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2015北京模拟数学试题分类汇编文---概率与统计


2015 年北京高三文科数学试题分类汇编----概率与统计 一模文
(4) (15 海淀一模文)某单位计划在下月 1 日至 7 日举办人才交流会,某人随机选择其中的连续 两天参加交流会,那么他在 1 日至 3 日期间连续两天参加交流会的概率为( (A) )

1 2

(B)

1 3

C)

1 4

(D )

1 6

11. (15 西城一模文)

1 成立的概率为____. 在区间 [?2,1] 上随机取一个实数 x,则 x 使不等式 | x ? 1| ≤
10. (15 房山一模文)连续抛两枚骰子分别得到的点数是 a , b ,设向量 m ? (a, b) ,

??

? ?? ? n ? (1, ? 1) m 向量 ,则 ? n 的概率是_____.
13. (15 丰台一模文)某中学共有女生 2000 人,为了了解学生体质健康状况,随机抽取 100 名女生进行体质监测,将她们的体重(单位:kg)数据加以统计,得到如图所示的频率分布 直方图,则直方图中 x 的值为;试估计该校体重在 [55,70) 的女生有人.

(16)(15 海淀一模文) 某超市从 2014 年甲、乙两种酸奶的日销售量(单位:箱)的数据中分别随机抽取 100 个,整理得到数据分组及频率分布表 和频率分布直方图: ..... 分组(日销售量) [ 0,10] (10,20] (20,30] (30,40] (40,50] 频率(甲种酸奶) 0.10 0.20 0.30 0.25 0.15

(Ⅰ)写出频率分布直方图中的 a 的值,并作出甲种酸奶日销售量的频率分布直方图;

2 2 2 2 (Ⅱ)记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量(单位:箱)的方差分别为 s1 , s2 ,试比较 s1 与 s2

的大小; (只需写出结论) (Ⅲ)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,试估计乙种酸奶在未来一个月 (按 30 天计算)的销售总量. (15) (15 东城一模文) 下面的茎叶图记录了甲、乙两组各 5 名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分). 甲组 乙组

9
x

0

9 5

2 4

1
2

y

8

7
(Ⅰ)求 x , y 的值;

4

已知甲组数据的中位数为 13 ,乙组数据的平均数是 16.8 .

(Ⅱ)从成绩不低于 10 分且不超过 20 分的学生中任意抽取 3 名,求恰有 2 名学生在乙 组的概率. 18. (15 西城一模文) 2014 年 12 月 28 日开始, 北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价. 具体如下表(不 . 考虑公交卡折扣情况)
乘公共电汽车方案 10 公里(含)内 2 元; 10 公里以上部分,每增加 1 元可乘坐 5 公里(含). 6 公里(含)内 3 元; 乘坐地铁方案(不含 机场线) 6 公里至 12 公里(含)4 元; 12 公里至 22 公里(含)5 元; 22 公里至 32 公里(含)6 元; 32 公里以上部分,每增加 1 元可乘坐 20 公里(含).

已知在北京地铁四号线上, 任意一站到陶然亭站的票价不超过 5 元, 现从那些只乘坐四 号线地铁, 且在陶然亭站出站的乘客中随机选出 120 人, 他们乘坐地铁的票价统计如图所示. (Ⅰ)如果从那些只乘坐四号线地铁,且在陶然亭站出站的乘客中任选 1 人,试估计此 人乘坐地铁的票价小于 5 元的概率;

(Ⅱ)已知选出的 120 人中有 6 名学生,且这 6 人乘坐地铁的票价情形恰好与按票价 ...
从 这 分层 抽样 所选的结果相同, 现从这 6 人中随机选出 2 人, 求这 2 人的票价和恰 . .120 人中 .. .. .. 好为 8 元的概率;

(Ⅲ)小李乘坐地铁从 A 地到陶然亭的票价是 5 元,返程时,小李乘坐某路公共电汽 车所花交通费也是 5 元,假设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为 s 公里,试 写出 s 的取值范围.(只需写出结论)
人数 60 50 40 30 20 10 O 3 4 5 票价(元)

(16) (15 朝阳一模文) 某次考试结束后,为了解甲、乙两所学校 学生的数学考试情况, 随机抽
甲校 乙校 9 8 7 6 5 0 0 3 5 1 * 5 2 6 8

取甲、乙两校各 10 名学生的 考试成绩,得茎叶图如图所示(部分数据不清晰) : (Ⅰ)请根据茎叶图判断哪个学校的数学成绩平均水 平较高(直接写出结果) ; (Ⅱ)若在抽到的这 20 名学生中,分别从甲、乙两校
6 *

3 2 2

2 1 * 6 8

随机各抽取 1 名成绩不低于 90 分的学生, 求抽到的学生中, 甲校学生成绩高于乙校 学生成绩的概率.

