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2014高三数学复习专题——对数与对数函数


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2013-8-26

对数与对数函数
一.要点精讲 1、对数的概念:如果 a b ? N a(a ? 0, 且a ? 1) ,那么 log a N ? b 。 ⑴基本性质: ①真数 N 为正数(负数和零无对数) ; ③ log a a ? 1 ; ① log a ( MN ) ? lo

g a M ? log a N ; o ② lg ⑶换底公式: log a N ? ② log a 1 ? 0 ; ④对数恒等式: a
log a N

?N。
M n ? no lg
。 M (n ? R)

⑵运算性质:如果 a ? 0, a ? 0, M ? 0, N ? 0, 则
a

M ?o lg N

a

M ?o lg

a

③ lg N; o

a

a

log m N (a ? 0, a ? 0, m ? 0, m ? 1, N ? 0), log m a n 常用结论:① log a b ? log b a ? 1 ; ② log a m b n ? log a b 。 m
3.两种重要对数 ⑴常用对数:通常将以 10 为底的对数叫做常用对数,N 的常用对数 log 10 N 简记作 lg N . ⑵自然对数:以无理数 e=2.71828…为底的对数叫自然对数,N 的自然对数 log e N 简记作 ln N . 2、对数函数:

1 ⑴对数函数的定义: 函数 y ? log a x( a>0, a ≠) 叫做对数函数,其中 x 是自变量.
⑵对数函数图象和性质 函数 底数 图象
王新敞
奎屯 新疆

y ? log a x?a ? 0, a ? 1?

a ?1

0 ? a ?1

定义域 值域 共点性 函数值 特点 单调性

(0,+∞) R 过点(1,0) ,即 x=1 时,y=0

x ? ?1,??? 时, y ? ?0,?? ?
增函数

x ? ?0,1? 时, y ? ?? ?,0? ;

x ? ?1,??? 时, y ? ?? ?,0?
减函数

x ? ?0,1? 时, y ? ?0,?? ? ;

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1

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2013-8-26

二、课前热身 1、设 f ( x ) ? ? A.0

? 2e x ?1 , x<2, ? 则f ( f (2))的值为 ( 2 ?log 3 ( x ? 1),x ? 2. ?
B.1 C.2
1?1



D.3

解: f (2) ? log 3 (2 2 ? 1) ? 1, f ( f (2)) ? 2e (A) a ? b ? c (B) a ? c ? b

? 2。
(D) c ? b ? a

2 2.(09 全国Ⅱ文)设 a ? lg e, b ? (lg e) , c ? lg e, 则

(C) c ? a ? b

解:本题考查对数函数的增减性,由 1>lge>0,知 a>b,又 c=

1 lge, 作商比较知 c>b,选 B。 2
D.y=zx

3、若 logx 7 y =z,则 x、y、z 之间满足(解析:由 logx 7 y =z ? xz= 7 y ? x7z=y,即 y=x7z.) A.y7=xz B.y=x7z C.y=7xz

4、 (11 江西理)若 f ( x) ?

1 log 1 (2 x ? 1)
2

,则 f (x) 定义域为

1 A. (? ,0) 2

1 1 B. (? ,0] C. (? ,??) 2 2 1 ? ?2 x ? 1 ? 0 1 ?x ? ? ? 由 ?log ( 2 x ? 1) ? 0 解得 ? 2 ,故 ? ? x ? 0 ,选 A 1 2 ?x ? 0 ? 2 ? ?
5、函数 f ? x ? ? log 2 x 的图象是

D. (0,??)

) 6、方程 log (2 x ? 1 ? 1 的解 x = 3
( ( ? 7、计算 log 2 5 ? log 4 0.2) log 5 2 ? log 25 0.5) =
五、典例解析 考点一:对数运算 1.计算:⑴ (lg 2) ? lg 2 ? lg 50 ? lg 25
2



⑵ (log3 2 ? log9 2) ? (log 4 3 ? log8 3) ;

1

lg 5 ? lg 8000 ? (lg 2 3 ) 2 ⑶ ; 1 1 lg 600 ? lg 0.036 ? lg 0.1 2 2
2

⑷ log

2

( 6 ? 4 2 ? 6 ? 4 2 ) .=4

⑶分子= lg 5(3 ? 3 lg 2) ? 3(lg 2) ? 3 lg 5 ? 3 lg 2(lg 5 ? lg 2) ? 3 ; 分母= (lg 6 ? 2) ? lg

36 1 6 3 ? ? lg 6 ? 2 ? lg ? 4 ;?原式= 。 1000 10 100 4
2

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2013-8-26

考点二:对数方程 2. (06 辽宁)方程 log 2 ( x ? 1) ? 2 ? log 2 ( x ? 1) 的解为 解:原方程变形为 log 2 ( x ? 1) ? log 2 ( x ? 1) ? log 2 ( x ? 1) ? 2 ,
2



即 x 2 ? 1 ? 4 ,得 x ? ? 5 。且 ? 考点三:对数函数的概念与性质 3、函数 y ? A. (3,??)

