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高中各种函数图像画法与函数性质


一次函数
(一)函数 1、确定函数定义域的方法: (1)关系式为整式时,函数定义域为全体实数; (2)关系式含有分式时,分式的分母不等于零; (3)关系式含有二次根式时,被开放方数大于等于零; (4)关系式中含有指数为零的式子时,底数不等于零; (5)实际问题中,函数定义域还要和实际情况相符合,使之有意义。 一次 函数
k ,b k ?0 b?0 b?0 b?

0 b?0

k ? kx ? b ? k ? 0?
k?0 b?0 b?0

符号

y

y

y

y

y
O

y

图象
O

x

O

x

O

x

O

x

O

x

x

性质

y 随 x 的增大而增大

y 随 x 的增大而减小

二次函数
f ? x ? ? ax2 ? bx ? c ? a ? 0?
a?0 a?0

图像

x??
定义域 对称轴 顶点坐标

b 2a
? ?? , ? ??
x?? b 2a

x??

b 2a

? b 4ac ? b 2 ? , ?? ? 4a ? ? 2a
? 4ac ? b 2 ? , ? ?? ? ? 4a ?

值域

? 4ac ? b 2 ? ?? , ? ? 4a ? ?

b ? ? ? ?? , ? ? 递减 2a ? ?

b ? ? ? ?? , ? ? 递增 2a ? ? ? b ? , ? ? ? 递减 ?? ? 2a ?

单调区间
? b ? , ? ? ? 递增 ?? ? 2a ?

二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达 1. 关于 x 轴对称
y ? ax2 ? bx ? c 关于 x 轴对称后,得到的解析式是 y ? ?ax2 ? bx ? c ;

y ? a ? x ? h? ? k 关于 x 轴对称后,得到的解析式是 y ? ?a ? x ? h ? ? k
2
2

2. 关于 y 轴对称
y ? ax2 ? bx ? c 关于 y 轴对称后,得到的解析式是 y ? ax2 ? bx ? c ;

y ? a ? x ? h? ? k 关于 y 轴对称后,得到的解析式是 y ? a ? x ? h? ? k ;
2 2

3. 关于原点对称
y ? ax2 ? bx ? c 关于原点对称后,得到的解析式是 y ? ?ax2 ? bx ? c ;

y ? a ? x ? h? ? k 关于原点对称后,得到的解析式是 y ? ?a ? x ? h? ? k
2 2

4. 关于顶点对称(即:抛物线绕顶点旋转 180°)
y ? ax2 ? bx ? c 关于顶点对称后,得到的解析式是 y ? ?ax2 ? bx ? c ?
2 2

b2 ; 2a

y ? a ? x ? h? ? k 关于顶点对称后,得到的解析式是 y ? ?a ? x ? h? ? k .
n 5. 关于点 ? m , ? 对称

y ? a ? x ? h? ? k
2
2

关 于 点 ?m, ? 对 称 后 , 得 到 的 解 析 式 是 n

y ? ?a ? x ? h ? 2m? ? 2n ? k

反比例函数
1、反比例函数图象:反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双 曲线

反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近 X 轴 Y 轴但不会与坐 标轴相交(K≠0) 。 2、性质: 1.当 k>0 时,图象分别位于第一、三象限,同一个象限内,y 随 x 的增大而 减小;当 k<0 时,图象分别位于二、四象限,同一个象限内,y 随 x 的增大而增 大。 2.k>0 时,函数在 x<0 上同为减函数、在 x>0 上同为减函数;k<0 时,函数 在 x<0 上为增函数、在 x>0 上同为增函数。 定义域为 x≠0;值域为 y≠0。 3.因为在 y=k/x(k≠0)中,x 不能为 0,y 也不能为 0,所以反比例函数的图 象不可能与 x 轴相交,也不可能与 y 轴相交。 4. 在一个反比例函数图象上任取两点 P,Q,过点 P,Q 分别作 x 轴,y 轴的 平行线,与坐标轴围成的矩形面积为 S1,S2 则 S1=S2=|K| 5. 反比例函数的图象既是轴对称图形,又是中心对称图形,它有两条对称 轴 y=x y=-x(即第一三,二四象限角平分线) ,对称中心是坐标原点。