17.(15 房山一模文) 教育资源的不均衡是促进“择校热”的主要因素之一, “择校热”也是教育行政部门一 直着力解决的问题。某社会调查机构为了调查学生家长对解决“择校热”的满意程度,从

A, B, C, D 四个不同区域内分别选择一部分学生家长作调查, 每个区域选出的人数如条形图
所示.为了了解学生家长的满意程度,对每位家长都进行了问卷调查,然后用分层抽样的方 法从调查问卷中抽取 20 份进行统计,统计结果如下面表格所示: 满意 一般 25% 0 50% 20% 不满意 25% 20% 0 40%

A 区域 B 区域

50% 80% 50% 40%

C 区域
D 区域

(Ⅰ)若家长甲来自 A 区域,求家长甲的调查问卷被选中的概率;

(Ⅱ)若想从调查问卷被选中且填写不满意的家长中再选出 2 人进行面谈,求这 2 人中至少有一人来自 D 区域的概率.

17.(15 丰台一模文) 某出租车公司响应国家节能减排的号召, 已陆续购买了 140 辆纯电动汽车作为运营车辆, 目前我国主流纯电动汽车按续驶里程数 R(单位:公里)分为 3 类,即 A:80≤R<150,B: 150≤R<250,C:R≥250.对这 140 辆车的行驶总里程进行统计,结果如下表: A B C 类型 已行驶总里程不超过 5 万公里的车辆数 已行驶总里程超过 5 万公里的车辆数 10 20 40 20 30 20

(Ⅰ)从这 140 辆汽车中任取 1 辆,求该车行驶总里程超过 5 万公里的概率; (Ⅱ)公司为了了解这些车的工作状况,决定抽取 14 辆车进行车况分析,按表中描述 的六种情况进行分层抽样,设从 C 类车中抽取了 n 辆车. (ⅰ)求 n 的值; (ⅱ)如果从这 n 辆车中随机选取 2 辆车,求恰有 1 辆车行驶总里程超过 5 万公 里的概率.

17. (15 石景山一模文) 已知高二某班学生语文与数学的学业水平测试成绩抽样统计如下表, 若抽取学生 n 人, 成 绩分为 A(优秀) 、B(良好) 、C(及格) 三个等级, 设 x,y 分别表示语文成绩与数学成绩. 例 如: 表中语文成绩为 B 等级的共有 20+18+4=42 人. 已知 x 与 y 均为 B 等级的概率是 0.18.

x
人数 语 文

A

B

C

y

数学

A B C (Ⅰ)求抽取的学生人数;

7 9 a

20 18 4

5 6 b

(Ⅱ)设该样本中,语文成绩优秀率是 30%,求 a,b 值; (Ⅲ) 已知 a ? 10, b ? 8 , 求语文成绩为 A 等级的总人数比语文成绩为 C 等级的总人数少的 概率.

18.(15 顺义一模文) 某市调研机构对该市工薪阶层对“楼市限购令”态度进行调查,抽调了 50 名市民,他们月 收入频数分布表和对“楼市限购令”赞成人数如下表: 月收入(单位:百元) 频数 频率 赞成人数

?15,25? ?25,35? ?35,45? ?45,55? ?55,65? ?65,75?
5 0.1 4

c
a
8

10

5 0.1 3

5 0.1 1

b
12

0.2 5

(I)若所抽调的 50 名市民中,收入在 图;

?35,45? 的有 15 名,求 a, b, c 的值,并完成频率分布直方
频率 组距 0.03 0.02 0.01 15 25 35 45 55 65 75 收入(百元)

(II)若从收入(单位:百元)在

?55,65? 的被调查者中随机选取两人进行追踪调查,求选中的 2 人

至少有 1 人不赞成“楼市限购令”的概率.

