则 cos? ? 【典型例题】 例1、 已知 tan? ? 3, 求下列各式的值

(1)

2 sin ? ? 3 cos ? 4 sin ? ? 9 cos ?

(2)

2 sin 2 ? ? 3 cos2 ? 4 sin 2 ? ? 9 cos2 ?

(3) 2 sin ? ? 3 cos ?
2 2

例 2、求证: (1)

sin ? 1 ? cos ? ? 1 ? cos ? sin ?

(2)

tan ? ? sin ? tan ? ? sin ? ? tan ? ? sin ? tan ? ? sin ?

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例 3、已知 0 ? ? ? ? , sin ? ? cos ? ?

1 ,求 tan ? 的值 5

k ?1 k ?1 , cos ? ? (k ? 3), k ?3 k ?3 tan ? ? 1 (1)求 k 的值; (2)求 的值 tan ? ? 1
例 4、若 sin ? ?

【课堂练习】 1、已知 0 ? ? ? ? , sinα cosα = ?

12 ,则 cosα -sinα 的值等于 25
5 ,则 sin ? cos ? ? 9
1 的值是 tan ?

2、已知 ? 是第三象限角,且 sin ? ? cos ? ?
4 4

3、如果角 ? 满足 sin ? ? cos? ?

2 ,那么 tan ? ?

4、若 sin? , cos? 是方程 4 x 2 ? 2mx ? m ? 0 的两根,则 m 的值为

5、 求证:

1 ? 2 sin ? cos ? tan ? ? 1 ? sin 2 ? ? cos 2 ? tan ? ? 1

【课堂小结】

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1.2.3 三角函数的诱导公式(1)
【学习目标】 1、 巩固理解三角函数线知识,并能用三角函数线推导诱导公式 2、 能正确运用诱导公式求出任意角的三角函数值 3、 能通过公式的运用,了解未知到已知、复杂到简单的转化过程 4、 准确记忆并理解诱导公式,灵活运用诱导公式求值 口诀:函数名不变,符号看象限 【重点难点】诱导公式的推导与运用 【自主学习】 1、 利用单位圆表示任意角 ? 的正弦值和余弦值: P( x, y) 为角 ? 的终边与单位圆的交点,

_,cos? ? __________ _ 则 sin ? ? __________

2、 诱导公式 由三角函数定义可以知道: (1) 终边相同的角的同一三角函数值相等。 公式一( ? ? 2k? ) :__________________________________________; __________________________________________; ___________________________________________. (2)当角 ? 的终边与角 ? 的终边关于 x 轴对称时, __________________ ? 与 ? 的关系为: 公式二( ) :__________________________________________; __________________________________________; ___________________________________________.

(3)当角 ? 的终边与角 ? 的终边关于 y 轴对称时, __________________ ? 与 ? 的关系为: 公式三( ) :__________________________________________; __________________________________________; ___________________________________________.

(4)当角 ? 的终边与角 ? 的终边关于原点对称时, _________________ ? 与 ? 的关系为: 公式四( ) :__________________________________________; __________________________________________; ___________________________________________.

思考:这四组公式可以用口诀“函数名不变,符号看象限”来记忆,如何理解这一口诀?

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【典型例题】 例 1、求下列三角函数值: (1) sin ? 240? ;

?

?

(2) cos? ?

? 11 ? ? ?; ? 4 ?

(3) tan ? 1560? .

?

?

例 2、化简:

cos 180? ? ? sin ? ? 360? sin ? ? ? 180? cos ? 180? ? ?

?

?

? ? ? ?

?

?

例 3、判断下列函数的奇偶性: (1) f ?x ? ? 1 ? cos x ; (3) f ( x) ? (2) g ?x ? ? x ? sin x .

sin x ? tan x x

(4) f ( x) ? 1 ? cos x ? cos x ? 1

例 4、求证

2 sin ?? ? ? ? cos?? ? ? ? ? 1 tan?5? ? ? ? ? 1 ? . ? tan?? ? ? ? 1 1 ? 2 sin 2 ?

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【课堂练习】 1、 求下列各式的的值 (1) sin( ?

31 ?) 4

(2) cos( ?

31 ?) 6

(3) tan( ?9450 )

2、 判断下列函数的奇偶性: (1) f ( x) ? sin x (2)) f ( x) ? sin x cos x

3、化简: sin( 2n? ?

2? 4? ) ? cos( n? ? ) 3 3

【课堂小结】

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1.2.3 三角函数的诱导公式(2)
【学习目标】 1、 能进一步运用诱导公式求出任意角的三角函数值 2、 能通过公式的运用,了解未知到已知、复杂到简单的转化过程 3、 进一步准确记忆并理解诱导公式,灵活运用诱导公式求值。 口诀:奇变偶不变,符号看象限 【重点难点】诱导公式的推导和应用 【自主学习】 1、复习四组诱导公式:函数名不变,符号看象限

2、已知: tan? ? 3, 求

2 cos(? ? ? ) ? 3 sin(? ? ? ) 的值 4 cos(?? ) ? sin(2? ? ? )

3、 若角 ? 的终边与角 ? 的终边关于直线 y=x 对称(如图) , (1) 角 ? 与角 ? 的正弦函数与余弦函数值之间有何关系? (2) 角 ? 与角 ? 有何关系? (3) 由(1) , (2)你能发现什么结论?

y
y=x 角β的终边 P M M'

x

P' 角α的终边

当角 ? 的终边与角 ? 的终边关于 y=x 对称时, ? 与 ? 的关系为:_________________ 公式五( ) :__________________________________________; __________________________________________; ___________________________________________.
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思考:若角 ? 的终边与角 ? 的终边关于直线 y ? ? x 对称,你能得到什么结论? 当角 ? 的终边与角 ? 的终边关于 y ? ? x 对称时, ? 与 ? 的关系为:_________________ 公式六( ) :__________________________________________; __________________________________________; ___________________________________________. 思考:这六组公式可以用口诀“奇变偶不变,符号看象限”来记忆,如何理解这一口诀?

【典型例题】 例1、 求证: sin ?

?3 ? ?3 ? ? ? ? ? ? ? cos? , cos? ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ? ?2 ?

例2、 化简: (1)

1 ? 2 sin 2800 cos 4400 sin 2600 ? cos8000
sin(2? ? ? ) cos(? ? 7? ) 2

(2)

tan( 3? ? ? ) ? 3? 3? sin(? ? ? ) sin( ? ? ) sin( ? ? ) cos(2? ? ? ) 2 2

例 3、已知 cos 75 ? ? ?
?

?

?

1 ? ? ? ,且 ? 180 ? ? ? ?90 ,求 cos 15 ? ? . 3

?

?

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【课堂练习】 1、 求证: cos?

?3 ? ?3 ? ? ? ? ? ? ? sin ? , sin? ? ? ? ? ? ? cos? . ?2 ? ?2 ?

2、 化简:

1
(1) 1 ? 2 sin 200 0 cos 160 0 cos 70 0 ? 1 ? sin 2 20 0

1 ? (2) 2 t an (?? )

? 3? sin( ? ? ) cos(? ? ) 2 2 t an( ? ??)

3、已知 cos( 75 ? ? ) ?
0

1 , ? 是第三象限角,求 cos( 1050 ? ? ) ? sin(? ? 1050 ) 的值 3

sin 4 x ? cos4 x ? 1 4、判断函数 f ( x ) ? 的奇偶性 3? 3? sin( ? x) cos( ? x) 2 2

5、求值: sin 1 ? sin 2 ? sin 3 ? ? ? sin 89 ? sin 90 .
2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ?

【课堂小结】

- 24 -

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1.2.3 三角函数的诱导公式(3)
【学习目标】 1、 能进一步运用诱导公式求出任意角的三角函数值 2、 能通过公式的运用,了解未知到已知、复杂到简单的转化过程 3、 进一步准确记忆并理解诱导公式,灵活运用诱导公式求值。 【重点难点】诱导公式的综合应用 【自主学习】 1、 sin 2 (? ? ? ) ? cos(? ? ? ) cos(?? ) ? 1 ? __________ __

2、若 sin( 540 ? ? ) ? ?
0

4 , 则 cos(? ? 2700 ) ? __________ __ 5

3、化简:

cos(? ? 4? ) cos 2 (? ? ? ) sin 2 (? ? 3? ) =______ sin(? ? 4? ) sin(5? ? ? ) cos 2 (?? ? ? )

___.

4、化简:

1 ? 2 sin 610? cos 430? =______ sin 250? ? cos790?

___.

【典型例题】 例1、 已知 sin ? x ?

? ?

??

1 ?5 ? ? 2?? ? ? ,求 sin? ? ? x ? ? sin ? ? x ? 的值. 6? 4 ?6 ? ?3 ?

例2、 已知 A,B,C 为 ?ABC 的三个内角,求证: sin

B?C A ? cos . 2 2

例3、 若 f (cosx) ? cos3x, 求满足 f (sin x) ? 1 时的 x 的值

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2? ? ? ) ? tan ? ? 0. 例 4、已知 sin(? ? ? ) ? 1,求证: tan(

【课堂练习】 1、若 sin(? ? ? ) ? 2 cos(2? ? ? ), 求

sin(? ? ? ) ? 5 cos(2? ? ? ) 的值 3 cos(? ? ? ) ? sin(?? )

2、在 ?ABC 中,若 sin( A ? B ? C ) ? sin( A ? B ? C ). 试判断 ?ABC 的形状。

2 2 3、已知 tan ? , cot ? 是关于 x 的方程 x ? kx ? k ? 3 ? 0 的两实根,且 3? ? ? ?

7? ,求 2

cos(3? ? ? ) ? sin(? ? ? ) 的值

4、已知 ? 是第三象限角,且 f (? ) ? (1) 化简 f (? )

sin(? ? ? ) cos(2? ? ? ) tan(?? ? ? ) tan( ? ? ? ) ? sin(?? ? ? )
3? 1 ) ? , 求 f (? ) 的值 2 5

(2)若 cos( ? ?