?x ? 1 ? 0 有 x ? 1。从而结果为 5 。 ?x ? 1 ? 0

log 2 x ? 2 的定义域是(
B. [3,??)

) C. (4,??) D. [4,??)

4、若 0<x<y<a<1,则有 A.loga(xy)<0
2 a 2

B.0<loga(xy)<1
2

C.1<loga(xy)<2

D. loga(xy)>2

5、已知 log 1 b ? log 1 a ? log 1 c ,则 A. 2 ? 2 ? 2
b c

B. 2 ? 2b ? 2 c
a
2

C. 2 c ? 2b ? 2 a D. 2 c ? 2b ? 2 a ) . D. b ? a ? c C. a ? b ? c

6、 (11 天津理)设 a ? log5 4 , b ? ? log 5 3? , c ? log 4 5 ,则( A. a ? c ? b
2

B. b ? c ? a

解:因为 c ? log 4 5 ? c ? log 4 4 ? 1 , 0 ? a ? log 5 4 ? 1 , 0 ? a ? log5 3 ? 1 , 所以 b ? ? log 5 3? ? log 5 3 ? log 5 4 ? log 5 4 ? a ,所以 b ? a ? c ,故选D. 7.(09 北京理) 为了得到函数 y ? lg

x?3 的图像, 只需把函数 y ? lg x 的图像上所有的点 10





A.向左平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 B.向右平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 C.向左平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 D.向右平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 解:本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查,化简后可看出应选 C. 8.(09 全国Ⅱ理)设 a ? log3 ? , b ? log 2 3, c ? log 3 A. a ? b ? c 解:? log3 B. a ? c ? b

2 ,则
D. b ? c ? a

C. b ? a ? c

2 ? log 2 2 ? log 2 3 ? b ? c

log 2 3 ? log 2 2 ? log3 3 ? log3 ? ? a ? b ? a ? b ? c .故选 A.
9、求函数 y=log2|x|的定义域,并画出它的图象,指出它的单调区间. 解:∵|x|>0,∴函数的定义域是{x|x∈R 且 x≠0}. 显然 y=log2|x|是偶函数,它的图象关于 y 轴对称. 又知当 x>0 时,y=log2|x| ? y=log2x.故可画出 y=log2|x| 的图象如上图.由图象易见,其递减区间是(-∞,0) ,递增区间是(0,+∞). 评述:研究函数的性质时,利用图象更直观.

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2013-8-26

10(09 江西文)已知函数 f ( x) 是 (??, ??) 上的偶函数,若对于 x ? 0 ,都有 f ( x ? 2) f ( x) ,且当 ?

x ?[0, 2) 时, f ( x) ? log 2 ( x ? 1) ,则 f (?2008) ? f (2009) 的值为
A. ?2 B. ?1 C. 1
1 2 2 2

D. 2

解: f (?2008) ? f (2009) ? f (0) ? f (1) ? log ? log ? 1,故选 C.

?21? x , x ? 1 11(11 辽宁理)设函数 f ( x) ? ? ,则满足 f ( x) ? 2 的 x 的取值范围是 ?1 ? log 2 x, x ? 1
A. [?1 ,2] B.[0,2] C.[1,+ ? ]

D

D.[0,+ ? ]

x?0 ? log 2 x, ? 12 (11 天津理) 设函数 f ? x ? ? ?log ? x , x ? 0 若 f ? a ? ? f ? ?a ? , ; 则实数 a 的取值范围是 ( ) . ? 1 ? ? 2 ? A. ? ?1, 0 ? U ? 0 ,1? B. ? ?? , ?1? U ?1, ?? ? C. ? ?1, 0 ? U ?1, ?? ? D. ? ?? , ?1? U ? 0 ,1?
解: 若 a ? 0 ,则 log 2 a ? log 1 a ,即 2 log 2 a ? 0 ,所以 a ? 1 , 若 a ? 0 则 log 1 ? ?a ? ? log 2 ? ?a ? ,即 2 log 2 ? ? a ? ? 0 ,所以 0 ? ?a ? 1 , ?1 ? a ? 0 。 所以实数 a 的取值范围是 a ? 1 或 ?1 ? a ? 0 ,即 a ? ? ?1,0 ? U ?1, ?? ? .故选 C 13.已知函数 f ( x) ? log a (ax ? (1)求函数 f(x)的定义域;
2
2

x )( a ? 0, a ? 1 为常数)
⑵若 a=2,试根据单调性定义确定函数 f(x)的单调性。

(3)若函数 y=f(x)是增函数,求 a 的取值范围。

考点四:对数函数与二次函数的复合问题 14.设 x ? 1 , y ? 1,且 2 log x y ? 2 log y x ? 3 ? 0 ,求 T ? x ? 4 y 的最小值。
2 2