二模文 2. (15 朝阳二模文)在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子,豆子落在该正方形内切圆的 四分之一圆(如图阴影部分)中的概率是 A.

π 4

B.

π 8

C.

π 16

D.

π 32

(16) (15 海淀二模文) 某中学为了解初三年级学生“掷实心球”项目的整体情况,随机抽取男、女生各 20 名进行 测试,记录的数据如下:

男生投掷距离(单位:米) 9 7 7 8 7 6 6 6 8 5 5 3 0 7 3 1 1 2 2 0 已知该项目评分标准为: 男生投 ? 掷距离 (米) 女生投 ? 掷距离 (米) 个人得 ? 分 (分) 5. 6. 7. 8. 9. 10.

女生投掷距离(单位:米) 4 6 4 5 5 6 6 6 9 0 0 2 4 4 5 5 5 5 8 1

[5.4, 6.0)

[6.0, 6.6)

[6.6, 7.4)

[7.4, 7.8)

[7.8,8.6)

[8.6,10.0)

[10.0, ??)

[5.1,5.4)

[5.4,5.6)

[5.6, 6.4)

[6.4, 6.8)

[6.8, 7.2)

[7.2, 7.6)

[7.6, ??) ~

4

5

6

7

8

9

10

(Ⅰ)求上述 20 名女生得分 的中位数和众数; .. (Ⅱ)从上述 20 名男生中,有 6 人的投掷距离低于 7.0 米,现从这 6 名男生中随机抽取 2 名男生,求抽取的 2 名男生得分都是 4 分的概率; (Ⅲ)根据以上样本数据和你所学的统计知识,试估计该年级学生实心球项目的整体情况. (写出两个结论即可) (15) (15 东城二模文) 甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动,对购买该商品的顾客两家商场的奖励方 案如下: 甲商场: 顾客转动如图所示圆盘, 当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形, 且每个扇形圆心 角均为 15 ,边界忽略不计)即为中奖. 乙商场:从装有 3 个白球和 3 个红球的盒子中一次性摸出 2 球(这些球除颜色外 完全相 同),如果摸到的是 2 个红球,即为中奖. 试问:购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大?请说明理由.
?

18. (15 西城二模文) 某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在 10 个卖场的销售量(单位:台) ,并根据这 10 个 卖场的销售情况,得到如图所示的茎叶图.

为了鼓励卖场, 在同型号电视机的销售中, 该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该 型号电视机的“星级卖场” . (Ⅰ)求在这 10 个卖场中,甲型号电视机的“星级卖场”的个数; (Ⅱ)若在这 10 个卖场中,乙型号电视机销售量的平均数为 26.7,求 a>b 的概率; (Ⅲ)若 a=1,记乙型号电视机销售量的方差为 s 2 ,根据茎叶图推断 b 为何值时,s 2 达 到最 小值. (只需写出结论) (注:方差 s ?
2

1 [( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ? ? ( xn ? x) 2 ] ,其中 x 为 x1 , x2 ,?, xn n

的平均数) 17. (15 朝阳二模文) 某学科测试,要求考生从 A, B, C 三道试题中任选一题作答.考试结束后,统计数据显 示共有 420 名学生参加测试,选择 A, B, C 题作答的人数如下表: 试题 人数

A
180

B
120

C
120

(Ⅰ) 某教师为了解参加测试的学生答卷情况, 现用分层抽样的方法从 420 份试卷中抽出若 干试卷,其中从选择 A 题作答的试卷中抽出了 3 份,则应从选择 B, C 题作答的试卷中各抽 出多少份? (Ⅱ)若在(Ⅰ)问被抽出的试卷中,选择 A, B, C 题作答得优的试卷分别有 2 份,2 份,1 份. 现从被抽出的选择 A, B, C 题作答的试卷中各随机选 1 份, 求这 3 份试卷都得优的概率.