0 (2) 若 ? ? 1860 , 求 f (? ) 的值

【课堂小结】

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1.3.1 三角函数的周期性
【学习目标】 1、 理解三角函数的周期性的概念; 2、 理解三角函数的周期性与函数的奇偶性之间的关系; 3、 会求三角函数的最小正周期,提高观察、抽象的能力。 【重点难点】 函数周期性的概念;三角函数的周期公式 一、预习指导 1、 对于函数 f ( x ) ,如果存在一个___________ T ,使得定义域内___________ x 的值,都 满足_______________,那么函数 f ( x ) 叫做___________, T 叫做这个函数的_________。 思考:一个周期函数的周期有多少个?周期函数的图象具有什么特征?

2、 对于一个周期函数 f ( x ) ,如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小 的正数就叫做 f ( x ) 的_____________。 (注:今后研究函数周期时,如果不加特别说明,一 般都是指函数的最小正周期) 思考:是否所有的周期函数都有最小正周期?

3、 y ? A sin(? x ? ? ) ? b 及 y ? A cos(? x ? ? ) ? b( A ? 0, ? ? 0 )型的三角函数的周期公 式为_______________________。 二、典型例题 例 1、若摆钟的高度 h(mm)与时间 t (s) 之间的函数关 系如图所示。 (1)求该函数的周期; (2)求 t =10s 时摆钟的高度。

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例 2、求下列函数的周期: (1) y ? cos 2 x (2) y ? sin

1 x 2

(3) y ? 2sin( x ?

1 3

?
6

)

例 3、若函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) , x ? R (其中 ? ? 0,| ? |?

?
2

)的最小正周期是 ? ,且

f (0) ? 3 ,求 ? , ? 的值。

例 4、已知函数 y ? f ( x), x ? R ,满足 f ( x ? 2) ? ? f ( x) 对一切 x ? R 都成立,求证:4 是

f ( x) 的一个周期。

三、课堂练习 1、 求下列函数的周期: (1) y ? 2cos3x (2) y ? sin

x 3

2、 若函数 f ( x) ? sin(kx ?

?
5

) 的最小正周期为

2? ,求正数 k 的值。 3

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3、 若弹簧振子对平衡位置的位移 x (cm) 与时 间 t ( s ) 之间的函数关系如图所示: (1)求该函数的周期; (2) 求 t = 10.5 s 时弹簧振子对平衡位置的位 移。

四、拓展延伸 1、 已知函数 f ( x) ? sin(

kx ? ? ) ,其中 k ? 0 ,当自变量 x 在任何两整数间(包括整数本 10 3 身)变化时,至少含有一个周期,则最小的正整数 k 为_______________。

* 2、已知函数 f ( x), x ? N , f (1) ? 1, f (2) ? 6, f (n ? 2) ? f (n ? 1) ? f (n) ,求 f (100) 。

【课堂小结】

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1.3.2 三角函数的图象与性质(1)
【学习目标】 1、能借助正弦线画出正弦函数的图象,并在此基础上由平移正弦曲线的方法画出余弦函数 的图象; 2、会用五点法画出正弦曲线和余弦曲线在一个周期上的草图; 3、借助图象理解并运用正、余弦函数的定义域和值域。 【重点难点】 五点法作正、余弦函数的图象;正、余弦函数的定义域和值域。 一、预习指导 (一) 平移正弦线画出正弦函数的图象:

1、 在单位圆中,作出对应于

? ??
6 3 2 ,

, …,

11? 的角及对应的正弦线; 6

2、 作出 y ? sin x 在 [0, 2? ] 区间上的图象: (1)平移正弦线到相应的位置; (2)连线 3、 作出 y ? sin x 在 R 上的图象 (二) 用五点法画出正弦函数在 [0, 2? ] 区间上的简图

x
y ? sin x

0

? 2

?

3? 2

2?

(三) 平移正弦曲线的方法画出余弦函数的图象: 思考:1、 y ? sin x, y ? cos x 的图象有什么关系?为什么?

2、由 y ? sin x 的图象怎样作出 y ? cos x 的图象?请在下图中画出 y ? cos x 的图象。

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(四)用五点法画出余弦函数在 [0, 2? ] 区间上的简图

x
y ? cos x

0

? 2

?

3? 2

2?

(四) 仔细观察正弦曲线和余弦曲线,总结正弦函数与余弦函数的性质: (1)定义域: (2)值域: 对于 y ? sin x :当且仅当 x ? 当且仅当 x ? 对于 y ? cos x ;当且仅当 x ? 当且仅当 x ? 二、典型例题 例1、 画出下列两组函数的简图: (1) y ? cos x, x ? R ; (2) y ? sin x, x ? R ; 时, ymax ? 时, ymin ? 时, ymax ? 时, ymin ?

; ; ; 。

y?2 cos x x ,? R y ?sin 2 x x ,? R

例2、 求下列函数的最大值及取得最大值时的自变量 x 的集合: (1) y ? cos

x 3

(2) y ? 2 ? sin 2 x

例3、 求函数 y ?

sin x 的定义域。 1 ? cos x

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例4、 求函数 y ? ? sin x ? 4sin x ?
2

7 的值域。 4

三、课堂练习 1、 下列等式有可能成立吗?为什么? (1) 2 cos x ? 3 (2) sin x ?
2

1 2

2、 画出下列函数的简图,并比较这些函数与正弦曲线的区别与联系: (1) y ? sin x ? 1 (2) y ? 2sin x

3、 求下列函数的最小值及取得最小值时的自变量 x 的集合: (1) y ? ?2sin x (2) y ? 2 ? cos

x 3

4、 求下列函数的定义域: (1) y ? 2sin x ? 1

2 (2)已知 y ? f ( x) 的定义域为 [0, ] ,求 f (sin x) 的定义域。

1 4

四、拓展延伸 试作出函数 y ? 1 ? sin 2 x 的图象。 【课堂小结】

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1.3.2 三角函数的图象与性质(2)
【学习目标】 1、 借助正、余弦函数的图像,说出正、余弦函数的图像性质;

2、掌握正、余弦函数的图像性质,并会运用性质解决有关问题;
【重点难点】 正、余弦函数的图像与性质 一、预习指导 正弦函数与余弦函数的性质: (1)定义域: (2)值域: 对于 y ? sin x :当且仅当 x ? 当且仅当 x ? 对于 y ? cos x ;当且仅当 x ? 当且仅当 x ? 时, ymax ? 时, ymin ? 时, ymax ? 时, ymin ?

; ; ; 。 。
对称,它的对称中心坐

(3)周期性:正弦函数和余弦函数都是周期函数,并且周期都是 (4)奇偶性:

① y ? sin x( x ? R) 是
标是

,其图像关于 ;

,对称轴方程是 ,其图像关于

② y ? cos x( x ? R) 是
标是 (5)单调性:

对称,它的对称中心坐

,对称轴方程是



① y ? sin x( x ? R)
在每一个闭区间 在每一个闭区间 上,是单调增函数. 上,是单调减函数.

② y ? cos x( x ? R)
在每一个闭区间 上,是单调增函数. 在每一个闭区间 上,是单调减函数. 思考:正、余弦函数的图像的这些性质可以从单位圆中的三角函数线得出吗?

二、典型例题 例5、 判断下列函数的奇偶性: (1) f ( x) ? sin( x ?

3 4

3? ) 2

(2) f ( x) ? lg(sin x ? 1 ? sin 2 x )

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(3) f ( x) ?

1 ? sin x ? cos x , x ? R. 1 ? sin x

例6、 比较下列各组中两个三角函数值的大小: (1) sin 250 、 sin 260
? ?

(2) cos

15? 14? 、 cos 8 9

例 3、 求函数 y ? sin(2 x ?

?
3

) 的单调增区间。

思考: f ( x ) y ? sin( ?2 x ?

?
3

) 的单调增区间怎样求呢?

例 4、求下列函数的对称轴、对称中心: (1) y ? 2sin( ?

x ? ) 3 3

(2) y ?

1 ? cos(3 x ? ) ? 1 2 6

三、课堂练习 1、判断下列函数的奇偶性: (1) f ( x) ? sin x ? cos x (3) f ( x) ? (2) f ( x) ? lg( 1 ? sin 2 x ? sin x)

1 ? cos 2 x ? sin x 1 ? sin x

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2、下列函数的单调区间: (1) y ? sin( x ?

?
4

)

(2) y ? 3cos

x 2

3、函数 y ? sin x(

?
6

?x?

2? ) 的值域为 3

4、比较下列各组中两个三角函数值的大小: (1) sin14 、 sin155
?

?

(2) sin194 、 cos160

?

?

四、拓展延伸 求下列函数的值域: (1) y ? sin x ? sin x (3) y ? 2sin 2 x ? 3cos x ? 3 (2) y ? cos2 x ? 2sin x ? 2

【课堂小结】

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1.3.2 三角函数的图象与性质(3)
【学习目标】 1、能正确作出正切函数图像; 2、借助图像理解正切函数的性质; 【重点难点】 正切函数的图像与性质 三、预习指导 1、 利用正切线来画出 y ? tan x ( x ? ( ?

? ?

, )) 的图像. 2 2

2、 正切函数的图像:

3、定义域: 4、值域: 5、周期性:

; ; ;
函数, 其图像关于 对称, 它的对称中心为__________ 上是单调增函数。

y ? tan x 是 6、 奇偶性:

7、单调性:正切函数在每一个开区间 思考:正切函数在整个定义域内是单调增函数吗? 答: 四、典型例题 例 1、求函数 y ? tan(2 x ?

?
4

) 的定义域、周期和单调区间.