解:令 t ? log x y ,

∵ x ? 1 , y ? 1,∴ t ? 0 。

2 ? 3 ? 0 ,∴ 2t 2 ? 3t ? 2 ? 0 , t 1 1 1 ∴ (2t ? 1)(t ? 2) ? 0 ,∵ t ? 0 ,∴ t ? ,即 log x y ? ,∴ y ? x 2 , 2 2
由 2 log x y ? 2 log y x ? 3 ? 0 得 2t ? ∴ T ? x ? 4 y ? x ? 4 x ? ( x ? 2) ? 4 , ∵ x ? 1 ,∴当 x ? 2 时, Tmin ? ?4 。
2 2 2 2

点评:对数函数结合不等式知识处理最值问题,这是出题的一个亮点。同时考察了学生的变形能力。
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2013-8-26

考点五:指数函数、对数函数综合问题 15、已知函数 f ( x) ? log a ⑴求 f (x) 的定义域;

x?b (a ? 0, b ? 0且a ? 1) 。 x?b
⑵讨论 f (x) 的奇偶性; ⑶判断 f (x) 的单调性并证明。

16、已知函数 f ( x) ? log a (a x ? 1)( a ? 0且a ? 1) ⑴证明:函数 f (x) 的图象在 y 轴的一侧; ⑵设 A?x1 , y1 ? , B?x2 , y2 ? ?x1 ? x2 ? 是 f (x) 的图象上两点,证明直线 AB 的斜率大于 0;

六、考点演练: 1、已知 a ? 0, 且a ? 1 ,函数 y ? a x 与y ? log a (? x) 的图象可能是 B

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2013-8-26

2、函数 y ? log 1 x 的定义域为[a,b],值域为[0,2],则区间[a,b]的长度 b-a 的最小值是
2

A、3

B、

3 4

C、2

D、

3 2
2 2 2

3、 设函数 f ( x) ? log a x(a ? 0且a ? 1) , f ( x1 x2 ? ? ? x20 ) ? 8 , f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ? ? ? ? f ( x 20 若 则 09 09 值等于 A、4

)的

B、8 (

C、16 )

D、2loga8
x

4、已知 f (x) 是定义在 R 上的奇函数,且满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ,又当 x ? (0,1)时,f ( x) ? 2 ? 1 ,则

f (log1 6) 的值等于
2

A.-5

B.-6

C. ?

5 6

D. ?

1 2

5、若函数 f(x)=logax(0<a<1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的 3 倍,则 a 等于

1 2 2 B. C. 4 2 4 6、函数 f (x) =log 1 (3-2x-x2)的单调递增区间是
A.
2

D.

1 2

7、方程 lgx+lg(x+3)=1 的解 x=___________________. 解析:由 lgx+lg(x+3)=1,得 x(x+3)=10,x2+3x-10=0. 8、已知 log 2 3 ? a, log 3 7 ? b, 求 log 42 56

∴x=-5 或 x=2. ∵x>0,∴x=2.

9、设函数 y ? f (x) 且 lg(lg y) ? lg(3x) ? lg(3 ? x) . ⑴求 f (x) 的表达式及定义域;⑵求 f (x) 的值域.

10、已知 y=loga(3-ax)在[0,2]上是 x 的减函数,求 a 的取值范围. 解:∵a>0 且 a≠1,∴t=3-ax 为减函数.依题意 a>1, 又 t=3-ax 在[0,2]上应有 t>0, 11、求函数 y=2lg(x-2)-lg(x-3)的最小值. ∴3-2a>0.∴a<

3 3 .故 1<a< . 2 2

( x ? 2) 2 . x?3 1 ( x ? 2) 2 x 2 ? 4 x ? 4 ( x ? 3) 2 ? 2( x ? 3) ? 1 又∵ = = =(x-3)+ +2≥4,∴当 x=4 时,ymin=lg4. x?3 x?3 x?3 x?3
解:定义域为 x>3,原函数为 y=lg

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