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2016山西华澳商贸职业学院单招数学模拟试题(附答案)


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2016 山西华澳商贸职业学院单招数学模拟试题(附答案)
一.选择题:本题共有 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分;在每小题给出的四个选项中 只有一项是正确的 1.已知集合 P={(x,y)||x|+|y|=1},Q={(x,y)|x2+y2≤1},则 A.P ? Q 2.
2.998 6

/>B.P=Q

C.P ? Q

D.P∩Q=Q

的近似值(精确到小数后第三位)为 B.724.089 C.726.098 D.726.908

A.726.089 3. 已知 f(x)=sin(x+

? ? ),g(x)=cos(x- ),则 f(x)的图象 2 2
B.与 g(x)的图象关于 y 轴对称,

A.与 g(x)的图象相同,

C.向左平移

? ? 个单位,得到 g(x)的图象, D.向右平移 个单位,得到 g(x)的图象 2 2

4. 在 100 个零件中,有一级品 20 个,二级品 30 个,三级品 50 个,从中抽取 20 个作 为样本:①采用随机抽样法,将零件编号为 00,01,02,…,99,抽出 20 个;②采 用系统抽样法,将所有零件分成 20 组,每组 5 个,然后每组中随机抽取 1 个;③采用 分层抽样法,随机从一级品中抽取 4 个,二级品中抽取 6 个,三级品中抽取 10 个;则

A.不论采取哪种抽样方法,这 100 个零件中每个被抽到的概率都是

1 5

B.①②两种抽样方法,这 100 个零件中每个被抽到的概率都是 ,③并非如此

1 5

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C.①③两种抽样方法,这 100 个零件中每个被抽到的概率都是 ,②并非如此

1 5

D.采用不同的抽样方法,这 100 个零件中每个被抽到的概率各不相同 5. 已知函数 f (x)(0≤x≤1)的图象的一段圆弧(如图所示)若 0 ? x1 ? x2 ? 1 ,则
f ( x1 ) f ( x2 ) ? x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) ? x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) ? x1 x2

A

B

C

D 前三个判断都不正确

???? ??? ? 6.过△ABC 的重心任作一直线分别交 AB,AC 于点 D、E.若 AD ? x AB ,

??? ? ???? 1 1 AE ? y AC , xy ? 0 ,则 ? 的值为

x

y

A.4

B.3

C.2

D.1

7.设函数 f ( x) ? x sin x , x ? [ ? 是 A. x1 ? x2 ? 0

? ?

, ] ,若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则下列不等式必定成立的 2 2

2 B. x12 ? x2

C. x1 ? x2

D. x1 ? x2

8.已知等比数列 { an } 的首项为 8, S n 是其前 n 项的和,某同学经计算得 S2=20, S3=36,S4=65,后来该同学发现了其中一个数算错了,则该数为 A. S1 B. S2 C. S3
f ?( x) 的图象大致是

D. S4

9.函数 y ? f ( x) 的图象如图所示,则导函数 y ?

y
f(x)

y

f ?( x )

f ?( x )

y x

y O

f ?( x )

y O x
f ?( x )

x

O

x

O A

x

O B

C

D

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10. 椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线 经过椭圆的另一个焦点,今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点 A 、 B 是它的焦点, 长轴长为 2 a ,焦距为 2 c ,静放在点 A 的小球(小球的半径不计),从点 A 沿直线出发, 经椭圆壁反弹后第一次回到点 A 时,小球经过的路程是 A. 4 a B. 2(a ? c) C. 2(a ? c) D.以上答案均有可能 第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中横线上. 11.已知集合 A={y|y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)>0},B={y|y2-6y+8≤0},若 A∩B≠φ, 则实数 a 的取值范围为_________. 12.如右图所示的几何体 ABCDEF 中,ABCD 是平行四边形且 AE∥CF, 六个顶点任意两点连线能组成异面直线的对数是____________
a2 n 4n ? 1 ? ,则 S2n = . an 2n ? 1 Sn

13. S n 为等差数列 { an } 的前 n 项和,若

14.一块用栅栏围成的长方形土地的长和宽分别为 52 米和 24 米,现欲将这块土地内 部分割成一些全等的正方形试验田,要求这块土地全部被划分且分割的正方形的边与 这块土地的边界平行,现另有 2002 米栅栏,则最多可将这块土地分割成__________ 块.