例 2、已知 f ( x) ? tan x ? 5 tan x( x ?
2

?
4

), 求 f ( x) 的最小值。

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变式:已知 f ( x) ? tan x ? a tan x( x ?
2

?
4

) 的最小值-4,求 a 的值。

例 3、已知函数 y ? A tan(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, ? ? 坐标为 (

?
2

) 的图象与 x 轴相交于两个相邻点的

?
6

, 0) 和 (

5? , 0), 且经过点 (0, ?3) ,求其解析式. 6

三、课堂练习 1、观察正切函数的图像,分别写出满足下列条件的 x 的集合: (1) tan x ? 0 (2) tan x ? 1

2、求下列函数的定义域: (1) y ? tan 3x (2) y ? tan( x ?

?
3

)

3、求函数 y ? tan(

?
2

? x)(?

?
6

剟x

?
6

且x ? 0) 的值域。

4、函数 y ? sin x 与 y ? tan x 的图像在 ??1,1? 上有 5、函数 y ?

个交点。

tan x 的奇偶性是 1 ? cos x



四、拓展延伸 若函数 y ? sin x ? a cos x ?
2

1 3 a ? 的最大值为 1,求实数 a 的值。 2 2

【课堂小结】

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1.3.3 函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图像(1)
【学习目标】 : 1、 了解函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的实际意义; 2、 弄清 A, ? , ? 与函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图像之间的关系; 3、 会用五点法画函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图像; 【重点难点】 :五点法画函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图像 一、预习指导 1、函数 y ? A sin(? x ? ? ) 与函数 y ? sin x 图像之间的关系: (1)函数 y ? sin( x ?1) x ? R 的图像是将 y ? sin x 的图像向 (2)函数 y ? sin( x ?1) x ? R 的图像是将 y ? sin x 的图像向 平移 平移 个单位长度而得到; 个单位长度而得到;

一般地,函数 y ? sin( x ? ? ) (? ? 0, x ? R) 的图像,可看作把正弦曲线上所有点 向______ (? ? 0时) 或向_____ (? ? 0时) 平行移动_____个单位长度而得到,这种变换称 为相位变换(平移交换). 2、 函数 y ? A sin x 与函数 y ? sin x 图像之间的关系: (1)函数 y ? 3sin x, x ? R 的图像是将 y ? sin x 的图像上所有点的 ____倍(____坐标不变)而得到; (2)函数 y ? __坐标变为原来的

1 sin x , x ? R 的图像是将 y ? sin x 的图像上的所有点______坐标变为原来的 3

____倍(____坐标不变)而得到; 一般地,函数 y ? A sin x , x ? R( A ? 0, A ? 1) 的图像,可看作把正弦曲线上所有的 纵坐标原来的______倍 (横坐标不变) 而得到, 这种变换关系称为______. 因此 y ? A sin x ,

x ? R 的值域是____________.
3、函数 y ? sin ?x 与 y ? sin x 图像之间的关系: (1)函数 y ? sin 2 x, x ? R ,的图像时将 y ? sin x 的图像上所有点_______坐标变为原来的 _____倍(____坐标不变)而得到; (2) y ? sin

1 x , x ? R 的图像是将 y ? sin x 的图像上的所有点的______坐标变为原来的 2

_____倍(____坐标不变)而得到; 一般地,函数 y ? sin ?x, x ? R( w ? 0, ? ? 1) 的图象可以看作把正弦曲线上所有点的 横坐标变为原来的______倍(纵坐标不变)而得到的,这种变换称为____________. 4、函数 y ? sin(?x ? ? ) 与 y ? sin ?x 图象之间的关系 (1)函数 y ? sin(2 x ? 1) 的图象是将函数 y ? sin 2 x 的图象向__平移___个单位长度而得到;
- 38 -

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(2)函数 y ? sin(2 x ? 1) 的图象是将函数 y ? sin 2 x 的图象向___平移___个单位长度而到. 一般地,函数 y ? sin(?x ? ? ) 的图象可以看作是把 y ? sin ?x 的图象上所有的点向左 ( ? _________)或向右( ? ________)平移_________个单位长度而得到的. 二、典例分析: 例 1、(1)函数 y ? sin( 2 x ?

?
2

) 的图象可由函数 y ? sin x 的图象经过怎样的变换得到 ?

(2)将函数 y ? sin x 的图象上所有的点______________________得到 y ? sin( x ? 象, 再将 y ? sin(

?
3

) 的图

1 ? x ? ) 的图象上的所有点______ 2 3

______可得到函数

y?

1 1 ? sin( x ? ) 的图像. 2 2 3 1 1 ? x 的图像,只需将函数 y ? sin( x ? ) 的图像______________. 2 2 3

(3)要得到 y ? sin

(4)要得到函数 y ? cos( 3 x ?

?
6

) 的图像,需将函数 y ? sin 3x 的图像______________.

(5)已知函数 y ? f ( x) ,若将 f ( x) 的图象上的每个点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来 的 2 倍,然后将整个函数图象向上平移 2 个单位, 得到曲线与 y ? sin x 的图象相同 ,则 f ( x) 的解析式是_____________________. 例 2、要得到 y ? sin 2 x 的图象,需要将函数 y ? cos( 2 x ?

?
4

) 的图象进行怎样的变换 ?

例 3、 已知函数 y ? sin(?x ? ? ), ( w ? 0, ? ? 0, ? ? 最大值为 2,当 x ?

?
2

) 在一个周期内, 当x ?

?
6

时,y 有

2? 时, y 有最小值为 —2. 求函数表达式,并画出函数 3

y ? A sin(? x ? ? ) 在一个周期内的简图。(用五点法列表描点)

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三、课堂练习: 1、将函数 y ? cos x 的图象向右平移 2 个单位,再向上平移 1 个单位后可得到函数 _____________________ 2、已知 f ( x) ? sin( x ? A. 与 g ( x) 图像相同 C. 向左平移

?
2

) , g ( x) ? cos( x ?

?
2

) ,则 f ( x) 的图象 (

)

B. 与 g ( x) 图象关于 y 轴对称 D. 向右平移

? 个单位得到 g ( x) 的图象 2

? 个单位得到 g ( x) 的图象 2

3、将函数 y ? f ( x) 图象上每一点的纵坐标变为原来的 个图象沿 x 轴向左平移 四、拓展延伸:

1 1 ,横坐标变为原来的 ,再将整 2 2

? 个单位, 得到函数 y ? sin x 的图象, 则函数 f ( x) ? ____________. 3

经过怎样的变换可由函数 y ? sin 2 x 的图象得到 y ? cos( x ?

?
4

) 的图象 ?

【课堂小结】

(编者:杜文强)
- 40 -

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1.3.3 函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图像(2)
【学习目标】 :
1. 能由正弦函数的图象通过变换得到 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象; 2. 会根据函数图象写出解析式; 3. 能根据已知条件写出 y ? A sin(? x ? ? ) 中的待定系数 A , ? , ? .

【重点难点】 :根据函数图象写出解析式 一、预习指导

y ? A sin(? x ? ? ) ( x ? ?0,???, A ? 0, ? ? 0) 表示一个振动量时,振幅为___________,周
期为__________,频率为__________,相位为__________,初相为____________.

二、典例分析:
例 1、若函数 y= 3 sin( 2 x ?

?
3

) 表示一个振动量:

(1)求这个振动的振幅、周期、初相; (2)画出该函数的简图并说明它与 y ? sin x 的图象之间的关系; (3)写出函数的单调区间.

例 2、已知函数 y ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0, ? ? ? ) 一个周期内的函数图象,

如下图所示,求函数的一个解析式.

- 41 -

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例 3、已知函数 y ? A cos(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? ? ) 的最小值是 ?5 ,图象上 相邻两个最高点与最低点的横坐标相差

5 ? ,且图象经过点 (0, ) ,求这个函数的解析式. 2 4

例 4、 将函数 y ? sin 2 x 的图象向右平移 ? (? ? 0) 个单位, 得到的图象恰好关于直线 x ? 对称,求 ? 的最小值.

?
6

三、课堂练习:
nx(? 1 、 函 数 y?s i 3

?
4

) 的 图 象 可 以 看 作 是 由 函 数 y ?s i3 n x 的 图 象

_______________________得到的. 2、 先将函数 y ? 5 sin(

?
6

? 3x) 的周期扩大为原来的 2 倍, 再将新函数的图象向右平移

? 个 3

单位,则所得图象的函数解析式为__________________________ 3、 若函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( A, ? ? 0) 图象上的一个最高点是 (2, 2) , 由这个最高点 到相邻最低点的一段曲线与 x 轴交于点 (6,0) ,求这个函数的解析式.

- 42 -

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4、已知函数 f ( x) ? 2 cos(

k ? x ? ) ? 5 的最小正周期不大于 2,求正整数 k 的最小值. 4 3

5、求函数 y ? sin( 4 x ?

?
3

) ? cos( 4 x ?

?
6

) 的周期、单调区间和最大值、最小值.

四、拓展延伸:
1、 为了得到 y ? 2 sin( 2 x ?

?
6

) 的图象, 可以将函数 y ? 2 cos 2 x 的图象__________________

2、已知方程 2 sin(2 x ?

?

? ? 13? ? a ) ? 1 ? a, x ? ? ? , ? 有两解,试求实数 的取值范围。 3 ? 6 12 ?

【课堂小结】

(编者:杜文强)
- 43 -

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1.3.4 三角函数的应用
【学习目标】 :
1.会用三角函数的图象与性质解决一些简单的实际问题, 体会三角函数是描述周期现象的重 要模型. 2.培养学生的逻辑思维能力和运算能力.