6.若设正比例函数 y=mx 与反比例函数 y=n/x 交于 A、B 两点(m、n 同号) , 那么 A B 两点关于原点对称。

7.设在平面内有反比例函数 y=k/x 和一次函数 y=mx+n,要使它们有公共交 点,则 n^2+4k·m≥(不小于)0。 8.反比例函数 y=k/x 的渐近线:x 轴与 y 轴。 9.反比例函数关于正比例函数 y=x,y=-x 轴对称,并且关于原点中心对称. 10.反比例上一点 m 向 x、y 分别做垂线,交于 q、w,则矩形 mwqo(o 为原点) 的面积为|k| 11.k 值相等的反比例函数重合,k 值不相等的反比例函数永不相交。 12.|k|越大,反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。 13.反比例函数图象是中心对称图形,对称中心是原点

指数函数
概念:一般地,函数 y=a^x(a>0,且 a≠1)叫做指数函数,其中 x 是自变 量,函数的定义域是 R。 注意:⒈指数函数对外形要求严格,前系数要为 1,否则不能为指数函数。 ⒉指数函数的定义仅是形式定义。 指数函数的图像与性质

规律:1. 当两个指数函数中的 a 互为倒数时,两个函数关于 y 轴对称,但 这两个函数都不具有奇偶性。

2.当 a>1 时,底数越大,图像上升的越快,在 y 轴的右侧,图像越靠近 y 轴; 当 0<a<1 时,底数越小,图像下降的越快,在 y 轴的左侧,图像越靠 近 y 轴。 在 y 轴右边“底大图高” ;在 y 轴左边“底大图低” 。

3.四字口诀: “大增小减” 。即:当 a>1 时,图像在 R 上是增函数;当 0 <a<1 时,图像在 R 上是减函数。 4. 指数函数既不是奇函数也不是偶函数 比较幂式大小的方法: 1. 当底数相同时,则利用指数函数的单调性进行比较; 2. 当底数中含有字母时要注意分类讨论; 3. 当底数不同,指数也不同时,则需要引入中间量进行比较; 4. 对多个数进行比较,可用 0 或 1 作为中间量进行比较 底数的平移: 在指数上加上一个数,图像会向左平移;减去一个数,图像会向右平移。 在 f(X)后加上一个数, 图像会向上平移; 减去一个数, 图像会向下平移。

对数函数 1.对数函数的概念 由于指数函数 y=ax 在定义域(-∞,+∞)上是单调函数,所以它存在反函数, 我们把指数函数 y=ax(a>0, a≠1)的反函数称为对数函数, 并记为 y=logax(a>0, a≠1). 因为指数函数 y=ax 的定义域为(-∞,+∞),值域为(0,+∞),所以对数函数 y=logax 的定义域为(0,+∞),值域为(-∞,+∞). 2.对数函数的图像与性质 对数函数与指数函数互为反函数,因此它们的图像对称于直线 y=x. 据此即 可以画出对数函数的图像,并推知它的性质. 为了研究对数函数 y=logax(a>0,a≠1)的性质,我们在同一直角坐标系中 作出函数 y=log2x,y=log10x,y=log10x,y=log 1 x,y=log 1 x 的草图
2 10

a>1 图

a<1



性 质

补 充 性 质

(1)x>0 (2)当 x=1 时,y=0 (3)当 x>1 时,y>0 (3)当 x>1 时,y<0 0<x<1 时,y<0 0<x<1 时,y>0 (4)在(0,+∞)上是增函数 (4)在(0,+∞)上是减函数 设 y1=logax y2=logbx 其中 a>1,b>1(或 0<a<1 0<b<1) 当 x>1 时“底大图低”即若 a>b 则 y1>y2 当 0<x<1 时“底大图高”即若 a>b,则 y1>y2

比较对数大小的常用方法有: (1)若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断. (2)若底数为同一字母,则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论. (3)若底数不同、真数相同,则可用换底公式化为同底再进行比较. (4)若底数、真数都不相同,则常借助 1、0、-1 等中间量进行比较. 3.指数函数与对数函数对比 名称 指数函数 对数函数 x 一般形 y=a (a>0,a≠1) y=logax(a>0,a≠1) 式 定义域 (-∞,+∞) (0,+∞) 值域 (0,+∞) (-∞,+∞) 当 a>1 时, 当 a>1 时 函 ?? 1( x ? 0) ?? 0( x ? 1) ? 数 x? a ?? 1( x ? 0) log a x ?? 0( x ? 1) 值 ?? 1( x ? 0) ?? 0( x ? 1) ? ? 变 化 当 0<a<1 时, 当 0<a<1 时, 情 ?? 1( x ? 0) ?? 0( x ? 1) ? ? 况 a x ?? 1( x ? 0) log a x ?? 0( x ? 1) ?? 1( x ? 0) ?? 0( x ? 1) ? ? 单调性 当 a>1 时,ax 是增函数; 当 0<a<1 时,ax 是减函数. 当 a>1 时,logax 是增函数; 当 0<a<1 时,logax 是减函 数. x y=a 的图像与 y=logax 的图像关于直线 y=x 对称.