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15.a、b、c、d 均为实数,使不等式

a c ? ? 0 和 ad ? bc 都成立的一组值(a,b,c, b d

d)是.(只要写出适合条件的一组值即可)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步 骤。 16.(本题满分 12 分)

已知函数 f ( x) ? 2m sin 2 x ? 2 3m sin x ? cos x ? n 的定义域为 ?0,

? ?? ,值域为 ? 2? ?

??5, 4? .试求函数 g ( x) ? m sin x ? 2n cos x ( x ? R )的最小正周期和最值.

17.(本小题满分 12 分) 1 1 两个人射击,甲射击一次中靶概率是 p1,乙射击一次中靶概率是 p2,已知 p , p 是方 1 2 程 x2-5x + 6 = 0 5 的根,若两人各射击 5 次,甲的方差是 4 . ?1? 求 p1、p2 的值; ?2? 两人各射击 2 次,中靶至少 3 次就算完成目的,则完成目的的概率是多少? ?3? 两人各射击一次,中靶至少一次就算完成目的,则完成目的的概率是多少?

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18.(本小题满分 12 分) 如图,已知四棱锥 P—ABCD 的底面是直角梯形, AB=BC=PB=PC=2CD=2,侧面 (1)求证: (3)求证:平面 ;(2)求二面角 平面 PAB. ,

底面 ABCD,O 是 BC 中点,AO 交 BD 于 E. 的大小;
YCY

19.(本小题满分 12 分)

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P 是以 F1、F2 为焦点的双曲线 C:
x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)上的一点,已知 a 2 b2

???? ???? ? ???? ???? ? PF1 ? PF2 =0, | PF1 |? 2 | PF2 | .
(1)试求双曲线的离心率 e ;

(2)过点 P 作直线分别与双曲线两渐近线相交于 P1、P2 两点,当 OP 1 ? OP 2 ? ?

???? ????

27 , 4

??? ? ???? 2PP 1 ? PP 2 = 0,求双曲线的方程.

20.(本小题满分 13 分)
3 3 3 3 设数列 {a n } 的各项都是正数, 且对任意 n ? N ? 都有 a1 ? a2 ? a3 ??? an ? (Sn )2 , 记 Sn

为数列 {a n } 的前 n 项和

王新敞
奎屯

新疆

(1) 求证: a 2 n ? 2Sn ? a n ;(2) 求数列 {a n } 的通项公式; (3) 若 b n ? 3n ? (?1) n ?1 ? ? 2 a n ( ? 为非零常数, n ? N ? ), 问是否存在整数 ? , 使得对任意

n ? N? ,
都有 b n ?1 ? b n
王新敞
奎屯 新疆

21.(本小题满分 14 分)

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设 f ( x) 是定义在[-1,1]上的偶函数, g ( x) 的图象与 f ( x) 的图象关于直线 x ? 1 对称,且 当 x∈[ 2,3 ] 时, g ( x) ? 2a ( x ? 2 ) ? 4( x ? 2 ) 3 . (1)求 f ( x) 的解析式; (2)若 f ( x) 在 ( 0 , 1 ] 上为增函数,求 a 的取值范围; (3)是否存在正整数 a ,使 f ( x) 的图象的最高点落在直线 y ? 12 上?若存在,求出 a 的值;若不存在,请说明理由.

参考答案:
1.解析:答案 A.集合 P 表示正方形,集合 Q 表示圆面,作出它们的图形即可. 评析:利用二个集合间的几何意义借助数形结合思想,是本题考察的重点. 2.解析: 2.9986 ? ( 3 ? 0.002 )6 ? 36 ? C61 ? 35 ? 0.002 ? C62 ? 34 ? 0.0022 ? ?? ? 729 ? 2.916 ? 0.00486 ? 726.089 . 答案:A. 评析:本题是考察二项式展开式的应用,难点是项数的舍弃.

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3.解析:f(x)的图象向右平移 -

? ? ? 个单位,得 sin[(x- )+ ]=sinx,又 g(x)=cos(x 2 2 2

? ? =cos( -x)=sinx.答案:D. 2 2
评析:本题是考察三角函数的等价变换与图象的平移.

4.答案 A.解析:将三种抽样法的有关计算公式计算所得的概率都是 ,故选 A.