【重点难点】 :建立三角函数的模型 一、预习指导
1、 三角函数可以作为描述现实世界中____________________________现象的一种数学模型. 2、利用三角函数解决实际问题的一般步骤:(1)审题,获取有用信息;(2)构建三角函数 模型 (即列出三角函数关系式);(3)求解三角函数关系式,得出结论;(4)给出实际问题的 解答。

二、典例分析
例 1、画出函数 y ? sin x ? 1 的图象并写出函数的周期及单调区间。

例 2、如图所示, o 点为做简谐运动的物体的平衡位置,取向右的方向为物体位移的正方 向,若已知振幅为 3cm ,.周期为 3s ,且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时. (1)求物体对平衡位置的位移 x(cm) 和时间 t ( s) 之间的函数关系; (2)求该物体在 t ? 5s 时的位置。

o

例 3、如图,单摆从某点给一个作用力后开始来回摆动,离开平衡 位置 o 的距离 s(cm) 和时间 t ( s) 的函数关系为 s ? 6 sin( 2? ? (1)单摆摆动 5 s 时,离开平衡位置多少 cm ? (2)单摆摆动时,从最右边到最左边的距离为多少 cm ? (3)单摆来回摆动 10 次所需的时间为多少 s ?

?
6

).

S

o

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三、课堂练习:
1、点 O 为做简谐运动的物体的平衡位置,取向右的方向为物体位移的正方向. 若已知振幅 为 5cm,周期为 4s,且物体向右运动到平衡位置时开始计时. (1 )求物体对平衡位置的位移 x(cm)和时间 t(s)之间的函数关系; ( 2 )求该物体在 t ? 7.5s 时的位置.

o

2、一个悬挂在弹簧上的小球,被从它的静止位置向下拉 0.2m 的距离,然后停止,如果此 小球在 t ? 0 被放开并允许振动,在 t ? 1s 时又首次回到开始振动的位置, (1)求出此小球运动的一个函数关系式; (2)求当 t ? 6.5s 时小球所在的位置 ?

四、拓展延伸:
函数 y ? sin ?x(? ? 0) 在区间 ?0,1? 上至少出现 50 个最大值,试求实数 ? 的最小值。

【课堂小结】

(编者:杜文强)
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三角函数复习与小结
【学习目标】 :
1.掌握任意角的概念和弧度制; 2.掌握任意角的上哪交函数,诱导公式一级同角三角函数的基本关系; 3.掌握三角函数的图像和性质; 4.了解 y ? A sin(?x ? ? ) 的实际意义; 5.能应用三角函数解决一些简单的实际问题,体会三角函数是描写周期变化现象的重要教学 模型.

【重点难点】 :三角函数的综合应用 一、典例分析
例 1、已知角 ? 的终边经过点 P(3m,?4m)(m ? 0) ,求 sin ? , cos ? , tan ? 的值.

例 2、求下列函数的定义域:

(1)

y ? cos(sin x)

2 (2) y ? lg sin x ? 25 ? x

cos 2 ? ? sin 2 ? 1 ? tan ? ? 例 3、求证 1 ? 2 sin ? cos ? 1 ? tan ?

例 4 、已知关于 x 的方程 2x ? ( 3 ? 1)x ? m ? 0的两根为 sin? 和 cos? , ? ? (0, 2? ) ,
2

sin ? cos ? ? 求: (1) 1 ? cos ? 1 ? tan ? 的值; (2) m 的值; (3)方程的两根以及此时 ? 的值.

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例 5、已知函数

f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, ? ? ? )

,在一周期内,当 x ?

?
12

时, y

取得最大值 3,当 x ?

7? 时, y 取得最小值 ?3 ,求函数的解析式. 12

例 6、设函数 f ( x) ? sin( 2 x ?

?
6

)?m

(1)写出函数 f ( x) 的周期以及单调区间; (2)若 x ? ??

? ? ?? , ? 时,函数 f ( x) 的最小值为 2,求当 x 取何值时,函数 f ( x) 取最大值. ? 6 3?

(3)在(2)的条件下,怎样由 y ? cos x 变换到 f ( x) ?

二、课堂练习:
1、(1)若 ? 是第四象限角, ? ? ? 是第_______象限角. (2)已知 ? 为第三象限角,则

? 所在的象限为__________. 2

(3)若 cos? ? 0 ,且 sin 2? ? 0 ,则角 ? 的终边在第_______象限. 2、若 cos ?

1 ? ,且 ? 为第四象限角,则 cos( ? ? ) =______________. 5 2

3、定义在 R 上的函数 f ( x) 既是偶函数有事周期函数,若 f ( x) 得最小正周期是 ? ,且当

5? ? ?? x ? ?0, ? 时, f ( x) ? sin x ,则 f ( ) ? ______________. 3 ? 2?

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f (? ) ?
4、已知

sin 2 (? ? ? ) cos(2? ? ? ) tan( ?? ? ? ) sin( ?? ? ? ) tan( ?? ? 3? )
(2)若 f (? ) ?

(1)化简 f (? ) ; (3)若 ? ? ?

1 ? ? ,且 ? ? ? ,求 cos ? ? sin ? 的值; 8 4 2

47 ? ,求 f (? ) 的值. 4

三、拓展延伸
1、是否存在实数 a ,使得函数 y ? sin x ? a cos x ?
2

5 3 ? ?? a ? 在闭区间 ?0, ? 上的最大值 8 2 ? 2?

为 1 ? 若存在,求出对应的 a 值;若不存在,请说明理由.

? 2、设函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? )(?? ? ? ? 0), y ? f ( x) 图像的一条对称轴是直线 x ? .
8
(1)求 ? ; (2)求函数 y ? f ( x) 的单调递增区间; (3)画出函数 y ? f ( x) 在区间 ?0, ? ? 上的图像.

【课堂小结】

(编者:杜文强)
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第二章

平面向量

2.1 向量的概念及表示
【学习目标】 1.了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和向量的几何表示;掌握向量的模、零向量、 单位向量、平行向量、相等向量、共线向量的概念;并会区分平行向量、相等向量和共线向 量; 2.通过对向量的学习,使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别; 3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练,培养学生认识客观事物的数学本质的能力。 【学习重难点】 重点:平行向量的概念和向量的几何表示; 难点:区分平行向量、相等向量和共线向量; 【自主学习】 1.向量的定义:__________________________________________________________; 2.向量的表示: (1)图形表示: (2)字母表示: 3.向量的相关概念: (1)向量的长度(向量的模) :_______________________记作:______________ (2)零向量:___________________,记作:_____________________ (3)单位向量:________________________________ (4)平行向量:________________________________ (5)共线向量:________________________________ (6)相等向量与相反向量:_________________________ 思考: (1)平面直角坐标系中,起点是原点的单位向量,它们的终点的轨迹是什么图形?____ (2)平行向量与共线向量的关系:____________________________________________ (3)向量“共线”与几何中“共线”有何区别:__________________________________ 【典型例题】 例 1.判断下例说法是否正确,若不正确请改正: (1)零向量是唯一没有方向的向量; (2)平面内的向量单位只有一个; (3)方向相反的向量是共线向量,共线向量不一定是相反向量; (4)向量 a 和 b 是共线向量, b /

?

?

?

? ? ? / c ,则 a 和 c 是方向相同的向量;
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(5)相等向量一定是共线向量; 例 2.已知 O 是正六边形 ABCDEF 的中心,在图中标出的向量中:

??? ? ??? ? (2)确定与 EF 相等的向量; ??? ? ??? ? (3) OA 与 BC 相等吗?

(1)试找出与 EF 共线的向量;

E F

D

O

C
B

A

例 3.如图所示的为 3 ? 4 的方格纸(每个小方格都是边长为 1 的正方形) ,试问:起点和终

??? ? ??? ? 点都在小方格的顶点处且与向量 AB 相等的向量共有几个?与向量 AB 平行且模为 2 的 ??? ? 向量共有几个?与向量 AB 的方向相同且模为 3 2 的向量共有多少个?
B

A

【课堂练习】 1.判断下列说法是否正确,若不正确请改正: (1)向量 AB 和 CD 是共线向量,则 A、B、C、D 四点必在一直线上; (2)单位向量都相等; (3)任意一向量与它的相反向量都不想等;

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ABCD (4)四边形 是平行四边形当且仅当 AB ? CD ;
(5)共线向量,若起点不同,则终点一定不同;

??? ? 2.平面直角坐标系 xOy 中,已知 | OA |? 2 ,则 A 点构成的图形是__________

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3.四边形 ABCD 中,AB ?

??? ?

? 1 ???? ???? ??? 则四边形 ABCD 的形状是_________ DC ,| AD |?| BC | , 2

4.设 a ? 0 ,则与 a 方向相同的单位向量是______________ 5.若 E、F、M 、N 分别是四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 的中点。 求证: EF

?

?

?

??? ?

???? ? / / NM

6.已知飞机从甲地北偏东 30 的方向飞行 2000km 到达乙地,再从乙地按南偏东 30 的方 向飞行 2000km 到达丙地,再从丙地按西南方向飞行1000 甲地的什么方向?丁地距甲地多远?

?

?

2km 到达丁地,问:丁地在

【课堂小结】

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2.2.1 向量的加法
【学习目标】 1.掌握向量加法的定义; 2.会用向量加法的三角法则和向量的平行四边形法则作两个向量的和向量; 3.掌握向量加法的交换律和结合律,并会用它们进行向量计算 【学习重难点】 重点:向量加法的三角法则、平行四边形则和加法运算律; 难点:向量加法的三角法则、平行四边形则和加法运算律; 【自主学习】 1.向量的和、向量的加法:

? ? ??? ? ? ? 则向量 OB 叫做 a 与 b 的和,记作:____________________________________
_________________________________叫做向量的加法

已知向量 a 和 b ,______________________________________________________

? b ? a
O

B

? b ? a
A

注意:两个向量的和向量还是一个向量;

2.向量加法的几何作法: (1)三角形法则的步骤: ① ②

??? ? ? ? ?OA 就是所做的 a ? b
(2)平行四边形法则的步骤: ① ②



??? ? ? ? ?OC 就是所做的 a ? b
注意:向量加法的平行四边形法则,只适用于对两个不共线的向量相加,而向量加法的三角



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形法则对于任何两个向量都适用。

3.向量加法的运算律: (1)向量加法的交换律: _________________________________________ (2)向量加法的结合律: _________________________________________ 思考:如果平面内有 n 个向量依次首尾相接组成一条封闭折线,那么这 n 条向量的和是什 么?________________

【例题讲解】 例 1.如图,已知 O 为正六边形 ABCDEF 的中心,作出下列向量:

??? ? ??? ? (1) OA ? OC

??? ? ??? ? (2) BC ? EF E
F A

??? ? ??? ? (3) OA ? FE D
?O
B

C

例 2.化简下列各式

(1) AB ? BC ? CD ? DA ? EA

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

(2) AB ? MB ? BO ? OM

??? ?

