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浙江省温州地区2016年初中数学竞赛选拔试卷



浙江省温州地区 2016 年初中数学竞赛选拔试卷
(检测范围:初中数学竞赛大纲要求所有内容) 一、单项选择题(本大题分 4 小题,每题 5 分,共 20 分) 1、设二次函数y1=a(x-x1)(x-x2)(a≠0,x1≠x2)的图象与一次函数y2=dx+e(d≠0)的图 象交于点(x1,0),若函数y=y2+y1的图象与x轴仅有一个交点,则( ). 2 2 A.a(x1-x2)=d B.a(x2-x1)=d C.a(x1-x2) =d D.a(x1+x2) =d 2、如图,ΔABC、ΔEFG均是边长为2的等边三角 形,点D是边BC、EF的中点,直线AG、FC 相交于点M.当ΔEFG绕点D旋转时,线段BM 长的最小值是( ). A. 2 ? 3 B. 3 ? 1 C. 2 第2题 D. 3 ? 1 3 、 一名模型赛车手遥控一辆赛车,先前进 1m ,然后原地逆时针旋 转 α(0° <α<180° ),被称为一次操作.若 5 次操作后,发现赛车回到出发点, 则 α 为( ). A.72° B.108° C.144° D.以上选项均不正确 2 2 4、方程 x ? xy ? y ? 3?x ? y ? 的整数解有( ). A、3 组 B、4 组 C、5 组 D、6 组 二、填空题(本大题分 16 小题,每题 5 分,共 80 分) 5、如图,在矩形 ABCD 中,AB= 4 6 ,AD=10,连接 BD, ?DBC 的角平分 线 BE 交 DC 于点 E, 现把 ?BCE 绕点 B 逆时针旋转, 记旋转后的 ?BCE 为 ?BC ' E ' ,当射线 BE ' 和射线 BC ' 都与线段 AD 相交时,设交点分别为 F, G,若 ?BFD 为等腰三角形,则线段 DG 长为 . 6、如图,在平面直角坐标系中,点 M 是第一象限内一点,过 M 的直线分别 交 x 轴, y 轴的正半轴于 A、B 两点,且 M 是 AB 的中点.以 OM 为直径的 ⊙P 分别交 x 轴,y 轴于 C、 D 两点, 交直线 AB 于点 E(位于点 M 右下方), OK ? y ,则 y 关于 x 连结 DE 交 OM 于点 K.设 tan ?OBA ? x (0< x <1), MK 的函数解析式为 . 7、如图,梯形 ABCD 的面积为 34cm2,AE=BF,CE 与 DF 相交于 O,?OCD 的面积为 11cm2,则阴影部分的面积为______cm2.
A E' F C' G D

第6题

E

B

第5题

C

第7题

8、如图,四边形 ABCD 为正方形,⊙O 过正方形的顶点

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A 和对角线的交点 P,分别交 AB、AD 于点 F、E.若⊙O 的半径为 AB= 2 +1,则

3 , 2

AE 的值为 . ED 9、已知一个正三角形的三个顶点在一个正方形的边上移动.如果这个内接三 角形的最大面积是 3.则该正方形的边长为 . 第8题 10、 在四边形 ABCD 中, 边 AB=x, BC=CD=4, DA=5, 它 的 对 角 线 AC=y , 其 中 x , y 都 是 整 数 , ∠BAC=∠DAC,那么 x= . 2 11、如果满足 ||x -6x-16|-10| = a 的实数 x 恰有 6 个, 第 10 题 那么实数 a 的值等于 . 12、一批救灾物资分别随 16 列货车从甲站紧急调运 到三百多千米以外的乙站,已知每列货车的平均速度都相等,且记为 v