1 5

(文)A .当函数的图像左右平移时,不改变函数的值域.
f ( x1 ) f ( x2 ) , 可视为曲线上两点 ( x1 , f ( x1 )) 、 ( x2 , f ( x2 )) 的斜率,作图易 x1 x2

5.解析:.∵ 得

f ( x1 ) f ( x2 ) ? .选 C. x1 x2

评析:本题是考察转化与数形结合的思想,解题的关键是将函数与不等式问题转 化为解析几何问题.
1 1 6.解析:取△ABC 为正三角形易得 ? =3.选 B. x y

评析:本题考查向量的有关知识,如果按常规方法就比较难处理,但是用特殊值 的思想就比较容易处理,考查学生灵活处理问题的能力. 7.解析:易知 f ( x) ? f ( | x | ) ,且当 x∈ x ? [ 0 ,
π ] 时, f ( | x | ) 为增函数.又由 2

2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,得 f ( | x1 | ) ? f ( | x2 | ) ,故 | x1 | ? | x2 | |,于是 x12 ? x2 .选 B.

评析:本题考查运用奇函数、偶函数与增函数的概念与性质解决问题.

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8.解析:显然 S1 是正确的.假设后三个数均未算错,则 a1=8,a2=12,a3=16, a4=29,可知 a22≠a1a3,故 S2、S3 中必有一个数算错了.若 S2 算错了,则 a4=29=a1q3,
q?
3

29 2

,显然 S3=36≠8(1+q+q2),矛盾.只可能是 S3 算错了,此时由 a2=12 得 q ? ,

3 2

a3=18,a4=27,S4=S2+18+27=65,满足题设.选 C. 评析:本题考查等比数列的基本概念与性质和学生推理的能力. 9.解析:答 由
f ?( x)
f ( x) 的图象及 f ?( x ) 的意义知,在

x>0 时,

f ?( x ) 为单调递增函数且

<0;在 x<0 时,

f ?( x ) 为单调递减函数且 f ?( x ) <0.选

D.

评析:本题考查学生灵活运用导数知识与观察问题的能力. 10.解析:答⑴静放在点 A 的小球(小球的半径不计)从点 A 沿直线出发,经椭圆壁 右顶点反弹后第一次回到点 A 时,小球经过的路程是 2(a ? c) ,则选 B;⑵静放在点 A 的小球(小球的半径不计)从点 A 沿直线出发,经椭圆壁左顶点反弹后第一次回到点

A 时,小球经过的路程是 2(a ? c) ,则选 C;⑶静放在点 A 的小球(小球的半径不计)
从点 A 沿直线出发,经椭圆壁非左右顶点反弹后第一次回到点 A 时,小球经过的路程 是 4 a ,则选 A. 于是三种情况均有可能,故选 D. 评析:本题考察学生是否掌握光学的有关性质与解几相关的性质以及分类讨论的 重要思想方法.
11.分析:解决数学问题的思维过程,一般总是从正面入手,即从已知条件出发,经过一 系列的推理和运算,最后得到所要求的结论,但有时会遇到从正面不易入手的情况,这时 可从反面去考虑.从反面考虑问题在集合中的运用主要就是运用补集思想.本题若直接求 解,情形较复杂,也不容易得到正确结果,若我们先考虑其反面,再求其补集,就比较容

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易得到正确的解答.

解:由题知可解得 A={y|y>a2+1 或 y<a}, B={y|2≤y≤4},我们不妨先考虑当 A∩B=φ 时 a 的范围.如图

由?

?a ? 2 ?a ? 1 ? 4
2

,得 ?

?a ? 2 ?a ? 3或a ? ? 3

a 2

4 a2+1

∴a ? ? 3或 3 ? a ? 2. 即 A∩B=φ 时 a 的范围为 a ? ? 3 或 3 ? a ? 2 .而 A∩B≠φ 时 a 的范围显然是其补 集,从而所求范围为 a | a ? 2或 ? 3 ? a ? 3 . 评注:一般地,我们在解时,若正面情形较为复杂,我们就可以先考虑其反面,再 利用其补集,求得其解,这就是“补集思想”. 解析:答:39.每个三棱锥中有三对异面直线,则异面直线的对数是 3(C4 6-2)=39. 12.评析:本题把排列组合和立体几何挂起钩来,考生则必须对立体几何的有关知识 有所了解和掌握. 13.解析:答 由 a2 n ? 4n ? 1 ,即 an ? nd ? 4n ? 1 ,得 an ? 2n ? 1 d , a1 ? d .
an 2n ? 1
an 2n ? 1

?

?

2

2

Sn ?