图像

幂函数 幂函数 y ? xn 随着 n 的不同,定义域、值域都会发生变化,图像都过(1,1)点
1 1 , , 1 , 2 , 3 时,幂函数图像过原点且在 ?0 , ? ?? 上是增函数. 3 2 1 ② a ? ? , ? 1 , ? 2 时,幂函数图像不过原点且在 ? 0 , ? ?? 上是减函数. 2

① a?

③ 任何两个幂函数最多有三个公共点.

y ? xn

奇函数
y

偶函数
y

非奇非偶函数
y

n ?1
O x O x O x

y

y

y

0 ? n ?1
O x O x O x

y

y

y

n?0
O x O x O x

y?x

y ? x2
R 奇

y ? x3
R 奇

y ? x2

1

y ? x ?1

定义域 奇偶性

R 奇

?x | x ? 0?
非奇非偶

?x | x ? 0?


在第Ⅰ象 在第Ⅰ象 在第Ⅰ象 在第Ⅰ象 在第Ⅰ象 在第Ⅰ象限的增 限单调递 限单调递 限单调递 限单调递 限单调递 减性 增 增 增 增 减

幂函数 y ? x ( x? R, ? 是常数)的图像 在第一象限的分布规律是: ①所有幂函数 y ? x ( x? R, ? 是常数) 的图像都过点 (1,1) ;
?

?

②当

? ? 1,2,3,

1 ? 2 时函数 y ? x 的图像都过

原点 (0,0) ; ③当 ? ? 1 时, y ? x 的的图像在第一象限是第一象限的平分线(如 c2 ) ;
? ④当 ? ? 2,3 时, y ? x 的的图像在第一象限是“凹型”曲线(如 c1 ) ?



??

1 ? 2 时, y ? x 的的图像在第一象限是“凸型”曲线(如 c3
?

⑤ ? ? ?1 时, y ? x 的的图像不过原点 (0,0) ,且在第一象限是“下滑”曲线(如

c4 )
当 ? ? 0 时,幂函数 y ? x 有下列性质: (1)图象都通过点 (0,0), (1,1) ; (2)在第一象限内都是增函数; (3)在第一象限内,? ? 1 时,图象是向下凸的;0 ? ? ? 1时,图象是向上凸的; (4)在第一象限内,过点 (1,1) 后,图象向右上方无限伸展。 当 ? ? 0 时,幂函数 y ? x 有下列性质: (1)图象都通过点 (1,1) ; (2)在第一象限内都是减函数,图象是向下凸的; (3)在第一象限内,图象向上与 y 轴无限地接近;向右无限地与 x 轴无限地接 近; (4)在第一象限内,过点 (1,1) 后,
? ? ?

?

越大,图象下落的速度越快。无论 ? 取任

何实数,幂函数 y ? x 的图象必然经过第一象限,并且一定不经过第四象限。

对号函数
函数 y ? ax ?

b (a>0,b>0)叫做对号函数,因其在(0,+∞)的图象似 x
b b ?2 x a

符号 “√” 而得名, 利用对号函数的图象及均值不等式, x>0 时,ax ? 当
b 即x? x

(当且仅当 ax ? ∈R+)的性质:

b b 时取等号) ,由此可得函数 y ? ax ? (a>0,b>0,x x a

当x?

b b b 时,函数 y ? ax ? (a>0,b>0,x∈R+)有最小值 2 ,特别地, x a a b b (a>0,b>0)在区间(0, )上是 x a

当 a=b=1 时函数有最小值 2。函数 y ? ax ?

减函数,在区间(

b ,+∞)上是增函数。 a

b b ( a>0,b>0 ) 是 奇 函 数 , 所 以 可 得 函 数 y ? ax ? x x (a>0,b>0,x∈R )的性质:

因 为 函 数 y ? ax ?

当x??

b b b 时,函数 y ? ax ? (a>0,b>0,x∈R-)有最大值- 2 ,特别 x a a

b b 地, a=b=1 时函数有最大值-2。 当 函数 y ? ax ? (a>0,b>0) 在区间 (-∞, ) x a

上是增函数,在区间(-

b ,0)上是减函数。 a


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