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第2章 第8节 函数与方程


2009~2013 年高考真题备选题库 第 2 章 函数、导数及其应用 第 8 节 函数与方程
考点

函数零点与方程的根
)

1.(2013 安徽, 5 分)已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 有两个极值点 x1,x2.若 f(x1)=x1<x2, 则关于 x 的方程 3(f(x))2+2af(x)+b

=0 的不同实根个数为( A.3 C.5 B.4 D.6

解析:本题主要考查函数与导数以及函数与方程的基础知识,意在考查考 生的数形结合思想、推理论证能力以及创新意识.因为函数 f(x)=x3+ax2+bx +c 有两个极值点 x1,x2,可知关于导函数的方程 f′(x)=3x2+2ax+b=0 有两 个不等的实根 x1,x2.则方程 3(f(x))2+2af(x)+b=0 有两个不等的实根,即 f(x) =x1 或 f(x)=x2,原方程根的个数就是这两个方程 f(x)=x1 和 f(x)=x2 的不等实根的个数之 和.由上述可知函数 f(x)在区间(-∞,x1),(x2,+∞)上是单调递增的,在区间(x1,x2)上是 单调递减的,又 f(x1)=x1<x2,如图所示,由数形结合可知,f(x)=x1 时,有两个不同实根, f(x)=x2 时有一个实根,所以不同实根的个数为 3. 答案:A 2. (2013 湖南,5 分)函数 f(x)=ln x 的图像与函数 g(x)=x2-4x+4 的图像的交点个数 为( ) A.0 C.2 B.1 D.3

解析:本题主要考查对数函数、二次函数的图像与方程根的个数,意在考查考生对初等 函数的了解及数形结合能力.结合对数函数 f(x)=ln x 与二次函数 g(x)=x2-4x+4=(x-2)2 可得函数图像有两个交点. 答案:C 3.(2013 天津,5 分)函数 f(x)=2x|log0.5x|-1 的零点个数为( A.1 C.3 B.2 D.4 )

解析:本题考查函数零点,意在考查考生的数形结合能力.函数 f(x)=2x|log0.5x|-1 的 1 零点个数即为函数 y=|log0.5x|与 y= x图象的交点个数.在同一直角坐标系中作出函数 y= 2 1 |log0.5x|与 y= x的图象,易知有 2 个交点. 2

答案:B 4.(2013 湖南,5 分)函数 f(x)=2ln x 的图象与函数 g(x)=x2-4x+5 的图象的交点个数 为( ) A.3 C.1 B.2 D.0

解析: 本小题主要考查二次函数和对数函数的图象及性质, 考查对数值的取值范围的探 究及数形结合思想.由已知 g(x)=(x-2)2+1,所以其顶点为(2,1),又 f(2)=2ln 2∈(1,2),可 知点(2,1)位于函数 f(x)=2ln x 图象的下方,故函数 f(x)=2ln x 的图象与函数 g(x)=x2-4x+5 的图象有 2 个交点. 答案:B 5.(2013 重庆,5 分)若 a<b<c,则函数 f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)· (x-c)+(x-c)(x-a) 的两个零点分别位于区间( A.(a,b) 和(b,c)内 C.(b,c)和(c,+∞)内 ) B.(-∞,a)和(a,b)内 D.(-∞,a) 和(c,+∞)内

解析: 本题考查函数的零点, 意在考查考生数形结合的能力. 由已知易得 f(a)>0, f(b)<0, f(c)>0,故函数 f(x)的两个零点分别位于区间(a,b)和(b,c)内. 答案:A 1 1?x 6. (2012 北京,5 分)函数 f(x)=x -? 的零点个数为( 2 ?2? A.0 C.2 B.1 D.3 )

1 1 解析:因为 y=x 在 x∈[0,+∞)上单调递增,y=( )x 在 x∈R 上单调递减,所以 f(x) 2 2 1 1 1 1 1 =x -( )x 在 x∈[0,+∞)上单调递增,又 f(0)=-1<0,f(1)= >0,所以 f(x)=x -( )x 在定 2 2 2 2 2 义域内有唯一零点. 答案:B 7. (2012 湖南,5 分)设定义在 R 上的函数 f(x)是最小正周期为 2π 的偶函数,f′(x) π π 是 f(x)的导函数.当 x∈[0,π]时,0<f(x)<1;当 x∈(0,π)且 x≠ 时,(x- )f′(x)>0.则函数 2 2 y=f(x)-sin x 在[-2π,2π]上的零点个数为( A.2 C.5 ) B.4 D.8