2 n(a1 ? an ) n 2 d , S 2 n ? (2n) d ? 4 S n .故 S 2 n =4. ? 2 2 2 Sn

评析:本题采用基本量法来作,但显然运算量会大上许多,本题可用特殊法处理. 14.解析:.设长分割成 x 列,宽分割成 y 行,共分割成 z 块,

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?24( x ? 1) ? 52( y ? 1) ? 2002 ? x 52 13 ? x ? 43 ? ? ? 则? ?? y 24 6 ? y ? 19 ? ? x, y ? N ? ?
z=x· y 当 x=39,y=18 时, zmax ? x?y ? 39 ?18 ? 702 . 评析:本题主要考查线性规划知识以及利用数形结合法解决问题,特别是已知区 域求最优解是学生易错的地方. 15.解析:本题为开放题,只要写出一个正确的即可,如(2,1,-3,2). 评析:本题为开放题,考察学生对知识灵活处理问题的能力.

16.解析: f ( x) ? ? 3m sin 2 x ? m cos 2 x ? m ? n ? ?2m sin( 2 x ?

? ) ?m ? n 6

? ? ? 7? ? ? ? 1 ? ? ?? x ? ?0, ? ? 2 x ? ? ? , ? ? sin(2 x ? ) ? ? ? ,1? …………………………4’ 6 ?6 6 ? 6 ? 2 ? ? 2?
当 m >0 时, f ( x)max ? ? 2m(? ) ? m ? n ? 4 , f ( x) min ? ?m ? n ? ?5

1 2

解得 m ? 3, n ? ?2 ,………………………………………………………………6’ 从而, g ( x) ? 3sin x ? 4cos x ? 5sin( x ? ? ) ( x ? R) , T= 2? ,最大值为 5,最小值为-5;………………………………………………8’ 当 m<0 时, 解得 m ? ?3, n ? 1,………………………………………………10’ 从而, g ( x) ? ?3sin x ? 2cos x ? 13sin( x ? ? ) ,T= 2? ,最大值为 13 ,

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最小值为 ? 13 .……………………………………………………………………12’ 评析:本题考查三角函数的运算.考查的知识点有和差化积、周期与三角函数 值域的求法、分类讨论的思想方法.近几年三角运算一直是考试所要求的基本题型之 一,本题就是基于这一要求而制定的. 17.解析:?1? 由题意可知 ? 甲 ~ B(5, p1), 5 1 1 1 1 D? 甲 = 5p1?1-p1? = 4 ? p12-p1 + 4 = 0 ? p1 = 2 .2 分;又 p · = 6,∴ 1 p2



1 p2 = 3 . 3 分 ?2? 两类情况:共击中 3 次概率 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 C2 ? ?2? ?0×C2 ? ?1? ?1 + C2 ? ?1? ?1×C2 ? ?2 ? ?0 = ; 2 2 3 3 2 2 3 3 6 1 2 1 2 1 2 1 共击中 4 次概率 C2 ?2 ?2?2 ?0×C2 ?3 ?2?3 ?0 = 36 . 6 分 1 1 7 所求概率为 6 + 36 = 36 . 8 分 ?3? 设事件 A, B 分别表示甲、乙能击中.∵ A, B 互相独立(9 分),∴ P??A· ?B ? 1 2 1 = P??A ? P??B ? = ?1-P?A???1-P?B?? = ?1-p1??1-p2? = 2 ×3 = 3 (11 分),∴ 1- 2 P??A· ?B ? = 3 为所求概率. 12 分 评析:这一类型的试题在连续几年的新课程卷都出现了,重点考查了分类讨论的 数学思想,体现了《考试说明》所要求的创新意识和实践能力以及运用数学知识解决

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实际问题的能力.该题仍然是常规题,要求考生耐心细致,审题能力较强,并善于利 用材料进行分析说明.

18.方法一:(I)证明: 平面 平面 ABCD=BC,

,又? 平面 平面 ABCD ……2 分

平面 ABCD,

在梯形 ABCD 中,可得 ,即 在平面 ABCD 内的射影为 AO, (II)解: 平面 PBC, ,且平面 平面 ABCD ……4 分

平面 PBC, ……6 分 即二面角 P—DC—B 的大小为 …8 分 ①

为二面角 P—DC—B 的平面角 是等边三角形

(III)证明:取 PB 的中点 N,连结 CN,? PC ? BC ,且平面 平面 PAB 平面 平面 ABCD, 平面 PAB ②

? CN ? PB
……10 分

平面 PBC

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由①、②知 平面 PAB…………..10 分

连结 DM、MN,则由 MN//AB//CD, MN ? 1 AB ? CD ,
2

得四边形 MNCD 为平行四边形, 平面 PAD 平面



平面 PAB.