????

??? ?

???? ?

(3) AB ? DF

??? ?

????

??? ? ??? ? ??? ? ? CD ? BC ? FA

(4) AB

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? CD ? ( BC ? DB ) ? BC

例 3.在长江南岸某处,江水以12.5km /

h 的速度向东流,渡船的速度为 25km / h ,渡船

要垂直地渡过长江,其航向应如何确定?

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【课堂练习】

? ? ?? 1.已知 a, b ,求作: a ? b
(1)

? a ? b
(2)

? a ? b
2.已知 O 是平行四边形 ABCD 的交点,下列结论正确的有_________

??? ? ??? ? ??? ? (1) AB ? CB ? AC ??? ? ??? ? ??? ? (3) AD ? CD ? BD

??? ? ??? ? ??? ? (2) AB ? AD ? AC ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? (4) AO ? CO ? OB ? OD ? 0

??? ? ??? ? ??? ? ? O ? ABC 3.设点 是 内一点,若 OA ? OB ? OC ? 0 ,则点 O 为 ?ABC 的______心;

?? ? ? ? ? ? ? 4.对于任意的 a, b ,不等式 | a | ? | b |?| a ? b |?| a | ? | b | 成立吗?请说明理由。

【课堂小结】

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2.2.2 向量的减法
【学习目标】 1.理解向量减法的概念; 2.会做两个向量的差; 3.会进行向量加、减得混合运算 4.培养学生的辩证思维能力和认识问题的能力 【学习重难点】 重点:三角形法则 难点:三角形法则,向量加、减混合运算 【自主学习】 1.向量的减法:

? ? ? ? ? ① a 与 b 的差:若__________________,则向量 x 叫做 a 与 b 的差,记为__________ ? ? ②向量 a 与 b 的减法:求两个向量差的运算叫做向量的减法;
注意:向量的减法是向量加法的逆运算。 2.向量 a ? b 的减法的作图方法: 作法:①_______________________________ ②________________________________

?

?

??? ? ? ? 则 BA ? a ? b

③________________________________

3.减去一个向量等于加上这个向量的相反向量

? ? ? ? a ? b ? a ? (?b)

4.关于向量减法需要注意一下几点: ①在用三角形法则做向量减法时,只要记住连接两向量的终点,箭头指向被减向量即可.

??? ? ? ???? ? ② 以 向 量 AB ? a, AD ? b 为 邻 边 作 平 行 四 边 形 ABCD , 则 两 条 对 角 线 的 向 量 为 ? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ??? AC ? a ? b, BD ? b ? a , DB ? a ? b 这一结论在以后应用还是非常广泛,应加强理
解;

??? ? ??? ? ??? ? O ③对于任意一点 , AB ? OB ? OA ,简记“终减起” ,在解题中经常用到,必须记住.
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【例题讲解】

???? ? ? ?? ? ? 例 1.已知向量 a, b, c, d ,求作向量: a ? b, c ? d ;
? b

? a

? c

? ? d

? ? ? ? 思考:如果 a / /b ,怎么做出 a ? b ?

??? ? ? ??? ? ? ??? ? ? O ABCD 例 2.已知 是平行四边形 的对角线的交点,若 AB ? a, DA ? b, OC ? c, 试证 ? ? ? ??? ? 明: b ? c ? a ? OA C D
? b
A
本题还可以考虑如下方法:

O

? c
B

? a

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1.(1) OA ? OC ? CA ? OC ? CB ? CD ? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? (2) c ? a ? OC ? AB ? OC ? DC ? OD ? OA ? AD
2.任意一个非零向量都可以表示为两个不共线的向量和。

例 3.化简下列各式

??? ? ??? ? ??? ? ???? AB ? BC ? ( BD ? AD) (1) ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (2) AB ? DA ? BD ? BC ? CA ??? ? ???? ??? ? ??? ? ( AB ? DC ) ? ( AC ? BD ) (3)

【课堂练习】 1.在 ?ABC 中, ?C

? 90? , AC ? BC ,下列等式成立的有_____________
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??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (2) | AB ? AC |?| BA ? BC | ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (3) | CA ? BA |?| CB ? AB | ??? ? ??? ? 2 ??? ? ??? ? 2 ??? ? ??? ?2 (4) | CA ? CB | ?| AB ? AC | ? | BA ? CA |
(1) | CA ? CB |?| CA ? CB | 2.已知四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交与 O 点,且 AO ? OC, BO ? OD , 求证:四边形 ABCD 是平行四边形。

???? ??? ? ??? ? ????

/CD, AB ? 2CD , M , N 分别是 DC, AB 的中 ??? ? ???? ? ??? ? ? ???? ? ?? 点,已知 AB ? a, AD ? b, 试用 a, b 表示 BC 和 MN
3.如图, ABCD 是一个梯形, AB /

D

M

C

A

N

B

【课堂小结】

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2.2.3
【学习目标】

向量的数乘(1)

1.掌握向量数乘的定义,会确定向量数乘后的方向和模; 2.掌握向量数乘的运算律,并会用它进行计算; 3.通过本课的学习,渗透类比思想和化归思想 【学习重难点】 重点:向量的数乘及运算律; 难点:向量的数乘及运算律; 【自主学习】 1.向量的数乘的定义:

? ? 一般地,实数 与向量 a 的积是一个向量,记作:_______;它的长度和方向规定如下: ? ? (1) | ? a |?| ? || a | (2)当 ? ? 0 时,_______________________; 当 ? ? 0 时,_______________________; 当 ? ? 0 时,_______________________;
______________________________叫做向量的数乘 2.向量的线性运算定义: ___________________________________________统称为向量的线性运算; 3.向量的数乘的作图:

? ? ? a , 已知 作 b ? ? a

? ? ? 0 当 时,把 a 按原来的方向变为原来的 ? 倍;
当?

? ? 0 时,把 a 按原来的相反方向变为原来的 ? 倍;

4.向量的数乘满足的运算律: 设 ? , ? 为任意实数, a, b 为任意向量,则 (1)结合律 ______________________________________ (2)分配律 _______________________________________ 注意: (1)向量本身具有“形”和“数”的双重特点,而在实数与向量的积得运算过程中, 既要考虑模的大小,又要考虑方向,因此它是数形结合的具体应用,这一点提示我们研究向 量不能脱离它的几何意义; (2)向量的数乘及运算性质可类比整式的乘法来理解和记忆。
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??

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【典型例题】

?? 例 1.已知向量 a, b ,求作: ? (1)向量 ?2.5a ? ? (2) 2a ? 3b

? a

? b

例 2.计算

? ? ? ? ? ? 5( a ? b ) ? 4( a ? b ) ? 3 a (2) ? ? ? ? ? ? 2(2 a ? 6 b ? 3 c ) ? 3( ? 3 a ? 4 b ? 2 c ) (3) 4a (1) ( ?5)?

注意: (1)向量的数乘与实数的数乘的区别:相同点:这两种运算都满足结合律和分配律。 不同点:实数的数乘的结果(积)是一个实数,而向量的数乘的结果是一个向量。 (2)向量的线性运算的结果是一个向量,运算法则与多项式运算类似。 例 3.已知 OA, OB 是不共线的向量, AP

??? ? ??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? t AB,(t ? R ) ,试用 OA, OB 表示 OP

A

P
B

O

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例 4.已知: ?ABC 中, D 为 BC 的中点, E , F 为 AC , BA 的中点, AD, BE, CF 相交 于 O 点,求证:

???? 1 ??? ? ??? ? (1) AD ? ( AB ? AC ) 2 ??? ? ??? ? ??? ? ? (2) AD ? BE ? CF ? 0 ??? ? ??? ? ??? ? ? (3) OA ? OB ? OC ? 0

A

F

E

O

C
B D

【课堂练习】 1.计算:

? ? ? ? ? 3b) ? 2(6a ? b) ? ? ? ? ? ? (2) 4( a ? 3b ? 5c ) ? 2( ?3a ? 6b ? 8c)
(1) 3(5a

2.已知向量 a, b 且 3( x

??

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? a) ? 2( x ? 2a) ? 4( x ? a ? b) ? 0, 求 x

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3.在平行四边形 ABCD 中, AB ? a, AD ? b, AN

??? ?

? ???? ? ????

???? ? 表示 MN

???? ?? BC 为 的中点, 用 ? 3NC, M a, b 来

??? ? ? ??? ? ? ? ABC 4.如图,在 中, AB ? a, BC ? b, AD 为边 BC 的中线, G 为 ?ABC 的重心, ???? 求向量 AG A

? a
?G
B

? b

D

C

【课堂小结】

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2.2.3 向量的数乘(2)
【学习目标】 1.理解并掌握向量的共线定理; 2.能运用向量共线定理证明简单的几何问题; 3.培养学生的逻辑思维能力 【学习重难点】 重点:向量的共线定理; 难点:向量的共线定理; 【自主学习】 1.向量的线性表示:

? ? ? ? ? ? b ? ? a ,( a ? 0) 若果 ,则称向量 b 可以用非零向量 a 线性表示;

2.向量共线定理:

? ? 思考:向量共线定理中有 a ? 0 这个限制条件,若无此条件,会有什么结果?
【典型例题】 例 1.如图, D, E 分别是 ?ABC 的边 AB, AC 的中点,

??? ? ? ??? ? ??? (2)求证: BC 与 DE 共线;
(1)将 DE 用 BC 线性表示;

??? ?