16.(15 昌平二模文) 某大学志愿者协会有 10 名同学,成员构成如下表,其中表中部分数据不清楚,只知道从这 10 名同学中随机抽取一位,抽到该名同学为“数学专业”的概率为 专业 性别 男 女 (I) 求 m, n 的值; 中文 英语 1 1 数学

2 . 5
体育 1 1

n
1

m
1

(II)现从男同学中随机选取 2 名同学,进行社会公益活动(每位同学被选到的可能性 相同) ,求选出的这 2 名男同学中至少 有一位同学是“数学专业”的概率. ..

17.(15 丰台二模文) 长时间用手机上网严重影响着学生的身体健康,某校为了解 A,B 两班学生手机上网的 时长, 分别从这两个班中随机抽取 5 名同学进行调查, 将他们平均每周手机上网的时长作为 样本,绘制成茎叶图如图所示(图中的茎表示十位数字,叶表示个位数字) . (Ⅰ)分别求出图中所给两组样本数据的平均值,并据此估计,哪个班的学生平均上网 时间较长; (Ⅱ)从 A 班的样本数据中随机抽取一个不超过 21 的数据记为 a,从 B 班的样本数据 中随机抽取一个不超过 21 的数据记为 b,求 a>b 的概率. A班 B班 9 4 1 0 1 0 1 2 3 1 1 2 5 6

答案 一模文 海淀 4 西城 11 房山 10 丰台 13 海淀 16

B 1 3

1 6
0.024;1000

(16) (共 13 分) 解: (Ⅰ) a ? 0.015 ; ??????2 分

??????6 分

2 2 (Ⅱ) s1 . ? s2

??????9 分

(Ⅲ)乙种酸奶平均日销售量为:

x ? 5 ? 0.20 ? 15 ? 0.10 ? 25 ? 0.30 ? 35 ? 0.15 ? 45 ? 0.25 ? 26.5(箱)??????11 分
乙种酸奶未来一个月的销售总量为: 26.5 ? 30 ? 795 (箱). 东城 15 ??????13 分

西城 18 18. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:记事件 A 为“此人乘坐地铁的票价小于 5 元”,??????1 分 由统计图可知,得 120 人中票价为 3 元、4 元、5 元的人数分别为 60 , 40 , 20 (人). 所以票价小于 5 元的有 60 ? 40 ? 100 (人).??????2 分 故 120 人中票价小于 5 元的频率是

100 5 ? . 120 6

所以估计此人乘坐地铁的票价小于 5 元的概率 P( A) =

5 . ??????4 分 6
??????5 分

(Ⅱ)解:记事件 B 为“这 2 人的票价和恰好为 8 元”,

由统计图,得 120 人中票价为 3 元、4 元、5 元的人数比为 60 : 40 : 20 ? 3 : 2 :1 ,
则 6 名学生中票价为 3 元、4 元、5 元的人数分别为 3,2,1(人). ???6 分

记票价为 3 元的同学为 a, b, c , 票价为 4 元的同学为 d , e , 票价为 5 元的同学为 f , 从这 6 人中随机选出 2 人, 所有可能的选出结果共有 15 种, 它们是:(a, b), (a, c) ,

(a, d ), (a, e), (a, f ), (b, c), (b, d ), (b, e), (b, f ), (c, d ), (c, e), (c, f ), (d , e) ,

(d , f ), (e, f ) .

??????8 分 ???9 分

其中事件 B 的结果有 4 种,它们是: (a, f ), (b, f ), (c, f ), (d , e) . 所以这 2 人的票价和恰好为 8 元的概率为 P( B) ?

4 . ??????10 分 15

(Ⅲ)解: s ? (20, 22] . ??????13 分

房山 17 17.(本小题共 13 分) 解: (Ⅰ)由条形图可得,来自 A,B,C,D 四个区域的家长共有 200 人,?????1 分 其中来自 A 区域的家长为 40 人,?????2 分 由 分 层 抽 样 可 得 从 份. A 区 域 的 家 长 问 卷 中 抽 取 了

20 ?

40 ?4 200

?????4 分 ?????5 分 ?????6 分

设事件 M =“家长甲被选中进行问卷调查”, 则 P( M ) ?