平面 PAB ……………….12 分 是等边三角形, 底面 ABCD ……1 分

方法二:取 BC 的中点 O,因为 由侧面 底面 ABCD 得

以 BC 中点 O 为原点,以 BC 所在直线为 x 轴,过点 O 与 AB 平行的直线为 y 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系 O—xyz……2 分

(I)证明:

,则在直角梯形中, ……3 分

在等边三角形 PBC 中,

? A(1 , ? 2, 0),B( 1 , 0, 0),D(?1 , ?1 , 0),P(0, 0,3)
? ? ? BD ? (?2, ? 1, 0), PA ? (1, ? 2, ? 3)
? ? ? BD? PA ? (?2) ? 1 ? (?1) ? (?2) ? 0 ? (? 3 ) ? 0

,即

…4 分

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? (II)解:取 PC 中点 N,则 BN ? ( ? 3 ,0, 3 ) 2 2
? ? ? DC ? (0, 2, 0), CP ? (1, 0,3 ) ? ? 3 3 ? BN? DC ? (? ) ? 0 ? 0 ? 2 ? ?0 ? 0 2 2

? ? 3 3 BN? CP ? (? ) ? 1 ? 0 ? 0 ? ? 3?0 2 2

平面 PDC,显然

,且

平面 ABCD

所夹角等于所求二面角的平面角
? ? ? 3 3 3 ? ? BN? OP ? (? ) ? 0 ? 0 ? 0 ? ? 3? , | BN |? 3, | OP |? 3 2 2 2
? ? ? cos ? BN , OP ?? 3 2 ?1, 3 3 2

……6 分

二面角

的大小为

……8 分

(III)证明:取 PA 的中点 M,连结 DM,则 M 的坐标为 ( 1 , ? 1, 3 )
2 2
? ? 3 3 又 DM ? ( ,0, ) , PB ? (1,0, ? 3) 2 2

……10 分

? ? 3 ? ? 3 ? DM ? PA ? ? 1 ? 0 ? (?2) ? ? (? 3 ) ? 0 , DM ? PB ? 3 ? 1 ? 0 ? 0 ? 3 ? ( ? 3) ? 0 2 2 2 2
即 平面 PAB, 平面 平面 PAB ……12 分

评析:本题考察的空间中的线线关系、面面关系以及二面角的求法关系是立体几 何中的最主要关系,熟悉它们的判定和性质是高考复习的重点,本题重在考查学生的 运算能力、空间想象能力.

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19.解(1)∵ | PF1 |? 2 | PF2 | , | PF1 | ? | PF2 |? 2a ,∴ | PF1 |? 4a , | PF2 |? 2a . ∵ PF1 ?PF2 =0,∴(4a)2+(2a)2=(2c)2,∴ e ?
???? ???? ?

????

???? ?

????

???? ?

????

???? ?

c ? 5 .……………………4 分 a

2 2 (2)由(1)知,双曲线的方程可设为 x 2 ? y 2 ? 1 ,渐近线方程为 y ? ? 2 x .…5 分

a

4a

设 P1(x1,2x1),P2(x2,-2x2),P(x,y).
2 x1 ? x2 , 3 ………8 分 ? y ? 2(2 x1 ? x2 ) . ? 3 ? ? x?

? ∵ OP1 ?OP2 ? ?3x1x2 ? ? 27 ,∴ x1 x2 ? . ∵ 2PP1 ? PP2 ? 0 ,∴ ? ?
???? ???? ? 4

9 4

??? ? ????

∵点 P 在双曲线上,∴ (2 x1 ? 2x2 )
9a

2

?

(2 x1 ? x2 ) 2 ? 1. 9a 2

化简得, x1x2 ? 9a .∴ 9a
8

2

2

8

?