解析: 依题意, 当 x∈[0, π]时, 0<f(x)<1, 由 f(x)是偶函数得, 当 x∈[-π, 0]时, 0<f(x)<1, 即 x∈[-π,π]时,0<f(x)<1,由 f(x)的周期为 2π 知,0<f(x)<1 恒成立.当 x∈[π,2π]时,- 1≤sin x≤0,由 0<f(x)<1 得,y=f(x)与 y=sin x 不相交,即函数 y=f(x)-sin x 无零点;当 x

π π ∈(0, )时,由(x- )· f′(x)>0 得,f′(x)<0,f(x)是减函数,而 y=sin x 是增函数,由图象知, 2 2 π y=f(x)与 y=sin x 有 1 个交点,即函数 y=f(x)-sin x 有 1 个零点;当 x∈( ,π)时,由(x- 2 π )f′(x)>0 得,f′(x)>0,f(x)是增函数,而 y=sin x 是减函数,由图象知,y=f(x)与 y=sin x 2 有一个交点, 即函数 y=f(x)-sin x 有 1 个零点. 故函数 y=f(x)-sin x 在[0,2π]上有 2 个零点. 由 周期性得,函数 y=f(x)-sin x 在[-2π,0)上有 2 个零点,即函数 y=f(x)-sin x 在[-2π,2π] 上有 4 个零点. 答案:B 8. (2012 湖北,5 分)函数 f(x)=xcos 2x 在区间[0,2π]上的零点的个数为( A.2 C.4 B.3 D.5 )

π 3π 5π 7π 解析:f(x)=xcos 2x=0?x=0 或 cos 2x=0,又 cos 2x=0 在[0,2π]上有 , , , , 4 4 4 4 共 4 个根,故原函数有 5 个零点. 答案:D 9. (2011 福建,5 分)若关于 x 的方程 x2+mx+1=0 有两个不相等的实数根,则实数 m 的取值范围是( A.(-1,1) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) ) B.(-2,2) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

解析:由一元二次方程有两个不相等的实数根,可得:判别式 Δ>0,即 m2-4>0,解 得 m<-2 或 m>2. 答案:C
? ?a,a-b≤1, 10. (2011 天津,5 分)对实数 a 和 b,定义运算“?”:a?b=? 设函数 ?b,a-b>1. ?

f(x)=(x2-2)?(x-1),x∈R.若函数 y=f(x)-c 的图像与 x 轴恰有两个公共点,则实数 c 的取 值范围是( )

A.(-1,1]∪(2,+∞) B.(-2,-1]∪(1,2] C.(-∞,-2)∪(1,2] D.[-2,-1] 解析:令(x2-2)-(x-1)≤1,得-1≤x≤2,
2 ? ?x -2?-1≤x≤2?, ? ∴f(x)= ∵y=f(x)-c 与 x 轴恰有两个公共点,画函数的图像得 ?x-1?x<-1或x>2?, ?

知实数 c 的取值范围是(-2,-1]∪(1,2].

答案:B 11. (2011 陕西,5 分)方程|x|=cosx 在(-∞,+∞)内( A.没有根 C.有且仅有两个根 )

B.有且仅有一个根 D.有无穷多个根

解析:求解方程|x|=cosx 在(-∞,+∞)内根的个数问题,可转化为求解函数 ?(x)=|x| 和 g(x)=cosx 在(-∞,+∞)内的交点个数问题.由(x)=|x|和 g(x)=cosx 的图像易知有两交 点,即原方程有且仅有两个根. 答案:C
2 ? ?x +2x-3,x≤0 ? 12. (2010 福建,5 分)函数 f(x)= ,的零点个数为( ?-2+lnx,x>0 ?

)

A.3 C.1
?x≤0 ? 解析:法一:令 f(x)=0 得? 2 ?x +2x-3=0 ? ? ?x>0 或? ,∴x=-3 ?lnx=2 ?