4 ? 0.1 . 40

(II)由图表可知,来自 A,B,C,D 四区域的家长分别接受调查的人数为 4,5,6,5. 其中不满意的家长人数分别为 1,1,0,2 个 .???7 分 记来自 A 区域不满意的家长是 a;来自 B 区域不满意的家长是 b; 来自 D 区域不满意的家长是 c,d. ???8 分

设事件 N=“从填写不满意的家长中选出 2 人,至少有一人来自区域 D” ????9 分 从填写不满意的学生中选出 2 人,共有 (a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)6 个基本事件,??10 分 而事件 N 有(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)5 个基本事件,???11 分 故 P?N ? ?

5 . 6

???13 分

丰台 17 17.(本小题共 13 分) 解: (Ⅰ)从这 140 辆汽车中任取 1 辆,则该车行驶总里程超过 5 万公里的概率为

20 ? 20 ? 20 3 ? . 140 7
( Ⅱ ) ( ⅰ )

????????3 分 依 题 意

n?

30 ? 20 ? 14 ? 5 . 140

????????6 分

(ⅱ)5 辆车中已行驶总里程不超过 5 万公里的车有 3 辆,记为 A,B,C; 5 辆车中已行驶总里程超过 5 万公里的车有 2 辆,记为 M,N.

“从 5 辆车中随机选取 2 辆车”的所有选法共 10 种: AB,AC ,AM,AN, BC,BM,BN,CM,CN,MN. “从 5 辆车中随机选取 2 辆车,恰有一辆车行驶里程超过 5 万公里”的选法 共 6 种:AM,AN,BM,BN,CM,CN. 设“选取 2 辆车中恰有一辆车行驶里程超过 5 万公里”为事件 D, 则 P( D) ?

6 3 ? . 10 5
3 ????13 分 5

答:选取 2 辆车中恰有一辆车行驶里程超过 5 万公里的概率为

石景山 17 17. (本小题共 13 分) (Ⅰ)由题意可知

18 =0.18,得 n=100.故抽取的学生人数是 100. n

………………2 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 n=100,所以 (7 ? 9 ? a) /100=0.3 ,故 a=14,………………4 分 而 7+9+a+20+18+4+5+6+b=100,故 b=17. ………………6 分

(Ⅲ)设“语文成绩为 A 等级的总人数比语文成绩为 C 等级的总人数少”为事件 A, 由(Ⅱ)易知 a+b=31,且 a≥10,b≥8, 满足条件的(a,b)有 (10,21) , (11,20) , (12,19) , (13,18), (14,17), (15,16),(16,15),(17,14),(18,13),(19,12) , (20,11),(21,10),(22,9),(23,8) ,共有 14 组, 其中 b+11 ? a+16 的有 3 组, 则所求概率为 P ( A)= ………………7 分

………………10 分 ………………12 分 ………………13 分

3 . 14

顺义 18 18.解:(I)由频率分布表得 0.1 ? a ? b ? 0.2 ? 0.1 ? 0.1 ? 1 , 即 a ? b ? 0.5 . 因为所抽调的 50 名市民中,收入(单位:百元)在 ?35, 45? 的有 15 名,

15 ? 0.3 , 50 所以 a ? 0.2, c ? 0.2 ? 50 ? 10 , 所以 a ? 0.2, b ? 0.3, c ? 10 ,
所以 b ? 且频率分布直方图如下:

频率 组距 0.03 0.02 0.01 15 25 35 45 55 65 75 收入(百元)

............... ...........................................4 分 (II) 设收入 ( 单位 : 百元 ) 在 ?55,65? 的被调查者中赞成的分别是 A1 , A2 , A3 , 不赞成的分别是

B1 , B2 ,
事件 M :选中的 2 人中至少有 1 人不赞成“楼市限购令”, 则从收入(单位:百元)在 ?55,65? 的被调查者中,任选 2 名的基本事件共有 10 个:

? A1, A2 ? , ? A1, A3 ? , ? A1, B1 ? , ? A1, B2 ? , ? A2 , A3 ? , ? A2 , B1 ? , ? A2 , B2 ? , ? A3 , B1 ? , ? A3 , B2 ? , ? B1, B2 ? ,
............... ...........................................10 分

事 件 M 包 含 的 结 果 是 ?A ? ,? A1, B?2 , ? A2 , B1 ? , ? A2 , B2 ? , ? A3 , B1 ? , ? A3 , B2 ? , 1, B 1