2 2 9 .∴ a 2 ? 2 .∴双曲线的方程为 x ? y ? 1 …12 分 4 2 8

评析:本题考查向量与双曲线的有关内容.近几年来向量与其他知识互相渗透成 为一种时尚,基于此特命此题.本题考查学生运用圆锥曲线定义灵活解题的能力、向 量知识、运算能力.
3 2 20.证明:(1)在已知式中, 当 n ? 1 时, a 1 ? a1 , ∵ a 1 ? 0, ∴ a 1 ? 1 …(1 分)
王新敞
奎屯 新疆

3 3 3 3 2 当 n ? 2 时, a1 ? a2 ??? an ?1 ? an ? (Sn ) ??①

3 3 3 2 a1 ? a2 ? ?? an ?1 ? (Sn?1 ) ??②

3 由①-②得, an ? an (2Sn?1 ? an ) ………(3 分)

2 ∵ a n ? 0, ∴ an ? 2Sn?1 ? an , 即 a 2 n ? 2S1 ? a n , ∴ a 1 ? 1 适合上式,

a2 n ? 2Sn ? a n (n ? N ? ) ………(5 分)
王新敞
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(2)由(1)知, a 2 n ? 2Sn ? a n (n ? N ? ) ??③ 当 n ? 2 时, a 2 n ?1 ? 2Sn ?1 ? a n ?1 ??④
2 由③-④得, a 2 n ? a n ?1 ? 2(Sn ? Sn ?1 ) ? a n ? a n ?1 ? 2a n ? a n ? a n ?1 ? a n ? a n ?1 ……(8

分) ∵ a n ? a n ?1 ? 0 , ∴ a n ? a n ?1 ? 1 , 数列 {a n } 是等差数列,首项为 1,公差为 1, 可得

a n ? n …(10 分)
王新敞
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(3) ∵ a n ? n , ∴ b n ? 3n ? (?1) n ?1 ? ? 2a n ? 3n ? (?1) n ?1 ? ? 2 n , ………(11 分) ∴ b n ?1 ? b n ? 3n ?1 ? (?1) n ? ? 2 n ?1 ? [3n ? (?1) n ?1 ? ? 2 n ] ? 2 ? 3n ? 3?(?1) n ?1 ? 2 n ? 0 , ∴ (?1) n ?1 ? ? ? ( ) n ?1 ? ?⑤………(12 分)

3 2

2k ?2 当 n ? 2k ? 1, k ? 1, 2, 3,?? 时, ⑤式即为 ? ? ( ) ? ?⑥

3 2

依题意, ⑥式对 k ? 1, 2, 3,?? 都成立, 当 n ? 2k, k ? 1, 2, 3,?? 时,

2 k ?1 ⑤式即为 ? ? ?( ) ? ?⑦依题意, ⑦式对 k ? 1, 2, 3,?? 都成立,

3 2

∴? ? ?

3 ………(13 分) 2

∴?

3 ? ? ? 1, 又 ? ? 0 , 2
………(13 分)

∴存在整数 ? ? ?1 , 使得对任意 n ? N ? , 都有 b n ?1 ? b n

王新敞
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21.解:(1)当 x∈[-1,0]时,2-x∈[2,3],f(x)=g(2-x)= -2ax+4x3;当 x∈ ( 0 , 1 ] 时, f(x)=f(-x)=2ax-4x3,

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∴ f ( x) ? ? ?
??2ax ? 4 x3 , ?1≤ x ≤ 0,
3 ? ?2ax ? 4 x , 0 ? x ≤1.

………………………………………4 分

(2)由题设知, f ?( x) >0 对 x∈ ( 0 , 1 ] 恒成立,即 2a-12x2>0 对 x∈ ( 0 , 1 ] 恒成立, 于是,a>6x2,从而 a>(6x2)max=6.………………………8 分 (3)因 f(x)为偶函数,故只需研究函数 f(x)=2ax-4x3 在 x∈ ( 0 , 1 ] 的最大值. 令 f ?( x) =2a-12x2=0,得 x ? a .…10 分
6

若 a ∈ (0,1] ,即 0<a≤6,则
6

[ f ( x)]max ? f (

a ) ? 2a ? 6

a ? 4( 6

a 3 ) ? 2a ? 6

a ≤ 12 , 6

故此时不存在符合题意的 a ; 若 a >1,即 a>6,则 f ( x) 在 ( 0 , 1 ] 上为增函数,于是 [ f ( x)]max ? f (1) ? 2a ? 4 .
6

令 2a-4=12,故 a=8. 综上,存在 a = 8 满足题设.………………13 分 评析:本题通过函数的知识来切入到导数,是在这两个重要知识的交汇处命题, 意在考查学生的逻辑思维能力与推理能力,函数及导数的应用是数学的难点,也是考 得最热的话题之一,也是本套试卷的把关题,对学生的要求较高.


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