C

E B D A

?? ?? ? e , e 例 2. 设 是 两 个 不 共 线 的 向 量 , 已 知 2 ??? ? ?? ?? ? 1??? ? ?? ?? ? ??? ? ?? ?? ? AB ? 2e1 ? ke2 , CB ? e1 ? 3e2 , CD ? 2e1 ? e2 ,若 A, B, D 三点共线,求 k 的值。

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变式:设 e1 , e2 是两个不共线的向量,已知

?? ?? ? ??? ? ?? ?? ? ??? ? ?? ?? ? ??? ? ?? ?? ? AB ? 2e1 ? 8e2 , CB ? e1 ? 3e2 , CD ? 2e1 ? e2 ,求证: A, B, D 三点共线。

??? ? ??? ? AC ? ? BC ,(? ? ?1), AB ? OAB C 例 3.如图, 中, 为直线 上一点, ??? ? ??? ? ??? ? OA ? ? OB 求证: OC ? 1? ?

思考:

(1)当 ?

? 1 时,你能得到什么结论?

??? ? ??? ? ??? ? OA ? ? OB (2) 上面所证的结论:OC ? 表明: 起点为 O , 终点为直线 AB 上一点 C 的 1? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 向量 OC 可以用 OA, OB 表示, 那么两个不共线的向量 OA, OB 可以表示平面上任意一个
向量吗?

?? ?? ? ? ?? ?? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? 2e1 ? 3e2 , b ? 2e1 ? 3e2 , 其中 e1 , e2 不共线,向量 c ? 2e1 ? 9e2 , ? ? ? ? ? 是否存在实数 ? , ? ,使得 d ? ? a ? ? b 与 c 共线
例 4.已知向量 a

?

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例 5.平面直角坐标系中,已知 A(3,1), B(?1,3), 若点 C 满足 OC

??? ?

??? ? ??? ? ? ? OA ? ? OB, 其中

? , ? ? R, A, B, C 三点共线,求 ? ? ? 的值;

【课堂练习】

? ?? ?? ? ? ?? ? ?? ?? a ? 2 e ? 2 e , b ? ? 3( e ? e ), 1.已知向量 1 2 2 1 求证: a, b 为共线向量;

2.设 e1 , e2 是两个不共线的向量,a 值。

?? ?? ?

?

?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? ? 2e1 ? e2 , b ? ke1 ? e2 , 若 a, b 是共线向量,求 k 的

3.求证:起点相同的三个非零向量 a, b,3a ? 2b 的终点在同一直线上。

? ? ?

?

【课堂小结】

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2.3.1 平面向量基本原理
【学习目标】 1. 了解平面向量的基本定理及其意义; 2. 掌握三点(或三点以上)的共线的证明方法: 3. 提高学生分析问题、解决问题的能力。 【预习指导】 1、平面向量的基本定理 如果 e1 , e2 是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这一平面内的任一向量 a ,有且 只有一对实数 ?1 , ?2 使 a = ?1 e1 + ?2 e2 2.、基底: 平面向量的基本定理中的不共线的向量 e1 , 称为这一平面内所有向量的一组基底。 e2 ,

思考: (1) 向量作为基底必须具备什么条件? (2) 一个平面的基底唯一吗? 答: (1)______________________________________________________ (2)______________________________________________________ 3、向量的分解、向量的正交分解: 一个平面向量用一组基底 e1 , e2 表示成 a = ?1 e1 + ?2 e2 的形式, 我们称它为向量的分解, 当 e1 , e2 互相垂直时,就称为向量的正交分解。 4、 点共线的证明方法:___________________________________________ 【典例选讲】 例 1:如图:平行四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 交于一点 M , AB = a , AD = b 试 用 a , b ,表示 MC , MA , MB 和 MD 。 D M C

b
A B

a

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例 2: 设 e1 , e2 是平面的一组基底,如果 AB =3 e1 —2 e2 , BC =4 e1 + e2 ,

CD =8 e1 —9 e2 ,求证:A、B、D 三点共线。

例 3: 如图,在平行四边形 ABCD 中,点 M 在 AB 的延长线上,且 BM= BC 上,且 BN= D

1 AB,点 N 在 2

1 BC ,用向量法证明: M、N、D 三点共线。 3
C

N

A

B

M

【课堂练习】 1 、若 e1 , e2 是平面内所有向量的一组基底,则下面的四组向量中不能作为一组基底的 ( )

A、 e1 —2 e2 和 e1 +2 e2 B 、 e1 与 3 e2 C、2 e1 +3 e2 和 - 4 e1 —6 e2 D、 e1 + e2 与 e1

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2、若 e1 , e2 是平面内所有向量的一组基底,那么下列结论成立的是( A、若实数 ?1 , ?2 使 ?1 e1 + ?2 e2 =0,则 ?1 = ?2 =0 B、空间任意向量都可以表示为 a = ?1 e1 + ?2 e2 , ?1 , ?2 ? R C、 ?1 e1 + ?2 e2 , ?1 , ?2 ? R 不一定表示平面内一个向量



D、对于这一平面内的任一向量 a ,使 a = ?1 e1 + ?2 e2 的实数对 ?1 , ?2 有无数对 3、三角形 ABC 中,若 D,E,F 依次是 AB 四等分点,则以 CB = e1 , CA = e2 为 基底时,用 e1 , e2 表示 CF B F E ? D ? A C

4、若 a = - e1 +3 e2 , b = 4 e1 +2 e2 , c = - 3 e1 +12 e2 , 写出用 ?1 b + 示a

?2 c 的形式表

【课堂小结】

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2.3.2 向量的坐标表示(1)
【学习目标】 1、 能正确的用坐标来表示向量; 2、 能区分向量的坐标与点的坐标的不同; 3、 掌握平面向量的直角坐标运算; 4、 提高分析问题的能力。 【预习指导】 1、 一般地, 对于向量 a , 当它的起点移至_______时, 其终点的坐标 ( x, y ) 称为向量 a 的

(直角)坐标,记作________________________。 2 、 有 向 线 段 AB 的 端 点 坐 标 为 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 则 向 量 __________________________________________________。 3、若 a = ( x1 , y 1 ) , b ? ( x 2 , y 2 )

AB 的 坐 标 为

a + b =_________________________。
a ? b ? ________________________。
【典型例题选讲】 例 1:如图,已知 O 是坐标原点,点 A 在第一象限, OA ? 4 3, ?xOA ? 600 ,求向量

OA 的坐标 。

例 2:已知 A(-1,3) ,B(1,-3) ,C (4 ,1) , D (3 ,4), 求向量 OA, OB, AO, CD 的坐 标。

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例 3:平面上三点 A(-2,1) ,B(-1,3) ,C(3,4),求 D 点坐标,使 A,B,C,D 这四个点构 成平行四边形的四个顶点。

例 4: 已知 P1 ( x1 , y1 求 P 的坐标。

) , P2 ( x2 , y 2 ) , P 是直线 P1P2 上一点, 且P ), 1 P ? ? PP 2 (? ? ?1

【课堂练习】 1、与向量 a ? (12,5) 平行的单位向量为__________________________________ 2、若 O(0,0),B(-1,3) 且 OB / =3 OB ,则 B
/

坐标是:___________________

0 3、已知 O 是坐标原点,点 A 在第二象限, OA =2 , ?xOA ? 150 求向量 OA 的坐标。

4、已知边长为 2 的正三角形 ABC,顶点 A 在坐标原点,AB 边在 x 轴上,点 C 在第一象 限,D 为 AC 的中点,分别求 AB, AC, BC, BD 的坐标。

【课堂小结】

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2.3.2 向量的坐标表示(2)
【学习目标】 1、 进一步掌握向量的坐标表示; 2、 理解向量平行坐标表示的推导过程; 3、 提高运用向量的坐标表示解决问题的能力。 【预习指导】 1、 向量平行的线性表示是_____________________________ 2、向量平行的坐标表示是:设 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 )(a ? 0) ,如果 a ∥ b ,那么 _________________,反之也成立。 3、已知 A ,B ,C ,O 四点满足条件: ? OA ? ? OB ? OC ,当 ? ? ? ? 1 ,则能得到 ________________________________________ 【典型例题选讲】 例 1:已知 A ( ? 1,0) , B(3,?1) , C (1,2) ,并且 AE

1 1 ? AC , BF ? BC 3 3

,求证: EF ∥

AB 。

例 2:已知 a ? (1,0) , b ? (2,1) ,当实数 k 为何值时,向量 k a ? b 与 a ? 3b 平行?并确定此 时它们是同向还是反向。

例 3:已知点 O , A , B , C , 的坐标分别为(0,0) , (3,4) , (-1,2) , (1,1) ,是否存 在常数 t , OA ? t OB ? OC 成立?解释你所得结论的几何意义。

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【课堂练习】 1. 已知 a ? (2,3), b ? (6, y), 且 a ∥ b ,求实数 y 的值。

2. 已知,平行四边形 ABCD 的三个顶点的坐标分别为 A (2, 1), B (-1,3) , C (3,4), 求第四个顶点的 D 坐标。

3. 已知 A (0, -2),B (2, 2),C (3, 4),求证:A,B,C 三点共线。

4. 已知向量 a ? (?3, ? 4) ,求与向量 a 同方向的单位向量。

5. 若两个向量 a ? (?1, x) , b ? (?x, 4) 方向相同,求 a ? 2b 。

【课堂小结】

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2.4.1 向量的数量积(1)
【学习目标】 1. 理解平面向量数量积的概念及其几何意义 2. 掌握数量积的运算法则 3. 了解平面向量数量积与投影的关系 【预习指导】 1. 已知两个非零向量 a 与 b ,它们的夹角为 ? ,则把数量_________________叫做向量 a 与 。 b 的数量积(或内积) 规定:零向量与任何一向量的数量积为_____________ 2. 已知两个非零向量 a 与 b ,作 OA ? a , OB ? b ,则______________________叫做向量

a 与 b 的夹角。
当 ? ? 0 时, a 与 b ___________,当 ? ? 180 时, a 与 b _________;当 ? ? 90 时,
0 0 0

则称 a 与 b __________。 3. 对于 a ? b ?

a ? b cos? ,其中_____________叫做 b 在 a 方向上的投影。

4. 平面向量数量积的性质 若 a 与 b 是非零向量, e 是与 b 方向相同的单位向量, ? 是 a 与 b 的夹角,则:



a ? e ? e ? a ? a ? cos? ;

② a ?b ? 0 ? a ? b; ③

a?b ? a b ;

④若 a 与 b 同向,则 a ? b ?

a ? b ;若 a 与 b 反向,则 a ? b ? ? a ? b



a?a ? a 或 a ? a?a
⑤设 ? 是 a 与 b 的夹角,则 cos?