? v ? 千米/小时.两列货车实在运行中的间隔不小于 ? ? 千米,这这批救灾 ? 25 ? 物资全部运到目的地最快需要 6 小时,那么每隔 分钟从甲站 向乙站发一趟货车才能使这批货物在 6 小时内运到. 13、已知 0≤a-b≤1,1≤a+b≤4,那么当 a-2b 达到最大值时,8a+2015b 的值等 于 . 14、在边长为 l 的正方形 ABCD 中,点 M、N、O、P 分别在 边 AB、BC、CD、DA 上.如果 AM=BM,DP=3AP,则 MN+NO+OP 的最小值是 . 15、如图,在四边形纸片ABCD中,AB=BC,AD=CD, ∠A=∠C=90° ,∠B=150° ,将纸片先沿直线BD对折,再 将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪,剪开后 的图形打开铺平,若铺平后的图形中有一个是面积为2 的平行四边形,则CD=______________. 第 15 题 16、从 1,2,…,2008 中选出总和为 1009000 的 1004 个数,并且这 1004 个数 中的任意两数之和都不等于 2009. 则这 1004 个数的平方和为 . 17、已知直角三角形 ABC 中,斜边 AB 长为 2,∠ACB=90° ,三角形内一个 动点到三个顶点的距离之和的最小值为 7 , 则这个直角三角形的两个锐 角大小分别为 , . 18、若实数 x、y 满足: x ? 3 x ? 1 ? x1 3 y ? 2 ? y , 则 若 设 p=x+y , 则 x2 x3 pmax= ,pmin= . x6 x7 x4 x5 19、已知平面上有 4 个圆叠在一起形成 x8 x9 10 个区域,其中在外区域的三个圆 每个圆有 5 个区域,在内区域的圆 x10 有 7 个区域. 现将数字 0,1,…,9 分 别放入 10 个区域, 且使每个圆都有 第 19 题 相同的数字和,则数字和 S 的取值 范围为 .

2

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20、已知∠BAC=90° ,四边形 ADEF 是正方形 B 1 1 1 ? ? 且边长为 1 ,则 的最大值 D AB BC CA 为 ,简述理由(可列式):
A

E

第 20 题

F . 三、分析解答题(本大题分 5 小题,分值依次为 8 分、10 分、8 分、14 分、 10 分,共 50 分) 21、(8 分)牛顿和莱布尼茨于 17 世纪分别独立地创立了积分学.其中有一个 重要的概念:定积分.我们规定把函数 f ?x ? 中区间 ?a,b? (包括 a,b)与 x

C

轴围成的面积记作: ? f ?x ?dx .
b a

(1).试证: ? kf ?x ?dx ? k ? f ?x ?dx ;
b b a a

(2).对于任意实数 a,b,c 其中( a < c < b ),是否都有: 如有, 请证明之. ? f ?x?dx ? ? f ?x?dx ? ? f ?x?dx .如没有请举出反例;
b c b a a c

22、 (10 分)在正方形 ABCD 的 AB、 AD 边各取点 K、 N, 使得 AK· AN=2BK· DN, 线段 CK、CN 交对角线 BD 于点 L、M,试证:∠BLK=∠DNC=∠BAM.

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23、(8 分)设 AB,CD 为圆 O 的两直径,过 B 作 PB 垂直 AB,并与 CD 延长 线相交于点 P,过 P 作直线 PE,与圆分别交于 E,F 两点,连 AE,AF 分别与 CD 交于 G,H 两点(如图),求证:OG=OH.

第 23 题

24、(14 分)如图,点 A 和动点 P 在直线 l 上,点 P 关于点 A 的对称点为 Q, 以 AQ 为边作 Rt ?ABQ ,使∠BAQ=90° ,AQ:AB=3:4,作 ?ABQ 的外 接圆 O.点 C 在点 P 右侧,PC=4,过点 C 作直线 m⊥l,过点 O 作 OD 3 ⊥m 于点 D, 交 AB 右侧的圆弧于点 E. 在射线 CD 上取点 F, 使 DF= CD, 2 以 DE,DF 为邻边作矩形 DEGF.设 AQ=3x. (1)用关于 x 的代数式表示 BQ,DF. (2)当点 P 在点 A 右侧时,若矩形 DEGF 的面积等于 90,求 AP 的长. (3)在点 P 的整个运动过程中, ①当 AP 为何值时, 矩形 DEGF 是正方形? ②作直线 BG 交⊙O 于点 N,若 BN 的弦心距为 1,求 AP 的长.