? B1, B2 ? 共 7 个,
7 , 10 7 故所求概率为 . 10
所以 P ? M ? ? 二模答案 朝阳 2 海淀 16 C

............... ...........................................11 分 ............... ...........................................12 分 ............... ...........................................13 分

解.(Ⅰ) 20 名女生掷实心球得分如下:5,6,7,7,7,7,7,7,8,8,8,9,9,9,9, 9,9,9,10,10.所以中位数为 8,众数为 9.??????4 分 (Ⅱ) 由题意可知,掷距离低于 7.0 米的男生的得分如下:4,4,4,6,6,6.这 6 名男生分 别记为 A 1, A 2, A 3, B 1 , B2 , B3 .从这 6 名男生中随机抽取 2 名男生,所有可能的结果有 15 种, 它们是: ( A A1 ,B1 ), ( A1 , B2 ), A (1 B , 3 ),A (2 A , 3 ),A (2 B ,1 ), A ( ,2 1, A 2 ), (A 1 ,A 3 ), ( 2 B , ), A( , ) 2 B 3

( A3 , B1 ),( A3 , B2 ),( A3 , B3 ),( B1, B2 ),( B1, B3 ),( B2 , B3 ) .

??????6 分

用 C 表示 “抽取的 2 名男生得分均为 4 分” 这一事件, 则 C 中的结果有 3 个, 它们是:

( A1 , A2 ),( A1 , A3 ),( A2 , A3 ) .

??????8 分

所以,所求得概率 P (C ) ? (Ⅲ)略.??????13 分

3 1 ? . 15 5

??????9 分

评分建议:从平均数、方差、极差、中位数、众数等角度对整个年级学生掷实心球项目的情 况进行合理的说明即可;也可以对整个年级男、女生该项目情况进行对比;或根据目前情况 对学生今后在该项目的训练提出合理建议. 东城 15 (15) (共 13 分)

[来源:Z。xx。k.Com]

解:设顾客去甲商场,转动圆盘,指针指向阴影部分为事件 A , 试验的全部结果构成的区域为圆盘,面积为 ?r ( r 为圆盘的半径),阴影区域的面
2

积为 S ? 4 ?

1 ? 2 ? 2 ? r ? r . 2 12 6

? 2 r 1 所以, P( A) ? 6 2 ? .??????????5 分 ?r 6
设顾客去乙商场一次摸出两个红球为事件 B ,记盒子中 3 个白球为 a1 ,a2 ,a3 ,3 个红球为 b1 , b2 , b3 ,记 ( x , y) 为一次摸球的结果,则一切可能的结果有: (a1 , a2 ) ,

(a1 , a3 ) , (a1 , b1 ) , (a1 , b2 ) , (a1 , b3 ) , (a2 , a3 ) , (a2 , b1 ) , (a2 , b2 ) , (a2 , b3 ) ,

(a3 , b1 ) , (a3 , b2 ) , (a3 , b3 ) , (b1 , b2 ) , (b1 , b3 ) , (b2 , b3 ) ,共15 种.
摸到的 2 个球都是红球有 (b1 , b2 ) , (b1 , b3 ) , (b2 , b3 ) ,共 3 种. 所以, P( B) ?

3 1 ? .??????????11 分 15 5

因为 P( A) ? P( B) , 所以,顾客在乙商场中奖的可能性大.??????????13 分

西城 18 (Ⅰ)解:根据茎叶图, 得甲组数据的平均数为

10 ? 10 ? 14 ? 18 ? 22 ? 25 ? 27 ? 30 ? 41 ? 43 ? 24 ,???2 分 10

由茎叶图,知甲型号电视机的“星级卖场”的个数为 5 . (Ⅱ)解:记事件 A 为“a>b” , 因为乙组数据的平均数为 26.7, 所以

??????4 分 ??????5 分

10 ? 18 ? 20 ? 22 ? 23 ? 31 ? 32 ? (30 ? a) ? (30 ? b) ? 43 ? 26.7 , 10
??????7 分

解得 a ? b ? 8 .