2

?

a?b ab


5. 数量积的运算律 ①交换律:________________________________ ②数乘结合律:_________________________
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③分配律:_____________________________ 注:①、要区分两向量数量积的运算性质与数乘向量,实数与实数之积之间的差异。 ②、数量积得运算只适合交换律,加乘分配律及数乘结合律,但不适合乘法结合律。即

(a ? b) ? c 不一定等于 a ? (b ? c) ,也不适合消去律 。
【典型例题选讲】 例 1:已知向量 a 与向量 b 的夹角为 ? ,a = 2 , b = 3 , 分别在下列条件下求 a ? b : (1) ? = 135
0

; (2) a ∥ b ;

(3) a ? b

例 2:已知 a = 4 , b = 8 ,且 a 与 b 的夹角为 120 计算: (1) (a ? 2b) ? (2a ? b) ; (2) a ? 2b 。

0



例 3:已知 a = 4 , b = 6 , a 与 b 的夹角为 60 求: (1) 、a ? b (2) 、 a ? (a ? b)

0



(3) 、 (2a ? b) ? (a ? 3b)

例 4:已知向量 a ? e , e =1 ,对任意 t ? R ,恒有 a ? t e

? a ? e ,则( )

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A、 a ? e C、 e ? ( a ? e)

B、 a ? ( a ? e) D、 ( a ? e) ? (a ? e)

【课堂练习】 1、 已知 a = 10 , b = 12

1 ( 3 a ) ? ( b) ? ?36 ,且 5

,则 a 与 b 的夹角为__________

2、 已知 a 、 b 、 c 是三个非零向量,试判断下列结论是否正确: (1) 、若 a ? b ?

a ? b ,则 a

∥ b

( ( (

) ) )

(2) 、若 a ? c ? b ? c ,则 a ? b (3) 、若 a ? b ? a ? b ,则 a ? b 3、已知 a ? b ? 0 ,

a ? 2 , b ? 3 , (3a ? 2b) ? (? a ? b) ? 0 ,则 ? ? __________

4、四边形 ABCD 满足 A B = D C ,则四边形 ABCD 是( A、平行四边形 B、矩形 C、菱形 D、正方形



5、正 ?ABC 边长为 a ,则 AB ? AC ? BC ? CA ? CA ? AB ? __________

【课堂小结】

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2.4.1 向量的数量积(2)
【学习目标】 1、 能够理解和熟练运用模长公式,两点距离公式及夹角公式; 2、 理解并掌握两个向量垂直的条件。 【预习指导】 1、若 a ? ( x1 , y1 ),b ? ( x2 , y2 ) 则 a ? b ? ______________________________ 2、向量的模长公式: 设 a ? ( x, y) 则 a = a a cos ? = a ? a ? x 2 ? y 2 ? a ? __________
2

3、 两点间距离公式 设 A( x1 , y1 ) B ( x2 , y 2 ) 则 A B ? ( x2 ? x1 , y 2 ? y1 ) , A B ? __________

4、 向量的夹角公式: 设 a = ( x1 , y1 ) ,b ? ( x2 , y2 ) ,a 与 b 的夹角为 ? , 则有 cos? 5、 两个向量垂直: 设 a = ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) , a ? 0, b ? 0

?

a ?b ab

? __________

a ? b ? ____________________
注意:对零向量只定义了平行,而不定义垂直。 【典例选讲】 例 1:已知 a = (2 , ? 1) , b ? (3,?2) ,求 (3a ? b) ? (a ? 2b) 。

例 2:在 ?ABC 中,设 AB ? (2,3), AC ? (1, k ) 且 ?ABC 为直角三角形,求 k 的值 。

例 3:设向量 a ? e1 ? e2 , b ? 4e1 ? 3e2 ,其中 e1 = (1,0) , e2 =(0,1)
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(1) 、试计算 a ? b 及

a?b

的值。

(2) 、求向量 a 与 b 的夹角大小。

【课堂练习】 1、已知 a ? (2,?2),b ? (1,?2) ,求: (a ? b) ? (3a ? 2b).

2、已知向量 a ? (1,1),b ? (2,?3) ,若 k a ? 2b 与 a 垂直,则实数 k =__________

3、已知 a ? (1,2), b ? ( x,1) 若 a ? 2b 与 2a ? b 平行,则 x ? __________

4 、 已 知 A 、 B 、 C 是 平 面 上 的 三 个 点 , 其 坐 标 分 别 为 A(1,2), B(4,1), C (0,?1) . 那 么

AB ? AC =__________ , ?ACB ? __________

, ?ABC 的形状为__________

5、已知 a ? (m ? 2, m ? 3), b ? (2m ? 1, m ? 2) ,且 a 与 b 的夹角为钝角,求实数 m 的 取值范围。

【课堂小结】

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第一章 三角恒等变换
3.1.1 两角和与差的余弦公式
【学习目标】 1、理解向量法推导两角和与差的余弦公式,并能初步运用解决具体问题; 2、应用公 C (? ? ? ) 式,求三角函数值. 3、培养探索和创新的能力和意见. 【学习重点难点】 向量法推导两角和与差的余弦公式 【学习过程】 (一)预习指导 探究 cos(α +β )≠cosα +cosβ 反例: cos

? π ? π ? =cos( + )≠cos + cos 3 6 3 2 6

问题:cos(α +β ),cosα ,cosβ 的关系 (二)基本概念 1.解决思路: 探讨三角函数问题的最基本的工具是直角坐标系中的单位圆及单位圆中的三角 函数线

2.探究:在坐标系中α 、β 角构造α +β 角 3.探究:作单位圆,构造全等三角形 探究:写出 4 个点的坐标 P1(1,0),P(cosα ,sinα ) P3(cos(α +β ),sin(α +β )), P4(cos(-β ),sin(-β )), 5.计算 P1 p3 , p2 p4

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P1 p3 =

p2 p4 =
6.探究:由 P1 p3 = p2 p4 导出公式 [cos(α +β )-1] +sin (α +β )=[cos(-β )-cosα ] +[sin(-β )-sinα ] 展开并整理 得 所以 可记为 C (? ? ? ) 7.探究:特征 ①熟悉公式的结构和特点; ②此公式对任意α 、β 都适用 ③公式记号 C (? ? ? ) 8.探究:cos(α +β )的公式 以-β 代β 得: 公式记号 C (? ? ? )
2 2 2 2

(三)典型例题选讲: 例 1 不查表,求下列各式的值. (1)cos105° (2)cos15°

(3)cos

?
5

cos

3? ? 3? ? sin sin 10 5 10
2

(4)cos80°cos20°+sin80°sin20°

(5)cos 15°-sin 15°

2

(6)cos80°cos35°+cos10°cos55°

例 2 已知 sinα = 值.

4 ,α ? ? ? ,cosβ = - 5 ,β 是第三象限角,求 cos(α -β )的 ?? ? 2 ,? ? 13 5 ? ?

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例 3:已知 cos(2α -β )=求 cos(α +β )的值.

11 ? ? ? 4 3 ,sin(α -2β )= ,且 ?? ? ,0? ? ? , 14 4 2 4 7

例 4:cos(α 求 cos

? ??
2

1 ? 2 ? ? ? )=- ,sin( -β )= ,且 <α <π ,0<β < , 9 3 2 2 2 2

的值.

【课堂练习】 1.求 cos75°的值

2.计算:cos65°cos115°-cos25°sin115°

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3.计算:-cos70°cos20°+sin110°sin20°

4.sinα -sinβ =-

? 1 ? 1 ,cosα -cosβ = , α ? (0, ), β ? (0, ),求 cos(α -β )的值. 2 2 2 2

5.已知锐角α ,β 满足 cosα =

3 5 ,cos(α -β )=,求 cosβ . 5 13

6.已知 cos(α -β )=

1 2 2 ,求(sinα +sinβ ) +(cosα +cosβ ) 的值. 3

【课堂小结】

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3.1.2 两角和与差的正弦公式
【学习目标】 1、掌握两角和与差的正弦公式及其推导方法。 2、通过公式的推导,了解它们的内在联系,培养逻辑推理能力。 并运用进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形。 3、掌握诱导公式 sin ?

?? ? ? ? ? =cosα , ?2 ? ? 3? ? ? ? ? =- cosα , ? 2 ?

sin ?

?? ? ? ? ? = cosα , ?2 ?

sin ?

sin ?

? 3? ? ? ? ? =- cosα , ? 2 ?

【学习重点难点】 (一)预习指导: 两角和与差的余弦公式:

(二)基本概念: 基本概念: 1.两角和的正弦公式的推导 sin(α +β )=

sin(α -β )=sinα cosβ -sinα cosβ

(二) 、典型例题选讲: 例1求值 sin( ? +60°)+2sin( ? -60°)- 3 cos(120°- ? )

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例2:已知 sin(2α +β )=3sinβ ,tanα =1,求 tan(α -β )的值.

例3:已知 sin(α +β )= ,sin(α -β )= 求

2 3

2 5

tan? 的值. tan?

例4: (1)已知 sin(α -β )=

1 1 ,sin(α +β )= ,求 tanα :tanβ )的值. 3 2

【课堂练习】 1.在△ABC 中,已知 cosA = ,cosB= ,则 cosC 的值为

1 3

4 5

2.已知 的值.