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第 24 题

25、(10 分)有 A、B、C 三个村庄,各村分别有适龄儿童 a、b、c 人.今要建 立一所小学,使各村学生到校总里程最短.试问:若三村人数不一定相等 时学校应建在哪里?

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初 中 数 学 竞 赛 选 拔 试 卷 参 考 答 案
一、单项选择题(本大题分 4 小题,每题 5 分,共 20 分) 题目 答案 1 B 2 D 3 D 4 D

二、填空题(本大题分 10 小题,每题 5 分,共 50 分) 2 98 2 5、 6、 y ? 7、12 8、 2或 9、 2 3 ? 3 10、4 或 5 2 17 1? x 2 85 11、10 12、12 13、8 14、 15、 2 3 ? 4 或 2 ? 3 4 9 ? 3 15 9 ? 3 21 或 16、1351373940 17、30° ,60° 18、 19、21≤S≤25 2 2 1 2 20、 1 ? ;理由:求式=1+ ,又 ?BDE ∽ ?EFC ? BD·CF=1, BC 2 2 BC2≥2+2BD·CF+ 4 BD ? CF =8∴计算可得为 1 ? 2 三、分析解答题(本大题分 5 小题,分值依次为 8 分、10 分、14 分、10 分, 共 50 分) 21、(8 分)【解】(暂无解答,征求答案) 22、(10 分)【解】 连结 KN、KM,将 ?NDC 绕点 C 顺时针旋转 90° 得 ?EBC . AB=AD ?AK+BK=AN+DN ? (AK-AN)2=(DN-BK)2 ?AK2+AN2-2AK·AN=DN2+BK2-2ND·BK(两边同加 2AK·AN) AN=2BK· DN 可知),结合图可知 NK2=KE2 ?AK2+AN2=(DN+BK)2(由 AK· ∴ ?NKC ∽ ?EKC (SSS)∴∠DNC=∠KEC=∠KNC,且∠KCN=45° ∴B、C、M、K 四点共圆(∠KBN=45° ) ∴KM⊥CN,∴A、K、M、N 四点共圆 ∴∠KAM=∠KNM=∠DNC,又∠MDN=45° =∠KCN ∴N、L、C、D 四点共圆,∴∠DNC=∠DLC=∠KLB ∴∠DNC=∠KAM=∠KLB(即∠BLK=∠DNC=∠BAM)
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23、(8 分)【解】 23、

第 23 题解

24、(14 分)【解】

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25、(10 分) 【解】 (I)当三村人数相等时,分以下两种情形(如图):(1) ?ABC 中最大 角大于 120° ,不妨令∠A≥120° ,则学校应建在 A 村;(2) ?ABC 中最大角小 于 120° ,则学校应建在 X 点(此点到三边的张角相等,亦称 ?ABC 的费马点) (II)当三村人数不一定相等时,则学校所在地 X,可通过物理学的模拟方 法求出:在平面上,用三点 A、B、C 模拟三村,用重物 a、b、c 模拟相应各 村人数,并用细线通过滑轮连接于 X 点.当出现平衡时,平衡点 X 就是学校 该建的地方.由静力学势能原理可知:AX·a+BX·b+CX·c 达最小值,即各 村分别有适龄儿童到校总里程最短.当 a=b=c 时,AX、BX、CX 三方向拉力

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相等且平衡.由对称关系,立得:∠AXB=∠BXC=∠CXA=90° . C B A X B (1) A (2) C

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