B.2 D.0

或 x=e2,应选 B. 法二:画出函数 f(x)的图象可得,图象与 x 轴有两个交点,则函数 f(x)有 2 个零点. 答案:B 13. (2010 天津,5 分)函数 f(x)=ex+x-2 的零点所在的一个区间是( A.(-2,-1) C.(0,1) B.(-1,0) D.(1,2) )

解析:由于 f(0)=-1<0,f(1)=e-1>0,根据函数的零点存在性定理,知函数 f(x)的 零点在区间(0,1)内. 答案:C 14. (2011 辽宁,5 分)已知函数 f(x)=ex-2x+a 有零点,则 a 的取值范围是________. 解析:由原函数有零点,可将问题转化为方程 ex-2x+a=0 有解问题,即方程 a=2x -ex 有解. 令函数 g(x)=2x-ex, 则 g′(x)=2-ex, 令 g′(x)=0, 得 x=ln2, 所以 g(x)在(-∞, ln2) 上是增函数,在(ln2,+∞)上是减函数,所以 g(x)的最大值为:g(ln2)=2ln2-2.因此,a 的 取值范围就是函数 g(x)的值域,所以,a∈(-∞,2ln2-2]. 答案:(-∞,2ln2-2]

2 ? ?x,x≥2, 15. (2011 北京,5 分)已知函数 f(x)=? 若关于 x 的方程 f(x)=k 有两 ? ??x-1?3,x<2. 个不同的实根,则实数 k 的取值范围是____. 解析:作出函数 f(x)的图像,如图,由图像可知,当 0<k<1 时,函数 f(x)与 y=k 的图像有两个不同的交点, 所以所求实数 k 的取值范围是(0,1). 答案:(0,1) 16.(2009· 广东,14 分)已知二次函数 y=g(x)的导函数的图象与直线 y=2x 平行,且 y =g(x)在 x=-1 处取得极小值 m-1(m≠0).设 f(x)= g?x? , x

(1)若曲线 y=f(x)上的点 P 到点 Q(0,2)的距离的最小值为 2,求 m 的值; (2)k(k∈R)如何取值时,函数 y=f(x)-kx 存在零点,并求出零点. 解:∵y=g′(x)=2ax+b 的图象与直线 y=2x 平行, ∴a=1. 又∵y=g(x)在 x=-1 处取得极小值 m-1, b ∴- =-1,g(-1)=a(-1)2+b(-1)+c=m-1, 2a 所以 b=2,c=m.从而 f(x)= g?x? m = +x+2. x x

(1)已知 m≠0,设曲线 y=f(x)上点 P 的坐标为 P(x,y),则点 P 到点 Q(0,2)的距离为 |PQ|= ?x-0?2+?y-2?2= = = m2 2x + 2 +2m≥ x
2

m x2+? +x?2 x 2 m2 2x · 2 +2m x
2

2 2|m|+2m, |m| 时等号成立. 2

m2 当且仅当 2x2= 2 ?x=± x ∵|PQ|的最小值为 2,

∴ 2 2|m|+2m= 2? 2|m|+m=1. ①当 m>0 时,解得 m= 1 = 2-1. 2+1

1 ②当 m<0 时,解得 m= =- 2-1. 1- 2 故 m= 2-1 或 m=- 2-1. (2)y=f(x)-kx 的零点,

m 即方程 +(1-k)x+2=0 的解, x m ∵m≠0,∴ +(1-k)x+2=0 与(k-1)x2-2x-m=0 有相同的解. x m ①若 k=1,(k-1)x2-2x-m=0?x=- ≠0, 2 m 所以函数 y=f(x)-kx 有零点 x=- . 2 ②若 k≠1,(k-1)x2-2x-m=0 的判别式 Δ=4[1+m(k-1)]. 1 若 Δ=0?k=1- , m 此时函数 y=f(x)-kx 有一个零点 x=-m. 若 Δ>0?1+m(k-1)>0, 1 1 ∴当 m>0,k>1- ,或 m<0,k<1- 时, m m 方程(k-1)x2-2x-m=0 有两个解. x1= 1+ 1+m?k-1? 1- 1+m?k-1? 和 x2= . k-1 k-1

此时函数 y=f(x)-kx 有两个零点 x1 和 x2. 若 Δ<0?1+m(k-1)<0, 1 1 ∴当 m>0,k<1- ,或 m<0,k>1- 时, m m 方程(k-1)x2-2x-m=0 无实数解, 此时函数 y=f(x)-kx 没有零点.


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