? ? 3? 3 3? 5 <α < ,0<β <α ,cos( +α )=- ,sin( +β )= ,求 sin(α +β ) 4 4 5 4 13 4

3.已知 sinα +sinβ =

2 ,求 cosα +cosβ 的范围. 2

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4.已知 sin(α +β )=

tan? 1 1 ,sin(α -β )= ,求 的值. tan? 2 10

5.已知 sinα +sinβ =

3 5

cosα +cosβ =

4 5

求 cos(α -β )

6.化简 2 cos ? - 6 sin ? 解:

我们得到一组有用的公式: (1)sinα ±sinα = 2 sin ? ?? ?

? ?

??

? ?? ?? ? . ? = 2 cos ? ? 4? 4? ?

(3)sinα ? 3 cosα =2sin ? ?? ?

? ?

??

? ?? ? =2cos ? ?? ? 3 ? 3? ? ?

(4)α sinα +bcosα = a 2 ? b 2 sin(α + ? )= a 2 ? b 2 cos(α - ? )

7.化解 3 cos ? ? sin ?

8.求证:cos ? +sin ? = 2 cos( ? -

? ) 4

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9.求证:cosα + 3 sinα =2sin(

?
6

? ? ).

10.已知 ? ? 0, ?

? 5? ? ? ? ? ,求函数у =cos( ? ? ? ? 的值域. ? ? )-cos ? ? ? 12 ? ? 2? ? 12

11.求

2 cos 10? ? sin 20? 的值. cos 20?

【课堂小结】

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3.1.3 两角和与差的正切公式
【学习目标】 1.掌握两角和与差的正切公式及其推导方法。 2.通过正式的推导,了解它们的内在联系,培养逻辑推理能力。 3.能正确运用三角公式,进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形。 【学习重点难点】 能根据两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式 进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形 【学习过程】 (一)预习指导: 1.两角和与差的正、余弦公式 cos(α +β )= cos(α -β )= sin(α +β )= sin(α -β )= 2.新知 tan(α +β )的公式的推导

? (α +β )≠0
tan(α +β )

注意: 1°必须在定义域范围内使用上述公式 tanα ,tanβ ,tan(α +β )只要有一个不存在就不能 使用这个公式,只能用诱导公式。 2°注意公式的结构,尤其是符号。 (二)典型例题选讲: 例 1:已知 tanα =

1 ,tanβ =-2 求 tan(α +β ),tan(α -β ), α +β 的值,其中 0°<α < 3

90°,90°<β <180°

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例 2:求下列各式的值: (1)

1 ? tan 75 ? 1 ? tan 75 ?

(2)tan17°+tan28°+tan17°tan28° (3)tan20°tan30°+tan30°tan40°+tan40°tan20°

例 3:已知 sin(2α +β )+2sinβ =0 求证 tanα =3tan(α +β )

例 4:已知 tan ? 和 tan(

? 2 - ? )是方程 ? +p ? +q=0 的两个根,证明:p-q+1=0. 4

例 5:已知 tanα = 3 (1+m),tan(-β ) 3 (tanα tanβ +m),又α ,β 都是钝角,求α +β 的 值.

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【课堂练习】 1.若 tan ? tan ? =tan ? +tab ? +1,则 cos( ? + ? )的值为 2.在△ABC 中,若 0<tanA?tabB<1 则△ABC 一定是
2

. . .

3.在△ABC 中,tanA+tanB+tanC=3 3 ,tan B=tanAtanC,则∠B 等于

tan 20? ? tan 40? ? tan 120 ? = . tan 20? tan 40? 1 1 tan( ? ? ? ) ? tan? ? tan ? 5.已知 sin(α +β )= ,sin(α -β )= ,求 的值. 2 3 tan2 ? tan( ? ? ?)
4.

【课堂小结】

(编者:杜文强)

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3.2.1 二倍角的三角函数(1)
【学习目标】 1.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式; 2.能用上述公式进行简单的求值、化简、恒等证明。 【学习重点难点】 重点:1.二倍角公式的推导; 2.二倍角公式的简单应用。 难点:理解倍角公式,用单角的三角函数表示二倍角的三角函数。 【学习过程】 (一)预习指导: 1.复习两角和与差的正弦、余弦、正切方式: sin(α +β )= cos(α +β )= tan(α +β )= (α ,β , α +β ≠κ π + (二)基本概念 2.二倍角公式的推导 在公式(S ? ? ? ) , (C ? ? ? ) , (T ? ? ? )中,当α =β 时,得到相应的一组公式: sin2α = cos2α = tan2α = (S 2? ) (C 2? ) (T 2? ) (S ? ? ? ) (C ? ? ? )

? , ? ?? ) 2

(T ? ? ? )

注意:1°在(T 2? )中 2α ≠
2 2

? ? + ?? ,α ≠ + ?? ( ? ? ? ) 2 2

2°在因为 sin α +cos α =1,所以公式(C 2? )可以变形为 cos2α = 或 cos2α = (C′ 2? )

公式(S 2? ) , (C 2? ) , (C′ 2? ) , (T 2? )统称为二倍角的三角函数公式,简称二倍角 公式。 (二)典型例题选讲: 一、倍角公式的简单运用

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例 1 不查表,求下列各式的值

5? 5? 5? 5? ? cos ? cos ) ) (sin 12 12 12 12 1 1 (3) ? 1 ? tan ? 1 ? tan ?
(1)( sin (4)1+2 cos ? ? cos 2?
2

(2) cos 4

?
2

? sin 4

?
2

例 2 求 tan ? =3,求 sin2 ? -cos2 ? 的值

例 3 已知 sin (

?
4

??) ?

? 5 ? (0< ? < ),求 cos2 ? ,cos( + ? )的值。 13 4 4

二、sinα ,cosα ,sinα ±cosα ,sinα ?cosα 之间的关系 例 4 已知 sin ? +cos ? = , ? ? ? ? 5 cos ? 的值。

1

? ? 3? ? , ? ,求 cos ? ,cos?cos ? ,sin2 ? ,cos2 ? ,sin ? , ?2 4 ?

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三、倍角公式的进一步运用 例 5 求证:

? 1 ? cos8 ? ? sin 8 ? ? cos2??1 ? sin 2 2? ? ? 2 ?

例 6 求 cos

?
9

cos

2? 4? cos 的值。 9 9

【课堂练习】 1.若 270°<α <360°,则

1 1 1 1 ? ? cos 2? 等于 2 2 2 2

2.求值: (1)sin22°30’cos22°30’= (2)2 cos (3) sin 2 (4) 8 sin 3.求值 (1)cos20°cos40°cos60°cos80°
2

?
8

?1 =

?
8

? cos 2 cos

?
8

=

?

?
48

48

cos

?
24

cos

?
12

=

(2)sin10°sin30°sin50°sin70°

4.已知 sin ? ?

5 ?? ? , ? ? ? , ? ? ,求 sin2α ,cos2α ,tan2α 的值。 13 ?2 ?

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5.已知 cos ? ? ?

? ?

?

? ? 1? ?? ? 2 ? ? ? ,sin ? ? ? ? ? ,且 <α <π ,0<β < , 2 2 2 9? ?2 ? 3

求 cos(α +β )的值。

6.已知 sin2α =

5 ? ? , <α < ,求 sin4α ,cos4α ,tan4α 的值。 13 4 2

7.已知 tan2α =

1 ,求 tanα 的值。 3

【课堂小结】

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3.2.1 二倍角的三角函数(2)
【学习目标】 1.熟悉“倍角”与“二次”的关系(升角——降次,降角——升次) 2.特别注意公式的三角表达形式,且要善于变形:

1 ? cos 2? , 2 1 ? cos 2? sin 2 ? ? 2 cos 2 ? ?
这两个形式今后常用 要求学生能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明,增强灵活运用数学知识和逻辑推 理能力 【学习重点难点】 重点:理解倍角公式,用单角的三角函数表示二倍欠的三角函数 难点:灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式 【学习过程】 (一)预习指导 1.有关公式: (1) sin
2

?
2 =
; ; ;

? = 2 ? (3) tan 2 = 2
(2)cos 2 (二)典型例题选讲:

例 1 化简: 2 1 ? sin 8 ? 2 ? 2 cos8

例 2 求证: [sin ? (1+sin ? )+cos ? (1+cos ? )]?[sin ? (1-sin ? )+cos ? (1-cos ? )]=sin2 ?

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例 3 求函数 ? ? cos2

? ? cos ? sin ? 的值域。

例 4 求证: sin ? ? cos? cos(
2

?
3

? ? ) ? sin 2 (

?
6

? ? ) 的值是与α 无关的定值。

例 5 化简:

1 ? cos ? ? sin ? 1 ? cos ? ? sin ? ? 1 ? cos ?i ? sin ? 1 ? cos ?i ? sin ?

例 6 求证:

1 ? sin 4? ? cos 4? 1 ? sin 4? ? cos 4? ? 2 tan ? 1 ? tan 2 ?

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例 7 利用三角公式化简:sin50°(1+ 3 tan10? )

【课堂练习】 1.若

5? 7? ≤α ≤ ,则 1 ? sin ? ? 1 ? sin ? 等于 2 2
. . . . .

.

2. 2 ? sin 2 2 ? cos4 的值等于 3.sin6°cos24°sin78°cos48°的值为

2? 3? 4? cos cos 的值等于 9 9 9 9 ? 5 ?1 5.已知 sin ? ? ,则 sin 2( ? ? ) 的值等于 4 2 ? 5 ? 6.已知 sin( ? ? ) ? (0<α < )的值等于 4 13 4
4. cos

?

cos

7.求值 tan70°cos10°( 3 tan20°-1).

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8.求

1 3 的值。 ? sin 10? cos10?

9.已知 sin(

?
4

? ? ) sin(

?
4

??) ?

1 ? , ? ? ( , ? ) ,求 sin4α 的值。 6 2

【课堂小结】

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