所以 a 和 b 取值共有 9 种情况,它们是: (0,8) , (1,7) , (2, 6) , (3,5) , (4, 4) , (5,3) ,
(6, 2) , (7,1) , (8, 0) ,

??????8 分

其中 a>b 有 4 种情况,它们是: (5,3) , (6, 2) , (7,1) , (8, 0) , ??????9 分 所以 a>b 的概率 P( A) ?

4 . 9

??????10 分 ??????13 分

(Ⅲ)解:当 b=0 时, s 2 达到最小值. 朝阳 17 解: (Ⅰ)由题意可得,试卷的抽出比例为

3 1 = , 180 60

所以应从选择 B 题作答试卷中抽出 2 份,从选择 C 题作答试卷中抽出 2 份. (Ⅱ)记在(Ⅰ)中抽出的选择 A 题作答的试卷分别为 a1 , a2 , a3 ,其中 a1 , a2 得优;选 择 B 题作答的试卷分别为 b1 , b2 , 其中 b1 , b2 得优; 选择 C 题作答的试卷分别为 c1 , c2 , 其中 c1 得优.从 a1 , a2 , a3 , b1 , b2 和 c1 , c2 中分别抽出一份试卷的所有结果如下:

{a1, b1, c1} {a1 , b1 , c2} {a1 , b2 , c1} {a1 , b2 , c2}

{a2 , b1 , c1} {a2 , b1 , c2} {a2 , b2 , c1} {a2 , b2 , c2 }
{a3 , b1, c1} {a3 , b1, c2} {a3 , b2 , c1} {a3 , b2 , c2}
所有结果共有 12 种可能,其中 3 份都得优的有

{a1, b1, c1} {a1 , b2 , c1} {a2 , b1 , c1} {a2 , b2 , c1} ,共 4 种.
设“从被抽出的选择 A, B, C 题作答的的试卷中各随机选 1 份, 这 3 份试卷都得优”为事 件 M ,故所求概率 P ?

4 1 ? . 12 3

昌平 16 解: (I)设事件 A :从 10 位学生中随机抽取一位,抽到该名同学为“数学专业”.

由题意可知,“数学专业”的学生共有 (1 ? m) 人. 则 P ( A) ?

1? m 2 ? .解得 m ? 3 . 10 5

所以 n ? 1 . ……………6 分 (II)由题意可知,男生共有 6 人,分别记为 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 .其中数学专业的男 生为 a4 , a5 , a6 . 从中任意抽取 2 位,可表示为 a1a2 , a1a3 , a1a4 , a1a5 , a1a6 , a2 a3 , a2 a4 , a2 a5 , a2 a6 ,

a3 a4 , a3 a5 , a3 a6 , a4 a5 , a4 a6 , a5 a6 ,共 15 种可能.
设事件 B :选出的这 2 名男同学中至少有一位同学是“数学专业”. 事件 B 包括: a1a4 , a1a5 , a1a6 , a2 a4 , a2 a5 , a2 a6 , a3 a4 , a3 a5 , a3 a6 , a4 a5 , a4 a6 , a5 a6 ,共 12 种可能. 所以至少有一位同学是“数学专业”的概率是 P ( B ) ? 丰台 17 解: (Ⅰ)A 班样本数据的平均值为 (9 ? 11 ? 14 ? 20 ? 31) ? 17 ,

12 4 ? . 15 5

……………13 分

1 5 1 B 班样本数据的平均值为 (11 ? 12 ? 21 ? 25 ? 26) ? 19 , 5

据此估计 B 班学生平均每周上网时间较长.????????5 分 (Ⅱ)依题意,从 A 班的样本数据中随机抽取一个不超过 21 的数据记为 a,从 B 班的样 本数据中随机抽取一个不超过 21 的数据记为 b 的取法共有 12 种,分别为: (9,11) , (9,12) , (9,21) , (11,11) , (11,12) , (11,21) , (14,11) , (14,12) , (14,21) , (20,11) , (20,12) , (20,21) . 其中满足条件“a>b”的共有 4 种,分别为: (14,11) , (14,12) , (20,11) , (20,12) . 设“a>b”为事件 D, 则 P( D) ? 答:a>b 的概率为

4 1 ? .????????13 分 12 3

1 . 3


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